2018石家庄一模理科数学(清晰版)
2018届河北省石家庄市高三第一次模拟考试卷 数学(理)
2018 届河北省石家庄市高三第一次模拟考试卷数学（理）注意 事项： 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答座位号题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
A． i 4?B． i 4?C． i 5?D． i 5?7．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小 斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为1 2 2 c 2 a 2 b2 c a 从隅，开方得积．”（即： S 4 2 2考场号第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 U 1,2,3,4,5,6,7 ， A x x 3, x N ，则 ð UA（ A． 1, 2 B． 3, 4,5,6,7 C． 1,3,4,7 ） ， a b c ），并举例“问沙田一段， 有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形 田面积为（ A．82 平方里 ） B．83 平方里 C．84 平方里 D．85 平方里D． 1,4,7 ）8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）准考证号2．已知 i 为虚数单位， 1 i x 2 yi ，其中 x, y R ，则 x yi （ A． 2 2 B． 2 C．2 D．43． 函数 f x 2x x 0 ， 其值域为 D ， 在区间 1, 2 上随机取一个数 x ， 则 x D 的概率是 （ A．1 2）B．1 3C．1 4D．2 34．点 B 是以线段 AC 为直径的圆上的一点，其中 AB 2 ，则 AC AB （ A．1 姓名 B．2 C．3 D．4 ））A． 8 3B． 8 4C． 8 5D． 8 69．已知 f x 是定义在 2b,1 b 上的偶函数，且在 2b,0 上为增函数，则 f x 1 f 2x 的解 集为（ 2 A． 1, 3y x 5． x ， y 满足约束条件： x y 1 ，则 z 2 x y 的最大值为（ y 1 ） 1 B． 1, 3C． 1,1A． 3 班级B．3 21 D． ,1 3 C．3D．4 10．在 △ABC 中， AB 2 ， C ） A． 7 B． 2 76．程序框图如图所示，该程序运行的结果为 s 25 ，则判断框中可填写的关于 i 的条件是（ ，则 AC 3BC 的最大值为（ 6）C． 3 7D． 4 711．过抛物线 y 1 2 x 焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，点 C 在直线 y 1 上，若 △ABC 为正 4三角形，则其边长为（ A．11 B．12） C．13 D．1412．设 xOy ， x ' Oy ' 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点， Ox 正方向到 Ox ' 正方向的角 度为 ，那么对于任意的点 M ，在 xOy 下的坐标为 x, y ，那么它在 x ' Oy ' 坐标系下的坐标 x ', y ' 可以表示为： x ' x cos y sin ， y ' y cos x sin ．根据以上知识求得椭圆3x '2 2 3x ' y ' 5 y '2 1 0 的离心率为（） C．7 3A．6 3B．6 4D．7 4AB∥CD ， AB BC ， AB 2 BC 2CD 2 ， 18． （12 分） 四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， △SAD 为正三角形．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．命题 p ： x0 1 ， x02 2 x0 3 0 的否定为 ．14．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄 比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小．据此推断班长是 ． （1）点 M 为棱 AB 上一点，若 BC∥平面 SDM ， AM AB ，求实数 的值； （2）若 BC SD ，求二面角 A SB C 的余弦值．15．一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边 的最小值为 16．已知函数 f x ．x3 x 1 ln x ，g x ，若函数 y f g x a 有三个不同的零点 x1 ，x2 ，x3 x x 1（其中 x1 x2 x3 ），则 2g x1 g x2 g x3 的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．17．（12 分）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满 2Sn 2n1 m m R ． （1）求数列 an 的通项公式； （2）若数列 bn 满足 bn 1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn ． 2n 1 log 2 an an1 19．（12 分）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪 薪酬方案．甲方案：底薪 100 元，每派送一单奖励 1 元；乙方案：底薪 140 元，每日前 55 单没有 奖励，超过 55 单的部分每单奖励 12 元． （1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 y （单位：元）与送货单数 n 的函数关系式； （2）根据该公司所有派送员 100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在 这 100 天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 2 n 1 2n , n 1, 2,3, 4,5 时，日平均派送量为 50 2n 单． 10 10若将频率视为概率，回答下列问题： 20．（12 分）已知椭圆 C ：x2 y 2 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，且离心率为 ， 2 a b 2M 为椭圆上任意一点，当 F1MF2 90 时， △F1MF2 的面积为 1．（1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 AF1 ， AF2 分别与椭圆交于点 B ， D ， 设直线 BD 的斜率为 k1 ，直线 OA 的斜率为 k2 ，求证： k1 k2 为定值．①根据以上数据，设每名派送员的日薪为 X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 X 的分布列，数学期望及方差； ②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明 你的理由． （参考数据： 0.62 0.36 ， 1.42 1.96 ， 2.62 6.76 ， 3.42 11.56 ， 3.62 12.96 ， 4.62 21.16 ，15.62 243.36 ， 20.42 416.16 ， 44.42 1971.36 ）21．（12 分）已知函数 f x x b e x a ， b 0 ，在 1, f 1 处的切线方程为请考生在 22 、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22． （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 x 3 r cos 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ r 0 ， 为参数），以坐标原 y 1 r sin e 1 x ey e 1 0 ．（1）求 a ， b ； （2）若方程 f x m 有两个实数根 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，证明： x2 x1 1 m 1 2e ． 1 e 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 1 ，若直线 l 与 3 曲线 C 相切； （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）在曲线 C 上取两点 M ， N 与原点 O 构成 △MON ，且满足 MON 大值． ，求面积 △MON 的最 623． （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f x 2 x 3 x m 的定义域为 R ； （1）求实数 m 的取值范围； （2）设实数 t 为 m 的最大值，若实数 a ， b ， c 满足 a 2 b2 c 2 t 2 ，求 小值．1 1 1 2 2 的最 a 1 b 2 c 322018 届河北省石家庄市高三第一次模拟考试卷∵ AB // DC ，∴四边形 BCDM 为平行四边形， 又 AB 2CD ，∴M 为 AB 的中点． ∵ AM AB ， 1 ． 2S数学（理） 答 案一、选择题． 1-5：AABDC 二、填空题． 13． p : x 1, x2 2x 3 0 15． 2 3 三、解答题． 17． 【答案】 （1） an 2 ； （2） Tn n 16-10：CCDBD11、12：BA14．乙D C2 ,0 16． 2 e e AMBn ． 2n 1（2）∵ BC SD ， BC CD ，∴ BC 平面 SCD ， 又∵ BC 平面 ABCD ， ∴平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ，【解析】（1）法一：由 2Sn 2n1 m m R 得 2Sn1 2n m m R ， 当当 n 2 时， 2an 2Sn 2Sn1 2n ，即 an 2n1 n 2 ， 又 a1 S1 2 m ，当 m 2 时符合上式，所以通项公式为 an 2n1 ． 2在平面 SCD 内过点 S 作 SE 直线 CD 于点 E ，则 SE 平面 ABCD ， 在 Rt△SEA 和 Rt△SED 中， ∵ SA SD ，∴ AE SA2 SE 2 SD2 SE2 DE ， 又由题知 EDA 45 ，∴ AE ED ，∴ AE ED SE 1 ， 以下建系求解． 以点 E 为坐标原点，EA 方向为 X 轴，EC 方向为 Y 轴，ES 方向为 Z 轴建立如图所示空间坐标系， 则 E 0,0,0 ， S 0,0,1 ， A 1,0,0 ， B 1,2,0 ， C 0,2,0 ， S1 2 m n1 法二：由 2Sn 2 m m R 得 S2 4 m ， S 8 m m R 3从而有 a2 S2 S1 2, a3 S3 S2 4 ， 所以等比数列公比 q a3 2 ，首项 a1 1，因此通项公式为 an 2n1 ． a2（2）由（1）可得 log 2 an an 1 log 2 2n 1 2n 2n 1 ， bn 1 1 1 1 ( )， (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 11 1 1 1 bn 1 2 3 3 51 10 ； （2） ． 2 5Tn b1 b2 1 1 n ． 2n 1 2 n 1 2 n 118．【答案】 （ 1）SA 1,0, 1 ， AB 0, 2,0 ， SC 0, 2, 1 ， CB 1,0,0 ， n1 SA 0 设平面 SAB 的法向量 n1 x, y, z ，则 ， n1 AB 0【解析】（1）∵ BC∥平面 SDM， BC 平面 ABCD， 平面 SDM 平面 ABCD DM ，∴ BC∥DM ，x z 0 ∴ ，令 x 1 得 n1 1,0,1 为平面 SAB 的一个法向量， 2 y 0同理得 n2 0,1, 2 为平面 SBC 的一个法向量，由以上的计算可知，虽然 E X甲 E X乙 ，但两者相差不大，且 S甲2 远小于 S乙2 ，即甲方案日工资 收入波动相对较小，∴小明应选择甲方案． 答案二： 由以上的计算结果可以看出， E X甲 E X乙 ，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，∴ 小明应选择乙方案． 20．【答案】 （1）cos n1 , n2 n1 n2 10 ， n1 n2 5∵二面角 A SB C 为钝角， ∴二面角 A SB C 余弦值为 10 ． 5x2 （2）见解析． y 2 1； 219．【答案】 （1）见解析； （2）①见解析；②见解析． 【解析】 （1）甲方案中派送员日薪 y （单位：元）与送单数 n 的函数关系式为： y 100 n, n N ， 乙方案中派送员日薪 y （单位：元）与送单数 n 的函数关系式为： n 55, n N 140, y ， 12 n 520, n 55, n N c 2 e a 2 r r 2a 【解析】（1）设 MF1 r1 ， MF2 r2 ，由题得 12 2 2 ， 2 r1 r2 4c 1 r1 r2 1 2解得 a 2 ， c 1 ，则 b2 1 ，（2）①由已知，在这 100 天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格： 单数 频率 ∴ X 甲 的分布列为： 520.2 椭圆 C 的方程为x2 y 2 1． 2540.3560.2580.2600.1（2）设 A x0 , y0 x0 y0 0 ， B x1 , y1 ， C x2 , y2 ， 2 2 1, B 1, 当直线 AF1 的斜率不存在时，设 A ，则 ， 2 2 X甲1520.21540.31560.21580.21600.1Px2 2 直线 AF2 的方程为 y x 1 代入 y 2 1，可得 5x2 2 x 7 0 2 4∴ E X甲 =152 0.2 154 0.3 156 0.2 158 0.2 160 0.1 155.4 ，S甲2 =0.2 152 155.4 +0.3 154 155.4 +0.2 156 155.4 2 2 2 x2 7 7 2 2 , ， y2 ，则 D 5 10 5 10 +0.2 158 155.4 +0.1 160 155.4 =6.44 ，2 2 直线 BD 的斜率为 k1 1520.2∴ X 乙 的分布列为：2 2 10 2 2 2 ，直线 OA 的斜率为 k2 ， 7 2 6 1 5X乙1400.51760.22000.1 k1 k2 P2 2 1 ， 6 2 6∴ E X乙 =140 0.5 152 0.2 176 0.2 200 0.1=155.6 ，S乙2 =0.5 140 155.6 +0.2 152 155.6 +0.2 176 155.6 +0.1 200 155.6 2 2 2 21 当直线 AF2 的斜率不存在时，同理可得 k1 k2 ． 6=404.64 ，当直线 AF1 、 AF2 的斜率存在时， x0 1②答案一：y0 y x 1 x0 1 y0 设直线 AF1 的方程为 y 消去 x 可得： x 1 ，则由 2 x0 1 x y2 1 22 2 2 2 2 x0 12 2 y0 x 4 y0 x 2 y0 2 x0 1 0 ， 2 x0 2 2 2 1，则 2 y0 又 y0 ，代入上述方程可得 2 x0 2设 f x 在 1,0 处的切线方程为 h x ，1 易得 h x 1 x 1 ，令 F x f x h x ， e 1 1 即 F x x 1 e x 1 1 x 1 ， F x x 2 e x ， e e 1 1 当 x 2 时， F x x 2 e x 0 e e 3 2 x0 x 2 2 2 x02 x 3x02 4 x0 0 ， x1 x0 当 x 2 时，1 设 G x F x x 2 e x ， G x x 3 ex 0 ， ey 3x0 4 y0 3x 4 x0 3x0 4 ，则 y1 0 , x1 1 3 2 x0 3 2 x0 x0 1 3 2 x0 3 2 x0 2 0故函数 F x 在 2, 上单调递增，又 F 1 0 ， ∴当 x , 1 时， F x 0 ，当 x 1, 时， F x 0 ， ∴函数 F x 在区间 , 1 上单调递减，在区间 1, 上单调递增， 故 F x F 1 0 ， f x1 h x1 ，me 设 h x m 的根为 x1 ，则 x1 1 ， 1 e 3x 4 y0 B 0 , ， 2 x 3 2 x 3 0 0 3x 4 y0 y 设直线 AF2 的方程为 y 0 x 1 ，同理可得 D 0 , ， x0 1 2 x0 3 2 x0 3 y0 y0 2 x 3 2 x0 3 4 x0 y0 x y0 0 ， 直线 BD 的斜率为 k1 0 2 2 3x0 4 3 x0 4 12 x0 24 3x0 6 2 x0 3 2 x0 3又函数 h x 单调递减，故 h x1 f x1 h x1 ，故 x1 x1 ， 设 y f x 在 0, 0 处的切线方程为 y t x ，易得 t x x ， 令 T x f x t x x 1 e x 1 x ， T x x 2 ex 2 ， y 直线 OA 的斜率为 k2 0 ， x02 x0 x y0 y0 y 1 2 2 2 ． k1 k2 0 2 3x0 6 x0 3x0 6 3x0 6 6 2 01当 x 2 时， T x x 2 ex 2 2 0 ， 当 x 2 时， 设 H x T x x 2 ex 2 ， H x x 3 ex 0 ， 故函数 T x 在 2, 上单调递增，又 T 0 0 ， ∴当 x ,0 时， T x 0 ，当 x 0, 时， T x 0 ， ∴函数 T x 在区间 ,0 上单调递减，在区间 0, 上单调递增，1 1 ∴直线 BD 与 OA 的斜率之积为定值 ，即 k1 k2 ． 6 621．【答案】 （ 1） a 1 ， b 1 ； （2）见解析．1 【解析】（1）由题意 f 1 0 ，∴ f 1 1 b a 0 ， e 又 f x x b 1 ex a ，∴ f 1 b 1 a 1 ， e eT x T 0 0 ， f x2 t x2 ，设 t x m 的根为 x2 ，则 x2 m ， 又函数 t x 单调递增，故 t x2 f x2 t x2 ，故 x2 x2 ，1 若 a ，则 b 2 e 0 ，与 b 0 矛盾，故 a 1 ， b 1 ． e（2）由（1）可知 f x x 1 e x 1 ， f 0 0, f 1 0 ， 又 x1 x1 ，m 1 2e me 故 x2 x1 x2 x1 m 1 ． 1 1 e 1 e 22．【答案】 （1） 4sin ； （2） 2 3 ． 3 1 1 2 1 2 2 2 2 a 1 b 2 c 3 2 1 1 1 a 1 b 2 c 3 a 2 1 b2 2 c2 3 153b2 2 a 2 1 c 2 3 a 2 1 c 2 3 b2 2 a 2 1 b2 2 a 2 1 c 2 3 b2 2 c 2 3 9 3 ， 15 15 5当且仅当 a2 1 b2 2 c2 3 5 ，即 a2 4, b2 3, c2 2 等号成立， ∴1 1 1 3 2 2 的最小值为 ． a 1 b 2 c 3 52【解析】（1）由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y 3x 2 ， 曲线 C 是圆心为 可得 r 3,1 ，半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，3 3 1 2 2 2 ；可知曲线 C 的方程为 x 3 y 1 4 ，22∴曲线 C 的极坐标方程为 2 2 3 cos 2 sin 0 ， 即 4sin ． 3 （2）由（1）不妨设 M 1, ， N 2 , ， 1 0, 2 0 6 S△MON 1 1 OM ON sin 1 2 4sin sin 2 64 3 2 2sin cos 2 3 cos2 sin 2 3 cos 2 3 2 sin 3 ． 3 当 时， S△MON 2 3 ， 12∴ △MON 面积的最大值为 2 3 ．3 23．【答案】 （1） m 3 ； （2） ． 5【解析】（1）由题意可知 2 x 3 x m 恒成立， x 6, x 3 令 g x 2 x 3 x ，去绝对值可得 g x 2 x 3 x 6 3x, 0 x 3 ， x 0 6 x,画图可知 g x 的最小值为 3 ，∴实数 m 的取值范围为 m 3 ； （2）由（1）可知 a 2 b2 c2 9 ，∴ a 2 1 b2 2 c 2 3 15 ，。
河北省石家庄市2018届高三毕业班9月模拟考试数学(理)试题含答案
河北省石家庄市2018届高三毕业班9月模拟考试数学（理）试题 第I 卷(选择题共60分)一、选择题：（共12题.每小题5分。
共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{}{}220,1x xx B x x -<=≤，则AB=.[1,0)A -.[1,2)B - .(0,1]C .[1,2)B2。
抛物线y =2x 2的焦点坐标是1.(,0)2A1.(,0)8B1.(0,)8C1.(0,)4D3.已知复数：满足（z 一2）i =1+i (i 为虚数单位）,则z 的模为A. 2 B 。
4 C. 10 D 。
.10D4。
右图是容量为100的样本频率分布直方图,则样本 数据在［6,10)内的频数是A 32B 。
8 C. 24 D 36 5。
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图.则该几何体的体积为.3A11.3B .7C23.3D 6.等比数列{}na 中，若418a a =，且a 1，、a 2+l 、a 3成等差数列，则其前5项和为 A. 30 B.32 C. 62 D. 647.执行如图所示的程序框图，当输入n 为7时，输出S 的值是A. 14B.210C.42D. 840S 。
已知非零向量a 、b 满足,(2)a b a a b =⊥-，则a 与b 的夹角是.30A ︒.60B ︒ .90C ︒.120D ︒9.将号码分别为1、2、3、4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则事件“不等式24a b ≥-成立”发生的概率为7.8A13.16B3.4C1.2D 10.双曲线2221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30︒的直线与y 轴和双曲线右支分别交于A 、B 两点，若点A 平分F 1B,则该双曲线的离心率是B .2CD 11。
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学(理)试题(A)含解析AlUKlK
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。
2018届河北省模拟试题(一)数学(理)试卷(含答案)
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一）理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C =U I （ ） A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,42.设i 是虚数单位，若5()2ii x yi i+=-，x ，y R ∈，则复数x yi +的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i --C ．2i +D ．2i -+3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且456718a a a a +++=，则下列命题正确的是（ ） A ．5a 是常数B ．5S 是常数C ．10a 是常数D ．10S 是常数4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316B ．38C ．14D ．185.已知点F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，点F 到渐近线的距离是点F 到左顶点的距离的一半，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2或5 3B．53C．2D．26.已知函数[]2sin,,0,()1,(0,1],x xf xx xπ⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩则1()f x dxπ-=⎰（）A．2π+B．2πC．22π-+D．24π-7.执行如图程序框图，则输出的S的值为（）A2021B2019C．505D．50518.已知函数23()sin cos30)f x x x xωωωω=->的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函数()f x的图象（）A．可由函数()cos4g x x=的图象向左平移524π个单位而得B．可由函数()cos4g x x=的图象向右平移524π个单位而得C．可由函数()cos2g x x=的图象向右平移724π个单位而得D．可由函数()cos2g x x=的图象向右平移56π个单位而得9.61(23)(1)xx-+的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．73-B．61-C．55-D．63-10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π11.设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为（ ） A ．pB ．12C ．2D ．3212.若函数()y f x =，x M ∈，对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的类周期，函数()y f x =是M 上的a 级类周期函数，若函数()y f x =是定义在区间[0,)+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[0,2)x ∈时，212,01,()2(2),12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数21()2ln 2g x x x x m =-+++，若[]16,8x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5(,]2-∞B ．13(,]2-∞ C ．3(,]2-∞-D ．13[,)2+∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2sin ,cos )a αα=r ，(1,1)b =-r ，且a b ⊥r r ，则2()a b -=r r ．14.已知x ，y 满足约束条件20,20,4180,x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数53z x y =-的最小值为 ．15.在等比数列{}n a 中，2412a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为17，设(1)nn n b a =-，*n N ∈，则数列{}n b 的前2018项和为 ．16.有一个容器，下部是高为5.5cm 的圆柱体，上部是与圆柱共底面且母线长为6cm 的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求||AD u u u r的值．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证：1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为7． 19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 的坐标为1(0,)2，问直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由． 21.已知函数()2(1)xf x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 在区间[]0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；（2）已知函数2()(1)1xg x e a x bx =----，且(1)0g =，若函数()g x 在区间[]0,1上恰有3个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos ,1sin x a y a θθ=-=⎧⎨=-+⎩（θ是参数，a 是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为)4πρθ=-．（1）求圆1C 的极坐标方程和圆2C 的直角坐标方程； （2）分别记直线l ：12πθ=，R ρ∈与圆1C 、圆2C 的异于原点的交点为A ，B ，若圆1C 与圆2C 外切，试求实数a 的值及线段||AB 的长． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =+．（1）求不等式()10|3|f x x ≤--；（2）若正数m ，n 满足2m n mn +=，求证：()(2)16f m f n +-≥．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案一、选择题1-5:BADAB 6-10:DCBAB 11、12：CB二、填空题13.185 14.2- 15.100841312- 16.312256cm π三、解答题17.解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即2sin cos sin()sin B A A C B -=+=， 在ABC ∆中，sin 0B >， 所以1cos 2A =-， 又(0,)A π∈，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=，所以a =（2）由1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得2212()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 4441421()99929=++⨯⨯⨯-=，所以2||3AD =u u u r ．18.解：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O =I ，所以BD ⊥平面1A AC ， 又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥， 又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由112A B A D ==，及22BD AB ==，知11A B A D ⊥，于是111222AO A O BD AA ===，从而1A O AO ⊥， 结合1A O BD ⊥，AO BD O =I ， 得1A O ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)A ，(1,0,0)C -，(0,2,0)DB =u u u r，11(1,0,1)BB AA ==-u u u r u u u r ，11(1,1,0)DC DC ==-u u u u r u u u r， 由11(1,0,1)DD AA ==-u u u u r u u u r ，易求得1(1,1,1)D --． 设111D E DC λ=u u u u r u u u u r （[]0,1λ∈），则(1,1,1)(1,1,0)E E E x y z λ++-=-，即(1,1,1)E λλ---． 设平面1B BD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由10,0,n DB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r得0,0,y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,0,1)n =r ， 设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则sin |cos ,|DE n θ=<>u u u r r 227142(1)1λλ==⨯+--+， 解得12λ=或13λ=-（舍去）. 所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为7.19.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为：50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）①∵Z 服从正态分布2(,)N μσ，且26μ=，11.95σ≈，∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826． ②根据题意得1~(4,)2X B ，04411(0)()216P X C ===；14411(1)()24P X C ===；24413(2)()28P X C ===；34411(3)()24P X C ===；44411(4)()216P X C ===.∴X 的分布列为∴1()422E X =⨯=． 20.解：（1）由已知可得22222sin 4,c ac a b c π⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得22a =，221b c ==，故所求的椭圆方程为2212x y +=． （2）由221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(12)860k x kx +++=，则2226424(12)16240k k k ∆=-+=->，解得k <或k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122812k x x k +=-+，122612x x k=+， 则1112AD y k x -=，2212BDy k x -=，所以122112121()2AD BDy x y x x x k k x x +-++=12121232()2kx x x x x x ++=6603k k -==，所以AD BD k k +为定值，且定值为0． 21.解：（1）'()2(1)xf x e a =--，当函数()f x 在区间[]0,1上单调递增时，'()2(1)0xf x e a =--≥在区间[]0,1上恒成立，∴min 2(1)()1xa e -≤=（其中[]0,1x ∈），解得32a ≤； 当函数()f x 在区间[]0,1上单调递减时，'()2(1)0xf x e a =--≤在区间[]0,1上恒成立，∴max 2(1)()xa e e -≥=（其中[]0,1x ∈），解得12ea ≥+． 综上所述，实数a 的取值范围是3(,][1,)22e -∞++∞U ． （2）'()2(1)()xg x e a x b f x =---=．由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间0(0,)x 内不单调， 所以()f x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ， 同理，()f x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点． 由（1）知，当32a ≤时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意． 当12ea ≥+时，()f x 在区间[]0,1上单调递减，故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意，所以3122e a <<+． 令'()0f x =，得ln(22)(0,1)x a =-∈，所以函数()f x 在区间[]0,ln(22)a -上单调递减，在区间(ln(22),1]a -内单调递增． 记()f x 的两个零点为1x ，2x 12()x x <,因此1(0,ln(22)]x a ∈-，2(ln(22),1)x a ∈-，必有(0)10f b =->，(1)220f e a b =-+->． 由(1)0g =，得a b e +=，所以1()1()102f a b e =-+=-<，又(0)10f a e =-+>，(1)20f a =->，所以12e a -<<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,2)e -．22.解：（1）圆1C ：1cos ,1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为222(1)(1)x y a +++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式并化简，得圆1C 的极坐标方程为22sin()204a πρθ++-+=．由圆2C 的极坐标方程)4πρθ=-，得22cos 2sin ρρθρθ=+． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=代入上式，得圆2C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=．（2）由（1）知圆1C 的圆心1C (1,1)--，半径1r a =；圆2C 的圆心2(1,1)C ，半径2r =12||C C == ∵圆1C 与圆2C 外切，a =a =即圆1C的极坐标方程为)4πρθ=-+， 将12πθ=代入1C，得sin()124ππρ=-+，得ρ= 将12πθ=代入2C，得cos()124ππρ=-，得ρ=故12||||AB ρρ=-=23.解：（1）此不等式等价于1,221(3)10,x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+-≤⎩或13,221(3)10,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-≤⎩或3,21310.x x x >⎧⎨++-≤⎩ 解得8132x -≤<-或132x -≤≤，或34x <≤， 即不等式的解集为8,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）∵0m >，0n >，2m n mn +=，21(2)2(2)28m n m n m n ++=⋅≤，即28m n +≥， 当且仅当2,2,m n m n mn =⎧⎨+=⎩即4,2m n =⎧⎨=⎩时取等号．∴()(2)|21||41|f m f n m n +-=++-+|(21)(41)|m n ≥+--+|24|m n =+2(2)16m n =+≥， 当且仅当410n -+≤，即14n ≥时取等号， ∴()(2)16f m f n +-≥．。
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题(A)含答案
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ） A．C ．2D ．43.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．32C ．3D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤D ．5?i ≥ 7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+ 9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．2[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]310.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A B ．．． 11.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1412.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）AD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.命题p ：01x ∃≥，200230x x --<的否定为 ．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()xg x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单. 若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为2，M为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙15. 22,0e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭三、解答题 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈， 当当2n ≥时，12222n n n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥，又1122m a S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+，12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB2=,所以M 为AB 的中点. 因为AB AM λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===，以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，设平面S AB 的法向量1(,,)n x y z =，则1100n S A n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅，因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，所以X 乙的分布列为：所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②答案一：由以上的计算可知，虽然()()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：由以上的计算结果可以看出，()()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩， 解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF的斜率不存在时，设(A -，则(1,B -， 直线2AF的方程为1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --= 275x ∴=，210y =-，则7(,)510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k ---==--，直线OA的斜率为22k =-，121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ， 易得，()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =- 即()()()1()1111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()1()2x F x x e e '=+-， 当2x ≤-时，()11()20x F x x e e e '=+-<-< 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111me x e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤， 设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>， 所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 0)0()(=≥T x T ，22()()f x t x ≥ ，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C相切，可得：2r ==；可知曲线C的方程为22((1)4x y +-=， 所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>）6πS MON =∆. 当12πθ=时, 32+≤∆MON S ，所以△MON面积的最大值为2.23. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-， 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。
河北省石家庄市高三下学期4月一模考试数学(理)试题Word版含答案
石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）ABCD2.）AB C．2 D．43.是（）ABCD4.）A．1 B．2 C．3D．45.）A．-3B C．3D．46.程序框图如图所示，（）ABC D7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”，并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD9.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则）ABCD10.）A BCD11.）A ．11B ．12C ．13D ．1412.根据以上知识求得）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ． 15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为．16.．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.18.四棱锥的底面为直角梯形，，，.（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在.若将频率视为概率，回答下列问题：，试分别求出甲、乙两种方案的日②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.20.1.（Ⅱ）.21.已知函数，，在)处的切线方程为（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]，以坐标原极点正半轴为极轴建立极坐标系，直极坐标方程为.23.[选修4-5：不等式选讲]（Ⅱ）设实数为的最大值，若实数，，满足，求.精品文档石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA二、填空题13. 14. 乙15. 16.三、解答题17解：(1)法一：法二：（2）由（1(1)23352121n n =-+-++--+18.（1SDM ，ABCD ，平面SDMABCD=DM ，所以四边形BCDM 为平行四边形， 所以M 为AB 的中点.（2以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐设平法向所1210||||n n =⋅19.解：（1）元）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：②答案一：案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案. 答案二：望，所以小明应选择乙方案.20解：（1（221．解：(-1，0)(0,0)，选作题22（1可知曲线C所以曲线C(2)由（1）不妨设M所以△MON 23.【解析】（1-3（2）由（1石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案选择题（A卷答案）1-5AABDC 6-10CCDBD 11-12 BA（B卷答案）1-5BBADC 6-10CCDAD 11-12 AB填空题13.14.乙15.16.三、解答题(解答题仅提供一种或两种解答，其他解答请参照此评分标准酌情给分）17解：(1)法一：2分4分6分法二：………………2分………………4分6分（2）由（18分10分(1)23352121n n =-+-++--+ (12)分18（1SDM,ABCD,平面SDMABCD=DM, 2分所以四边形BCDM 为平行四边形，又，所以M 为AB 的中点。
2018-2019年石家庄一模：河北省石家庄市2018届高三年级第一次模拟考试(理科)数学-附答案精
河北省石家庄市2018届高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B.C. D.2. 设集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知，且，则（）A. B. C. D.4. 两个单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）A. B. C. D.6. 已知，，，则（）A. B. C. D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A. 求B. 求C. 求D. 求8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.10. 已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C. 有个零点D. 有无数个极值点12. 已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．14. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．16. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i）求日需求量的分布列；（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？19. 如图，在三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）若是正三角形，，求二面角的大小.20. 已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.（1）若椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.21. 已知函数，.（1）设，求的最小值；（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.。
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题(A)含答案
河北省石家庄市2018届高考一模考试数学理科试题（A ）含答案石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A 卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{|3,}A x x x N =≥∈，则U C A =（ ） A ．{1,2} B ．{3,4,5,6,7} C ．{1,3,4,7} D ．{1,4,7}2.已知i 为虚数单位，(1)2i x yi +=+，其中,x y R ∈，则x yi +=（ ）A ．B C ．2 D ．43.函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间(1,2)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．234.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. x ，y 满足约束条件：11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．32C ．3D ．4 6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为25s =，则判断框中可填写的关于i 的条件是（ ）A ．4?i ≤B ．4?i ≥C ．5?i ≤ D．5?i ≥7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：S =a b c >>），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（ ）A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．83π+B ．84π+C ．85π+D ．86π+9.已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3- B ．1[1,]3- C ．[1,1]- D ．1[,1]310.在ABC ∆中，2AB =，6C π=，则3AC BC +的最大值为（ ）A B ．．．11.过抛物线214y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线1y =-上，若ABC ∆为正三角形，则其边长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1412.设xOy ，''x Oy 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，Ox 正方向到'Ox 正方向的角度为θ，那么对于任意的点M ，在xOy 下的坐标为(,)x y ，那么它在''x Oy 坐标系下的坐标(',')x y 可以表示为：'cos sin x x y θθ=+，'cos sin y y x θθ=-.根据以上知识求得椭圆223'''5'10x y y -+-=的离心率为（ ）A ．3．4．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.命题p ：01x ∃≥，200230x x --<的否定为 ．14.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是 ．15.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为 ．16.已知函数31()1x x f x x -+=-，ln ()xg x x =，若函数(())y f g x a =+有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123x x x <<），则1232()()()g x g x g x ++的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()n n S m m R +=+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足211(21)log ()n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，SAD ∆为正三角形.（Ⅰ）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值； （Ⅱ）若BC SD ⊥，求二面角A SB C --的余弦值.19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(1)2(,]1010n n-(1,2,3,4,5)n =时，日平均派送量为502n +单.若将频率视为概率，回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由. （参考数据：20.60.36=，21.4 1.96=，22.6 6.76=，23.411.56=，23.612.96=，24.621.16=，215.6243.36=，220.4416.16=，244.41971.36=）20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上任意一点，当1290F MF ∠=时，12F MF ∆的面积为1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长直线1AF ，2AF 分别与椭圆交于点B ，D ，设直线BD 的斜率为1k ，直线OA 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值.21.已知函数()()()xf x x b e a =+-，(0)b >，在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=. （Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）若方程()f x m =有两个实数根1x ，2x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求面积MON ∆的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()f x =R ；（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.石家庄市2017-2018学年高中毕业班第一次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5: AABDC 6-10: CCDBD 11、12：BA 二、填空题13. 2:1,230p x x x ⌝∀≥--≥ 14. 乙 15. 22,0e e ⎛⎫-⎪-⎝⎭三、解答题 17解：(1) 法一：由122()n n S m m R +=+∈得122()nn S m m R -=+∈，当当2n ≥时，12222n n n n a S S -=-=，即12(2)n n a n -=≥， 又1122ma S ==+，当2m =-时符合上式，所以通项公式为12n n a -=. 法二：由122()n n S m m R +=+∈得1232;4;8()S m S m S m m R =+⎧⎪=+⎨⎪=+∈⎩，从而有2213322,4a S S a S S =-==-=， 所以等比数列公比322a q a ==，首项11a =，因此通项公式为12n n a -=. （2）由（1）可得1212log ()log (22)21n n n n a a n -+⋅=⋅=-，1111()(21)(21)22121n b n n n n ∴==-+--+，12111111(1)2335212121n n nT b b b n n n ∴=+++=-+-++-=-++. 18.（1）因为//BC 平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM 平面ABCD=DM ， 所以DM BC //，因为DC AB //,所以四边形BCDM 为平行四边形， 又CD AB 2=,所以M 为AB 的中点. 因为λ=，12λ∴=.（2）因为BC ⊥SD ， BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD平面ABCD CD =，在平面SCD 内过点S 作SE ⊥直线CD 于点E ， 则SE ⊥平面ABCD ， 在Rt SEA 和Rt SED 中， 因为SA SD =，所以AE DE ===，又由题知45EDA ∠=， 所以AE ED ⊥所以1AE ED SE ===， 以下建系求解.以点E 为坐标原点，EA 方向为X 轴，EC 方向为Y 轴，ES 方向为Z 轴建立如图所示空间坐标系，则(0,0,0)E ，(0,0,1)S ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,0,1)SA =-，(0,2,0)AB =，(0,2,1)SC =-，(1,0,0)CB =，设平面SAB 的法向量1(,,)n x y z =，则110n SA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以020x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =得1(1,0,1)n =为平面SAB 的一个法向量，同理得2(0,1,2)n =为平面SBC 的一个法向量，12121210cos ,5||||n n n n n n ⋅<>==⋅，因为二面角A SB C --为钝角， 所以二面角A SB C --余弦值为5-.19.解：（1）甲方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为： N ,100∈+=n n y ， 乙方案中派送员日薪y （单位：元）与送单数n 的函数关系式为：⎩⎨⎧∈>-∈≤=N),55(,52012N),55(,140n n n n n y ， （2）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：所以X 甲的分布列为：所以()=1520.21540.31560.21580.21600.1155.4E X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲，()()()()()222222=0.2152155.4+0.3154155.4+0.2156155.4+0.2158155.4+0.1160155.4=6.44S ⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-甲，所以X 乙的分布列为：所以()=1400.51520.21760.22000.1=155.6E X ⨯+⨯+⨯+⨯乙，()()()()22222=0.5140155.6+0.2152155.6+0.2176155.6+0.1200155.6=404.64S ⨯-⨯-⨯-⨯-乙，②答案一：由以上的计算可知，虽然()()E X E X <乙甲，但两者相差不大，且2S 甲远小于2S 乙，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.答案二：由以上的计算结果可以看出，()()E X E X <乙甲，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案. 20解：（1）设,,2211r MF r MF ==由题122221212224112c e a r r ar r c r r ⎧==⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪⋅=⎪⎩，解得1a c ==，则21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设0000(,)(0)A x y x y ⋅≠，1122(,),(,)B x y C x y ， 当直线1AF 的斜率不存在时，设2(1,)2A -，则2(1,)2B --， 直线2AF的方程为(1)4y x =--代入2212x y +=，可得25270x x --= 275x ∴=，210y =-，则7(,510D -∴直线BD的斜率为1(10276(1)5k -==--，直线OA的斜率为22k =-121(626k k ∴⋅=-=-， 当直线2AF 的斜率不存在时，同理可得1216k k ⋅=-. 当直线1AF 、2AF 的斜率存在时，10±≠x设直线1AF 的方程为00(1)1y y x x =++，则由0022(1)112y y x x x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 可得：22222200000[(1)2]422(1)0x y x y x y x ++++-+=， 又220012x y +=，则220022y x =-，代入上述方程可得2220000(32)2(2)340x x x x x x ++---=，2000101003434,3232x x x x x x x x ----∴⋅=∴=++，则000100034(1)13232y x y y x x x --=+=-+++ 000034(,)2323x y B x x +∴--++，设直线2AF 的方程为00(1)1y y x x =--，同理可得000034(,)2323x y D x x ---， ∴直线BD 的斜率为000000001220000002323434341224362323y y x x x y x y k x x x x x x +-+===-+--+-+， 直线OA 的斜率为020y k x =， ∴20200001222200001123636366x x y y y k k x x x x -⋅=⋅===----. 所以，直线BD 与OA 的斜率之积为定值16-，即1216k k ⋅=-. 21．解：（Ⅰ）由题意()10f -=，所以()1(1)10f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以1(1)1b f a e e'-=-=-+， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=， 设)(x f 在(-1，0)处的切线方程为)(x h ， 易得，()1()11h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =- 即()()()1()1111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，()1()2x F x x e e '=+-， 当2x ≤-时，()11()20x F x x e e e '=+-<-< 当2x >-时，设()1()()2x G x F x x e e'==+-， ()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故0)1()(=-≥F x F ，11()()f x h x ≥，设()h x m =的根为1x '，则111me x e'=-+-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--，()()22x T x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x T x x e '=+-<-<，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又(0)0T '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0T x '<，当()0,x ∈+∞时，()0T x '>，所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 0)0()(=≥T x T ，22()()f x t x ≥ ，设()t x m =的根为2x '，则2x m '=，又函数()t x 单调递增，故222()()()t x f x t x '=≥，故22x x '≥， 又11x x '≤，2121(12)1111me m e x x x x m e e -⎛⎫''-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭. 选作题22（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为2y =+，曲线C 是圆心为，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：2r ==；可知曲线C 的方程为22((1)4x y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin 0ρθρθ--=， 即4sin()3ρθπ=+. (2)由（1）不妨设M （1,ρθ），)6,(2πθρ+N ，（120,0ρρ>>）6πS MON =∆. 当12πθ=时, 32+≤∆MON S ，所以△MON 面积的最大值为2.23. 【解析】（1）由题意可知32x x m --≥恒成立，令3()2x g x x -=-， 去绝对值可得：36,(3)()263,(03)6,(0)x x x g x x x x x x --≥⎧⎪=-=-<<⎨⎪-≤⎩，画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-；（2）由（1）可知2229a b c ++=，所以22212315a b c +++++=，222222222111()(123)11112312315a b c a b c a b c ++⋅++++++++++=+++ 22222222222221313239312132315155b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++++++=≥=， 当且仅当2221235a b c +=+=+=，即2224,3,2a b c ===等号成立， 所以222111123a b c +++++的最小值为35.。