人教版初三数学上册与圆有关的几个定理
九年级几何中圆知识点
九年级几何中圆知识点几何中圆知识点一、定义和性质圆是平面上所有到一个固定点距离都相等的点的集合。
固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度是半径长度的两倍。
圆的性质：1. 圆上任意两点都可以被圆心连线，并且这条线段都等于半径的长度。
2. 圆的直径是圆上最长的一条线段。
3. 圆上任意一条线段都可以看作是两个弦，当且仅当线段的两个端点都在圆上时。
4. 圆的周长是圆周上所有弧段长度的和，可以用公式C = 2πr 来表示，其中C表示周长，r表示半径。
5. 圆的面积是圆内所有点构成的区域，可以用公式A = πr²来表示，其中A表示面积。
二、圆的重要元素1. 弧：圆上的两个点确定了一个弧，它是圆周上的一段弯曲线。
2. 弦：圆上的两个点确定了一条弦，它是圆上两点之间的线段。
3. 切线：切线是与圆相切于圆上一点，并且与这一点的切线垂直的直线。
4. 弦割定理：两条截取同一弧的弦长的乘积等于这两条弦所夹圆心角的弧度的正弦的两倍。
三、圆的相关定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的交点与切点之间的线段相互垂直。
2. 弦切角定理：圆上任意一点的切线和弦之间的夹角等于这个弧所对的圆心角的一半。
3. 弦弧角定理：圆上任意一弦所对的圆心角等于这个弧所对的弦的一半。
4. 弧长定理：圆周的长的弧相当于这个弧所对的圆心角的弧度的两倍乘以半径的长度。
四、圆的应用圆的知识在很多实际生活和工作中都有应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 圆的轮廓设计：圆形是最常见的几何形状之一，它在轮胎、圆形钟表和餐盘等产品设计中起到美观和实用的作用。
2. 圆形运动：行星绕太阳运行的轨道符合圆的形状，它在天文学中起到了重要的作用。
3. 圆柱形物体的表面积和体积计算：圆柱的表面积可以通过计算圆底的面积和侧面的矩形面积的和得出，而圆柱的体积可以通过计算圆底面积乘以高得出，这些计算在日常生活和工程中都有所应用。
九年级上册数学书圆的知识点总结
九年级上册数学书中圆的知识点总结1. 圆的概念：圆是一个由曲线包围的形状，它由一个中心点（称为圆心）和到这个中心的固定距离（称为半径）的所有点组成。
这个形状可以看作是线段OA 绕着它的一个端点O旋转一周后，另一个端点A所形成的轨迹。
2. 圆心和半径：在同一个圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦长度相等，所对的弧长度相等，所对的弦的弦心距（即从圆心到弦的垂线段的长度）也相等。
这个规律是由于圆本身的性质决定的，它反映了圆的一个重要特性。
3. 弧、弦的关系：在同一个圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
这个规律在证明一些几何定理时非常有用，它帮助我们理解圆中的角度和线段之间的关系。
4. 垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径会平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理是圆中一个重要的定理，它在证明一些与弦有关的定理时非常有用。
5. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理是圆中一个基本的定理，它帮助我们理解圆中的角的关系。
6. 切线：切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点称为切点。
切线在几何学中有着重要的应用，它可以用来证明一些关于圆的定理。
7. 切线定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
这个定理帮助我们判断哪些直线是圆的切线，以及如何找到圆的切线。
8. 三角形的外接圆与外心：任何一个三角形都有一个外接圆和外心。
外接圆的半径等于三角形外心的半径。
这个知识点帮助我们理解三角形的性质以及如何找到三角形的外接圆和外心。
9. 圆与正多边形：正多边形的各边长度都相等，各内角也相等。
这个知识点可以帮助我们理解正多边形的性质以及如何计算它们的面积和周长。
10. 反证法：在证明一个几何命题时，如果直接证明有困难，可以先假设命题不成立，然后推导出与已知事实或已证明的定理矛盾的结果，从而证明假设不成立，命题得证。
反证法是一种有效的证明方法，它在几何学中经常被使用。
九年级上册圆的知识点
九年级上册圆的知识点圆的知识点圆是我们数学学科中一个重要的几何概念。
它是由与一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
无论在三维立体世界还是二维平面中，圆都扮演着重要的角色。
在九年级的上册，我们将学习许多和圆相关的知识点，包括圆的定义、性质、相关定理以及应用等。
一、圆的定义圆是平面上所有与一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，而这个相等的距离称为半径。
我们可以通过圆心和半径来确定一个圆，记作O(r)，其中O代表圆心，r代表半径。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆上任意两个点之间的最大距离被定义为圆的直径，它等于半径的两倍。
2. 弧：圆上两个点之间的线段被称为弧。
圆的弧可以是一个小弧、一条半圆或者整个圆。
通常用字母来表示一个弧。
3. 圆的周长和面积：圆的周长是指围绕圆的边界的长度，记作C。
圆的面积是指圆所覆盖的平面的大小，记作A。
周长和面积的计算公式分别为C = 2πr和A = πr²，其中π是一个数学常量，约等于3.14。
三、圆的相关定理1. 圆的同位角定理：在同一个圆或等圆上，对圆心的两个弧所对应的角是相等的。
2. 弧度和角度的关系：弧度是表示角度大小的单位，1弧度等于180°/π。
利用弧度的概念，我们可以更精确地描述圆的性质和定理。
3. 切线与半径的关系：在一个圆上，切线与半径垂直相交。
这就意味着切线和半径所形成的角是直角。
4. 切线定理：如果从切点作一条直线与切线相交，那么该条直线与半径所形成的角是相等的。
四、圆的应用圆不仅仅是一个几何概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的圆的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑结构都离不开圆的概念，如圆形建筑、拱形结构和圆形窗户等。
圆的几何性质和稳定性使得它成为建筑设计中常用的元素。
2. 车轮：车轮通常是圆形的，这是因为圆形能够提供更好的平衡和稳定性。
无论是自行车还是汽车，理解圆的几何特性对于设计和制造车轮至关重要。
初三《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级数学圆形知识点归纳
九年级数学圆形知识点归纳九年级数学学习中，我们接触到了许多有关圆形的知识。
本文将对这些知识进行归纳总结，以便更好地了解和掌握圆形的特性和运用。
一、圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点组成的图形，这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质有以下几个要点：1. 圆上的任意点与圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是两个任意点在圆上连线的最长线段，它的长度是圆的半径的两倍。
3. 圆的弧是两个点在圆上连线所得到的曲线部分。
4. 圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对的弧所在圆周的度数。
二、圆的计算公式在解决圆的相关问题时，我们需要运用一些计算公式。
以下是常见的圆的计算公式：1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积。
三、圆的相关定理1. 同圆弧所对的圆心角相等。
2. 等弧所对的圆心角相等。
3. 在同一个圆或等圆中，圆心角大的所对的弧也大，圆心角小的所对的弧也小。
4. 在同一个圆或等圆中，与同一弧相交的弦所对的圆心角相等。
四、切线和切点的性质1. 切线是与圆只有一个交点的直线。
2. 在切点处，切线垂直于半径。
3. 半径和切线之间的夹角是直角。
五、圆锥和圆柱体1. 圆锥是以一个圆为底面，上方以一个顶点为端点的三维图形。
2. 圆柱体是以一个圆为底面，上下底面平行且等大小的三维图形。
六、几何图形的应用在生活中，我们经常会遇到一些与圆相关的几何图形。
以下是一些常见的应用场景：1. 钟表：钟表的表盘就是一个圆形，指针所指的位置是圆上的点。
2. 气球：气球形状都是圆形，用圆的表面面积计算气球的充气量。
3. 轮胎：轮胎是车辆底盘的重要组成部分，轮胎的结构和运动都与圆形有关。
通过对九年级数学圆形知识点的归纳总结，我们对圆形的定义、性质、计算公式、相关定理，以及在几何图形应用中的实际场景有了更深入的理解。
初中数学九年级圆的知识点
初中数学九年级圆的知识点圆是初中数学中的一个重要的图形，它具有独特的性质和应用。
在九年级的数学学习中，我们需要掌握圆的基本知识和相关的定理。
本文将依次介绍圆的定义、圆的性质、弦与弧、切线与切点、圆内接四边形以及圆的应用等内容。
一、圆的定义圆是指平面上到一个定点距离相等的所有点的集合。
定点称为圆心，所有到圆心距离等于半径的点构成圆。
圆通常用字母O表示圆心，字母r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离等于半径的长度。
2. 圆心角是位于圆上两条半径的夹角，它的度数等于所对的弧上的角度。
3. 弧度制中，一个圆的弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
三、弦与弧1. 弦是圆上两点之间的线段，它等于弧的直径。
2. 弧是圆上两点之间的一段曲线，它的度数等于对应的圆心角的度数。
四、切线与切点1. 切线是与圆相切于圆上一点的直线。
2. 切点是切线与圆的交点，切线与半径的夹角为90度。
五、圆内接四边形1. 圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在圆上，且每条边都是弧。
2. 圆内接四边形的两个对角线互相垂直且平分。
六、圆的应用1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径，π近似等于3.14。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径，π近似等于3.14。
3. 圆柱体、圆锥体、圆球等几何体的计算都与圆密切相关。
通过对初中数学九年级圆的知识点的学习，我们不仅能够了解圆的定义和性质，还能够应用圆的相关定理解决实际问题。
掌握圆的知识将为我们的数学学习打下坚实的基础，并在日常生活中发挥重要作用。
让我们积极投入学习，深入理解圆的知识，提升自己的数学水平！。
九年级上册数学圆章节知识点总结
九年级上册数学圆章节知识点总结What is a classic? It takes about 100 years to become a classic.与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：一：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；二圆的有关性质：1.对称性：圆是中心对称图形,其对称中心是圆心；圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧；2、推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；2推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.4.圆周角与圆心角的关系1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；2推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补.（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系．1d＞r点在圆外；2d=r点在圆上；3d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、1直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．2用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1直线l和⊙O相交d＜r如图1所示；2直线l和⊙O相切d=r如图2所示；3直线l和⊙O相离d＞r如图3所示．2、切线1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．五三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆1定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等．六：圆的有关计算一正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,这两个圆是同心圆,正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边,那么它又是中心对称图形,其中心就是对称中心；3、边数相同的正多边形相似,它们的周长的比等于它们的相似比,面积的比等于它们相似比的平方；4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n3600； 二 弧长与扇形面积1、在半径为R 的圆中,0n 圆心角所对的弧长l=180n ℜπ;2、在半径为R 的圆中,圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360n 2R π；半径为R,弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 21;3、侧面积：设圆锥的母线长为l,底面积的半径为r,那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πrl+πr 2.。
圆的性质定理九年级(圆的性质定理)
1、有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。
2、圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
3、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
5、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
6、⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
7、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
8、直径所对的圆周角是直角。
9、90度的圆周角所对的弦是直径。
10、如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
11、⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
12、外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
13、③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
14、（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
15、（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
16、（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
17、（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
18、（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
19、（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
20、〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
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蔡甸区常福中学九年级数学下册教学案
课题：几何计算专题复习--与圆有关的定理
第13周 主备人：袁劲梅 教研组长：向俊伟 审核人______ 授课人： 袁劲梅 授课时间2017.5.28 编号______
学案
教案
一、课堂导入：
本节课我们学习几何知识里几个新的定理，进一步掌握这些定理的推导和灵活运用。
二、揭示目标： 学生齐读学习目标，了解本节课的学习内容及应达到的目标。
三、合作探究：
1、小组合作探究（讨论质疑）
学生合作完成该部分题目。
①要求小组各成员都能不同程度的解答各题，先完成的帮助后进生，老师巡视了解学生的完成情况；②选代表上台讲解解法。
2、组间合作探究（交流释疑）
各组成员可随意请求质疑或发表不同解法；
四、归纳小结 总结：本节课学习了与圆有关的几个定理： 弦切角定理 切割线定理 射影定理
1、熟练掌握这些定理的推导过程；
2、通过这些定理结论，直接解题，提高解题速
一、考点分析
此题型为中考题中的第21题圆的综合题，主要考查圆与直角三角形、切线有关定理、三角函数、相似的计算，命题极为灵活，考查知识面广，有一定的难度。
结合图形特征利用定理结论求线段的长度是必考的知识点。
二、学习目标
1、学习一些新的定理，并推导出结论。
2、能够灵活运用这些结论解决圆中线段的长，角的三角函数的计算。
三、课堂前置
如图：在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于P, 求证：PA ·PB=PC ·PD
四、课堂新授
知识一：弦切角定理
如图，已知PC 为⊙O 的切线，PBA 为割线. 求证：∠1=∠A
例1：如图：PA 、PB 与⊙O 相切与A 、B 两点，C 为优弧AB 上的一点，若tan ∠ACB=2，则sin ∠APB 的值为______.
逆定理也成立：如图：若∠1=∠A ，求证：PC 为⊙O 的切线。
知识二：切割线定理
如图，已知：PC 为的切线，PBA 为割线. 求证：PC ²=PA ·PB
探究：当割线经过圆心O 时，tan ∠1=?
例2:如图，AB 是O 的直径，PC 为切线，弦CE 平分∠ABC ，若tan ∠ABC=
34 ,BE=
22
7
,求线段PC 的长.
知识三：射影定理
如图：在Rt ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的高。
求证：AC ²=AD ·AB BC ²=BD ·AB CD ²=AD ·BD
例3：如图，直径CD ⊥ 弦AB 于E,P 为DC 延长线上的一点，连AC ∠1=∠2，
（1）求证：PA 为⊙O 的切线
（2）若DE=8，CE=2，求PC 的长。
四：课堂小结
度，拓宽解题思路。
五、检测练习
学生独立完成该部分习题，交由老师当堂批改，老师进行个别指导，要求订正。
（少数学生依能力可完成部分习题）
六、课堂评价
①在小组合作学习中你是否掌握了基本方法； ②在检测练习中你是否能完成所有题目。