2020年上海市高三数学二模试卷
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
上海市金山区2020年高中数学高考二模卷(逐题详解版)
上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.集合{}{}|0<x<3,|2A x B x x ==<，则A B =2.函数12y x-=的定义域是3.i 是虚数单位，则1ii-的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =5.已知函数21()11x f x =，则1(0)=f -6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7.已知函数1()logsin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8.数列{}n a 通的项公式*11,2132n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= 9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 (结果用最简分数表示)10. 若点集{}{}22(,)|1=(,)|22,11A x y x y B x y x y =+≤-≤≤-≤≤，，则点集{}12121122(,)|+,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ===+∈∈所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a ，已知向量列{}i a 满足111111(1,1),(,)(,)(2)2n n n n n n n a a x y x y x y n ----===-+≥，设n θ表示向量n a 与1n a -的夹角，若2n n n b θπ=对任意正整数n ，不等式122111log (12)a n n na b b b ++++⋅⋅⋅+>-恒成立，则实数a 的取值范围是12.设*,n n N a ∈为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈，1112333n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0l a x b y c l a x b y c ++=++=，那么“11220a b a b =”是“两直线12,l l 平行”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）(A)222+ (B)122+ (C)22+ (D)12+15.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ）(A)221111111()3A A A D A B A B ++= (B)1111()0A C A B A A ⋅-=(C)向量1AD 与1A B 的夹角是0120(D)正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD ⋅⋅16，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）(A)11(,)44- (B)(12,21)--(C)11(4,4)()44k k k Z -+∈(D)(412,421)()k k k Z +-+-∈三、解答题(本大满分76分)本天题共有5题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤，17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π(1)求四棱锥P ABCD -的体积(2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示)18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =+ (1)求函数()f x 在区间[]0,π上的单调增区间: (2)当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
上海市杨浦区2020年高中数学高考二模卷(逐题详解版)
上海市杨浦区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.设集合{1,2,3,4},{1,3,5,7},A B ==则A∩B=_______2.行列式120235580的值为_______ 3.函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______4.设i 是虚数单位,复数()1243z i z i +=+满足满足,则z=_______5.若{}n a 是无穷等比数列,首项a 1=13,公比q=13,则{}n a 各项的和S =_______6.在3名男生,4名女生中随机选出2名学生参加某次活动,则选出的学生恰为1男1女的概率为_______(结果用最简分数表示)7.实数x,y 满足约束条件,030423x y y x y x ≥++⎧⎪≤⎪⎨⎪⎪≥⎩≤目标函数f x y =+的最大值为_______ 8.已知曲线C 1的参数方程为21()2x t t y t =-⎧⎨=+⎩是参数,曲线C 2的参数方程为(),n 1x y θθθ⎧=-⎪⎨⎪⎩=是参数则C 1和C 2的两个交点之间的距离为_______ 9.数列{}n a 满足11,α=且132n n a a n ++=+;对任意n ∈N *均成立,则2020a =_______10.设*,n N ∈若(2n+的二项展开式中,有理项的系数之和为29525,则n=_______ 11.设,,a b c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量,若()a b ⋅:()b c ⋅:()1c a ⋅=:1:2,则a b ⋅的值为_______12.已知抛物线F 1 与 F 2的焦点均为点(2,1),F 准线方程分别05120,x x y =+=与设两抛物线交于A 、B 两点,则直线AB 的方程为_______二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.不等式102x x --的解集为( )[].1,2A B.[12)(][).-,12,C ∞⋃+∞ ()().,12,D -∞⋃+∞14.设z 是复数,则“z 是虚数”是“z 3是虚数“的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件15.设F 1,F 2是椭圆+22194x y +=的两焦点A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点,P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点,记1222s OP P F P F =-⋅,在动点的第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中,s 的大小的变化情况为( ) A.逐渐变大B.逐渐变小C.先变大后变小D.先变小后变大16.设{a n }是2020项的实数数列,{}n a 中的每一项都不为零,{}n a 中任意连续11项a n ,a n+1,…a n+10的乘积是定值1,2,3,2020),(n =命题:①存在满足条件的数列,使得其中恰有365个1;②不存在满足条件的数列,使得其中恰有550个1; 的真假情况为( ) A.①和②都是真命题 B.①是真命题②是假命题 C.②是真命题,①是假命题 D.①②都是假命题三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图,线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径,点M 是母线BP 的中点,已知2OA OM == (1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线OM 与AP 所成角的大小18.已知三角形ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a,b,c,且a=5,b=7.(1) ;3B c π=若，求(2)设点M 是边AB 的中点,若CM=3,求三角形ABC 的面积19.某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列{},{}n n I I 表示第n 周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一;策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-; 策略B:杀灭害虫,“虫害指数“数列满足1 1.080.46;n n I I +=-(1)设第一周的虫害指数I n ∈[]1,8.用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小? (2)设第一周的虫害指数13,I =如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?20.已知双曲线H:()22210,y x b b-=>经过点D(2,0)的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.(1)若l 与x 轴垂直,且||6MN =,求b 的值:(2)2,b =且M 、N 的横坐标之和为-4,证明:90MON ︒∠=;(3)设直线l 与y 轴交于点,,,E EM MD EN ND λμ=⋅=⋅求证:λ+μ为定值21.()21,x mf x mx +=++其中m 是实常数.1(1)18,f m ⎛⎫> ⎪⎝⎭若求m 的取值范围:(2)若m>0,求证:函数()f x 的零点有且仅有一个; (3)若m>0,设函数()y f x =的反函数为()-1,y f x =若a 1,a 2,a 3,a 4是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中,求证:()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+上海市杨浦区2020届高三二模数学试卷答案解析版一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =_______.【答案】{1,3}. 【解析】 【分析】根据交集定义计算． 【详解】由题意A B ={1,3}．故答案为：{1,3}．【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题．2.行列式120235580=_______.【答案】10 【解析】 分析】根据行列式定义直接计算．详解】120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=． 故答案为：10． 【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 3.函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______.【答案】π 【解析】 分析】用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期．【【详解】21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π．【点睛】本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 4.已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________． 【答案】2i -. 【解析】 【分析】在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 【详解】()1243i z i +=+，()()()()24312434836105212121255i i i i i i iz i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -.【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.5.若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 【答案】12. 【解析】 【分析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．【详解】1131213S ==-．故答案为：12． 【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键．6.在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______.【答案】47【解析】 【分析】根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．【详解】由题意113427124217C C P C ⋅===. 故答案为：47． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．7.实数,x y 满足约束条件342300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为_______.【答案】2 【解析】 【分析】作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图四边形OABC 内部（含边界），联立2334x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点()1,1B ，作直线:0l x y +=，平移直线l ，当l 过点()1,1B 时，直线f x y =+在x 轴上的截距最大，此时f x y =+取得最大值max 112f =+=.故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．8.已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为1x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为_______.【答案】5【解析】 【分析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长． 【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =d ==5==.． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 9.数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.【答案】3031 【解析】 【分析】由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ．【详解】由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=，∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减．10.设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理确定(2n 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)n x +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．【详解】12r n rr r n T C -+=，有理项为奇数项，即022222nn n n n n C C C -+++，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++n n n x a a x a x a x ，并记()(2)n f x x =+，则012(1)n f a a a a =++++，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===，∴10n =．故答案为：10．.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)n f x x =+的系数是解题关键．11.设a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，则a b ⋅的值为_______.【答案】12【解析】 【分析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=可设a b k ⋅=，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅，建立θ方程关系求解即可.【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=，设a b k ⋅=，则,2b c k a c k ⋅=⋅=，a b c 、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b 的夹角为θ，则,b c 的夹角为θ，,a c 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=，22cos 2cos 10θθ--=，解得cos θ=cos θ=（舍去）.所以cos a b θ⋅==.故答案． 【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题.12.已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 【答案】23y x = 【解析】 【分析】根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程． 【详解】按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=， 两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧， 故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.不等式102x x -≤-的解集为（ ） A. [1,2]B. [1,2)C. (,1][2,)-∞⋃+∞D. (,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．14.设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】 分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立．故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．15.设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大【答案】B 【解析】 【分析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结【论．【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小， 故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．16.设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =.∴存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ∴不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（ ）A. ∴和∴都是真命题B. ∴是真命题，∴是假命题C. ∴是真命题，∴是假命题D. ∴和∴都是假命题【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论． 【详解】设110n n n a a a k ++⋅=；则1211n n n a a a k +++⋅=，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个. 若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ．【点睛】本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小【答案】（1（2）3arccos 4【解析】 【分析】（1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角．【详解】（1）由题可得4,PB OP ==211233V S h π=⋅⋅=⋅⨯⨯=.（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0),(0,0,M A P ，所以(0,1,3),(2,0,OM AP ==-，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯，故所成角为3arccos 4.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18.已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）8c =（2）【解析】 【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．【详解】（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=，∴()22222CA CB CM AM+=+，即()2492529AM +=+，∴AM =∴2c AM ==，由222492511219cos sin 2703535a b c C C ab +-+-===-⇒=，∴11sin 572235ABCSab C ==⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19.某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-； 策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-； 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？ （2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除 【解析】 【分析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论； （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值．【详解】（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =-令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小.（2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20.已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值.【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=.（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21.已知()21x m f x mx +=++，其中m 是实常数. （1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围； （2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.【答案】（1）(0,2(2)⋃++∞（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）直接解不等式1()18f m>即可； （2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论； （3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．【详解】（1）112218m mf m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,2(2)m ∈⋃+∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mmf f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-∴大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u mu mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩，两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=∴同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=∴，∴-∴得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故∴0>.证毕.【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。
上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷高三数学理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()UA B =（A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4}（D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1（B ）2（C ）i -（D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是 （A ）2sin =ρθ（B ）2sin =-ρθ（C ）2cos =ρθ（D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤（D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）c a b <<6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A ）4（B ）2（C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243-- （C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342--第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．12．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n 项和n S =______． 14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值． 16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：AM ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求CN 的长；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案及评分标准一、1．C ；2．B ； 3．A ； 4．C ；5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ．二、9．>；10．80；11．3，2； 12．125； 13．21n +，4(1)n n +；14．4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分. 三、15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos(x =2分 因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α， 所以 sin 3==α．………………3 所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α． 所以111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα， 整理得 cos20=α．…11分因为 62ππ<<α， 所以 23π<<πα，所以 22π=α， 即 4π=α．…13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14．…4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20．………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===．………10分 所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．………………13分17．（本小题满分14分）【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，22BD BC +所以 BD BC ⊥．……1分又因为 ⊥PD 平面所以 PD BC ⊥…3分所以⊥BC 平面PBD （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4PQ PC =分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 MQ ∥CD ，14MQ CD =． (6)分在△BCD 中，易得60CDB ︒∠=，所以 30ADB ︒∠=．又 2=BD ， 所以1AB =，AD =又因为 AB ∥CD ，CD AB 41=，所以 AB ∥MQ ，AB MQ =．所以四边形ABQM 为平行四边形，所以 AM ∥BQ ．………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， 所以直线AM ∥平面PBC ．………………9分（Ⅲ）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ． 设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ．…11分所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有||34||||AM BN AM BN ⋅=， ………………12分 所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ．………………13分故点N 位于D 点处，此时4CN =；或CD 中点处，此时2CN =，有AM 与BN 所成角的余弦值为43．…14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP所以 点M 的坐标为2(5由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=7…5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<．①………………6分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．…7分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．②…8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x xm x +=-．………………10分所以00111622(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当 02x =-时，上式等号成立．所以 m 的取值范围是1(0,24-．…13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即6350x y +-=．4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 11x =，或21x =．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1+． …8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-．………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． (11)分因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．………………12分 ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分 综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5．………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n na a '=，11n n a a --'=，，11k k a a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠．………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a '''的生成列也不同．………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-．………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 22k b =-≥．………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n =，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-=，创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换 后，一定会使各项的满意指数均为非负数．………………13分创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01。
2020上海金山高三二模数学
上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.集合{|03}A x x ，{|||2}B x x ，则A B 2.函数12y x的定义域是3.i 是虚数单位，则i||1i的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ，若该线性方程组的解为12，则实数a 5.已知函数21()11x f x ，则1(0)f6.已知双曲线2221x y a(0)a 的一条渐近线方程为20x y ，则实数a7.已知函数1()lg sin 11xf x x x，若()4f m ，则()f m8.数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n，n *N ，前n 项和为n S ，则lim n n S9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示）10.若点集22{(,)|1}A x y x y ，{(,)|22,11}B x y x y ，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量i a (1,2,,)i n 按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a，已知向量列{}i a 满足1(1,1)a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y (2)n ，设n 表示向量1n a 与n a 夹角，若2n n n b，对任意正整数n ，log (12)a a恒成立，则实数a 的取值范围是12.设n *N ，n a 为(2)(1)n n x x 的展开式的各项系数之和，162m t ，t R ，1222[][][]333n n n na a ab （[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ，2222:l a x b y c 0 ，那么“11220a b a b ”是“两直线1l 、2l 平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的 面积是（ ）A.22B.12C. 2D. 115.在正方体1111ABCD A B C D 中，下列结论错误的是（）A. 221111111()3A A A D A B A B B. 1111()0A C A B A AC. 向量1AD 与1A B的夹角是120°D. 正方体1111ABCD A B C D 的体积为1||AB AA AD16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x 为偶函数，当[0,1]x 时，()f x 若函数()()g x f x x m 有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A. 11(,)44B. (11)C. 11(4,4)44k k (Z k )D. (411)k k (Z k )三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，PA 底面ABCD ，1PA ，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6.（1）求四棱锥P ABCD 的体积； （2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18.已知函数2()2cos 2xf x x . （1）求函数()f x 在区间[0,] 上的单调递增区间； （2）当11()5f，且236 ，求sin(23的值. 19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n ，8点30分作为第2个计算单位，即2n ，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f(21)(22)f f 和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g ；（2）请问，从12点（即16n ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20.已知动直线l 与椭圆22:12y C x 交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ 的面积2OPQ S ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x 和2212y y 均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ，对任意的0n n （*N n ），都有n k n a a d （d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a ，22a ，33a ，求234a a a 的值； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ，i j ，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i.参考答案一. 填空题1.(0,2)2.(0,)3.24.25.06.127.28.749.11410.20 11. 1(0,)312.95二. 选择题 13.B 14.C15.D16.C三. 解答题17.（1）1；（2）arccos7. 18.（1）[0,3 ；（2）2425.19.（1）14738，12800；（2）13点30分.20.（1）2x；（2）1，2；（3）不存在. 21.（1）6；（2）不具有；（3）略.。
2020届上海市青浦区高三二模数学试题(解析版)
2020届上海市青浦区高三二模数学试题一、单选题1．已知,a b ∈R ，则“0b ≥”是“20a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0b ≥时，一定有20a b +≥，而20a b +≥时，不一定有0b ≥，从而可得结论 【详解】解：因为20a ≥，0b ≥，所以20a b +≥，当20a b +≥时，若2,3a b ==-满足条件，但0b ≥不成立， 所以“0b ≥”是“20a b +≥”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题2．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数. 【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a =，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112b =，公比为12的等比数列.设n S 是前n 天两只老鼠打洞长度的和.第1天，1111131,,1222a b S ===+=；第2天，222131152,,24244a b S ===++=； 第3天，3331151634,,48488a b S ===++=；第4天，4418,16a b ==，4S 显然大于8.所以两鼠相逢需要的最少天数为4天. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2)n n Ω=，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ上时x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →∞=（ ） A．2 B ．4C ．3D．【答案】D【解析】通过221441x nyn +=+的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），可得：()2cos x y θθθϕ+=+=+，从而max ()x y +=，求极限即可得解. 【详解】椭圆221441x ny n +=+的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） ，所以：()()2cos x y θθθϕθϕ+=++=+，所以：max ()x y +=，所以：lim lim n n n M →∞==故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.4．已知函数()sin 2sin f x x x =+，关于x 的方程2()()10f x a f x --=有以下结论：①当0a ≥时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，最多有3个不等实根； ②当6409a ≤<时，方程()()210f x a f x --=在[0]2π，内有两个不等实根； ③若方程()()210f x a f x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π； ④若方程()()210fx a f x --=在[]0,6π根的个数为偶数，则所有根之和为36π．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②④ B ．①④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】先研究()f x 在[0，2]π内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10f x a f x --=两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．【详解】由已知得3sin ,[0,]()sin 2|sin |sin ,(,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，做出图象如下：由2()()10f x a x -=得：()4a a f x ++=4a a -+ 令1244a a a a t t ++-+=0a ，11t ∴，20t <（舍)． 原方程的根看成1y t =与()y f x =的交点的横坐标． 对于①，如图所示：因为11t ，当0a =时，11t =，y t =与()y f x =恰好有三个交点；当0a >时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；对于②，结合①可知，0a =时，有3个根，故②错误；对于③，如图所示，由题意，只能满足：1y t =只与()y f x =在[0，]π，[2π，3]π，[4π，5]π上的图象各有两个交点．易知这六个零点分别关于59,,222x x x πππ===对称，所以六个根的和为：5922215222ππππ⨯+⨯+⨯=． 故③正确，④错误． 故正确命题的序号是①③． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．二、填空题5．已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合UA_____________．【答案】[2)+∞，【解析】直接利用补集的定义求解即可 【详解】解：因为全集U =R ，集合(,2)A =-∞， 所以UA [2)+∞，，故答案为：[2)+∞，【点睛】此题考查集合的补集运算，属于基础题6．已知i 为虚数单位，复数2z i =+的共轭复数z =______________． 【答案】2i -【解析】根据定义直接得到共轭复数即可. 【详解】根据共轭复数的定义得：2z i =-. 故答案为：2i -. 【点睛】本题考查共轭复数的概念，是基础题. 7．已知函数()11f x x=+，则方程()12f x -=的解x =_____________． 【答案】32【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()2f x -=的x 值，即求(2)f 的值．【详解】 解：13(2)122f =+=， 所以32x =. 故答案为：32.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，基础题.8．若()51ax +的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 【答案】2【解析】【详解】试题分析：由题意3x 的系数是，解得.【考点】二项式定理的应用.9．双曲线2214x y -=一个焦点到一条渐近线的距离为______【答案】1【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】根据对称性，2214x y -=焦点坐标5),0F ，渐近线方程为12y x =，即20x y -=， 25112=+.故答案为:1 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.10．用一平面去截球所得截面的面积为23cm π，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是___________2cm ． 【答案】16π【解析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积 【详解】解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm π， 3cm ， 因为球心到该截面的距离为1cm ， 221(3)2+=cm ， 所以球的表面积为24216S ππ=⨯=2cm ， 故答案为：16π【点睛】此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题 11．已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________． 【答案】322+【解析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()3322y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即2x =时，取“=”)．又∵21x y +=，∴2121x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当21x =，212y =-时，11x y +有最小值，为322+．故答案为：322+ 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题. 12．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得221cos a b a bα⋅==-⨯⋅=因为0απ≤≤ 所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.13．设5{}13a ∈，，，6{}24b ∈，，，则函数()1b af x log x=是减函数的概率为_____________． 【答案】23【解析】由复合函数的单调性推出1ba>，即可利用古典概型概率公式进行计算. 【详解】{1,3,5},{2,4,6}a b ∈∈，∴基本事件总数339n =⨯=，函数()1baf x log x =是减函数，且函数1y x=在()(),0,0,-∞+∞上单调递减， 1ba ∴>，则函数()1b af x log x =是减函数包含的基本事件(),a b 有：(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6个，∴函数()1baf x log x =是减函数的概率为6293=. 故答案为：23【点睛】本题考查古典概型，涉及对数函数的单调性、复合函数的单调性，属于基础题.14．已知函数()f x =0x 满足()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】14a ≤【解析】判断()y f x =在定义域内递增，结合条件可得()y f x =的图象与直线y x =有x =有解，运用参数分离和二次函数的值域求法，可得所求范围． 【详解】函数()f x =[a ，)+∞递增，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，可得()y f x =的图象与直线y x =有交点，x =有解．(0)x x =，可得2x a x -=，即有2211()24a x x x =-=--+，而211()24y x =--+在[0，1)2递增，1(2，)+∞递减，可得211()24y x =--+的最大值为14，此时12x =，则14a，即a 的取值范围是(-∞，1]4．故答案为：14a ≤. 【点睛】本题考查方程存在性问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及二次函数的图象和性质，考查运算能力和推理能力．15．已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的斜率，则ABC 的三个顶点的横坐标之和为_____________．【答案】10-【解析】设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则可得ABka b =+，BC k b c =+，AC k a c =+，不妨设AB k ，且直线AB 的倾斜角为α，可得tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭算出答案即可. 【详解】 设点()()()222,,,,,A a aB b bC c c ，则22ABa b k a b a b -==+-，22BC b c k b c b c -==+-，22AC a c k a c a c-==+-不妨设AB k =AB 的倾斜角为α 因为ABC ∆是等边三角形，所以tan ,tan 33BC AC k k ππαα⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()11tan tan 2233AB BC AC a b c k k k ππαα⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭tan tantan tan1133221tan tan 1tan tan 33ππααππαα+-=⋅+⋅=-+故答案为：10- 【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题. 16．定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当*(0,]()x n n N ∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =_____________． 【答案】(1)2n n + 【解析】根据{}x 的定义，依次求出数列{}n a 的前5项，再归纳出1n n a a n -=+，利用累加法求出n a 即可 【详解】解：由题意得，当1n =时，由于(0,1]x ∈，所以{}1x =，所以{{}}1x x =， 则11{1},1A a ==，当2n =时，由于(1,2]x ∈，所以{}2x =，所以{{}}(2,4]x x ∈， 则22{1,3,4},3A a ==，当3n =时，由于(2,3]x ∈，所以{}3x =，所以{{}}(6,9]x x ∈， 则33{1,3,4,7,8,9},6A a ==，当4n =时，由于(3,4]x ∈，所以{}4x =，所以{{}}(12,16]x x ∈， 则44{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},10A a ==，以此类推，得1n n a a n -=+， 利用累加法得，(1)2n n n a +=， 故答案为：(1)2n n + 【点睛】此题考查了新定义，递推关系，累加求和的方法，考查推理能力与计算能力，属于较难题三、解答题17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=︒（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小； （2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小． 【答案】（1）6arctan（2）2． 【解析】（1）由1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足，得1ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，由此能求出1A C与平面ABCD所成的角的大小.（2）由11AC AC∥，得1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，由此能求出异面直线1B C与11A C所成角的大小.【详解】解：（1）设1AB=，∵在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，160B AB∠=︒，∴12AB=，13BB=22112AC=+=，∵1A A⊥平面ABCD，A是垂足，∴1ACA∠是1A C与平面ABCD所成的角，∵1136tan22AAACAAC∠===∴16arctan2ACA∠=.∴1A C与平面ABCD所成的角的大小为6arctan（2）如图所示：连接AC，∵11AC AC∥，∴1B CA∠是异面直线1B C与11A C所成角，∵112AB B C==，2AC=∴22211112cos24222B C AC ABB CAB C AC+-∠===⋅⨯⨯，∴12arccos4B CA∠=.∴异面直线1B C与11A C所成角的大小为2.【点睛】考查线线角和线面角的求法，中档题.18．已知函数()22sin sin 3x f x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （1）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若存在05012x π⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦，，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）12π；（2）(,2][1,)m ∈-∞-⋃+∞．【解析】（1）用三角函数的降幂公式、辅助角公式将()y f x =化简，得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的对称轴可得到答案；（2）由02()m f x =，结合0x 得到01sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，再求0()f x 、m 的范围． 【详解】 （1）()22sin sin cos 3f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin sin cos x x x x x =++()22sin cos x x x x =)222sin cos cos sin x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()232a k k Z πππ+=+∈，,212k a k Z ππ∴=+∈ 又0a >∴a 的最小值为12π（2）()()0002120sin 23mf x m f x x π-=⇒==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 00570,,212336x x ππππ⎡⎤∈≤+≤⎢⎥⎣⎦01sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 则(][),21,m ∈-∞-⋃+∞【点睛】本题主要考查用三角函数公式进行化简、正弦型三角函数的图象和性质.19．常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t ≤≤，N t ∈．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t .⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）1040；（2）120【解析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值． 【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，N t ∈，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=， ∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ⎧⎧-++≤<--≤<⎪==⎨⎨≤≤≤≤⎪⎩⎩， ∴()()261200101061040p =-⨯-=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ⎧⎧-++-⎛⎫-+≤<⎪ ⎪-≤<⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎨⎪⎪-≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，①当210t ≤<时，36840608406012120Q t t ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当6t =时等号成立；②当1020t ≤≤时，7200336036038436024Q t-=-≤-=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk +为定值，并求出这个定值； （3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点()0M m ，，求m 的取值范围． 【答案】（1）2214x y +=；（2）12118kk kk +=-，证明见解析；（3）3322-<<m ． 【解析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立，由直线与椭圆有且仅有一个交点可得判别式为0，可得k 与P 的横纵坐标的关系，再由P 在椭圆上得横纵坐标的关系，求出直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k 与P 的坐标的关系，进而可得1211kk kk +为定值8-；（3）设P 的坐标，由（1）可得焦点1F ，2F 的坐标，求出直线1PF ，2PF 的方程，由角平分线的性质，M 到两条直线的距离相等，及点到直线的距离公式，可得m 与P 的横坐标的关系，再由P 在椭圆上可得P 的横坐标的取值范围求出m 的范围． 【详解】（1）由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y a b+=，得2by a =±．由题意知221b a=，即22a b =．又12b a =，222a bc =+，所以2a =，1b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设0(P x ，00)(0)y y ≠，则直线l 的方程为00()y y k x x -=-． 联立得220014()x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，整理得222222000000(14)8()4(21)0k x ky k x x y kx y k x ++-+-+-= 由题意得△0=，即2220000(4)210x k x y k y -++-=．又220014x y +=，所以22200001680y k x y k x ++=，故004x k y =-．又知00012000211x x x k k y y y ++=+=， 所以001212004211111()()8y x kk kk k k k x y +=+=-=-，因此1211kk kk +为定值，这个定值为8-． （3）设0(P x ，00)(0)yy ≠，又1(F ，2F ，所以直线1PF ，2PF的方程分别为1000:(0PF l y x x y -=，2000:(0PF l y x x y -=．=．由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=．=．因为m <<，022x -<<=所以034=m x ， 因此3322-<<m ．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系及综合，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21．对于无穷数列*{},{},n n a b n N ∈，若{}1212max{,,,min ,,,}k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中1212max{,,}min{,,}k k a a a a a a 、分别表示12k a a a ，，…，中的最大项和最小项，已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列” （1）若31,n a n =-求数列{}n b 的前n 项和； （2）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ． 【答案】（1）3(1)2n n -；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列{}n a 的通项公式为1212n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n ∈N ．【解析】（1）根据{}n a 为递增数列以及收缩数列的定义可得结果； （2）根据12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥以及不等式的性质可得1n n b b +≤，再根据收缩数列的定义可得结果； （3）在()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=中，令1,2,3n n n ===可得321a a a =≥，猜测12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解. 【详解】（1）由31,n a n =-可得{}n a 为递增数列， 所以1212max{,,,}min{,,,}n n n b a a a a a a =-131233n a a n n =-=--=-，所以12(033)3(1)22n n n n n b b b +--+++==. （2）因为12121max{,,,}max{,,,}n n a a a a a a +≤，12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +≥，所以12121min{,,,}min{,,,}n n a a a a a a +-≤-所以1212121121max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≤-，所以1n n b b +≤，又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b . （3）由()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，可知当1n =时，11a a =，当2n =时，121223a a a b +=+，则221b a a =-，因为210b b ≥=，所以21a a ≥， 当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（）可得32133()a a a a -=-，即32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤相矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，所以由（）可得32a a =，符合， 猜想，满足()()()121111,2,322n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈，经验证左边121212(1)(1231)2n n n S S S na n a na a -=+++=+++++-=+， 右边1121(1)(1)(1)(1)()2222n n n n n n n n n a b a a a +-+-=+=+-12(1)2n n na a -=+， 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件， 由上述3n ≤的情况可知，3n ≤时是成立的， 假设k a 是首次不符合12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得121(1)(1)(1222)22k k k k k k ka k k a a a b +-++++-+-+=+， 即21212(1)(1)222k k k k k k k k ka a a a b --+-++=+（）， 若12k a a a ≤<，则21k b a a =-，所以由（）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾， 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（）式化简可得21(1)()2k k k k a a a a --=-，所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾，若21k a a a >≥，则1k k b a a =-，所以由（）化简可得2k a a =，这与21k a a a >≥矛盾， 所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，所以所有满足条件的数列{}n a 的通项公式为12,1,2n a n a a n =⎧=⎨≥⎩，21a a ≥，*n N ∈.【点睛】本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.。
2020届上海市闵行区高三二模数学试题(解析版)
2020届上海市闵行区高三二模数学试题一、单选题1．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k==，在1到20中抽到的是7，则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.3．已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M ．N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） A ．2- B ．12-C ．1D ．1-【答案】D【解析】设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立，由1EM MF λ=，2EN NF λ=，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案.【详解】解：根据条件可得F （1，0），则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以E （0，﹣k ），联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0， 则x 1+x 2＝2224k k +，x 1x 2＝1，因为1EM MF λ=，2EN NF λ=， 所以λ1（1﹣x 1）＝x 1，λ2（1﹣x 2）＝x 2，即有λ1＝111x x -，λ2＝221x x -，所以()221212122122112221242212411111k x x x x x x k x x x x x x k kλλ+-+-=+===-+---++-++. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.4．关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1-C ．()0,1D ．(){}0,11-【答案】D【解析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， （1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =， 解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D. 【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题5．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B = __________.【答案】{5,7}【解析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤ {5,7}A B =.故答案为:{5,7}. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.6．已知复数z 满足1i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =__________．【答案】1-【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：由1i z i ⋅=+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴Im 1z =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.7．若直线10ax by ++=的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为__________． 【答案】4π【解析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】解：∵直线10ax by ++=的方向向量为()1,1， ∴直线的斜率为1， ∴直线的倾斜角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题.8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =__________． 【答案】6【解析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，31212,2S S S a =+=，3232222d d ∴⨯+=⨯+⨯+，解得1d =.则5246a =+=. 故答案为：6.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 9．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_． 【答案】50π【解析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论. 【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯ ∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯ 故答案为50π 【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.10．81x ⎫⎪⎭二项展开式的常数项为________.【答案】28【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项公式，求出展开式的常数项．【详解】解：81x ⎫⎪⎭展开式的通项为()848318811rrrr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r-=，解得2r ，所以常数项为()22038128T C x =-=故答案为：28 【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题．11．若x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，则3x y +的最大值为__________． 【答案】5【解析】画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值. 【详解】解：由x 、y 满足|1|x y <+，且1y ≤，画出可行域如图所示，11y x y =⎧⎨=+⎩可得A （2，1）， 则目标函数3z x y =+在点A （2，1）取得最大值， 代入得35x y +=，故3x y +的最大值为5. 故答案为：5.【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键.12．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为__________．（结果用最简分数表示） 【答案】128【解析】先求出基本事件总数3984n C ==，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有4个，由此能求出此数列为等比数列的概率. 【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，基本事件总数3984n C ==，此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个， ∴此数列为等比数列的概率为318428P ==. 故答案为：128. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 13．已知直线1:l y x =，斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，…，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、…、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=__________．【答案】1aq- 【解析】先由题设条件得出点123,,B B B 的坐标，根据它们之间的关系求出点n B 的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出lim n n x →∞. 【详解】解：∵斜率为()01q q <<的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()00,B a ，直线1:l y x =，∴A 1（a ，a ）.∵A 1B 0∥x 轴，∴B 1（a ，aq +a ），A 2（aq +a ，aq +a ）. ∵B 1A 2∥x 轴，∴B 2（aq +a ，aq 2+aq +a ）. 同理可得：A 3（aq 2+aq +a ，aq 2+aq +a ）， B 3（aq 2+aq +a ，aq 3+aq 2+aq +a ），…，B n （aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ，aq n +aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a ）， ∵x n 为点B n 的横坐标，∴x n ＝aq n ﹣1+aq n ﹣2+aq n ﹣3+…aq 2+aq +a .故x n 是首项为a ，公比为q （0＜q ＜1）的等比数列的前n 项的和， 由数列极限的运算性质得：lim 1n n ax q→∞=-. 故答案为：1a q-.【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题. 14．已知()2f x +是定义在R 上的偶函数，当12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()131(12)x f f +-+<的解集为__________．【答案】()1,+∞【解析】根据题意可得出()2f x +在[)0,+∞上单调递减，且()1312(102)x f f +-+<+-，从而根据原不等式即可得出13110x +-->，解出x 的范围即可. 【详解】解：∵12[2,,)x x ∈+∞，且12x x ≠时，()()12120x x f x f x -<-， ∴()f x 在[)2,+∞上单调递减， ∴()2f x +在[)0,+∞上单调递减， ∴由()131(12)x f f +-+<得()1312(102)x f f +-+<+-，∴13110x +-->，解得1x >，∴原不等式的解集为()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题.15．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅的取值范围为__________． 【答案】1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】建系，设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），利用不等式，考虑极限情况求范围. 【详解】 解：建系如图，M （1，0），N （1，1），P （0，1），设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），其中a ，p ，q ，r ，s ∈[0，1]，(,)(,)()()(10)(10)112AB AC p a q r a s p a r a qs ⋅=-⋅-=--+≤-⨯-+⨯=，当且仅当10p r q s a ====⎧⎨=⎩或10a q s p r ===⎧⎨==⎩时,等号成立；(,)(,)()()()()0()()AB AC p a q r a s p a r a qs p a r a a p r a ⋅=-⋅-=--+≥--+=---2124p r -⎛⎫≥-≥- ⎪⎝⎭， 当且仅当10a p r a p r qs -=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即12100a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩或12010a p r qs ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎩时，等号成立.故答案为：1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16．已知函数()sin cos 4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为__________．【答案】1 【解析】讨论0＜x ≤2π时与2π＜x ＜π时函数解析式，令k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案. 【详解】 解：（1）当0＜x ≤2π时，设k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x +cos x sin （x +4π），则t ∈[1]，k ＝t ﹣2（t 2﹣1）＝﹣2t 2+ t +2，t ∈[1]为单调函数， 则可知当t ＝1时，即k ＝1时，一解；当t 时，即k 2时，一解；当1＜t ﹣2＜k ＜1时两解； （2）当2π＜x ＜π时，设k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x sin （x ﹣4π），则t ∈（1]，k ＝t +2（t 2﹣1），t ∈（1]也为单调函数，则可知当1＜t 时，即1＜k ＜时两解，当t 时，即k 2+时一解，综上：k ＝1或k ﹣2或k 2+，故所有k 的和为1.故答案为：1. 【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，1AA =M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =．（1）若3h =111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11A C 所成的角为60︒，求h 的值． 【答案】（1103；（2）2 【解析】（1）多面体111ABM A B C -的体积为111ABC A B C M ABC V V V --=-，由此能求出结果； （2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h 的值. 【详解】解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，123AA =M 是侧棱C 1C 上一点，设MC ＝3h =∴多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积为：111ABC A B C M ABC V V V --=-＝112AB BC AA ⨯⨯⨯﹣1132AB BC MC ⨯⨯⨯⨯ ＝1112223223232⨯⨯⨯⨯⨯⨯103. （2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （0，0，0），M （2，0，h ），A 1（0，2，3），C 1（2，0，3， BM ＝（2，0，h ），11AC ＝（2，﹣2，0）， ∵异面直线BM 与A 1C 1所成的角为60°，∴cos60°＝1111||||||BM AC BM AC ⋅⋅＝2448h +⋅， 由h ＞0，解得h ＝2.【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 18．已知函2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=+>．（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;（2）当1ω=时，设ABC 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且27a =6b =，求ABC 的面积． 【答案】（1）12ω=；（2）3363【解析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f （x 3（2ωx +3π）+32，根据f （x ）的最小正周期为2π，可得ω. （2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭3（2×23A π+）+32＝3，解得A ，利用余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，解得c ，即可得出△ABC 的面积S . 【详解】解：（1）函数2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=+>.∴f （x ）＝3×1cos 2322x x ωω++3sin （2ωx +3π）+32， 当f （x ）的最小正周期为2π时，22πω＝2π，解得ω＝12；（2）当ω＝1时，32A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴3sin （2×23A π+）+32＝3，又A 为三角形的内角， 解得A ＝3π. 且27,6a b ==，由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴c 2﹣6c +8＝0， 解得c ＝2或4. ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝33或63. 【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米()0100x <<，A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为()0.5100x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．（1）求函数()f x 的解析式;（2）若规划仓库使用的年限为*()n n ∈N ，()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义．【答案】（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x=-；（2）504005n n +，见解析【解析】（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x xk x x⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1与k 2的值，则函数解析式可求；（2）求出g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，然后分段写出H （x ），求导后再对n 分类求解H （x ）的最小值，并解释其实际意义. 【详解】解：（1）由题意，设f （x ）＝12,050,50100100k x xk x x ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩，由f （50）＝2000，求得k 1＝k 2＝100000.∴f （x ）＝100000,050100000,50100100x xx x ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<<⎪-⎩；（2）g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50， 若0＜x ≤50，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250nx n x++， H ′（x ）＝222100000nx x -，由H ′（x ）＝0，得x ＝若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）在（0，50]上单调递减，H （x ）min ＝H （50）＝2000+150n ； 若n ∈N 且n ＞20，则H （x ）在（0，50）单调递增，∴min ()50H x n =+；若50＜x ＜100，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）＝100000250100nx n x++-，H ′（x ）＝21000002(100)n x +-＞0，H （x ）在（50，100）上单调递增， 若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）＞2000+150n ； 若n ∈N 且n ＞20，则H （x ）＞50n+综上，若n ∈N 且n ≤20，则H （x ）min ＝2000+150n ；若n ∈N 且n ＞20，则min ()504005H x n n =+.实际意义：建造储备仓库并使用n 年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值. 【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.20．在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【解析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°； （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标； （3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b -=+，直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目. 21．已知数列{}n x ，若对任意*n ∈N ，都有212n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”．（1）试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*n a ∈N ，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{}lg n x 为“差增数列”，*2),00(2n n ≤∈N ，且122020lg lg lg 0x x x +++=，证明:10101011 1x x <．【答案】（1）是；见解析（2）*,17{2|}190m m m ∈≤≤N ；（3）见解析 【解析】（1）数列()2*n a n n =∈N 是“差增数列”.由新定义可知，只要证明22n n a a ++＞a n +1即可；（2）由新定义可得对任意的n ∈N ，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立，可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得a n ，由于1≤n ≤19，结合条件可得m 的取值集合；（3）运用反证法证明，假设x 1010x 1011≥1，由题意可得x 1x 2…x 2020＝1，1n n x x +＜21n n x x ++，运用不等式的性质推得x 1009x 1012＞1，即可得到矛盾，进而得证. 【详解】解：（1）数列()2*n a nn =∈N 是“差增数列”.因为任意的n ∈N ，都有a n +a n +2＝n 2+（n +2）2＝2n 2+4n +4＝2（n +1）2+2＞2（n +1）2＝2a n +1，即22n n a a ++＞a n +1成立， 所以数列()2*n a nn =∈N 是“差增数列”；（2）由已知，对任意的n ∈N ，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立. 可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），则b n ∈N ，且b n ＜b n +1，又a n ＝m ，要使项数k 达到最大，且最大值为20时，必须b n （1≤n ≤18）最小. 而b 1＝0，故b 2＝1，b 3＝2，…，b n ＝n ﹣1. 所以a n ﹣a 1＝b 1+b 2+…+b n ﹣1＝0+1+2+…+（n ﹣2）＝12（n ﹣1）（n ﹣2）， 即当1≤n ≤19时，a n ＝1+(1)(2)2n n --，a 19＝154，因为k 的最大值为20，所以18≤a 20﹣a 19＜18+19，即18≤m ﹣154＜18+19， 所以m 的所有可能取值的集合为{m |172≤m ＜191，m ∈N}.（3）证明：（反证法）假设x 1010x 1011≥1.由已知可得x n （n ＝1，2，…，2020）均为正数，且x 1x 2…x 2020＝1，1n n x x +＜21n n x x ++. 而由1n n x x +＜21n n x x ++可得10101009x x ＜10111010x x ＜10121011x x ， 即x 1010x 1011＜x 1009x 1012，所以x 1009x 1012＞1.又10101008x x ＝10101009x x •10091008x x ＜10121011x x •10131012x x ＝10131011x x ，即x 1008x 1013＞1，同理可证x 1007x 1014＞1，…，x 1x 2020＞1， 因此x 1x 2…x 2020＞1，这与已知矛盾， 所以x 1010x 1011＜1. 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。