大物3

即
� N � � dp F外 = ∑ Fi外 = dt i =1
结论：质点系所受外力的矢量和等于质点系的总动 量的时间变化率。
第四章 动量和动量定理
� N � � dp 即 F外 = ∑ Fi外 = dt i =1 � � 将 p = Mvc 代入上式得
� � � � d (M vc ) dvc F外 = =M = M a c ——质心运动定理 dt dt
第四章 动量和动量定理
讨论： 小雨点儿和大雨点儿相比，在空气中哪个降落的比 � 较快？ F 1 2 由 F = CρAv 2 1 2 F − mg = C Av − mg = 0 ρ 达到终极速率时 t 2 2mg 可解得： vt = Cρ A � mg 2 3 将 A = π r , m = 4π r ρ 水 /3 代入上式
权重
第四章 动量和动量定理
� � � � m 1 r1 + m 2 r2 + ⋯ + m N r N rc = m1 + m 2 + ⋯ + m N
质心位矢是各质点位矢的 加权平均
z
� r1
m1
即：
m2
r2
� � r c
C
O x
� mN rN
y
注意：质心不一定是几何中心，有可能不在物体上。 形状对称，质量分布均匀的物体其质心就是几何中心
第四章 动量和动量定理
实际生活中存在大量非惯性系，分为两类： 加速平动参考系 转动参考系 分别讨论惯性系和非惯性系中的力学定律 其中牛顿运动定律不成立
第四章 动量和动量定理
第四章 动量和动量定理
二.惯性系中的力学定律 十 六 字 诀 隔离物体 ——明确研究对象 具体分析 ——研究对象的运动情况和受力情况 选定坐标 ——参考系、坐标系、正方向 建立方程 ——分量式
质点系总动量：
� � � � dri = M d ⎛ mi ri ⎞ ⎜∑ ⎟ p = ∑ pi = ∑ mi dt ⎝ i M ⎠ dt i i
� � drc p=M dt
质心位矢：
� rc =
∑ i
� m i ri m1 � m 2 � mN � = r1 + r2 + ⋅ ⋅ ⋅ + rN M M M M
第四章 动量和动量定理
§4.2
运动定律的应用
一. 惯性系和非惯性系 惯性系：惯性定律在其中成立的参考系，即其中不受外 力作用的物体（自由粒子）永远保持静止或匀速直线运 动的状态。 相对已知惯性系静止或匀速直线运动的参考系是 惯性 系；相对已知惯性系加速运动的参考系是非惯性系。 惯性系是参考系中的理想模型，其存在是牛顿力学的基 础和前提。
� ∑ mi v i
i
M
或
� ∫ v dm
M
质心速度是各质点速度的加权平均 同理：
� � d vc d rc ac = = 2 = dt dt
2
� ∑ mi ai
i
M
或
� ∫ a dm
M
质心加速度是各质点加速度的加权平均
� � vc , a c
也可以写成分量式。
第四章 动量和动量定理
3.质点系动量的时间变化率 质心运动定理 内力和外力： 内力——质点系内质点间的相互作用力 外力——质点系外的物体对系内任一质点 的作用力 � F � � 2外 m2 � F
� � v0 f m
o
θ
� mg
x
第四章 动量和动量定理
dv x − kmvx = m dt − kmvy − mg = m
用积分法求解：
y
dv y dt
� � v0 f m
o
θ
� mg
x
vx = ? vy = ?
x=? y=?
消去 t ，得轨道方程
x g ⎛ kx ⎞ ⎟ (v0sinθ + g k ) + 2 ln⎜ y= 1 ⎟ v0 cosθ k ⎜ v cos θ 0 ⎝ ⎠
dp x Fx = = ma x dt dp y Fy = = ma y dt dp z Fz = = ma z dt
dv Fτ = m = maτ dt 2 v Fn = m = ma n R
第四章 动量和动量定理
几种常见的力
m1m 2 万有引力 F = G r 2
补充
绳中的张力、正
静摩擦力、 滑动摩擦力
压力、支持力 …
f = −kv
n
第四章 动量和动量定理
(1)绳中的张力
几种常见的力
补充
T1
dm
T2
第四章 动量和动量定理
关于万有引力
补充
1. 壳定理 #1
如果质点在一个质量密度均匀 的球壳外部，则可将球壳视为 质量全部集中于球心处的质点。 万有引力定律适用。
.O
2. 壳定理 #2
在一个质量密度均匀的球壳内部的质点，不受球壳 的引力作用，即球壳对质点的引力为零。
类似处理：跳伞运动员下落， 有阻力的抛体运动 小球在粘滞流体中下落 …... 练习：一物体作有阻力的抛体运动 已知：m,
v0 , θ ,
f = − kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x − kmvx = m dt − kmvy − mg = m dv y dt
质心的运动 ~ 质点
� 位于 rc
质量 M � 受力 F 外
其运动与系统 内质点相互作 用无关
第四章 动量和动量定理
小结
*质心 特殊点—— 质量中心（质心） 特点 1、运动中，好像物体的所有 质量都集中在该点； 2、作用在物体上的力好像 都作用在该点。 3、质心的运动反映物体整体的运动情况！
第四章 动量和动量定理
mg ⎛ f
−
= t
kA t m
v vm
t
讨论潜艇运 动情况：
⎞ mg − F ⎜ 1 − +e ⎟ v = ⎜ ⎟ kA ⎝ ⎠ t = 0 v = 0,
−
kA t m
o
t↑ v↑
dv dt ↓,
t → ∞ v = vmax
极限速率（终极速率）
mg − F = = 恒量 kA
第四章 动量和动量定理
� � � � � a (t ) , (t = 0时 r0 , v0 ) → v (t ) , r (t )
三、相对运动：
� � � � � r AO = r AB + rBC + rCD + rDO � � � � � v AO = v AB + vBC + vCD + vDO
第四章 动量和动量定理
University Physics
大学物理
主讲：谢 东 联系：xie_dong_@
大学 物理
第三章 运动的描述 复习： Байду номын сангаас动学的两类基本问题
一.已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度 （微分法）； � � � r (t ) → v , a ； θ (t ) → ω , β 二.已知加速度(或速度)及初始条件，求质点任一时 刻的速度和运动方程(积分法）。
⋯⋯⋯ � � � � dp N FN = FN外 + FN内 = dt
第四章 动量和动量定理
将以上各式相加，并考虑到
N � � F内 = ∑ Fi内 = 0 得： i =1
� � � d � � � F1外 + F2 外 + ⋯ + FN 外 = ( p1 + p 2 + ⋯ + p N ) dt
牛顿第二定律的一般形式
� � dp F= dt
特例
� � F = ma
(v << c )
第四章 动量和动量定理
� � � N个质量分别为 m1 , m 2 , ⋯ , m N ，动量分别为 p1, p2 ,⋯, pN
的质点组成质点系，其总动量： � � � � p = p1 + p 2 + ⋯ + p N � � � = m1v1 + m 2 v2 + ⋯ + m N v N � = ∑ m i vi
第四章 动量和动量定理
万有引力
1. 壳定理 #1 2. 壳定理 #2 3. 壳定理 #3 在一个质量密度均匀的球体内部的质点，所 受引力只与该质点所在球壳内质量的有关， 与该质点所在球壳外的质量无关。
若球体为均匀带电球体，讨论电荷与球体库仑力 时，上述结论仍然成立！
o
r
第四章 动量和动量定理
例题1：一艘质量为 m 的潜水艇，全部浸没水中，并由 静止开始下沉。设浮力为 F ，水的阻力 f = kAv ， 式中 A 为潜水艇水平投影面积， k 为常数。求潜水艇 下沉速度与时间的关系。 F o 解：以潜艇为研究对象，受力如图： f 在地球系中建立如图坐标 c
−α α −α
∫ xλ d l ∫ λR cosθ R d θ
=
−α
α
−α
∫ λR d θ
R sin α = α
≤R
质心位置并不在圆弧上！
第四章 动量和动量定理
质心的速度与加速度： � � � � d rc d m i ri m i d ri vc = = ∑ =∑ = dt dt i M M dt
第四章 动量和动量定理
直角坐标系中，质心的位置： 分立的质点系
N
质量连续分布的质点系
� rc =
∑
i =1 N
� m i ri
M
� rc =
∫
� r dm
∑
xc =
i =1 N
m i xi M