中考数学专题复习锐角三角函数的综合题附详细答案

-X锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1.在AABC中，AB=BC,点O是AC的中点，点P是AC ±的一个动点（点P不与点A,

O, C重合）.过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接0E, 0F.

（1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2,当Z ABC=90o时，请判断线段OE与OF之间的数疑关系和位置关系，并说明理由

（3）若ICF-AEl=2, EF=2√3 当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长・

【答案】（i） OF=OE: （2） OF丄EIG OF=OE,理由见解析；（3） OP的长为〃一血或

2√3

■

3

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K,证明AAOE竺^COK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE:

（2）如图2中，延长EO交CF于K,由已知证明2∖ABE竺ABCF, △ AOE里△ COK,继而可证得AEFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF丄EK, OF=OE;

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（2）如图1中，延长EO交CF于K,

图1

∙.∙ AE丄BE, CF丄BE,・β. AEIl CK, /. Z EAO=Z KCO,

•・・ OA=OC, Z AOE=Z COK,AOE旻△ COK, .β. OE=OK,

T AEFK是直角三角形,AOF= -EK=OE;

2

(2)如图2中，延长EO交CF于K∙

, /. Z FEK=30o , ZEKF 二60°,

3

1 .∙. EK=2FK=4, OF=-EK=2, 2

•••△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2, 在 Rt∆ PHF 中，PH=F PF=I, HF=JJ, OH=2 - ,

OP=

∙.∙ Z ABC=Z AEB=Z CFB=90∖

・•・ Z ABE+Z BAE 二90°, Z ABE+Z CBF=90% /. Z BAE=Z CBF t

TAB 二BC,・•・△ ABE 更厶 BCF, /. BE=CF, AE=BF,

T △ AOE 旻 A COK, /. AE=CK, OE=OK t .β. FK=EF,

/. δ EFK 是等腰直角三角形,AOF 丄EK, OF=OE;

(3)如图3中，点P 在线段AO 上，延长EO 交CF 于K,作PH 丄OF 于

H,

在Rt∆ EFK 中 tanZ FEK= E

图4

如图4中,点P在线段OC上,当PO=PF时，Z POF=Z PFO=30%

・•・ Z BOP=90%

综上所述：OP的长为A—√∑或迫.

【点睛】本题考查了全等三角形的判泄与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判左与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2.如图，某公园内有一座古塔在塔的北而有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平而的夹角为32。，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45。，此时塔尖A在地而上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔力8的髙度.（结果精确到0.01米）

参考数据：sin32o≈0.5299, cos32o≈0.8480, ta∩32o≈0.6249,≈ 1.4142 ・

【答案】塔高AB约为32.99米•

【解析】

【分析】

过点D作DH丄AB,垂足为点H,设AB=x,则AH=X-3,解直角三角形即可得到结论.

【详解】

解：过点D作DH±AB,垂足为点H・

由题意，得 HB = CD = 3, EC= 15, HD = BC 9 ΛABC=Λ AHD = 90\

Z ADH = 32° ・

设 A8 = x,贝∣J>4H = x-3.

AB

在 Rt∆ ABE 中，由 ZMB = 45°,得 tanZΛEB = tan45o = -一 = 1. EB EB = AB = X ・・•・ HD = BC=BE^EC = X^15.

在 Rt∆ AHD 中，由 Z AHD = 90\ 得 tanZADH =

W 15∙tan32o + 3 “ “

解得 X = ------------- ≈ 32.99 ■

I- tan32o

・•・塔髙AB 约为32.99米.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题总作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键・

3.如图.MΛ∕为一电视塔，AB 是坡角为30。的小山坡（电视塔的底部N 与山坡的坡脚人在 同一水平线上，被一个人工湖隔开），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚 力处测得塔顶M 的仰角为45。：沿着山坡向上行疋40m 到达C 处，此时测得塔顶M 的仰角

【分析】过点C 作CE 丄AN 于点E, CF 丄MN 于点F.在AACE 中，求AE = 20√3m,在

RT∆ MFC 中，设 MN = X m t 则 AN=Xm. FC=^Xrn,可得 x+20 JJ = JJ(X — 20),解

方程可得答案・・

即得 tan32o = x-3 x+15

AH H D

√2≈l∙41t √3≈1.73,结果保留整数)

（参考数

拯: 【解

析】