高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)
高中数学必修一高一数学第二章(第课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
数学北师大版高中必修1北师大版高一年级数学必修一第二章函数的概念教案
第二章函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1．求函数定义域 课本P 20例1 解：（略） 说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本P 22第1题 2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2 解：（略） 说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
北师大版高一数学必修1第二章函数教案【DOC范文整理】
北师大版高一数学必修1第二章函数教案生活中变量关系与函数的概念教学目标：通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、探究新知：学生阅读教材内容和区间的概念及写法，完成以下填空和问题．在初中学习过的函数实际上描述了两个变量之间的某种依赖关系：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有与之对应，此时y是x的函数，这两个变量x、y分别称为和。
．通过课本中实例1、2、3我们可以看到并非所有的依赖关系都有函数关系。
只有两个变量满足什么样的依赖关系时，才具有函数关系？．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h与时间t的变化规律是.t与h是否有函数关系？二、抽象概括函数的概念：归纳：从实例1、2、3我们可以看到有函数关系的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x 的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域。
显然，值域是集合B的子集。
例题讲解：一次函数y=ax+b的定义域是R，值域也是R；二次函数的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。
反比例函数的定义域是，值域是。
四、课堂训练：．已知函数①求的值；②当a>0时，求的值。
求函数的值域教材练习2五、课堂小结函数的本质含义是定义域内任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。
高一数学反函数 教案
高一数学反函数一．课题：反函数（1） 二．教学目标：1．使学生理解反函数的；2．弄清原函数与反函数之间的三要素的关系，特别是它们的定义域与值域的关系； 3．会求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
三．教学重点、难点：1．使学生在了解反函数的概念的基础上，理解互为反函数的对应法则的互逆性； 2．弄清原函数与反函数的定义域与值域的关系；3．通过求一些函数的反函数，培养学生思维的严密性和灵活性。
四．教学过程： （一）复习引入1．特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。
2．特殊的映射：一一映射()2x f x x →=2()B x g x x →→=对于,f g 这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？那么这两个映射能不能构成B 到A 的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么B 到A 的映射所确定的函数与原函数又有何关系呢？3．引例：在物理上，学过匀速运动的位移和时间的函数关系，即s vt =与st v=（其中速度v 是常量）在s vt =中，位移s 是时间t 的函数。
在st v=中，时间t 是位移s 的函数。
在这种情况下，我们说函数st v=是函数s vt =的反函数。
在函数2y x =（)R x ∈中，x 是自变量，y 是x 的函数。
从函数2y x =中解出x ，就可以得到式子=x 21y )(R y ∈。
这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子=x 21y ，x 都有唯一的值和它对应。
这就说明了，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数。
这时，我们就说=x 21y )(R y ∈是函数2y x =（)R x ∈的反函数。
由此，我们可给出反函数的定义。
（二）新课讲解1．反函数定义：一般的，函数()()y f x x A =∈中，设它的值域为C 。
我们根据这个函数中,x y 的关系，用y 把x 表示出来，得到()x y ϕ=。
高中数学教学备课教案函数的反函数与函数的应用
高中数学教学备课教案函数的反函数与函数的应用高中数学教学备课教案函数的反函数与函数的应用导言：函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
本教案将重点介绍函数的反函数及其应用。
通过引入实际问题，学生将会深入了解函数与反函数之间的关系，以及函数在实际生活中的应用。
一、函数的反函数概念与性质1. 函数的反函数定义函数的反函数是指原函数的输入与输出互换的一种关系。
若函数f(x)的定义域为X，值域为Y，且对于任意y∈Y，当且仅当x∈X时，f(x)=y成立，则函数f(x)的反函数记作f^(-1)(x)，其定义域为Y，值域为X。
2. 反函数的图像反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。
3. 反函数的性质反函数是一种一一对应关系，也就是说，函数f(x)和它的反函数f^(-1)(x)满足互逆关系。
二、函数的反函数求解方法1. 已知函数求反函数的方法对于已知函数y=f(x)，可以通过以下步骤求解反函数：a) 将y=f(x)中的x和y互换得到x=f^(-1)(y)；b) 解出x=f^(-1)(y)即为函数f(x)的反函数。
2. 特殊函数的反函数求解对于一些常见的函数，可以通过特定的求解方法得到它们的反函数，如指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些特殊函数。
三、函数的反函数与函数的应用1. 函数的反函数在方程求解中的应用函数的反函数可用于解决一元方程问题。
通过将方程转化为函数形式，再利用反函数的性质，可以简化方程的求解过程。
2. 函数的反函数在图形对称中的应用函数的反函数与原函数的图像关于直线y=x对称，这一性质可用于描述图形的对称性。
通过分析函数及其反函数的图像，并结合实例，可以帮助学生更好地理解函数图形的对称关系。
3. 函数的反函数在实际问题中的应用函数的反函数在实际生活中有着广泛的应用。
以消费者需求与价格关系为例，可以通过函数和反函数来描述价格对需求的影响，进而帮助企业制定合理的价格策略。
四、教学实施方案1. 教学目标a) 了解函数的反函数的概念与性质；b) 能够求解已知函数的反函数；c) 掌握函数的反函数在方程求解、图形对称及实际问题中的应用。
高中数学必修一高一数学第二章(第0课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.3 反函数（三）教学目的：1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.授课类型：练习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明互为反函数的两个函数有什么关系：函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到2．函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系：)(x f y =与)(1x f y -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数；)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数二、讲解例题：例1 求函数y=x x-+11(x ≥0，x ≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-y x =1+x ，即x =(y-1)/(y+1)--①, ∵x ≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y ≥1,⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)]2,⑶∴原函数的反函数是)(1x f -= [(x-1)/(x+1)]2（x<-1或x ≥1）； 说明：原函数的值域是借助于变形中的①式：x ≥0而得到的，对于一个比较复杂的函数，求它的值域时要注意题目中的现有条件.例2 设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数. 分析：这里给出了分段函数，即在不同的x 范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x 范围内求其反函数.解：⑴当x<0时，y=x,其反函数仍是y=x(x<0);⑵当x ≥0时，y=2x ，由y=2x (x ≥0)得x=y ,又y=2x (x ≥0)的值域为y ≥0，∴y=2x (x ≥0)的反函数是y=x (x ≥0).⑶由⑴⑵可得)(1x f -=⎩⎨⎧≥<)0()0(x x x x .例3 已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值. 解：⑴由213-+=x x y (x ≠2)解出x=312-+y y ， ∵原函数的值域是y ≠3, ∴213-+=x x y (x ≠2)的反函数是312-+=x x y (x ≠3,x ∈R). ⑵由互为反函数的函数关系知，312-+=x x y 与c x b ax y ++=是同一函数，∴a=2,b=1,c=-3.例4 若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a,b 的值.分析：求a,b ，就要有两个关于a,b 的方程，如何寻求？①A(1,2)在)(x f 图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在)(x f 的反函数的图象上呢？其一，真求反函数，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数？其二，A(1,2)在反函数图象上，则'A (2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=)(x f ，则(b,a)应满足y=)(1x f -，反之亦然.解：由A(1,2)在)(x f =b ax +上，则有2=+b a --①；由A(1,2)在其反函数图象上，可知'A (2,1)也在函数)(x f =b ax +图象上，∴又有12=+b a --②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x f y -=．分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式． 解：令t x =+1，则1-=t x ，2)1(-=t x ，代入所给表达式，得=)(t f 2)1(-t +22)1(-t =12-t ， 0≥x ，∴t x =+11≥，即原来函数是)1(1)(2≥-=x x x f ．易求函数)1(1)(2≥-=x x x f 的反函数是 1)(1+==-x x fy )0(≥x ． 注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．三、练习： 1．求函数y=⎩⎨⎧<+≥+)0(1)0(12x x x x 的反函数.解：当x ≥0时，y ≥1，由y=x2+1得x=1-y ( y ≥1)；当x<0时，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 将x,y 对换得y=)(1x f -=⎩⎨⎧<-≥-)1(1)1(1x x x x .说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆.2． 已知函数)(x f =1+32-x 有反函数，且点(a,b)在函数)(x f 的图象上，又在其反函数的图象上，求a,b 的值.解：∵点(a,b)在函数)(x f 的图象上，∴b=1+32-a ---①,又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数)(x f 的图象上，∴有a=1+32-b ---②，联立①②解得a=b=2.四、小结 本节课学习了以下内容：分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题五、课后作业：1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=)(1x f -=x/2，它的定义域为[0,+∞); ⑵),0[(2+∞∈=x x y 及其反函数)0(21≥=x x y 的图象如右图所示.4.∵y=x/5+b 的反函数为y=5x-5b ，由已知y=ax+3是y=x/5+b 的反函数，∴函数y=x/5+b 与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数)(x f =x|x|+2x 的反函数. (提示：讨论x ≥0和x<0两种情况，写成分段函数，分别在两部分内求反函数)答案：)(1x f -=⎪⎩⎪⎨⎧<--≥++-)0(11)0(11x x x x 六、板书设计（略）七、课后记：)0活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
必修1 第二章 反函数教案
过程
教学内容
自主学习
不看不讲
1．复习
（1）函数的概念
（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 的函数图象.`
2．讲授新知
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
1
2
4
8
…
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
图象如下：
探究：在指数函数 中， 为自变量， 为因变量，如果把 当成自变量， 当成因变量，那么 是 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
反函数的概念：
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．
由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数．
合作探究
不议不讲
高效训练
不练不讲
教学内容
第2课
（单元）
主题
第3课反函数概念
1课时
教学目标
知识
与技能
了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
过程
与方法
学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.
情感态度与价值观
（1）体会指数函数与指数;
（2）进一步领悟数形结合的思想.
教
材
分
析
重点
指数函数与对数函数内在联系
难点
反函数概念的理解
高中数学必修一高一数学第二章(第九课时)反函数公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：2.4.2 反函数（二）教学目的：⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用； 教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=间的关系：----定义域、值域相反，对应法则互逆；3．反函数的求法：一解、二换、三注明4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y);②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A (?,？);5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x 与因变量y 之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①)(23R x x y ∈-=的反函数是(32R x x y ∈+= ②)(3R x x y ∈=的反函数是(3R x x y ∈=1．探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）证明：设M(a,b)是)(x f y =则当x=a 时，)(x f 有唯一的值b a f =)(.∵)(x f y =有反函数)(1x fy -=， ∴当x=b 时，)(1x f -有唯一的值a b f=-)(1， 即点'M (b,a)在反函数)(1x f y -=的图象上.若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得：PM=22)()(c b c a -+-,P 'M =22)()(c a c b -+-，∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线，∴点M, 'M 关于直线y=x 对称.∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点，∴)(x f y =图象上任意一点关于直线y=x 的对称点都在它的反函数)(1x f y -=的图象上，由)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数可知，函数)(1x f y -=图象上任意一点关于直线y=x 的对称点也都在它的反函数)(x f y =的图象上，∴函数)(x f y =与)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域；⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1．求函数)0(2<=x x y 的反函数,关系作出其反函数的图象.解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0,∴由y=2x 解出y x -=,∴函数)0(2<=x xy 的反函数是)0(>-=x x y , 作 y=2x (x ∈(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x 的对称曲线，即为函数)0(>-=x x y 的图象（如图）.例2．求函数2385-+=x x y 的值域． 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35 ∴函数的值域为{y|y ≠35} 例3 已知)(x f =211x -(x<-1)，求)31(1--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=211x-，∴2x =y y 1---①，∵x<-1，∴x=-y y 1-;⑵∵x<-1，由①式知yy 1-≥1,∴y<0; ⑶∴)(1x f -= -xx 1-(x<0)；⑷)31(1--f =-2. 分析：由y=)(x f 与y=)(1x f-互为反函数的关系可知：当y=)(x f 中的x=a 时y=b ，则在y=)(1x f -中,当x=b 时y=a ，本题要求)31(1--f ，设其为u ，说明在函数)(x f =y=211x -(x<-1)中，当y=31-时，x=u ，问题转化为知原来函数中的y=31-而求x. 解法2：令211x-=31-，变形得2x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果.四、练习：课本P63－64练习：5，6，7补充：设函数y=)(x f 的反函数为y=)(x g ，求y=)(x f -的反函数.解：在函数y=)(x f -中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=)(1y f-, ∴x=-)(1y f -，∴y=)(x f -的反函数为y=-)(1x f-， 又∵)(x g = )(1x f -,∴y=)(x f -的反函数为y=-)(x g .五、小结 本节课学习了以下内容：1.互为反函数的函数图象间关系，2.求一个函数的反函数图象的方法，3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4：2答案与提示：2.y=)(1x f -=22521x -,x ∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴)3(32-≤-=x x y ；⑵y=2x -6x+12(x ≤3);⑶y=2--x (x ≤-2). ⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b ，求a,b 的值.答案：⒈ ⑴y=-32+x (x ≥0); ⑵y=3-3-x (x ≥0); ⑶y=-2x -2(x ≥0). ⒉a=31,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
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反函数性质的应用
只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。
因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。
现在看一下反函数性质的应用。
⒈利用反函数的定义求函数的值域
例1：求函数y=
1
21
x
x
-
+的值域。
分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。
解：由
y=
1
21
x
x
-
+得y(2x+1)=x-1
∴(2y-1)x=-y-1
∴x=
1 21 y
y
--
-
∵x是自变量，是存在的，
∴2y-1≠0，∴y≠1 2。
故函数y=
1
21
x
x
-
+的值域为：{y│y≠
1
2}。
点评：形如y=ax b
cx d
+
+的函数都可以用反函数法求它的值域。
⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用
例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。
分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。
解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0，
∴2x=2或2x=0（舍），
∴x=1。
故f1-(0)=1。
点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。
⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用
例3：求函数y=
2
1
x
x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。
分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。
只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。
解：由
2
1
x
y
x
y x
⎧
=
⎪
+
⎨
⎪=
⎩得
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩或
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。
点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。
但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。
⒋原函数与反函数的单调性相同的应用
例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。
分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。
又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。
解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。
又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数，
∴f
1()
f x
-
⎡⎤
⎣⎦<f(0)，
∴x<f(0)=2。
故f1-(x)<0的解集为：{x│1<x<2}。
点评：利用原函数与反函数的单调性相同的性质，可以避免求反函数这一复杂的运算，从而减少了失误。
⒌原函数与反函数的还原性即
[]
1()
f f x
-=
x及
()
1
f f x
-
⎡⎤
⎣⎦=x的应用
例5：函数f(x)=ax b
x c
+
+(a、b、c是常数)的反函数是1()
f x
-
=
31
2
x
x
-
+，求a、b、c的值。
分析：本题可以利用
1()
f f x
-
⎡⎤
⎣⎦=x，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等
找到关于a、b、c的方程组，即可求解。
解：∵
1()
f x
-
=
31
2
x
x
-
+
∴1()f f x -⎡⎤⎣⎦=312x f x -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=312312x a b x x c x -++-++ =(3)2(3)12a b x a b c x c +-++-+=x
∴(3a+b)x-a+2b=(c+3)2
x +(2c-1)x ∴3032120c a b c a b +=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩
∴21
3a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
点评： 上述解法利用了原函数与反函数的还原性，避免了求反函数
1()f x -，若求反函数1()f x -，步骤非常烦琐，容易出现计算失误。