求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.

一、直接用锐角三角函数的定义

例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、

54 B 、5

3

C 、

43 D 、

3

4

分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =

22BC AC + = 10, ∴sinA =

5

4 故选A.

二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 2

3

，则cosA = ( ) A 、1 B 、

23 C 、2

2

D 、21

分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.

cosA = A 2sin 1- = 2

)2

3(

1-= 21

故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =

3

2

, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =

即cotA = 32

.

三、用等角来替换

例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.

析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = AB

BC

,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.

∴sinA =

53 ∴sina = 5

3

四、构造直角三角形

例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 2

3

,求∠BCD 的四个三角函数值.

分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =

23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 2

3

a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.

解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =

23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 2

3a

. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =

22DE CD +=

2

2)2

3(

)2(a a +=

2

5a , ∴sin ∠BCD =

CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =5

4

tan ∠BCD = CD DE =4

3

, cot ∠BCD =DE CD =34

锐角三角函数走进中考

一、利用概念进行判断

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=

c a ,cosA=c b ,tanA=a

b

。 例1（滨州市）．如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A A ．sin A 的值越大，梯子越陡 B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C ．tan A 的值越小，梯子越陡

D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关

分析：根据锐角三角函数的意义，可以知道一个锐角的正弦是这个锐角 的对边与斜边的比，角度越大，斜边就越陡，而本题中，梯子越陡，说明梯子 与地面的夹角的正弦值就越大，因此可以选择A 。

点评：熟练掌握并正确理解锐角三角函数的概念是解答问题的关键。 二、已知三角函数值，求角度 例2（广东韶关市）已知1

sin 2

A =

，且∠A 为锐角，则∠A=（ ）A A.30° B.45° C.60° D.75° 分析：本题主要考查的是特殊角三角函数值的应用，由1sin 2

A =，可以知道∠A=30°，故选择A 。

点评：特殊角的三角函数在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆。

三、已知一个锐角三角函数值，求两条线段的比 例3 （佳木斯）在Rt ABC △中，90C =∠，3sin 5B =

，则

BC

AB

=

图1

分析：在Rt ABC △中，90C =∠，根据正弦三角函数定义可以知道，B sin =AB

AC

，而3

sin 5

B =

，所以可以设,3k AC =k AB 5=，再由勾股定理，得：BC=4k 。因此，根据∠A 的正弦，即AB BC A =sin =k k 54=54，故答案应该为5

4

。

点评：利用三角函数概念，再运用勾股定理是解答问题的关键。 四、已知一个锐角三角函数值，求另一个锐角三角函数值 例4（天水市）在ABC △中，90C ∠=，若1

sin 3

B =

，则cos A 的值为（ ） A ．

13

B ．

23

3

C ．1

D ．

32

分析：在Rt △ABC 中，∠C=90°，由三角函数的意义可以知道AB

AC

B =

sin ，cos A =

AB AC 而1sin 3B =，所以，cos A =3

1

，故选择A 。 点评：本题主要是考查互余的两个锐角三角函数之间的关系。 五、三角函数的应用

例5（甘肃白银市）某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥．一汽车在坡度为30°

的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达点B ，则这时汽车离地面的高度为 米．

分析：汽车离地面的高度就是由点B 向地面做垂线，此时，垂线段与地面构成一个直角三角形，再由sin 30°=

c a =150a =2

1

，所以，75=a ，故这时汽车离地面的高度为 75米．

点评：本题比较简单，主要考查的是三角函数意义。 挑战自我：

1、（天津市）

45cos 45sin +的值等于（ ）

A.

2

B.

2

1

3+ C.

3

D. 1

30

o

图2

A

B

C