宁夏中卫市2021届新高考一诊数学试题含解析

宁夏中卫市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．【答案】C 【解析】 【分析】将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率. 【详解】将x =y =()2221010x y b b-=>得b =，而双曲线的半实轴a =，所以10c ==，得离心率ce a==故选C. 【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题. 2．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B3．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题4．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.5．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-【答案】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()PA PB PC ⋅+2||PA AP PA =⋅=-又∵AM ＝1 ∴2||3PA =∴()49PA PB PC ⋅+=- 故选B ． 【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或222AP BP CP ++取得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．6．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．0【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】解：令10x -<<，则011x <+<， 则1(1)2x f x ++=， 故21,101(),012x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，如图示：由()21f x ax a -=-，得()(21)1f x a x =+-，函数(21)1y a x =+-恒过1(2A -，1)-，由1(1,)2B ，(0,1)C ，可得1121112ABk +==+，2OA k =，11412AC k +==，若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <或24a >，即1a 12<或2a >； 当22111ax a x +-=-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去），则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选：B ．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A ．324B ．5212C ．5312D ．612【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP OM ON λμ=+，求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，因为点P 在双曲线上，及c e a =，代入整理及得241e λμ=，又已知625λμ=，即可求出离心率． 【详解】由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，代入OP OM ON λμ=+得：()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程22221x y a b -=整理得：241e λμ=，又因为625λμ=，即可得到e =，故选：D ． 【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于a ，b ，c 的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题． 9．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-，且a b ⊥，·22(2)0a b λ=+-=，则1λ=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 10．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）A ．1 BC ．±1D ．【答案】D 【解析】由复数模的定义可得：2z ==，求解关于实数a 的方程可得：a =.本题选择D 选项.11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C 【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.12．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。