第三章图像变换

y
y
y
N-1 f(x,y)
N-1 列变换
乘以N
F(x,v)
x
(0,0)
N-1
(0,0)
N-1
N-1
行变换
F(u,v)
x
x
(0,0)
N-1
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2) 平移性质
傅立叶变换对的平移性质可表示为：
若：
f (x, y) ⇔ F(u,v)
则有：
f ( x, y)exp[ j2π (u0 x + v0 y) / N ] ⇔ F (u − u0 ,v − v0 )
af (x, y) ⇔ aF (u,v)
f (ax,by) ⇔ 1 F⎜⎛ u , v ⎟⎞ | ab | ⎝ a b ⎠
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7) 平均值
对一个2D函数，其平均值可用下式表示：
∑ ∑ f
(x, y)
=
1 N2
N −1 x=0
N −1
f (x, y)
y=0
如 =
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3) 周期性
傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v) = F(u + N,v) = F(u,v + N ) = F(u + N,v + N )
尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但 只需要根据一个周期的N个值就可以从F(u,v)得 到f(x,y)。
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4) 旋转性质
首 先 借 助 极 坐 标 变 换 x=rcosθ, y=rsinθ, u=wcosφ, v=wsinφ, 将f(x,y)和F(u,v)转换为f(r, θ)和F(w,φ)，将它们带入傅立叶变换可得：
第三章 图像变换
本章主要内容： • 离散傅立叶变换DFT • 快速傅立叶变换FFT • 离散余弦变换DCT
1
1. DFT(离散傅立叶变换)
1.1 一维离散傅立叶变换
对一个连续函数等间隔采样可得到一个 离散序列。假设：共有N个采样点，则这个 离散序列可以表示为：
{f (0), f (1), f (2),• • •, f (N − 1) )
1
N −1 N −1
f (x, y)
N x=0 y=0
比较以上2式可得：
f (x, y) = 1 F(0,0) N
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8) 卷积
两 个 1 维 离 散 函 数 f(x)(x=0,1,…,A-1) 和 g(x)(x=0,1,…,B-1)的卷积定义为：
+∞
f (x) ∗ g(x) = ∑ f (m)g(x − m) m=−∞
Φ(u) = arctan[I (u) R(u)] 称为相位角。
频谱的平方称为f(x)的功率谱或频谱密度，记为
P(u):
P(u) = F (u) 2 = R2 (u) + I 2 (u)
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1.2 二维离散傅立叶变换
正方形网格采样得到的图像的2维傅立叶变换
为：
∑ ∑ F (u, v) =
1
N −1 N −1
可以看出，2－D傅立叶变换可由连续两次
1－D傅立叶变换来实现。
令
∑ F (x, v)
=
N
⎡ ⎢ ⎣
1 N
N −1 y=0
f
(x,
y) exp[−
j2πvy
/
⎤ N ]⎥
⎦
v=0,1,…,N-1
F (u, v)
=
1 N
∑ F(x,v) exp[−
j2πux /
N]
u=0,1,…,N-1
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1) 可分离的性质：
这时，可将该序列的傅立叶变换对定义为：
2
1.1 一维离散傅立叶变换
正变换:
∑ F (u) =
1
N −1
f (x) exp[−
j2πux / N ]
N x=0
u=0,1,…,N-1
逆变换：
N −1
f (x) = ∑ F (u) exp[ j2πux / N ] u=0 x=0,1,…,N-1
3
1.1 一维离散傅立叶变换
f(x,y)与F(u,v)形成傅立叶变换对，即：
f (x, y) ⇔ F(u, v)
频谱：
[ ] F(u,ν )
=
R
2
(u,ν
)
+
I
2
(u,ν
)
1 2
相位角：Φ(u,ν ) = arctan[I (u,ν ) R(u,ν )]
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1.3 二维傅立叶变换的性质
1) 可分离的性质：
∑ ∑ F (u, v) =
在DFT变换中，f(x) 总是实函数，而F(u)是 复函数，我们可以把它写成：
F(u) = R(u) + jI (u)
4
1.1 一维离散傅立叶变换
或者写成极坐标的形式： F (u) = F (u) exp[ jΦ(u)]
其中：幅度函数
[ ] F(u)
=
R
2
(u
)
+
I
2
(u
)
1 2
称为f(x)的傅立叶频谱
f (x, y) exp[− j2π (ux + vy) / N )
N x=0 y=0
u,v=0,1,…,N-1
∑ ∑ f (x, y) =
1
N −1 N −1
F (u, v) exp[ j2π (ux + vy) / N )
N u=0 v=0
x,y=0,1,…,N-1
6
1.2 二维离散傅立叶变换
1
N −1 N −1
f (x, y) exp[− j2π (ux + vy) / N )
N x=0 y=0
可以写成如下分离形式：
∑ ∑ F(u, v)
=
1 N
N −1 x=0
exp
⎡ ⎢⎣
−
j2πux ⎤N −1
N ⎥⎦ y=0
f
( x,
y) exp⎢⎣⎡ −
j2πvy) ⎤
N ⎥⎦
8
1) 可分离的性质：
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8) 卷积
例：如有两个函数
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u,v)exp[− j2π (ux0 ,vy0 ) / N ]
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2) 平移性质
上式表明： （1）将f(x,y)与一个指数项相乘相当于把其变换
后的频域中心移动到新的位置； （2）将F(u,v)与一个指数项相乘相当于把其反变
换后的空域中心移动到新的位置； （3）f(x,y)的平移不影响其傅立叶变换的幅值。
f (r,θ +θ0 ) ⇔ F (w,φ +θ0 )
上式表明，对f(x,y)旋转 θ0对应于将其傅 立 叶 变 换 F(u,v) 也 旋 转 θ0 ； 类 似 对 F(u,v) 旋 转 θ0对应于将其傅立叶反变换f(x,y)也旋转θ0。
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5) 分配率
根据傅立叶变换对的定义可以得到加法满足 分配率：
F{ f1( x, y) + f2 ( x, y)} = F{ f1( x, y)} + F{ f2 ( x, y)}
但乘法不一定满足：
F{ f1( x, y) × f2 ( x, y)} ≠ F{ f1( x, y)}× F{ f2 ( x, y)}
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6) 尺度变换（缩放）
给定两个标量a和b，可以证明傅立叶变换 以下2式成立：