高中数学必修五导学案-第二课时 等比数列的性质
高中数学必修5北师大版 等比数列 第2课时 等比数列的性质 作业(含答案)
学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 3·a 5＝4，则a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝( )【导学号：47172072】A ．64B ．128C ．256D ．512【解析】 a 3·a 5＝a 1·a 7＝a 2·a 6＝a 24＝4，∵a n ＞0，∴a 4＝2，∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝(a 24)3·a 4＝a 74＝27＝128.【答案】 B2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝16.【答案】 D3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0， 则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎨⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.【答案】 D4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，则下面说法中不正确的是( )【导学号：47172073】A ．{a n ＋2＋a n }是等比数列B ．对于k ∈N *，k ＞1，a k －1＋a k ＋1≠2a kC ．对于n ∈N *，都有a n a n ＋2＞0D ．若a 2＞a 1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n【解析】 对于A ，{a n ＋2＋a n }是公比为q 的等比数列，正确；对于B ，对于k ∈N *，k ＞1，a k －1＋a k ＋1＝a k q ＋a k q ， ∵q ≠1，∴a k －1＋a k ＋1≠2a k ，正确；对于C ，a n a n ＋2＝a 2n q 2＞0，正确；对于D ，若a 2＞a 1，q ＞1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，故不正确．故选D.【答案】 D5．在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( ) A ．3B.13 C ．3或13 D ．－3或－13【解析】 ∵a 5a 11＝a 3a 13＝3，又a 3＋a 13＝4，∴⎩⎨⎧ a 3＝1a 13＝3或⎩⎨⎧a 3＝3a 13＝1，又a 15a 5＝q 10＝a 13a 3，∴a 15a 5的值为3或13. 【答案】 C二、填空题6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c＝(5＋26)(5－26)＝1.又b >0，∴b ＝1.【答案】 17．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为________．【解析】 由a 27＝a 3a 9，d ＝－2，可得[a 1＋6×(－2)]2＝[a 1＋2×(－2)]·[a 1＋8×(－2)]，即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.【答案】 1108．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________.【解析】 ∵{a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1.设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53， ∴b n ＝b 1q n －1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1. 【答案】 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1 三、解答题9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：47172074】 【解】 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3，∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，∵a 22＝a 1·a 3，∴a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3， 解得q ＝4或14，。
高中数学必修五学案 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？ 答案 当S n ＝2n －1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2n ∈N *是等比数列； 当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2n ∈N *不是等比数列. 梳理 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1).即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列吗？答案 设{a n }的公比为q ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 都不为0， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n ， S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n＝q n (S 2n －S n )，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为q n . 梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列.(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *).(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋… －a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1).1.对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数.(√)2.当{a n }为等差数列，{b n }为公比不是1的等比数列时，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和，适用错位相减法.(√)类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{a n }为等比数列.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式， ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ， ∴数列{a n }是等比数列.反思与感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列. 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.类型二 等比数列前n 项和的性质 命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n ).考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ). ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q 2n)1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A.－3B.－13C.3D.13考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 A解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q (a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.反思与感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ++++…＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 答案 126 解析 11111112,n n n n n na a a a a ab b q q b b q+++---⋅===⋅Q∴{n a b }是首项为b 2，公比为2的等比数列.12662(12)126.12a a ab b b b -∴+++==-…类型三 错位相减法求和例4 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.考点 错位相减法求和 题点 错位相减法求和解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0). 考点 错位相减求和 题点 错位相减求和解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x，x ≠1且x ≠0.1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35D.37考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13B.－13C.12D.－12考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 答案 C解析 方法一 ∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2，∵{a n}是等比数列，∴n＝1时也应适合a n＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－16，解得x＝12.3.已知等差数列{a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c，等比数列{b n}的前n项和T n＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为()A.1B. 2C. 3D.无法确定考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案 A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于()A.24B.12C.18D.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案 B解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想人教版高中数学必修五11 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列.(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1).设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系. (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解.。
高一数学人教A版必修5学案：2.4 第2课时 等比数列的性质 【含解析】
第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点) 1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养．2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养．1．推广的等比数列的通项公式{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1，a n＝a m·q n－m(m，n∈N*).2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k．思考：如何推导a n＝a m q n－m?[提示]由a na m＝a1·q n－1a1·q m－1＝q n－m，∴a n＝a m·q n－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m·a n＝a2k．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝…＝a k·a n－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n}，{b n}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a2n}，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也为等比数列．思考：等比数列{a n }的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．[提示] 由定义可判断出(1)(3)(4)正确．1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列[答案] D2．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝ ，a n ＝ ． 24 3×2n －1 [a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.] 3．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝ ． 9 [因为a 7＝a 5q 2，所以q 2＝32. 所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.]4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为 ． 25 [因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25.]灵活设项求解等比数列【例1】 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为 ．8，－2，12，－18或－18，12，－2，8 [设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3.则a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q >0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q <0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18； 当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2，8.]巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.(2)若四个数成等比数列，可设为aq ，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3.[跟进训练]1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．[解] 由题意设此四个数为bq ，b ，bq ，a ，则有⎩⎨⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52．所以这四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.等比数列的性质及应用【例2】 已知{a n }为等比数列． (1){a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解． [解] (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[跟进训练]2．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7； (2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q . [解] (1)法一：⎩⎨⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.由递推公式转化为等比数列求通项 [探究问题]1．如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．2．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？[提示] 在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．3．在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？[提示] 先将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x ).将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n ＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加52，可构造出等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋52.利用等比数列求出a n ＋52即可求出a n .【例3】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n ＋n －4. (1)求a 1的值；(2)若b n ＝a n －1，试证明数列{b n }为等比数列． 思路探究：(1)由n ＝1代入S n ＝2a n ＋n －4求得；(2)先由S n ＝2a n ＋n －4，利用S n 和a n 的关系得{a n }的递推关系，然后构造出数列{a n －1}利用定义证明．[解] (1)因为S n ＝2a n ＋n －4，所以当n ＝1时，S 1＝2a 1＋1－4，解得a 1＝3. (2)证明：因为S n ＝2a n ＋n －4， 所以当n ≥2时， S n －1＝2a n －1＋(n －1)－4，S n －S n －1＝(2a n ＋n －4)－(2a n －1＋n －5)，即a n ＝2a n －1－1， 所以a n －1＝2(a n －1－1)， 又b n ＝a n －1，所以b n ＝2b n －1， 且b 1＝a 1－1＝2≠0，所以数列{b n }是以b 1＝2为首项，2为公比的等比数列．1．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2”，“b n ＝a n －1”改为“b n ＝a n ＋1－2a n ”，试证明数列{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式．[证明] a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝（4a n ＋1－4a n ）－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.所以数列{b n }是公比为2的等比数列， 首项为a 2－2a 1.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， 所以a 2＝5，所以b 1＝a 2－2a 1＝3. 所以b n ＝3·2n －1.2．将本例条件“S n ＝2a n ＋n －4”改为“a 1＝1，a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1”，试证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．[解] 由已知得a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0，所以(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0. 所以a n ＋1－2a n ＝0或a n ＋1＋a n ＝0，(1)当a n ＋1－2a n ＝0时，a n ＋1a n ＝2.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2n －1.(2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1a n ＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列，所以a n ＝1×(－1)n －1＝(－1)n －1. 综上：a n ＝2n －1或(－1)n －1.1．已知数列的前n 项和或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．2．由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法． 2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q >1时，{a n }为递增数列． ( ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (2)当a 1>0且q >1时{a n }为递增数列，故(2)错．2．在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 2 020－a 2 021a 2 018－a 2 019等于( )A ．3或－1B ．9或1C ．1D ．9D [由3a 1，12a 3，2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍). ∴a 2 020－a 2 021a 2 018－a 2 019＝a 2 020（1－q ）a 2 018（1－q ）＝a 2 020a 2 018＝q 2＝9.]3．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为 ．8 [设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c ，8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b >0，∴b ＝2(舍负).所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.]4．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ；(2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .[解] (1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6，∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1. (2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝±2.。
【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5
【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】 法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16； 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知． 探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？ 【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？ 【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)． 由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列． 【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52， 又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】 依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】 －74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】 由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】 －47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列． 【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb， 即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x， 即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列． 【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1， 代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时 等比数列的性质 Word版含解析
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21， 解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？ 解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。
人教版高中数学必修五导学案：2.4等比数列(2)
一、有关复习复习 1：等比数列的通项公式a n=. 公比 q 知足的条件是复习 2：等差数列有何性质？（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
2.(1)若 { a n } 为等比数列，公比为 q，则 { a2n}也是 ___________，公比为 ________.(2)若 { a n} 为等比数列，公比为 q(q≠－ 1),则{ a2n－1+a2n} 也是 _______，公比为(3)若{ a n} 、{ b n } 是等比数列，则 { a n b n} 也是_____________.(4)三个数 a、 b、 c 成等比数列的，则 _______◆ 典型例题例 1（１）在等比数列 { a n} 中，能否有 a2n＝a n-1 a n+1（ｎ≥２）？（２）假如数列 {a n中，关于随意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有2n＝a n-1n+1，}a a那么， { a n} 必定是等比数列吗？例 2.已知 { a n } 为等比数列且 a58 , a7 2 ，该数列的各项都为正数，求{ a n } 的通项公式。
例 3. 在等比数列｛ a n｝中，已知 a4a7＝－ 512， a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.变式：在等比数列 { a n } 中，已知 a7 a12 5 ，则 a8a9a10a11.例 4. 已知等差数列 { a n} 的公差 d≠0,且 a1，a3，a9成等比数列，则a1a3a9的a2a4a10值为 __________.例 5.数列 { a n} 知足 a1 1 ， a n 12a n1⑴求证 a n 1 是等比数列；⑵求数列 { a n} 的通项公式变式 1:在{ a n}中，a11a n，试求 { a n } 的通项 a n ， a n 1a n3◆ 着手试一试练 1．已知{ a n}是等比数列，且a n0 ，a2 a4 2a3a5 a4a6 25, 求 a3 a5练 2已知 { a n} 是等比数列且 a n0 ， a5a69 ，log3 a1log 3 a2log3 a10．三、学习小结1.等比中项定义；2.等比数列的性质 .◆ 知识拓展公比为1. 数列q 的等比数列，，拥有以下基天性质：，，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比 .2.若，则.当 m=1 时，便获得等比数列的通项公式 .3.若，，则.4.若各项为正， c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以 d 为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列 . 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.◆ 当堂检测1.在等比数列 { a n } 中，若 a2·a8 =36, a3＋ a7＝ 15，则公比 q 值的可能个数为 ()A.1B.2C.3D.42．在等比数列{a n} 中，已知a5 =－2,则这个数列的前9 项的乘积等于()A.512B.－512C.256D.－2563．公差不为 0() A.1 B.2 C.3 D.44.在等比数列 { a n } 中，a11,q=2,则 a4与 a8的等比中项是 () 8A.±4B.4C.±1D.1 445.三个数成等比数列 ,它的和为 14,它们的积为 64,求这三个数。
人教A版高中数学 必修五 2.4 第2课时 等比数列的性质(教案)
2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课 ［合作探究］ 师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？ 生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ， 则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？ 生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形； 结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师 上述性质有着广泛的应用. 师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积； （3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路： 证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。
等比数列性质学案
等比数列的性质导学案班级： 姓名： 学习目标：1）掌握等比数列的性质，能灵活利用性质做题。
2）掌握等比中项，能够应用等比中项的定义解决问题。
学习重点：理解并掌握等比数列的有关性质。
学习难点：熟练运用等比数列的性质解决问题。
一、温故知新：1、 等差中项：1）x ，A ，y 成等数差列，则2) 等差数列相邻三项的关系 2、等差数列的性质：1）单调性： 2）nm a a =+3)等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则特别的：如果m+n=2p,则 4）与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，即：5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{},(,n n n a b ka b k b ±+为非零常数）也成 数列6）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列（项数n 3）是 数列。
二、合作探究：1、 等比中项：1）若a ，G ，b 成等比数列，则2）等比数列相邻三项的关系 2、等比数列的常用性质: （1）单调性：11n na a q-==1n a q q =ncq 其中1a c q=为一个不为零的常数。
当0q ≠时，xy q=是一个指数函数。
xycq=是一个非零常数与一个指数函数的积。
因此，从图像上看，表示数列{}ncq 的点都在函数xy cq =的图像上。
因此：1a 0时， 1）01q << 时，是 数列； 2）1q > 时，是 数列； 1a 时，1）01q << 时，是 数列 ； 2）1q> 时，是 数列；当q时，是 数列。
（2）等数比列{}n a 中，nm a a =（3）等数比列{}n a 中，若m n p q +=+，则特别的：如果m+n=2p,则 （4）与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即：（5）若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}{}1(0),,,n n n n n n a ka k a b a b ⎧⎫⎧⎫≠⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}n a {}mn a （m 是整数常数）成 数列。
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第2课时 等比数列的性质1．掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点)[基础·初探]教材整理 等比数列的性质阅读教材P 51例4～P 53，完成下列问题． 1．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k .2．等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….3．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 也为等比数列．1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }是等比数列，∴a 2a 6＝a 24＝42＝16.【答案】 162．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．【解析】 只有非零常数列才满足题意，∴公比q ＝1. 【答案】 13．正项等比数列{a n }中，a 2a 5＝10，则lg a 3＋lg a 4＝___________________. 【解析】 lg a 3＋lg a 4＝lg(a 3a 4) ＝lg(a 2a 5) ＝lg 10＝1. 【答案】 14．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝16，则a 10＝________. 【解析】 ∵数列{a n }是等比数列，∴a 10·a 2＝a 26，即a 10＝a 26a 2＝1622＝128.【答案】 128[小组合作型]等比数列性质的应用已知{a n }为等比数列，(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解．【自主解答】 (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12，所以a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[再练一题]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，求a 1＋a 10. 【解】 因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－1或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 43＋a 7·q 3＝－7.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．【精彩点拨】 根据前三项成等比数列，可对称性设为aq，a ，q ，也可依据后三项成等差数列设为a －d ，a ，a ＋d ，然后列方程组求解．【自主解答】 法一：设前三个数为aq，a ，aq ，则aq·a ·aq ＝216，所以a 3＝216，所以a ＝6. 因此前三个数为6q，6,6q .由题意知第4个数为12q －6. 所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2，由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216，解得4－d ＝6，所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.巧设等差数列、等比数列的方法：(1)若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq，a ，aq 或a ，aq ，aq 2. (2)若四个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q 3，a q，aq ，aq 3.[再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．【解】 设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵aq·a ·aq ＝512，∴a ＝8. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4. [探究共研型]探究1 如果数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(n ∈N *)，你能判断出{a n }是等差数列，还是等比数列吗？【提示】 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列．探究2 在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？【提示】 在a n ＋1＝2a n ＋1两边都加1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，显然数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以q ＝2为公比的等比数列．探究3 在探究1中，若将a n ＋1＝2a n ＋1改为a n ＋1＝3a n ＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出a n 吗？【提示】 设将a n ＋1＝3a n ＋5变形为a n ＋1＋x ＝3(a n ＋x )．将该式整理为a n ＋1＝3a n ＋2x 与a n ＋1＝3a n ＋5对比可知2x ＝5，即x ＝52；所以在a n ＋1＝3a n ＋5两边都加52，可构造出等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋52.利用等比数列求出a n ＋52即可求出a n .已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．【精彩点拨】 (1)先由a n ＋S n ＝n ，利用S n 与a n 的关系得{a n }的递推关系式，然后构造出数列{a n －1}，利用定义证明即可．(2)由(1)求出a n 代入b n ＝a n －a n －1(n ≥2)即可． 【自主解答】 (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1.∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∵首项c 1＝a 1－1， 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，∴q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .1．已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．2．由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．[再练一题]3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式.【解】 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列【解析】 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *，∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B. 【答案】 B2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( )A ．－12 B.12C ．±12 D.14【解析】 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12.【答案】 A3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 【解析】 ∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27，∴q ＝3. 【答案】 34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.【解析】∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.【答案】75．已知数列{a n}为等比数列，(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求a n；(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.【解】(1)∵a1a2a3＝a32＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36. 又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝a2a1＝2，a n＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝12，a n＝12·⎝⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝± 2.。