2019年广州一模理科数学(含详细答案)

2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．设复数z 满足()21i 4i z -=，则复数z 的共轭复数z =A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2．设集合301x A xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}3B x x =-≤，则集合{}1x x =≥A ．ABB ．ABC ．()()C A C B R RD ．()()C A C B R R3．若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的S =A ．920B ．49C ．29 D ．9405．已知3sin 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45B ．35C ．45-D ．35- 6．已知二项式212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是A ．84-B ．14-C ．14D ．847．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为A．4+B．14+ C．10+D ．48．若x ，y 满足约束条件20,210,10,x y y x -+⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≤ 则222z x x y =++的最小值为A ．12B ．14C ．12-D ．34-9．已知函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>在区间43π2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω的取值范围为 A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处的极值为10，则数对(),a b 为A ．()3,3-B ．()11,4-C ．()4,11-D ．()3,3-或()4,11-11．如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD =，25AE AC =，双曲线 过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为AB．C ．3D12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有()()22f x f x x +-=，当0x <时，()12f x x '+<，若()()121f a f a a +-++≤，则实数a 的最小值为A ．12-B ．1-C ．32-D ．2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2m =a ，()1,1=b ，若+=+a b a b ，则实数m = ．14．已知三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，AB AC ⊥，PA ⊥底面ABC ，1==AB PA ，则这个三棱锥内切球的半径为 ．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()2cos 2cos 0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ．16．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．图②图① DC ABE17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某地1~10岁男童年龄i x （岁）与身高的中位数i y ()cm ()1,2,,10i =L 如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（1）求y 关于x 的线性回归方程（回归方程系数精确到0.01）； （2）某同学认为，2y px qx r =++更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是20.3010.1768.07y x x =-++．经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3cm ．与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，a y bx =-．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．()()()121nx x y y i i i b n x x ii =--∑=-∑=DCBAS20．（本小题满分12分）已知圆(2216x y ++=的圆心为M ，点P 是圆M上的动点，点)N ，点G 在线段MP 上，且满足()()GN GP GN GP +⊥-．（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点()4,0T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求△ABQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x ax x =++．（1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知过点(),0P m 的直线l的参数方程是,1,2x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()f x =23x a x b ++-．（1）当1a =，0b =时，求不等式()31f x x +≥的解集；（2）若0a >，0b >，且函数()f x 的最小值为2，求3a b +的值．数学（理科）答案A 第 1 页 共 16 页绝密 ★ 启用前2018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．2 14 15．12- 16．64三．解答题17．解：（1）因为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列， 所以12(1)21nS n n n=+-=-． 所以22n S n n =-． 当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，()()()22-1221143n n n a S S n n n n n ⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，11a =也符合上式．所以数列{}n a 的通项公式43n a n =-()*n ∈N．数学（理科）答案A 第 2 页 共 16 页（2）1n =时，1112a b =，所以1122b a ==． 当2n ≥时，由()121215452nn n a a an b b b ⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭， 所以()111212115412n n n a a a n b b b ---⎛⎫+++=-+ ⎪⎝⎭．两式相减，得()1432nn n a n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为43n a n =-，所以()()4321432n n nn b n ==⎛⎫⎪⎝⎭－－（1n =时也符合公式）．又22211==++n n n n b b ，则数列{}n b 是首项为2公比为2的等比数列． 所以()12122212n n n T +-==--．18．解：（1）()()()121566.856.8782.5niii ni i x x y y b x x ==--==≈-∑∑， 112.45 6.87 5.574.67a y bx =-=-⨯≈，所以y 关于x 的线性回归方程为 6.8774.67y x =+． （2）若回归方程为 6.8774.67y x =+，当x =11时，y =150．24．若回归方程为20.3010.1768.07y x x =-++，当x =11时，y =143．64．143.64145.3 1.66150.24145.3 4.94-=<-=，所以回归方程20.3010.1768.07y x x =-++对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．数学（理科）答案A 第 3 页 共 16 页19．（1）证明：设AC BD O =，连SO ，因为AD AB =，CD CB =，所以AC 是BD 的垂直平分线，即O 为BD 中点，且BD AC ⊥． 在BCD ∆中，因为2CB CD ==，︒=∠120BCD ，所以BD =1CO =．在Rt SBD ∆中，因为︒=∠90BSD ，O 为BD 中点，所以12SO BD == 在△SOC 中，因为1CO =，SO =2CS =， 所以222SO CO CS +=． 所以AC SO ⊥． 因为BDSO O =，所以AC ⊥平面SBD ．（2）解法1：过点O 作SB OK ⊥于点K ，连AK ，CK ，由（1）知AC ⊥平面SBD ． 所以AO SB ⊥． 因为OKAO O =，所以SB ⊥平面AOK ．因为AK ⊂平面AOK ， 所以SB AK ⊥． 同理可证SB CK ⊥．所以AKC ∠是二面角C SB A --的平面角．因为BD SC ⊥，由（1）知BD AC ⊥，且C SC AC = ， 所以⊥BD 平面SAC ．而⊂SO 平面SAC ，所以BD SO ⊥． 在Rt SOB ∆中，SO OB OK SB ⋅==． 在Rt AOK ∆中，AK ==，同理可求CK =ODCBASKSABCDO数学（理科）答案A 第 4 页 共 16 页在△AKC 中，得351052cos 222-=⋅-+=∠CK AK AC CK AK AKC ．所以二面角C SB A --的余弦值为35105-． 解法2：因为BD SC ⊥，由（1）知BD AC ⊥，且C SC AC = ， 所以⊥BD 平面SAC ．而⊂SO 平面SAC ，所以BD SO ⊥．由（1）知，AC ⊥平面SBD ，⊂SO 平面SBD ，所以SO AC ⊥． 因为ACBD O =，所以SO ⊥平面ABCD ．以O 为原点，OA ，OB ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系， 则()3,0,0A，()B ，()1,0,0C -，(S ．所以()AB =-，()1,CB =，(0,SB =．设平面SAB 的法向量为111(,,)x y z =n ，由11113030AB x SB ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，，n n 令31=y ， 所以平面SAB的一个法向量为(=n ． 同理可得平面SCB的一个法向量为()=m ．所以cos ,35∙<>===⨯n m n m n m ．因为二面角C SB A --是钝角，所以二面角C SB A --的余弦值为35105-．数学（理科）答案A 第 5 页 共 16 页20．解：（1）因为()()GN GP GN GP +⊥-，所以()()0GN GP GN GP +∙-=，即220GN GP -=．所以||||GN GP =．所以||324||||||||||MN MP GP GM GN GM =>==+=+．所以点G 在以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，322,42==c a ． 即3,2==c a ，所以1222=-=c a b ．所以点G 的轨迹C 的方程为2214x y +=．（2）解法1：依题意可设直线4:+=my x l ．由224,1,4x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得0128)4(22=+++my y m ． 设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ，由0)12(16)4(12464222>-=+⨯⨯-=∆m m m ，得122>m ．① 且48221+-=+m m y y ，412221+=m y y ② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 所以)(12121212y y m y y x x y y k BD -+=-+=所以BD 所在直线方程为212221(4)()y y y y x my m y y +-=---．令0=y ，得2121210)(42y y y y y my x +++=． ③将②代入③，即183224)(422121210=--=+++=mmm y y y y y my x ．所以点Q 的坐标为()1,0．数学（理科）答案A 第 6 页 共 16 页因为211||2ABQ TBQ TAQQT y y ∆∆∆=-=-S SS=． 令24t m =+，结合①得16t >．所以ABQS ∆=当且仅当32t =时，即m =±max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 【求ABQ ∆面积的另解：因为点Q ()1,0到直线l 的距离为213md +=．||AB ==．所以21||24ABQS d AB m ∆=⋅=+．】 解法2：依题意直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，由()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，得()2228120k y ky k ++=4+1．设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ， 由()()222=84120k k k ∆-⨯⨯>4+1，得21<12k ．① 且122841ky y k +=-+，21221241k y y k =+． ②因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 所以BD k =21212121y y y yk x x y y ++=--．所以BD 直线方程为212221=y y y y kx x y y +---（）． 令0=y ，得0x =12122124()()y y k y y k y y +++． ③数学（理科）答案A 第 7 页 共 16 页将②代入③，得121201224()1my y y y x y y ++==+．所以点Q 的坐标为()1,0．因为211||2ABQ TBQ TAQ QT y y ∆∆∆=-=-S SS241k =+． 令241t k =+，则21=4t k -，结合①得413t <<．所以ABQS ∆=当且仅当178t =时，即k =max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 【求ABQ ∆面积的另解：因为点Q ()1,0到直线l的距离为d =．||AB ==．所以1||2ABQS d AB ∆=⋅=．】 解法3：依题意直线l 的斜率存在，设其方程为()4y k x =-，由()22414y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222326440k x k x k -+-=4+1．设直线l 与椭圆C 的两交点为),(11y x A ，),(22y x B ， 由()()()2222=3246440kk k ∆--⨯⨯->4+1，得21<12k ．① 且21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+． ② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则),(11y x D -，可设)0,(0x Q ， 则BQ DQ k k =，即BD k =212010y y x x x x -=--．数学（理科）答案A 第 8 页 共 16 页即()()21201044k x k x x x x x ---=--，整理得()1212012248x x x x x x x -+=+-.③ 将①代入②，得01x =．所以点Q 的坐标为()1,0． 因为点Q ()1,0到直线l的距离为d =．2||41AB k ==+．所以21||241ABQS d AB k ∆=⋅=+. 令241t k =+，则21=4t k -，结合①得413t <<．所以ABQS ∆=当且仅当178t=，即k =max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43． 解法4：设直线l 与椭圆C 的两交点为()2cos ,sin A θθ，()2cos ,sin B ϕϕ， 则直线AB 的方程为()sin sin sin 2cos 2cos 2cos y x ϕθθθϕθ--=--.令0y =，得2cos sin 2sin cos sin sin T x θϕθϕϕθ-=-.因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则()2cos ,sin D θθ-， 同理可得2cos sin 2sin cos sin sin Q x θϕθϕϕθ+=+.所以2222224cos sin 4sin cos 4sin sin T Q x x θϕθϕϕθ-==-. 因为4T x =，所以1Q x =，即点Q 的坐标为()1,0． 因为13||sin sin sin sin 22ABQ TBQ TAQ QT ϕθϕθ∆∆∆=-=-=-S S S .数学（理科）答案A 第 9 页 共 16 页由A ，B ，T 三点共线，可得sin sin 2cos 42cos 4ϕθϕθ=--，即()1sin sin sin 2ϕθϕθ-=-. 所以()3sin 4ABQ ϕθ∆=-S . 当且仅当()sin 1ϕθ-=±时，max 3=4ABQ ∆⎡⎤⎣⎦S ． 所以ABQ ∆面积的最大值为43．21．解：（1）解法1：函数()x f 的定义域为()∞+，0，由()ln 1f x ax x =++0=，得ln 1x a x+=-． 令()ln 1x g x x +=-()0x >，则()2ln xg x x'=．因为当01x <<，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 所以()()min11g x g ==-⎡⎤⎣⎦．因为10e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当10e x <<时，()0g x >；当1ex >时，()0g x <． 所以当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．解法2：函数()x f 的定义域为()∞+，0， 因为()ln 1f x ax x =++，所以()1f x a x'=+． ① 当0a ≥时，()0≥'x f ，函数()x f 在()∞+，0内单调递增． 因为()110f a =+>，()11ee a a af a --+=-1110e a a +⎛⎫=-< ⎪⎝⎭． 所以()f x 在()1e 1a --，上有1个零点．所以当0a ≥时，函数()x f 有1个零点．数学（理科）答案A 第 10 页 共 16 页② 当0a <时，()11a x a f x a x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=+=． 当1x a >-时，()0<'x f ；当10x a<<-时，()0>'x f ， 所以当0a <时，函数()x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，内单调递减．所以()max f x =⎡⎤⎣⎦11ln f a a ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1）当1a <-时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以函数()x f 没有零点． 2）当1a =-时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()x f 有1个零点． 3）当10a -<<时，()max f x =⎡⎤⎣⎦1ln 0a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 因为10e e a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，且111e a ->>，所以函数()x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1个零点．可以证明111e e 10a a f a a --⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，且11e a a --<，所以函数()x f 在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上有1个零点．以下证明111e e 10aa f a a --⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭：令1t a=-，即证明当1>t 时()0e e 2<---=t t t f t t， 再令()t t t p t--=2e ，则有()12e --='t t p t，设()12e --=t t q t，则()02e >-='tt q ，所以()12e --=t t q t单调递增，因为()01<q ，023>⎪⎭⎫⎝⎛q ，所以()12e --=t t q t有零点2310<<t ，即012e 00=--t t． 即当00t t <<时，()0<'t p ，当0t t >时，()0>'t p ．所以当00t t <<时，()t p 单调递减，当0t t >时，()t p 单调递增，数学（理科）答案A 第 11 页 共 16 页所以()()02000e t t t p t p t--=≥1020++-=t t ，当2310<<t 时，有01020>++-t t ，即()0>t p ，即()0e e 2<---=ttt f t t．所以当10a -<<时，所以函数()x f 有2个零点．综上可知，当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．（2）解法1：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2ln 1exx a x+≤-在()∞+，0上恒成立．令()xx x m x1ln e 2+-=（0>x ），则()222ln e 2x x x x m x +='．再令()x x x n xln e 222+=，则()()2214 e 0x n x x x x'=++>．所以()x x x n xln e 222+=在()∞+，0上单调递增．因为02ln 28e41<-=⎪⎭⎫⎝⎛n ，()01>n ， 所以()x x x n xln e222+=有唯一零点0x ，且1410<<x ． 所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>．所以函数()x m 在()00x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增． 因为0ln e202200=+x x x ，即22002ln e x x x -=，则001x <<． 所以()()0000ln 2ln ln ln 2x x x x ---=，即()()()0000ln ln ln 22ln x x x x -+-=+． 设()x x x s +=ln ，则()011>+='xx s ， 所以函数()x x x s +=ln 在()∞+，0上单调递增，所以()()00ln 2x s x s -=． 所以00ln 2x x -=．于是有02ex 01x =．数学（理科）答案A 第 12 页 共 16 页所以()()=≥0x m x m 0021ln ex x x +-2=．则有2a ≤． 所以a 的取值范围为(]2,∞-．【8—10分另解：因为0ln e 202200=+x x x ，则001x <<，所以001ln 200001112e ln ln e xx x x x x ⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．构造函数()exx x ϕ=()0x >，则()()1e 0x x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增．因为02000ln 2e 0x x x x +=等价于()0012ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0012ln x x =，即002ln x x =-，于是有02e x 01x =．】 解法2：设()2eln 1xg x x ax x =---()0x >，对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于()min 0g x ≥⎡⎤⎣⎦在()∞+，0上恒成立． 因为()2eln 1xg x x ax x =---，所以()()2121e x g x x a x'=+--．设()()2121e x h x x a x =+--，则()()22141e 0xh x x x'=++>．所以()g x '在()∞+，0上单调递增．因为当0x +→时，()g x '→-∞，当x →+∞时，()g x '→+∞，所以()g x '在()∞+，0上存在唯一零点0x ，即()0200121e0x x a x +--=，即()0200121e x a x x =+-．因为当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>．所以函数()g x 在()00x ，上单调递减，在()0x +∞，上单调递增． 所以()ming x ⎡⎤⎣⎦()020000e ln 1x g x x ax x ==---022002e ln 0x x x =--≥．所以022002eln 0x x x +≤，则001x <<，所以0202ln e 2x x x ≤-． 所以()()00002ln ln ln 2ln x x x x ≤---，即()()()0000ln 22ln ln ln x x x x +≤-+-． 设()x x x s +=ln ，则()011>+='xx s ， 所以函数()x x x s +=ln 在()∞+，0上单调递增，所以()()002ln s x s x ≤-．数学（理科）答案A 第 13 页 共 16 页所以002ln x x ≤-．即0201ex x ≤． 所以()()020000011121e212x a x x x x x =+-≤+-=． 所以a 的取值范围为(]2,∞-． 【8—10分另解：所以()mi ng x ⎡⎤⎣⎦()020000e ln 1x g x x ax x ==---022002e ln 0x x x =--≥．因为022002eln 0x x x +≤，则001x <<，所以001ln 200001112eln ln e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≤=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．构造函数()e x x x ϕ=()0x >，则()()1e 0xx x ϕ'=+>．所以()x ϕ在()0,+∞上单调递增．因为02000ln 2e 0x x x x +≤等价于()0012lnx x ϕϕ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以0012ln x x ≤，即0201e x x ≤．】 解法3：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2e ln 1x x x a x--≤在()∞+，0上恒成立．先证明当0t >时，ln 1t t ≥+. 设()ln 1g t t t =--，则()1t g t t-'=. 当01t <<时，()0g t '<，当1t >时，()0g t '>， 所以函数()g t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()()10g t g ≥=，即ln 1t t ≥+. 所以当0x >时，有()22eln e 1ln 21xx x x x x ≥+=++.所以2e ln 122x x x x x x--≥=（当且仅当2e 1xx =取等号），即2a ≤．所以a 的取值范围为(]2,∞-．解法4：因为()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()xx x f 2e ≤恒成立，等价于2e ln 1x x x a x--≤在()∞+，0上恒成立． 先证明e 1xx ≥+.数学（理科）答案A 第 14 页 共 16 页设()=e 1xg x x --，则()e 1xg x '=-.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以()()10g x g ≥=，即e 1xx ≥+.所以当0x >时，有2ln 2ln 2ee e e ln 21xx x x x x x x +==≥++.所以2e ln 122x x x x x x--≥=（当且仅当2e 1xx =取等号），即2a ≤．所以a 的取值范围为(]2,∞-．22．解：（1）消去参数t ，可得直线l的普通方程为x m =+，即0x m -=．因为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=．可得C 的直角坐标方程为222x y x +=，即2220x x y -+=． （2）解法1：把0x m -=代入2220x x y -+=，消去y ，得()224230x m x m -++=．由0∆>，得13m -<<．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则由韦达定理得1232mx x ++=，2124m x x =．因为PA PB ⋅===22m m =-．所以222mm -=．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±数学（理科）答案A 第 15 页 共 16 页解法2：把0x m -=代入2220x x y -+=，消去x ，得)224120y m y m m --+-=．由0∆>，得13m -<<．设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则由韦达定理得)1212m y y -+=-，21224m my y -=．因为PA PB ⋅=124y y =22m m =-． 所以222m m -=．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±解法3：把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2220x x y -+=，得2220t t m m +-+-=．由0∆>，得13m -<<．设点A ，B 对应的参数为12,t t ，则2122t t m m ⋅=-． 因为122PA PB t t ⋅=⋅=，所以222m m -=±．解得1m =±因为13m -<<，所以1m =±数学（理科）答案A 第 16 页 共 16 页23．（1）解：当1a =，0b =时，由()31f x x ≥+，得211x +≥． 所以112x +≥． 解得32x ≤-或12x ≥-． 所以不等式的解集为31,,22⎛⎤⎡⎫-∞--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）解法1：因为()f x =23x a x b ++-52,,2,,352,.3x a b x a bx a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩所以函数()f x 在3b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,上为减函数，在+3b ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上为增函数．所以当3bx =时，函数()f x 取得最小值为3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2+23b a =．因为0a >，0b >，所以33a b +=．解法2：因为()f x =223333b b b bx a x x a x ⎛⎫++-+-≥++- ⎪⎝⎭，等号在3b a x -≤≤时成立，因为当3b x =时，3bx -的最小值为0， 所以()f x =22333bb bx a x x a ⎛⎫++-+-≥+ ⎪⎝⎭，等号在3b x =时成立， 所以()f x 的最小值为23b a +，从而223ba +=． 因为0a >，0b >，所以33a b +=．。