宁夏中卫市2021届新高考一诊数学试题含解析

宁夏中卫市2021届新高考一诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点(A 在双曲线()22

21010x y b b

-=>上，则该双曲线的离心率为（ ）

A B C D ．

【答案】C 【解析】 【分析】

将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率. 【详解】

将x =y =()22

21010x y b b

-=>得b =，而双曲线的半实轴a =，所以

10c ==，得离心率c

e a

=

=故选C. 【点睛】

此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题. 2．集合*

12|x N Z x ⎧⎫

∈∈⎨⎬⎩

⎭

中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6

C ．8

D ．12

【答案】B 【解析】 解：因为*

12|x N Z x ⎧

⎫

∈∈⎨⎬⎩

⎭

集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B

3．已知函数()1x

f x xe

-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内

都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e

-

C ．22(,]e e e e

-

+ D ．2

(1,]e e

-

【答案】D 【解析】 【分析】

将原题等价转化为方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断

()0,1x ∈时，

()0f x '>，()f x 是增函数；

当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2

()ln 1F x x x ax =-++，求导得

221

()x ax F x x

'

--=-

，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，

()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；

【详解】

函数()2

0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，

等价于方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.

111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；

当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.

设2

()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x

'

--=-+=-，

若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.

设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.

因为0(0,]x e ∀∈，方程()2

0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，

所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e

≤-

. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2

111ln 0x x ax -+>.

因为21

1210x ax --=，所以11

12a x x =-

，代入2111ln 0x x ax -+>，得2

11ln 10x x +->. 设()2

ln 1m x x x =+-，()1

20m x x x

'=

+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2

11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.

由1112a x x =-

在()1,e 上是增函数，得112a e e

<<-. 综上所述2

1a e e

<≤-， 故选：D.

【点睛】

本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题

4．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米

C ．69厘米

D ．76厘米

【答案】B 【解析】 【分析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203

π

π⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

5．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．

49

B ．49

-

C ．

43

D ．43

-

【答案】B 【解析】 【分析】

由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解． 【详解】

解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，