(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
因式分解法(十字相乘法)
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
( 4 ) 4x2- 18x + 18
( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
试将 x 6 x 16 分解因式
2
x 6 x 16
2
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
( 3 ) 6x2 - 3x – 18
( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
观察：p与a、b符号关系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结：当q>0时，q分解的因数a、b(
且（a、b符号）与p符号相同
5
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x
x
2 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxy 7 y
2
2
7y
1y
2 xy 7 xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15
（2）3x2 － 15x － 18
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12
-3 4
x 2x
= （x-3）(2x+4) = 2 (x-3) （x+2)
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ③检验确定，横写因式 ②交叉相乘，和相加
十字相乘法因式分解
十字相乘法因式分解十字相乘法是乘法公式：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解，用于分解可写成x²+(a+b)x+ab的一元二次方程。
使用十字相乘法前的判定：形如ax²+bx+c的多项式，是否能够使用十字相乘法进行因式分解取决于Δ=b²-4ac是不是完全平方数，当Δ是完全平方数时才能在整数范围内进行十字相乘分解。
例子：a²+a-42首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a + ？）×(a -？），然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，（-42）是-6×7 或者6×（-7）也可以分解成 -21×2 或者21×（-2）。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。
﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6x所以a²+a-42就被分解成为(a+7）×(a-6）十字相乘法就是要将二次函数各项系数反过来拆成这样的四个数，使之符合上图规律，找到这样的四个数就可以将二次函数转化为两个一次二项式的相乘的形式十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
对于像ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。
那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd十字相乘法因式分解练习题：x²-x-56 3x²+4x-15 x²-10x+16 6y²+19y+15 14x²+3x-27 10（x+2）²-29（x+2）+10 2x²-7x+3。
(完整版)十字相乘法分解因式的讲解与练习
十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘因式分解法
十字相乘因式分解法摘要：一、引言二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法2.十字相乘法的符号表示三、十字相乘法的应用1.分解单项式2.分解多项式四、十字相乘法的优势与局限1.优势2.局限五、结论正文：一、引言十字相乘法是一种常用的因式分解方法，尤其在初中阶段数学学习中占据着重要地位。
本文将对十字相乘法进行详细介绍，包括其基本概念、应用以及优势与局限。
二、十字相乘法的基本概念1.什么是十字相乘法十字相乘法是一种因式分解方法，主要用于分解二次多项式。
具体操作步骤如下：首先，将二次多项式的二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d分别填入一个十字形的四个格子中（如下所示）。
```c da |b | a b|-------|-------| c d | c d```然后，根据a、b、c、d的值，利用乘法分配律进行计算，得出两个括号中的表达式。
最后，将这两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
2.十字相乘法的符号表示我们可以用如下符号表示十字相乘法：```(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd```其中，a、b、c、d为常数，x为变量。
三、十字相乘法的应用1.分解单项式假设我们有一个单项式：ax^2 + bx + c。
我们可以先提取出公因式x，得到x(ax + b) + c。
然后，我们可以使用十字相乘法分解ax + b，从而得到单项式的因式分解式。
2.分解多项式十字相乘法主要用于分解二次多项式，如ax^2 + bx + c。
我们可以根据二次项系数a、常数项b和一次项系数c、d的值，将多项式表示为(ax + b)(cx + d)的形式。
然后，利用乘法分配律计算括号中的表达式，最后将两个括号中的表达式相乘，即可得到原二次多项式的因式分解式。
四、十字相乘法的优势与局限1.优势十字相乘法具有较高的实用价值，尤其在初中阶段数学学习中。
它可以帮助学生快速、准确地分解二次多项式，从而简化问题，便于求解。
十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
7 初二数学 十字相乘法----因式分解
• 当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号, 符号与一次项系数相同。
• 当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号;绝对值 大的数与一次项系数同号。
17
18
拓展引申1
把下列各式分解因式
(1)(x+y)2-4(x+y)-5 =(x+y+1)(x+y-5)
(2) y2-2y(x-1)-15(x-1)2 =[y+3(x-1)][y-5 (x-1)]
=(y+3x-3)(y-5 x+5)
13
分解下列因式
（1）(m+n)2-5(m+n)+6 =(m+n-2)(m+n-3)
（2）x2+(2k+2)+2k+1 =(x+2k+1)(x+1)
14
拓展引申2
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
1.6x2 7x 2 (2x 1)(3x 2)
2.3x2 11x 10 (3x 5)(x 2)
总结
ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 )
a a1
x
4
⑵ y2- 8y+15
=(y-3)( y-5)
y
-3
y -5
4
例1把下列各式分解因式
⑶ x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
方法:
➢ 先把首项和尾项拆分成两个因式相乘 ➢ 交叉相乘再相加等于中间项
(不仅要验证绝对值,更要验证符号)
5
例1把下列各式分解因式
⑶ x2 – 3x-4
=(x+1)(x-4)
1
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(完整版)初中化学十字相乘法因式分解
初中化学十字相乘法因式分解是化学学科中的一种常用的化学
式化简方法。
该方法适用于由多个化合物组成的复杂化合物的化学
式化简。
十字相乘法因式分解的基本原理是根据化学式中的原子元素的
数量和化合价，寻找可相乘的因子，从而达到分解化学式的目的。
下面将以化合物C6H12O6为例，详细介绍十字相乘法因式分
解的步骤：
1. 首先，找到化合物中各个原子元素的化合价。
在C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2。
2. 根据化合物元素的化合价，找到可相乘的因子。
在
C6H12O6中，碳的化合价为4，氢的化合价为1，氧的化合价为2，可以得到因子4、1和2。
3. 将化合物中各个原子元素的数量进行配平，使得因子的乘积
等于化合物中各个原子元素的数量。
在C6H12O6中，碳的原子数
量为6，氢的原子数量为12，氧的原子数量为6。
可得到化合物的
化学式化简为(CH2O)6。
以上就是初中化学十字相乘法因式分解的基本步骤和操作方法。
通过这种方法，可以将复杂化合物的化学式简化为更为简洁和清晰
的形式，便于研究和理解。