浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学)2021届高三上学期第一次联考数学
2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理

2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2.做选择题时,必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,,则A. B. C. D.2.命题“”的否定是A. B.C. D.3.函数的定义域为A.B. C. D.4.定积分A. B. C. D.5.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.6.已知,则的大小关系为A. B. C. D.7.已知命题不等式的解集为,则实数;命题“”是“”的必要不充分条件,则下列命题正确的是A. B. C. D.8.已知,,则下列结论正确的是A.是奇函数 B.是偶函数C.是偶函数 D.是奇函数9.函数的一段大致图象是A B C D10.已知函数对任意都有,的图像关于点对称,且,则A. B. C. D.11.若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实根个数为A. B. C. D.12.定义区间的长度为(),函数(,)的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值为A. B. C. D.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.)13.= .14.设函数,则.15.设函数的最大值为,最小值为,则.16.在平面直角坐标系中,直线是曲线的切线,则当>0时,实数的最小值是.二、解答题(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)17.(本小题满分12分)设:实数满足,:实数满足.(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围;(Ⅱ)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数,为常数,且函数的图象过点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求满足条件的的值.19.(本小题满分12分)已知三次函数过点,且函数在点处的切线恰好是直线.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设函数,若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数满足(其中,).(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)对于函数,当时,,求实数的取值范围;(Ⅲ)当时,的值为负数,求的取值范围.21.(本小题满分12分),曲线在点处的切线与直线垂直.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对于任意的,恒成立,求的范围;(Ⅲ)求证:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.选修4-1:几何证明选讲(本题满分10分)如图,是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,,交的延长线于点,交于点.(Ⅰ)求证:是圆的切线;(Ⅱ)若的半径为,,求的值.23.选修4—4:坐标系与参数方程(本题满分10分)在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点;(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)若,求直线的倾斜角的值.24.选修4 - 5:不等式选讲(本小题满分10分)设函数.(Ⅰ)求不等式的解集;(Ⅱ)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.高三理数第一次联考测试题(参考答案)13. -4 14. 3 15. 2 16.17.(1)由得当时,,即为真时实数的取值范围是. …………2分由,得,即为真时实数的取值范围是.…………4分因为为真,所以真且真,所以实数的取值范围是. …………6分(2)由得,所以,为真时实数的取值范围是. …………8分因为是的充分不必要条件,即是的充分不必要条件所以且…………10分所以实数的取值范围为:. …………12分18.解:(1)由已知得,解得.…………3分(2)由(1)知,又,则,即,即,…………6分令,则,即,…………8分又,故,…………10分即,解得.…………12分19.解:(1)因为函数在点处的切线恰好是直线,所以有即…………3分∴∴…………4分(2)依题意得:原命题等价于方程在区间[-2,1]上有两个不同的解。
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)

浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)注意事项:1.本试题卷共8页,满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。
4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ,集合{}240A x x =-≥,集合{}22xB x =≥,则()UA B =()A. [)2+∞,B. ØC. [)12, D. ()12, 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式,再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥,由22x ≥得1x ≥,则()[)221UA B =-=+∞,,,,所以()[)12UA B =,,故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式,其一容易把交集看作并集,概念符号易混淆;其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+(i 为虚数单位),则复数z 的模长等于()A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=,所以10z 2=,故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念,了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ,满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,,,则2z x y =+的最大值为()A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示(含边界),显然当目标函数2z x y =+经过点()44,时有最大值12,故选B .【点睛】本题考查线性规划,准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中,函数2y ax bx =+,x by a-=(0a >且1a ≠)的图象可能是()A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论,由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小,从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论,当1a >时,对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知,002bb a>∴-<,A 选项中二次函数图象不符,D 选项符合;当01a <<时,对应B,C:由指数函数图象可知,00,02bb a a<∴->>,则B ,C 选项二次函数图象不符,均不正确,故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类,从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ,,平面αβ,满足l α⊥,m β⊂,则“l m ”是“αβ⊥”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时,m α⊥,则可知αβ⊥;反之当αβ⊥时,l 与β中的m 不一定平行,故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面,则另一条也垂直于该平面.6.已知随机变量ξ满足下列分布列,当()01p ∈,且不断增大时,()A. ()E ξ增大,()D ξ增大B. ()E ξ减小,()D ξ减小C. ()E ξ增大,()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大,()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知,随机变量ξ服从二项分布,根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知,随机变量ξ满足二项分布,即~(2,)B p ξ,易得()()()221E p D p p ==-,ξξ,所以当01p <<且不断增大时,()E ξ增大,()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差,会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ,左顶点为A ,右支上存在点B 满足BF AF ⊥,记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ,且2AM MB =,则双曲线的渐近线方程为()A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标,求出直线AB 的方程,联立渐近线求出点M 的横坐标,利用向量关系即可得出关系式,进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ,,()10A -,,得直线211b AB y xc =++:(),联立渐近线y bx =,得1M b x c b =+-,又2AM MB =,所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭,得12c b -=,又221c b -=,所以34b =,所以双曲线的渐近线方程为34y x ,故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时,渐近线方程为by x a=±; 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时,渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=,,e 是自然对数的底数,存在m R ∈() A. 当1i =时,()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时,()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时,()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时,()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点,利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -,根据穿针引线画出草图,即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=,看成两个函数(),yg x y m ==的交点,利用以直代曲,可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->,利用“穿针引线”易知12i =,时图象如图,所以当1i =时最多有两个交点,当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点:令()0f x =,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线,且()()0f a f b ⋅<,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,动点M 在线段1CA 上滑动(包含端点),记BM与11B A 所成角为α,BM 与平面ABC 所成线面角为β,二面角M BC A --为γ,则()A. ≥≤,βαβγB. ≤≤,βαβγC. ≤≥,βαβγD. ≥≥,βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角,分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值,将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ,则MN ABC ⊥平面,过点M 作MH BC ⊥于H ,连接NH ,则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ,连接NG ,则NG AB ⊥. 所以MBA =∠α,MBN =∠β,MHN =∠γ,sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα(M 位于1A 处等号成立),由BN NH ≥可知≤βγ(当B 为直角时,等号成立),故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角,本题也可以直接用线线角最小角定理(线面角是最小的线线角)和线面角最大角定理(二面角是最大的线面角)判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩,,,,若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2,则()A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->,可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时,()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折,并向右平移2个单位长度,纵坐标变为原来的一半,即可作出函数()f x 的图象,将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图,可得()f x 的图象.令()0g x =,当0x =时,不符合题意;当0x ≠时,得()a f x x =,若0a >,则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,,可得7382a <<;若10a -≤<,因左支已交于一点,则右支必然只能交于一点,当10a -<<时,因为(1)11af =-<,所以在()0,2上有两个交点,不合题意舍去,当1a =-时,则需154a <-,解得a Ø∈,故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题:本大题共7小題,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。
高三数学上学期第一次联考试题理 2

卜人入州八九几市潮王学校HY 、HY2021届高三数学上学期第一次联考试题理一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合2{10},{0}x Mx x N xx-=-≤=≤,那么()R C M N ⋂=〔〕 A.(0,1) B.(0,2]C.(1,2]D.[1,2]2.“sin cos αα=〞是“cos20α=〞的〔〕3.以下说法错误的选项是〔〕A.“0x >〞是“0x ≥〞的充分不必要条件B.2320x x -+=,那么1x =1x ≠,那么2320x x -+≠〞C.假设p q ∧,p qD.:p x R ∀∈,使得210x x ++<,那么:p x R ⌝∃∈,使得210x x ++≥4.1cos()3πθ+=-,那么sin(2)2πθ+=〔〕 A.79B.79-C.429D.429-3()2xy x x =-⋅的图象大致是()6.4(,),tan()243ππθπθ∈-=-,那么sin()4πθ+=〔〕A.35B.45C.45- D.35-7.113212,3,sin 4ab c xdx π--===⎰,那么实数,,a b c 的大小关系是()A.a c b >>B.a b c >>C.b a c >>D.c b a >>a 升水缓慢注入空桶乙中,分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,假设再过m 分钟甲桶中的水只有4a升,那么的值是()(A)5 (B)8 (C)9 (D)10 9.1sin()63πα+=,那么2cos(2)3πα-的值是〔〕 A.59 B.79- C.13- D.89-)(x f 满足:当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 那么〔〕A.)3(9)()2(42f e f e f >>B.)()3(9)2(42e f e f f ->->-C.)()2(4)3(92e f e f f->> D.)3(9)2(4)(2->->f f e f e()y f x =是定义在R 上奇函数,且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时x x x f 2)(2--=那么当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为〔〕A.8-B.1-C.1D.021()(2)x f x x x e -=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解,那么m 的取值范围为〔〕A.1m ≤B.1m <-C.1m ≥-D.1m >-二、填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.将答案填在答题卡的相应位置.121(1)x x dx --+=⎰______________.14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ,且点A 在角α的终边上,那么sin 2α=15.如图,正方形ABCD 的边长为2,BC平行于x轴,顶点,,A B C分别在函数1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,那么实数a 的值是.23()cos sin 1(0,)22xf x x x R ωωω=+->∈,假设()f x 在区间(,2)ππ上没有零点,那么ω的取值范围是.三、解答题:一共70分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题,考生根据要求答题. 〔一〕必考题:一共60分.17.〔12分〕在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=.〔1〕求角B 的大小; 〔2〕假设3,23b a c =+=,求ABC ∆的面积.18.〔12分〕 二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--,且在R 上的最小值为〔1〕求函数()f x 在0x =处的切线方程;〔2〕当[]2,1x ∈-时,求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..19.〔12分〕函数2()123cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈〔1〕假设[0,]x π∈,求函数()f x 的单调递减区间;〔2〕假设把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ,求()g x 在区间[,0]2π-上的最值.20.〔12分〕函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.〔1〕假设()t f x x ≤在定义域内恒成立,务实数a 的取值范围;〔2〕设()()sin f x g x a x x=+且()g x 在(]0,π上为单调函数,务实数a 的取值范围. 21.〔12分〕函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--. 〔1〕求证:函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方;〔2〕当0m >时,令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证:211x x e e-<-. 〔二〕选考题:一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题,假设多做,那么按所做的第一题计分. 22.[选修4—4:坐标系与参数方程]〔10分〕在平面直角坐标系中,曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=l 与C 交于,A B 两点.〔Ⅰ〕求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; 〔Ⅱ〕设点(0,2)P -,求PA PB +的值.23.[选修4—5:不等式选讲]〔10分〕 函数()15f x x x =-+-.〔1〕解关于x 的不等式()6f x >;〔2〕记()f x 的最小值为m ,实数,,a b c 都是正实数,且111234ma b c ++=,求证:239a b c ++≥.一中二零二零—二零二壹第一学期第一次月考高三数学〔理科〕答案一、选择题1—5,CACBB ,6—10,ABABA ,11—12,CD 二、填空题12π1213- 6.12(0,][,1]33⋃ 三、解答题17.解:〔1〕∵A +B +C =π,即C +B =π-A ,∴sin〔C +B 〕=sin 〔π-A 〕=sin A ,………………………………………………1分 将〔2a -c 〕cos B =b cos C 利用正弦定理化简得:〔2sin A -sin C 〕cos B =sin B cos C ..........................................3分 ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin 〔C +B 〕=sin A ,………………………..4分 在△ABC 中,0<A <π,sin A >0,∴cos B =,又0<B <π,那么B =...................................................6分 〔2〕∵b =,cos B =cos=,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得:a 2+c 2-ac =〔a +c 〕2-3ac =3 ∵a +c =2.∴ac =3……………………………………………………………...9分又sin B =sin=, ∴S =ac sin B =ac =,即△ABC 的面积为,……………………………….12分18.解〔1〕依题意得:二次函数且,.................3分解得..............................................4分 故切点〔0,0〕,................5分所求切线方程为:....................................6分〔2〕.................7分.................8分令得〔舍去〕......................9分在[-2,-1]为增函数,[-1,0]为减函数,[0,1]为减函数......10分.......................12分19.解:〔1〕=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin 〔2x +〕,……2分令2k π+≤2x +≤2k π+,k ∈Z ,得k π+≤x ≤k π+,k ∈Z ,…………………………………………………….4分 又0x π≤≤,∴263x ππ≤≤可得函数的单调减区间为[,].……………………………………..6分〔2〕假设把函数f〔x〕的图像向右平移个单位,得到函数=的图像,…………..8分∵x∈[-,0],∴2x-∈[-,-],…………………………………………………………..9分∴∈[-2,1].………………………………………..11分故g〔x〕在区间上的最小值为-2,最大值为1.………………….12分20.解:〔1〕依题意在定义域上恒成立,构造在定义域上恒成立,..............1分只需.....................................2分而令得...................................3分所以在为增函数,在为减函数,.............4分............................5分得..........................................6分(2)由在上为单调函数,而其中..............7分在为减函数,............8分在恒成立......................9分得........................11分故.......................................12分21.〔1〕证明:构造函数.................1分那么令得............................2分时时在〔0,1〕为减函数,在〔1,〕为增函数,...................3分所以,即..................4分故函数的图像恒在函数图像的上方....................5分(2)证明:由有两个零点,当时....................6分那么在为增函数,且,..................7分那么当时为减函数,当时,为增函数,................................8分又......9分...............................10分在和上各有一个零点,.........11分故..........................................12分22.〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕,普通方程为C:x2+y2=1;直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=,即ρcosθ-ρsinθ=2,直线l的直角坐标方程:y=x-2.…………………………………………….5分〔Ⅱ〕点P〔0,-2〕在l上,l的参数方程为〔t为参数〕,代入x2+y2=1整理得,3t2-10t+15=0,由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23.解:〔1〕∵f〔x〕=|x-1|+|x-5|>6,∴或者或者,解得x<0或者x>6.综上所述,不等式f〔x〕>6的解集为〔-∞,0〕∪〔6,+∞〕.……………5分〔2〕由f〔x〕=|x-1|+|x-5|≥|x-1-〔x-5〕|=4〔当且仅当〔x-1〕〔x-5〕≤0即1≤x≤5时取等号〕.∴f〔x〕的最小值为4,即m=4,∴=1,∴a+2b+3c=〔a+2b+3c〕〔〕=3+〔+〕+〔+〕+〔+〕≥9.当且仅当=,=,=即a=2b=3c即a=3,b=,c=1时取等号.………..10分。
《精编》浙江省三校高三数学联考试题 文 新人教A版.doc

2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔文〕试题一.选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A .3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ,从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ,那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A .29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图,那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A .63 B .31 C .15 D .7 (4) 假设直线l 不平行于平面a ,且l a ⊄,那么A. a 内的所有直线与l 异面B. a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与l 平行D. a 内的直线与l 都相交(5) 在圆06222=--+y x y x 内,过点E 〔0,1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ,那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A .25B .202C .215D .102〔6〕在以下区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为〔 ▲ 〕 A.〔14,12〕 B.〔-14,0〕 C.〔0,14 〕 D.〔12,34〕 〔7〕设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,那么( ▲ )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ,过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N .假设△1MNF 为正三角形,那么该双曲线的离心率为(▲)A .6B .3C .2D .33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[2)+∞, B.[2)+∞, C.(0,2] D.[2,1][2,3]--二.填空题:本大题共7小题,每题4分,总分值28分.(11) 右图是CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统 计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为_______▲ _。
高三数学上学期第一次联考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校浙南名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题〔含解析〕{}21A x x =≤,{}lg 1B x x =≤,那么A B =〔〕A.[]0,1B.(]0,1C.()0,1D.[]1,10-【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算集合A 和B ,再计算A B【详解】{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤故答案选B【点睛】此题考察了集合的运算,属于简单题型.C :()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,其右焦点为()2F ,那么双曲线C 的方程为〔〕A.22139x y -=B.22193x y -=C.221412x y -=D.221124x y -= 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.【详解】双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,其右焦点为()2F那么2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到3a b ==双曲线方程为:22139x y -=故答案选A【点睛】此题考察了双曲线方程,属于根底题型.3.一个几何体的三视图如下列图,那么该几何体的体积是〔〕A.4B.3C.83D.43【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图复原立体图形,再计算体积. 【详解】如下列图:底面为直角边长为2的等腰直角三角形,高2DE = 故114222323V=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】此题考察了三视图和体积的计算,通过三视图复原立体图是解题的关键.,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩那么y x 的最小值为〔〕A.3-B.3C.13-D.13【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域,将y x看作点到原点的斜率,计算得到答案.【详解】如下列图: 画出可行域00y y k x x -==-,看作点到原点的斜率 根据图像知,当31,22x y ==-时,有最小值为13-【点睛】此题考察了线性规划,将yx看作点到原点的斜率是解题的关键.,x y R ∈,那么“01xy <<〞是“1x y<〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性,得到答案.【详解】当01xy <<时,得到01(0,0)x y x y <<≠≠两边同时除以y得到1x y<,充分性当1x y<时,取11,2x y ==-,那么12xy =-,不满足01xy <<,不必要 “01xy <<〞是“1x y<〞的充分不必要条件故答案选A【点睛】此题考察了充分必要条件,通过举反例判断不必要可以简化运算,是解题的关键.()3ln xf x x =的局部图象是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除B ,当1x >时,()3ln 0xf x x=>,排除CD ,得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--,()f x 为奇函数,排除B 当1x >时,()3ln 0xf x x=>恒成立,排除CD故答案选A【点睛】此题考察了函数图像的判断,通过奇偶性,特殊值法排除选项是解题的关键.102x <<,随机变量ξ的分布列如下: ξ1 2P0.5 0.5x -x那么当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时〔〕 A.()E ξ减小,()D ξ减小 B.()E ξ增大,()D ξ增大 C.()Eξ增大,()D ξ减小D.()Eξ减小,()D ξ增大【答案】B 【解析】 【分析】 分别计算()Eξ和()D ξ的表达式,再判断单调性.【详解】()00.51(0.5)20.5Ex x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时,()E ξ增大()25(1)4D x ξ=--+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时,()D ξ增大 故答案选B【点睛】此题考察了()Eξ和()D ξ的计算,函数的单调性,属于综合题型.M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点,14AA AD ==,5AB =,点P 在面11BCC B 上,假设平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等,那么P 点的轨迹为〔〕A.椭圆的一局部B.抛物线的一局部C.一条线段D.一段圆弧【答案】C 【解析】 【分析】 根据公式'cos S Sθ=得到11MDP CPM S S ∆∆=,计算得到P 到直线11C M 的间隔为定值,得到答案. 【详解】设P 在平面ABCD 的投影为1P ,平面1D PM与平面ABCD 所成的锐二面角为α那么11cos MDP D PMS S α∆∆=M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ,平面1D PM与面11BCC B 所成的锐二面角为β那么11cos CPM D PM S S β∆∆=故1111MDP CPM D PMD PMS S S S ∆∆∆∆=即11MDP CPM S S ∆∆=得到111125,22C M h h ⨯⨯=⨯⨯=即P 到直线11C M 的间隔为定值,故P 在与11C M 平行的直线上 又点P 在面11BCC B 上,故轨迹为一条线段. 故答案选C【点睛】此题考察了立体几何二面角,轨迹方程,通过'cos S Sθ=可以简化运算,是解题的关键. ABC 的边长为2,D 是边BC 的中点,动点P 满足1PD ≤,且AP xAB y AC =+,其中1x y +≥,那么2x y +的最大值为〔〕A.1B.23C.2D.52【答案】D 【解析】 【分析】可建立如下列图的平面直角坐标系,根据题设条件可得动点P 在图中的圆上〔实线局部〕运动,设点()[]()cos ,sin 2P θθθππ∈,,那么可用θ的三角函数表示2x y +,从而可求其最大值.也可以把AP xAB y AC=+表示为1222AP x AB y AC xAB y AC⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭,故2222AP x yAB AC AS x y x y x y '=+=+++〔如图〕,利用向量一共线的几何意义可得AP AS的最大值就是2x y +的最大值,利用三角形相似得当PN 与半圆相切时AP AS最大.【详解】如下列图,由于动点P 满足1PD ≤,且AP xAB y AC =+,因为1x y +≥,所以点P 在以点D 为圆心,1为半径的半圆〔图中实线〕上运动,(3A ,()1,0B -,()1,0C ,()[]()cos ,sin 2P θθθππ∈,,(cos sin 3AP θθ=,,(1,3AB =--,(1,3AC =-,所以11cos cos 23sin 33311cos 23x x y x y θθθθθθ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪=-+⎧⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨=-⎛⎫⎪⎩⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎩,33132cos sin 2226x y πθθθ⎛⎫+=-=-+ ⎪⎝⎭, 因为[],2x ππ∈,所以713,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,1sin 1,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 所以521,2x y ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,应选D .方法二:等和线法 由于动点P 满足1PD ≤,且AP xAB y AC =+,其中1x y +≥,所以点P 在以点D 为圆心,1为半径的半圆〔图中实线〕上运动且0,0x y ≥≥.设AB 的中点为B ',AP 与CB '交于点S ,1222AP xAB y AC x AB y AC xAB y AC ⎛⎫'=+=⋅+=+ ⎪⎝⎭,所以2222AP x yAB AC AS x y x y x y '=+=+++,所以2AP x y AS=+, 过点D P ,分别作直线平行CB '交AB 于M N ,,那么2=APA ANx y N AB S A +==',当PN 与半圆相切时,AN最大且为35122AM MN +=+=. 应选D.【点睛】在平面向量根本定理的应用中,我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值,此类问题的处理,首先考虑能否建立平面直角坐标系,条件是题设中的图形是较为规那么的图形,其次考虑改换基底向量,把系数和转化为线段长的比值,再利用几何意义求最值.{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ,那么〔〕 A.当()*01na n <<∈N 时,那么1n n a a +>B.当()*1na n >∈N 时,那么1n na a +<C.当112a =时,那么111n n aa +++> D.当12a =时,那么111n n a a +++>【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误,得到答案.【详解】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--= 当01n a <<时,1110n na a +-<,故1n n a a +<,A 错误当1na >时,1110n na a +->,故1n n a a +>,B 错误对于D 选项,当1n =时,12a =,212111922a a a a +=+=<,D 错误 用数学归纳法证明选项C 易知0na >恒成立当1n =时,21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立,111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+ 当1n k =+时:即221k k a a +++>故111n n a a +++> 故答案选C【点睛】此题考察了数列的单调性,数学归纳法,综合性强,技巧高,意在考察学生对于数学知识,方法,性质的灵敏运用.11.瑞士数学家欧拉于1777年在微分公式一书中,第一次用i 来表示-1的平方根,首创了用符号i 作为虚数的单位.假设复数51izi -=+〔i 为虚数单位〕,那么复数z 的虚部为________;z =_____. 【答案】(1).3-【解析】 【分析】利用复数的除法可计算z ,从而可求其虚部和模.【详解】()()()()51546231112i i i iz i i i i ----====-++-,故z 的虚部为3-13=,故分别填-.【点睛】此题考察复数的概念、复数的除法,属于根底题. 12.()()321x a x ++展开式中所有项的系数之和为-4,那么a=________;2x 项的系数为_________.【答案】(1).2-(2).10 【解析】 【分析】令1x =后可求得2a =-,利用二项展开式可求2x 的系数. 【详解】令1x =,()()()3231114142a a a ++=+=-⇒=-,()()()()3232221612821x x x x x x x -+=-+-++,故展开式2x 项的系数为624810-+-=.【点睛】此题考察二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算,属于根底题.ABC △中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,1b =,2c =且()2cos cos cos A b C c B a +=,那么A =__________;假设M 为边BC 的中点,那么AM =__________.【答案】(1).3π(2).2【解析】 【分析】利用正弦定理得到1cos ,23A A π==,再利用1()2AM AB AC =+,平方得到答案. 【详解】()2cos cos cos A b C c B a +=利用正弦定理得到:即1cos ,23A A π== M 为边BC 的中点,1()2AM AB AC =+那么222211117(2)(14212)44424AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=++⨯⨯⨯=故答案为3π, 【点睛】此题考察了正弦定理,向量的运算,其中表示1()2AM AB AC =+是解题的关键,可以简化运算. 14.3名男同学、3名女学生和2位教师站成一排拍照合影,要求2位教师必须站正中间,队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生,那么总一共有__________种排法.【答案】576【解析】【分析】将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况,相加得到答案.【详解】当两端都是男生时:242342288A A A ⨯⨯= 当两端都是女生时:242342288A A A ⨯⨯= 一共有576种排法故答案为576【点睛】此题考察了排列,将情况分为两种情况可以简化运算,是解题的关键. P 在圆22680x y y +-+=上,点Q 在椭圆()22211x y a a +=>上,且PQ 的最大值等于5,那么椭圆的离心率的最大值等于__________,当椭圆的离心率取到最大值时,记椭圆的右焦点为F ,那么PQ QF+的最大值等于__________.【答案】(1).2(2).5+【解析】【分析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=,PQ的最大值为5等价于AQ 的最大值为4,根据对称轴得到关系式2311xa =≤--解得答案. 利用椭圆性质得到14PQ QF PQ QF +=+-,再根据三角形边的关系得到答案. 【详解】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=,圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ的最大值为4 设(,)Q x y ,即22(3)16x y +-≤,又()22211x y a a+=> 化简得到222(1)670(11)ay y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时,验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a=≤-≤-故12a <≤当2a =时,离心率有最大值,此时椭圆方程为2214x y +=,设左焦点为1F 当1,,,A F P Q 一共线时取等号.5+【点睛】此题考察了椭圆的离心率,线段和的最值问题,利用椭圆性质转化14PQ QF PQ QF +=+-是解题的关键,意在考察学生的计算才能和综合应用才能. ,,a b c ,满足,3a bb ⋅=,2322c a c =⋅-,那么对任意实数t ,c tb -的最小值为__________.【答案】14【解析】【分析】根据向量夹角公式计算,a b 夹角为6π,以a 坐在直线为x 轴,建立直角坐标,计算得到c 对应的点在2231()24x y -+=上,c tb -表示的是圆上一点到直线上一点的间隔,计算得到答案. 【详解】,3cos 2cos 3,cos 6a b a b b b πθθθθ⋅=⋅==== 如下列图:以a 所在直线为x 轴,建立直角坐标系那么(2,0)a =,设(,)c x y =2322c a c =⋅-得到2232x y x +=-即2231()24x y -+= c tb -表示的是圆上一点到直线上一点的间隔 此间隔的最小值为:311sin 2624dπ=-= 故答案为14【点睛】此题考察了向量的运算,直线到圆间隔的最值,意在考察学生的转化才能和计算才能.()326f x x x ax b =-++,假设对任意的实数a 和b ,总存在[]00,3x ∈,使得()0f x m ≥,那么实数m 的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】将函数变形为()[]3269(9)f x x x x a x b =-+---,设32()69g x x x x =-+,()(9)h x a x b =--,画出函数图像,当9,2a b ==-时取最值,得到答案.【详解】()[]3232669(9)f x x x ax b x x x a x b =-++=-+--- 设322()69,'()31293(1)(3)g x x x x g x x x x x =-+=-+=--()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,(0)(3)0g g ==设()(9)h x a x b =--画出函数图像:对任意的实数a 和b ,总存在[]00,3x ∈,使得()0f x m ≥ 等价于求()f x 最大值里的最小值.根据图像知:当9,2ab ==-时,最大值的最小值为2 故实数m 的最大值为2答案为2【点睛】此题考察了函数的存在性问题,变形函数,画出函数图像是解题的关键,意在考察学生的综合应用才能.()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的图象过点12⎛ ⎝,且相邻的最高点与最低点的间隔.〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式; 〔Ⅱ〕求()f x 在[]0,2上的单调递增区间.【答案】〔Ⅰ〕()2sin()4f x x ππ=+;〔Ⅱ〕1[0,]4和5[,2]4. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用勾股定理得到2T =,ωπ=,将点12⎛ ⎝代入图像得到4πϕ=,得到答案. 〔Ⅱ〕()2sin()4f x x ππ=+,函数的单调区间为3122,44k x k k Z -≤≤+∈,代入k 得到[]0,2上单调区间.【详解】解:〔Ⅰ〕函数()f x 的周期T ,=ωπ∴把坐标1(2代入得2sin()2πϕ+=,cos 2ϕ∴= 又02πϕ<<,4πϕ∴=,〔Ⅱ〕令22,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈解得3122,44k x k k Z -≤≤+∈ ()f x ∴在[]0,2上的单调递增区间是1[0,]4和5[,2]4【点睛】此题考察了三角函数的解析式,三角函数的单调区间,属于常考题型,需要纯熟掌握.19.如图,四棱锥P ABCD -中,AP ⊥平面PCD ,AD BC ∥,2DAB π∠=,12AP AB BC AD ===,E 为AD 的中点,AC 与BE 相交于点O . 〔Ⅰ〕求证:PO ⊥平面ABCD ; 〔Ⅱ〕求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】 【解析】【分析】〔Ⅰ〕先证明BE ⊥面APC 得到BE PO ⊥,再证明PO AC ⊥得到PO ⊥平面ABCD .〔Ⅱ〕以O 为原点,分别以,,OB OC OP 为x 轴,y 轴,z PBD 的法向量为(1,3,1)n =,再利用向量夹角公式得到答案.【详解】解:〔Ⅰ〕由AP ⊥平面PCD ,可得AP PC ⊥,AP CD ⊥,由题意得,ABCD 为直角梯形,如下列图,BC DE ,所以BCDE 为平行四边形,所以BE CD ∥,所以AP BE ⊥. 又因为BEAC ⊥,且AC AP A =, 所以BE ⊥面APC ,故BE PO ⊥.在直角梯形中,AC ==,因为AP ⊥面PCD ,所以AP PC ⊥, 所以PAC 为等腰直角三角形,O 为斜边AC 上的中点,所以PO AC ⊥.且ACBE O =, 所以PO ⊥平面ABCD 〔Ⅱ〕法一:以O 为原点,分别以,,OB OC OP 为x 轴,y 轴,z 轴的建立直角坐标系.不妨设1BO = 0(0)1A -,,,()100B ,,,()001P ,,,0()21D -,,,设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量.满足00n PB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,所以030x z x y -+=⎧⎨-+=⎩, 那么令1x =,解得(1,3,1)n = 法二:〔等体积法求A 到平面PBD 的间隔〕设AB=1,计算可得1PF =,PD =BD =,PBD S =△ 1133PBD ABD S h S PO ⨯⨯=⨯⨯△△,解得h =【点睛】此题考察了线面垂直,线面夹角,意在考察学生的空间想象才能和计算才能.{}n a 的公比1q >,且13542a a a ++=,39a +是15,a a 的等差中项,数列{}n b的通项公式nn b =,*n N ∈. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式;〔Ⅱ〕证明:12n b b b +++<,*n N ∈.【答案】〔Ⅰ〕2n na =;〔Ⅱ〕详见解析.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕直接用等差数列,等比数列的公式计算得到2n n a =.〔Ⅱ〕nn b ==1n S =,得证.【详解】〔Ⅰ〕由39a +是1a ,5a 的等差中项得153218a a a +=+,所以135a a a ++331842a =+=, 解得38a =,由1534a a +=,得228834q q+=, 解得24q =或者214q =, 因为1q >,所以2q. 所以,2n na =.〔Ⅱ〕法1:由〔Ⅰ〕可得nn b =,*nN ∈.122121n n n+==--+22n n=- 1=<法2:由〔Ⅰ〕可得nn b =,*n N ∈.我们用数学归纳法证明.〔1〕当1n =时,11b ==< 〔2〕假设n k =〔*k N ∈〕时不等式成立,即12k b b b +++<.那么,当1n k =+时,1122k k ++=-=, 即当1n k =+时不等式也成立.根据〔1〕和〔2〕,不等式12n b b b +++<,对任意*n N ∈成立.【点睛】此题考察了等差数列,等比数列的公式,裂项求和,意在考察学生对于数列公式方法的灵敏掌握. ()00,A x y 在抛物线24y x =上,,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点,且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上. 〔Ⅰ〕求0y 的取值范围;〔Ⅱ〕假设APQ 的面积等于0y 的值.【答案】〔Ⅰ〕04y >或者00y <;〔Ⅱ〕02y =±.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕设(,2)P a a +,(,2)Q b b +,200(,)4y A y ,AP 的中点20042(,)82y a y a M +++代入抛物线得到二次方程22000(42)440x y x y y ---++=,>0∆解得答案.〔Ⅱ〕先计算A 到PQ 的间隔2d =,再计算PQ =,代入面积公式得到答案.【详解】〔Ⅰ〕设(,2)P a a +,(,2)Q b b +,200(,)4y A y , 那么AP 的中点20042(,)82y a y a M +++,代入24y x = 得:22000(42)440a y a y y ---++=同理可得:22000(42)440b y b y y ---++=所以,,a b 是方程22000(42)440xy x y y ---++=的两个根 解得:04y >或者00y <〔Ⅱ〕点A 到PQ 的间隔200|2|y yd -+=2= 由韦达定理可知:042a by +=-,20044ab y y=-++ 那么|||PQ a b =-==t =,那么有:38240t t +-=,即:2(2)(212)0t tt -++=,解得2t =, 即200440y y --=,解得:02y =±【点睛】此题考察了抛物线,面积问题,将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键,简化了运算. ()ln x a f x b x e=-,其中,a b ∈R ,函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1211y x e e ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭.其中 2.7182e ≈ 〔Ⅰ〕求证:函数()f x 有且仅有一个零点; 〔Ⅱ〕当()0,x ∈+∞时,()k f x ex <恒成立,求最小的整数k 的值. 【答案】〔Ⅰ〕详见解析;〔Ⅱ〕2.【解析】【分析】〔Ⅰ〕求导,根据'1(1)(1)a f b e e =--=-+,1(1)a f e e==解得1a b ==,再判断函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减,1(1)0f e =>1()10e f e e=-<得证. 〔Ⅱ〕先断定2k ≥,不等式等价于2ln x x x x e e-<,设()x x g x e =,()ln h x x x =分别计算函数的单调性和最值得到2k =时,2()f x ex<恒成立,得到答案. 【详解】〔Ⅰ〕'()x a b f x e x=--, 所以'1(1)(1)a f b e e=--=-+ 当1x =时,1y e =,即1(1)a f e e==,解得1a b == '11()0x f x e x=--<,函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减 由于1(1)0f e =>1()10e f e e =-< 那么函数()f x 有且仅有一个零点.〔Ⅱ〕一方面,当1x =时,1(1)k f e e =<,由此2k ≥; 当2k =时,下证:2()f x ex<,在(0,)x ∈+∞时恒成立, 记函数()x x g x e =,'1()xx g x e -=,()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,+)∞上单调递减 1()(1)g x g e≤=; 记函数()ln h x x x =,'()1ln h x x =+,()h x 在1(0,)e 上单调减,在1(,+)e ∞上单调减 11()()h x h e e ≥=-,即1()h x e-≤-; ln ()x x x x g x e -=112(())h x e e e +-≤+=,成立 又因为()g x 和()h x 不能同时在同一处取到最大值,所以当(0,)x ∈+∞时,2()f x ex <恒成立 所以最小整数2k =.【点睛】此题考察了函数切线,零点问题,恒成立问题,综合性强,计算量大,意在考察学生对于导数函数知识技巧的灵敏运用及计算才能.。
高三数学上学期第一次联考试题 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校广深珠三校2021届高三数学上学期第一次联考试题文时间是:120分钟总分值是:150分一.选择题:此题一共12小题,每一小题5分. 1.集合{|(1)(2)0}A x x x =-+<,集合{|lg 0}B x x =≤,那么AB =A .()21,-B .(]01,C .()01,D .(]21,-2.以下函数中,既是奇函数,又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A .2sin x y x =- B .122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C .sin y x x =-D .cos y x x =-3.1748年,瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式cos sin ixe x i x =+,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥〞,根据此公式可知,2ie 表示的复数所对应的点在复平面中位于 A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.过点(0,1)的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为 A .1B .1-C .2 D .2-5.以下说法中,错误的选项是 A :p x R ∀∈,20x 200:,0p x R x ⌝∃∈<B .“1sin 2x =〞是“56x π=〞的必要不充分条件C .“假设4a b +,那么a ,b 中至少有一个不小于2D .函数2sin(2)3y x π=+的图象关于3x π=对称6.各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2,等比数列{}n b 的公比为2-,那么A .14n n a a b b --=B .14nn a a b b --=-C .14n n a a b b -=D .14n n a a b b -=-7.函数2()()xf x x x e =-+的图象大致是A.B .C .D .8.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,12n n a S +=+,那么9a 的值是 A.768B.384C.192D.969.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设公差0d >,8595()()0S S S S --<,那么 A.70a =.B .78a a = C .78a a > D .78a a <10.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点O 是坐标原点,假设3AF =,那么△AOB 的面积为A.222C.322D .211.函数()ln f x x x =A .值域为RB .在(1,+∞)是增函数C .f (x )有两个不同的零点D .过点(1,0)的切线有两条12.如图,在三棱锥P ABC -中,PA 、PB 、PC 两两垂直,且3PA =,2PB =,1PC =.设M 是底面ABC 内一点,定义()(f M m =,n ,)p ,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA - 的体积.假设1()(2f M =,x ,)y ,且18a x y +恒成立,那么正实数a 的最小值为A .1B .2C .3D .4二.填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分.13.函数1235,(1)()1,(1)x x f x log x x +<⎧⎪=⎨-⎪⎩,那么((22))f f =__________14.双曲线C :2218y x -=的左右焦点分别是1,2F F ,过2F 的直线l 与C的左右两支分别交于,A B 两点,且11AF BF =,那么AB=_____________15.曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α,那么222sin cos 2sin cos cos -+ααααα的值是__________16.函数()(ln )xe f x k x x x=--,假设()f x 只有一个极值点,那么实数k 的取值范围是__________三.解答题:解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤.17.〔12分〕ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,5b =,()sin 2sin()a b A b A C +=+.〔1〕证明:ABC ∆为等腰三角形;〔2〕点D 在边AB 上,2AD BD =,17CD =,求AB .18.(12分〕某班的50名学生进展不记名问卷调查,内容为本周使用 的时间是长,如表:时间是长〔小时〕 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)[]20,25女生人数 4 11 3 2 0 男生人数317631〔1〕求这50名学生本周使用 的平均时间是长;〔2〕时间是长为[0,5)的7名同学中,从中抽取两名,求其中恰有一个女生的概率; 〔3〕假设时间是长为[0,10)被认定“不依赖 〞,[]10,25被认定“依赖 〞,根据以上数据完成22⨯列联表:能否在犯错概率不超过0.15的前提下,认为学生的性别与依赖 有关系?20()P K k ≥0k〔参考公式:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++〕19.(12分〕在四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,112AD AB DC BC ====,E 是PC 的中点,面PAC ⊥面ABCD .〔1〕证明://ED PAB 面; 〔2〕假设2PB PC==,求点P 到面ABCD 的间隔.20.(12分〕设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. 〔1〕假设P 是第一象限内该椭圆上的一点,且1254PF PF ⋅=-,求点P 的坐标; 不依赖 依赖 总计 女生 男生 总计〔2〕设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且AOB ∠为锐角〔其中O 为坐标原点〕, 求直线l 的斜率k 的取值范围.21.(12分〕()ln xe f x a x ax x=+-.〔1〕假设0a <,讨论函数()f x 的单调性; 〔2〕当1a =-时,假设不等式1()()0x f x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立,求b 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答,假设多做和,那么按所做的第一题记分。
高三数学上学期第一次大联考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校三湘名校教育联盟2021届高三数学上学期第一次大联考试题理〔含解析〕本套试卷一共4页.全卷总分值是150分,考试时间是是120分钟. 本卷须知:2.答复选择题时,选出每一小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在答题卡上,写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后,将本套试卷和答题卡一起交回.一、选择题:此题一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.U =R ,集合{|(2)0}A x x x =-,{1,0,1,2,3}B =-,那么()U A B 的子集个数为〔〕A.2B.4C.8D.16【答案】B 【解析】 【分析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进展计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞,∴(){1,3}U C A B =-,∴子集个数为4.应选B.【点睛】此题考察了集合的运算,集合子集的个数问题,属根底题.z 满足()112i z i -=+,那么z 在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法得1322zi =-+,再求其一共轭复数即可得解.【详解】由()112i z i -=+,可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-.1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.应选:C.【点睛】此题主要考察了复数的除法运算及一共轭复数的概念,属于根底题.3.九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.〞其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得一样,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?〞〔“钱〞是古代的一种重量单位〕.这个问题中,丙所得为〔〕 A.23钱 B.1钱 C.43钱 D.53钱 【答案】B 【解析】 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ,a ﹣d ,a ,a +d ,a +2d ,由题意求得a =﹣6d ,结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d =5a =5即可得解.【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ,a ﹣d ,a ,a +d ,a +2d , 那么由题意可知,a ﹣2d +a ﹣d =a +a +d +a +2d ,即a =﹣6d , 又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d =5a =5,∴a =1, 应选:B.【点睛】此题主要考察了等差数列的应用,属于根底题.2()2cos f x x x =+,()f x '是()f x 的导函数,那么函数()y f x '=的图像大致为〔〕A. B. C.D.【解析】 【分析】 因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-,显然()f x '是奇函数,求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-,显然()f x '是奇函数,又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在RC 符合,应选C .【点睛】此题考察了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5.a ,b 均为单位向量,3a b +=,那么()()2(a b a b +⋅-=)A.12-B.12C.32-D.32【答案】B 【解析】 【分析】由结合向量数量积的性质可求a b ⋅,代入即可求解. 【详解】解:a ,b 均为单位向量,且a b 3+=,223a 2a b b ∴=+⋅+,1a b 2∴⋅=, 那么()()2212a b a b 2a a b b 2+⋅-=-⋅-=, 应选:B .【点睛】此题主要考察了平面向量数量积的性质的简单应用,属于根底试题. 6.ABC ∆内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,那么“ABC ∆为锐角三角形〞是“222a b c +>〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角,进而由充分必要条件的定义判断即可得解.【详解】当△ABC 为锐角三角形时,C 一定为锐角,此时222a b c +>成立,当222a b c +>成立时,由余弦定理可得cos C >0,即C 为锐角,但此时△ABC 形状不能确定,故ABC ∆为锐角三角形〞是“222a b c +>〞的充分不必要条件,应选:A.【点睛】此题主要考察了充分必要条件的判断及余弦定理的应用,属于根底题.ABC ∆中,1AB =,3AC =,1AB BC ⋅=,那么ABC ∆的面积为〔〕A.12B.1 【答案】C 【解析】 【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =,进而得sin A =,再利用面积公式即可得解.【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC ABA ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=,解得2cos 3A =.所以sinA ==.所以ABC ∆的面积为11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=应选:C.【点睛】此题主要考察了向量的数量积运算及三角形的面积公式,属于根底题.()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象,只需将函数()cos2g x x =的图象()A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位【答案】D【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律,得出结论.【详解】解:函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故将函数()gx cos2x =的图象向右平移π6个单位,可得()f x 的图象,应选:D .【点睛】此题主要考察三角函数的恒等变换,函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律,统一这两个三角函数的名称,是解题的关键,属于根底题.4log 3a =,8log 6b =,0.10.5c -=,那么〔〕A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b <<,通过指数函数的性质可得1c >.【详解】log a=2log b =660-<,∴1a b <<,0.121c =>,应选D .【点睛】此题考察了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属根底题.R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,且当[0,1]x ∈时,()(32)f x x x =-,那么29()2f =〔〕A.1-B.12-C.12D.1【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-,(1)(1)f x f x -=+,∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-,4T =,29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-. 应选A.【点睛】此题考察了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩,假设关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根,那么a 的取值范围是〔〕 A.(,2]-∞- B.[2,)+∞ C.[2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】 将问题转化为当0x>时,2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根所以当0x时,(0,1)m ∀∈,1x e m -=-有一根,当0x >时,2x ax m -=-恒有两个正根,由二次函数的图象可知20240aa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩对任意的(0,1)m ∈恒成立,所以24a ≥解得2a .应选B .【点睛】此题考察了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.(0,)x ∀∈+∞,1ln(1)1x kx x ++>+恒成立,那么整数k 的最大值为〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C【解析】 【分析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立,即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立,即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立,即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立,即h(x)的最小值大于k ,2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=,令g(x)x 1ln(x 1)(x 0)=--+>,那么()01xg x x '=>+,∴g(x)在(0,)+∞上单调递增,又(2)1ln30g =-<,(3)22ln20g =->,∴g(x)0=存在唯一实根a ,且满足(2,3)a ∈,1ln(1)aa =++.当x a >时,g(x)0>,h (x)0'>;当0x a<<时,g(x)0<,()0h x '<,∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈,故整数k的最大值为3.应选C .【点睛】此题考察了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 二、填空题:此题一共4小题,每一小题5分,一共20分.22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________.【答案】16【解析】 【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0),(1,1),结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0),(1,1), 如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰.【点睛】此题考察了定积分的几何意义,属根底题.()2,sin a α=,()1,cos b α=,且//a b ,那么()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】45【解析】 【分析】由向量平行可得2cos sin αα=,结合221sin cos αα=+可得24sin5α=,结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=,()1,cos b α=,且//a b ,所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=,所以24sin5α=. 故答案为:45. 【点睛】此题主要考察了向量一共线的向量表示及同角三角函数关系,属于根底题. 15.()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数,那么ab=__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -=恒成立可得.【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax axax ax e e bx ebx bx e ax bxe-++-=++=+=+-+,∴2ax bx=,2ab=. 【点睛】此题考察了偶函数的性质,属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ,132020a =,()*12,n n n a S S n n N -=≥∈,那么当n S 取最大值时,n 的值是______. 【答案】674 【解析】【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈,进而得120233n S n=-,利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,nn n a S S n n N -=≥∈,可得()*112,n n n n S S S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有:1{}n S 是以1120203S =为首项,-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-,所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时,n S 递增,且0n S >;当675n ≤时,n S 递增,且0nS <.所以当674n =时,n S 取最大值. 故答案为:674.【点睛】此题主要考察了n a 和n S 的递推关系,考察了数列的单调性,属于中档题. 三、解答题:一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 的前n 项和为n S ,519a =,555S =.〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】〔1〕41na n =-〔2〕()343nn +【解析】 【分析】〔1〕由等差数列的根本量表示项与和,列方程组求解即可;〔2〕先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析:〔1〕设公差为d ,那么1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得134a d =⎧⎨=⎩,∴()34141n a n n =+-=-.〔2〕()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, ∴11111114377114143nT n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+.【点睛】此题主要考察了等差数列的根本量运算及裂项求和,属于根底题.ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,222()2cos a b ac B bc -=+.〔1〕求A ;〔2〕D 为边BC 上一点,3BD DC =,2DABπ∠=,求tan C .【答案】〔1〕23π;〔2【解析】【详解】分析:〔1〕由余弦定理可得222a b c bc --=,从而可得cos A ,进而得解;〔2〕在ABC △中,由正弦定理可得:sin sin120c BCC =,①,在RtABC 中,()sin 30cC BD+=,②,联立①和②可得解.详解:〔1〕由条件和余弦定理得: 即:222a b c bc --=那么2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<,23A π∴=. 〔2〕在ABC △中,由正弦定理可得:sin sin120c BC C =,①在Rt ABD △中,()sin 30cC BD+=,②由①②可得:()sin 30sin CC+=1cos 22sin C CC +=,化简可得:tan C =点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或者全部化为边的关系.题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.()()cos sin f x x x α=+-,0απ<<,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. 〔1〕求α与b 的值; 〔2〕求()f x 的最大值及单调递增区间.【答案】〔1〕3πα=,b =〔2〕最大值12,单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 【解析】 【分析】〔1〕求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+,由()1'02f =得3πα=,从而得解; 〔2〕由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】〔1〕()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+,()1'02f =,3πα=,()0f =,b=. 〔2〕()21sin cos 224f x x x x =+-11sin 22sin 24423x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 当2232x k πππ+=+,k Z ∈时,()f x 获得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. 【点睛】此题主要考察了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线,属于中档题.{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕设2log nn n b a a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕2n n a =〔2〕()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】〔1〕先令1n =得12a =,再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--,与条件作差得2n n a =;〔2〕由2n nb n =⋅,利用错位相减法求和即可.【详解】解析:〔1〕当1n =时,()221log 1a =,由1n a >得12a =.当2n ≥时,()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--,∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =,∴2nn a =,∵1n =也适宜,∴2n n a =.〔2〕2n n b n =⋅,∴1212222n nT n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-,∴()1122n nT n +=-⋅+.【点睛】此题主要考察了和与项的递推关系及错位相减法求和,属于中档题.()2x f x e ax a =+++.〔1〕讨论()f x 的单调性;〔2〕当0x ≤时,()2f x ≥,务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕见解析〔2〕[]1,0-【解析】 【分析】 〔1〕求函数导数得()'x f x e a =+,分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性;〔2〕令()x hx e ax a =++,那么()00h ≥,1a ≥-,讨论0a =,0a >和10a -≤<时,利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】〔1〕()'x f x e a =+,假设0a ≥,那么()'0f x >,()f x 在R 上单调递增;假设0a <时,由()'0f x >得()ln x a >-,由()'0f x <得()ln x a <-,∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减,在()()ln ,a -+∞上单调递增.〔2〕当0x ≤时,22xe ax a +++≥,即0x e ax a ++≥,令()xh x e ax a =++,那么()00h ≥,1a ≥-,当0a =时,()0xh x e =>,满足题意;当0a >时,()'0xh x e a =+>,∴()h x 在(],0-∞上递增,由x y e =与()1y a x =-+的图像可得()0hx ≥在(],0-∞上不恒成立;当10a -≤<时,由()'0x h x e a =+=解得()ln x a =-,当()ln x a <-时,()'0h x <,()h x 单调递减;当()ln 0a x -<≤时,()'0h x >,()h x 单调递增.∴()hx 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -,∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥,解得10a -≤<.综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题主要考察了函数导数的应用及分类讨论的思想,利用导数研究函数最值解决恒成立问题,属于难题.()ln 1,f x x ax a =-+∈R .〔1〕假设()f x 有两个零点,求a 的取值范围;〔2〕设11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,直线AB 的斜率为k ,假设120x x k ++>恒成立,求a 的取值范围.【答案】〔1〕(0,1)〔2〕(-∞【解析】 【分析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数,不可能有两个零点,当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>,解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e <得到()f x 在11(,)e a 上有1个零点;根据1()0f a >,22f ()0ea<,得到()f x 在221(,)e a a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,别离变量变成min 1(2)a x x+,最后用根本不等式求得最小值,代入即得.【详解】〔1〕1()f x a x'=-,0x >, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上是增函数,不可能有两个零点;②当0a>时,在区间1(0,)a 上,()0f x '>;在区间1(,)a+∞上,()0f x '<.∴()f x 在1(0,)a 是增函数,在1(,)a+∞是减函数,11()ln 0f a a =>,解得01a <<,此时2211e e a a<<,且1()110a a f e e e =--+=-<,∴()f x 在11(,)e a上有1个零点; 2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<,令2()32ln e F a a a=--,那么222222()0e e aF x a a a-'=-+=>,∴()F a 在(0,1)上单调递增, ∴2()()130F a F e <=-<,即22f ()0e a <,∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点. ∴a 的取值范围是(0,1).〔2〕由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-,∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-, ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,∴1()20m x x a x'=+-在(0,)+∞上恒成立,∴min 1(2)a x x +,∵0x >,∴11222x x x x +⋅=12x x =时,即2x =取等号,∴22a.∴a 的取值范围是(-∞.【点睛】此题考察了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用根本不等式求最值,属难题.。
2021年高三三校第一次联考(数学文)

2021年高三三校第一次联考(数学文)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x | y=ln (1-x )},集合B={y | y=x 2},则A ∩B = ( )A .[0,1]B .C .D .2.复平面内,复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.若平面向量的夹角是180°,且等于 ( ) A .(-3,6) B .(3,-6) C .(6,-3)D .(-6,3) 4.设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为( )A .B .C .D .(1,2)5.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的 直角边长为1,那么这个几何体的体积为( ) A .1 B .C .D .6.已知x 、y 满足约束条件的取值范围为( ) A .[-2,-1] B .[-2,1] C .[-1,2] D .[1,2]7.已知是周期为2的奇函数,当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 ( ) A . B . C . D .8.动点在圆上移动时,它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是 ( )A .B .C .D .正视图 侧视图 俯视图 第4题图9.函数的图象如图所示, 则y 的表达式为 ( ) A . B . C . D .10.如图,在杨辉三角形中,斜线l 的上方从1按箭头所示方向可 以构成一个“锯齿形”的数列{a n }:1,3,3,4,6,5,10, …,则a 21的值为 ( ) A .66 B .220 C .78 D .286 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
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B.
5 2
,
1 2
3,
7 2
C.
1 2
,
3
D.
1 2
,
3
2. 已知 a R ,若 a 1 i ( i 为虚数单位)是实数,则实数 a 等于 1i 2
()
A.1
B.2
C. 3 2
D. 5 2
x 0
3.若 x 2 y 0 ,则 z x 3y 的最小值是
x y 3 0
()
A.0
B.1
C. 5
D.9
4. 设 m,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不.正.确.的是
()
A.当 n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B.当 m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C.当 m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D.当 m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
A.131 81
B.143 81
C. 433 243
D. 593 243
10.定义全集
U
的子集
A
的特征函数
fA
x
1, x A 0, x CU
A
.这里 CU
A
表示集合
A
在全集
U
中的
补集.已知 A U , B U ,以下结论不.正.确.的是
()
A.若 A B ,则对于任意 x∈U,都有 fA x fB x ;
13
, sin 2( ) ▲ .. 4
15. 过 x y 2 0 上一点 P x0 , y0 作直线与 x2 y2 1 相切于 A , B 两点.当 x0 3 时,切线
长 PA 为________________;当 PO AB 最小时, x0 的值为__________. 16.在平面直角坐标系中,给定两点 M(1,2),N(3,4),点 P 在 x 轴的正半轴上移动,当 MPN 取
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.
已知集合
A
{x
||
2x
1
|
6},
B
x
2x 1 3 x
0
,
则
A
ðR
B
=
()
A.
5 2
,
1 2
3,
7 2
5.已知函数 y=sin ax+b(a>0)的图像如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图像可能是 (
)
A
B
C
D
6.已知 F1, F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右两个焦点,若双曲线左支上存在一点
P
与点
F2
关于直线
y
Байду номын сангаас
b a
x
对称,则该双曲线
C
的离心率为
()
A. 5
11.在 2000 多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线:用垂直 于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和” 圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
已知一个圆锥的高和底面半径都为 2,则用与底面呈 45 的平面截这个圆锥,
最大值时,点 P 的横坐标为__________.
17.若对任意 x 0 ,不等式 a(eax 1) 2(x 1) ln x 恒成立,则实数 a 的最小值为_________. x
三.解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分 14 分)
所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么
P(A•B)= P(A)•P(B)
柱体的体积公式
V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,那么 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2,,n) 台体的体积公式
V= 1 Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 球的表面积公式
S=4πR2
1
V= (S1+
3
S1S2 +S2) h
球的体积公式
其中 S1、S2 表示台体的上、下底面积,h 表示棱 台的高.
得到的曲线是 ▲ .
12. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是1,则正视图中的 x 的
值是 ▲ ,该几何体的表面积是 ▲ .
13. 已知多项式 x2 1 x 15 a0 a1 x 1 a2 x 12 a7 x 17 ,
则 a1 a2 a7 ▲ , a4 ▲ . 14.已知 sin cos 7 (0 ) ,则 tan ▲
B. 5
2
C. 2
D.2
7. 设函数 f (x) 2x cos x ,设
an
是公差为
的等差数列,
f(a1)+f(a2)+…+f(a5)= 5
,则
8
f a3 2 a1a5
()
A.0
B. 1 2
C.1 2
D.13 2
8.
16 已知平面向量 a ,b ,c 满足:a
8
2 ,a ,b 夹角为 60o ,且 c
在① A C 2B ② a c 2b 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 问题:已知 ABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 b 2 ,_____,试求 sin A sin B sin C
浙江 2021 届高三三校第一次联考
数学试题卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将
B.对于任意 x∈U,都有 fCU A x 1 f A x ; C.对于任意 x∈U,都有 fAB x fA x fB x ;
D.对于任意 x∈U,都有 fAB x fA x fB x .
非选择题部分(共 110 分) 二.填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分
1
a
t
b16t
R
.则
c
ca
2
的最小值为
()
A. 13
B. 4
C. 2 3
93
D.
4
9.袋子 A 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的
概率是 1 ,有 3 次摸到红球即停止.记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ,则 的数学期望
3
E
()