11 函数的连续性

n 为自然数
f ( x ) 在任意点 a 连续
可以证明：
基本初等函数在其定义域内每一点是连续的。
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基本初等函数在其定义域内每一点是连续的 例 5：
lim x a x a
lim cos x cos a
x a
lim tan x tan
x 4

4
1
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基本初等函数
+
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例2： f ( x ) sgn( x )
1
1
x 1
lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1
x 1
f ( x ) 在 x=0 处没有极限导致了间断
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x 1 x 1 例 3： f ( x ) 1 x =1 2
y
2
1 2
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函数的连续
lim x 2
3 x2 3
lim sin x sin a
x a
lim f ( x ) f (a )
xa
它们有什么含义
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间断
x2 1 例 1： f ( x ) x 1
y
2
o
1
x
lim f ( x ) 2
x 1
f ( x ) 在 x=1 处没有定义导致了间断
源自文库复合
初等函数
初等函数在其定义域内每一点是连续的
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非初等函数连续性的判断
f ( x ) f (a ) 关键： lim xa
sin x , x0 例 6： f ( x ) x 1 , x0
sin x lim f ( x ) lim 1 f (0) x 0 x 0 x
o
1
x
lim 2, f (1) 0.5
x 1
两者不等导致了间断 大学数学
连续的定义
若 f ( x ) 在点 a 及其领域内有定义，且
lim f ( x ) f (a )
xa
则称函数 f ( x ) 在点 a 连续。
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什么样的函数是连续的呢
n f ( x ) x 例 4：
f ( x ) 在定义域上的每一点都连续
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小
结
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