圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的
几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。
这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。
定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直
线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ
三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧
与QOC角。
证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成
了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂
直线的交点。
由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的
中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.
于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。
以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，
这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度;2.切线长定理对于切线长定理,应明确1若已知圆的两条切线相交,则切线长相等；2若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角;3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角;直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角;5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角;6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理;7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD,证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB,证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R 为圆半径,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理;。
圆的切线、切线长、线切角
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。
例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。
例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆 O 的弦，∠TCB 、∠ TCA 、∠PCA 、∠PCB 都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠ PCA=1/2 ∠ COA= ∠ CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连结 OC， OB, 。
∵∠ TCB=90 ° -∠ OCB∵∠ BOC=180 ° -2 ∠ OCB∴,∠ BOC=2 ∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠ BOC=2 ∠CAB （同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠ TCB= ∠ CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC 是⊙ O 的弦， AB 是⊙ O 的切线， A 为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种状况：（1）圆心 O 在∠ BAC 的一边 AC 上∵ AC 为直径， AB 切⊙ O 于 A ，∴弧 CmA= 弧 CA∵为半圆 ,∴∠ CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角（ 2）圆心 O 在∠ BAC 的内部 . (B点应在A点左边)过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E那么，连结 EC 、ED 、 EA则有：∠ CED= ∠CAD 、∠ DEA= ∠DAB∴ ∠ CEA= ∠CAB∴ （弦切角定理）（ 3）圆心 O 在∠ BAC 的外面 ,过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D那么∠ CDA+ ∠CAD= ∠ CAB+ ∠ CAD=90 °∴∠ CDA= ∠ CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙ O 中，⊙ O 的切线 AC 、 BC 交与点C ，求证：∠ CAB= ∠ CBA 。
弦切角定理 证明-概念解析以及定义
弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。
根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。
这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。
无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。
本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。
在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。
同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。
结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。
通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。
同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。
希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。
本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。
然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。
正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。
首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。
然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。
第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。
通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。
结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。
我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：弦切角定理是数学中的一条基本几何定理，它描述了一个圆内切线与弦之间的关系。
通过研究弦切角定理，我们可以深入理解圆与其内切线的几何性质。
本文将详细介绍弦切角定理的定义、推导过程以及应用场景，并展望了其进一步的研究方向。
在几何学中，圆是最基本的几何图形之一，而弦则是圆上的一条线段。
弦切角定理是指当一个线段在圆上截取弦时，与该弦相交的切线与该弦之间的角度相等。
这个定理的重要性在于它提供了切线和弦之间的几何关系，使我们在解决实际问题时能够更加便利和高效。
本文将首先介绍弦切角定理的定义，明确其几何意义和表述方式。
其次，我们将详细推导弦切角定理，从最基本的几何性质出发，逐步推导得出定理的数学表达式。
通过推导过程，我们可以深入理解弦切角定理的本质和原理。
接着，我们将探讨弦切角定理的应用场景。
弦切角定理广泛应用于数学和物理等领域，例如在测量和计算过程中，我们可以利用弦切角定理来求解未知量或优化问题。
此外，弦切角定理还与圆的切线、割线等几何性质密切相关，对于深入理解圆的性质具有重要意义。
最后，我们将总结弦切角定理的重要性，指出它在几何学中的地位和作用。
同时，我们还将探讨弦切角定理的实际应用场景，例如在建筑、地理勘测、机械工程等领域的应用。
同时，对于弦切角定理的进一步研究也是不可忽视的，我们将展望弦切角定理在更广泛领域的应用和深化研究的可能性。
通过本文的阐述，读者将能全面了解弦切角定理的概念、推导过程和应用场景，进一步认识到弦切角定理在数学和实际问题求解中的重要性和实用性。
同时也将对弦切角定理的未来研究方向产生更多的兴趣和思考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写:文章结构:本文将按照以下结构进行论述：引言、正文和结论。
引言部分将概述本文的研究对象——弦切角定理，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将包含弦切角定理的定义、推导过程和应用。
与圆有关的定理
与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。
4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。
5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）。
7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分为n(n≥3)：。
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图：2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心在弦切角内；二、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。
求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP（2）当圆心在弦切角的一边上时证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线，OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）. （3）当圆心在弦切角的内部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知：如图，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，求∠A．解：由弦切角定理可得，∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知：如图，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，求∠CAB的值。
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A
P
弦切角等于角内圆弧所对的圆周角。
T
如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P 如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P， 的割线PAB与切线TP相交于点 是切点，连接AC BC， AC， 点C是切点，连接AC，BC，则图中有哪几 对相等的角？ 对相等的角？ C O A B P
如图，AD是 ABC中∠BAC 的平分线 的平分线， 如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线， 经过点A ⊙O与BC切于点 切于点D AB， 经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB， AC分别相交于 分别相交于E AC分别相交于E，F. 求证：EF‖BC. 求证：EF‖BC.
A E B O D F C
BC顺次 圆O1与圆O2外切于点A，直线BC顺次 与圆O 外切于点 A 直线BC 交两圆于B 连接AC AD。 AC、 交两圆于 B、C、D、E，连接AC、AD。 求证： CAD＝ 求证： ∠ BAE+ ∠ CAD＝180 °
ห้องสมุดไป่ตู้
O1 B
A
O2 E
C D
圆的弦切角定理
当所夹的弧是半圆的弦切角为_________角 当所夹的弧是半圆的弦切角为_________角； _________ O
M O E A P B
当所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角 当所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角； _________
当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧 当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧。 _________ D B O