2-1-1函数的概念及表示
函数的概念与基本初等函数2-1
素可无原象，即B中元素可有剩余．
4．若函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是
各基本初等函数定义域的交集．对于含有字母的函数求定义域，或已知其定
义域求字母参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行讨论．求给定函数 解析式的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取 交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍． 5．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域
集
映射 合B的 ，记作f ：A→B.
思考：函数与映射有什么区别？ 提示：函数是特殊的映射，映射不一定是函数．函数是从一个非空数集 到另一个非空数集的映射．映射是从一个非空集合到另一个非空集合
(这两个集合不一定是数集)的对应．
1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩ {(x，y)|x＝x0}中所含元素的个数是________． 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点． 答案：0或1 2．下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是________． ①x2＋y2＝1；②y＝ 答案：①③④ 3．函数y＝ 答案：[－1,1] 的定义域是________，值域是________． [0,1] ；③ ；④y2＝4x2＋1
确定函数定义域的原则
(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；
(2)当函数y＝f(x) 用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数
的集合；
(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合； (4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定． （5）若已知函数f（x）的定义域为［a,b］，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式 a≤g（x）≤b解出.
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
高中数学 第2章 函数2.1.1函数的概念和图象(一)配套课件 苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
第二十一页，共24页。
练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
第三页，共24页。
填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
人教版数学必修一函数的含义及表达形式
二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域就不是函①A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，例如，y=x−1x+1数②集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即{f(x)|x∈A}⊆B③符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”④f(a)，a∈A与f(x)的区别⑤函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M={x|0≦x≦2}，N={y|0≦y≦2},给出的下列四个图形中，其能够表示集合M 到集合N的函数关系的是（）2.函数的构成要素与函数相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等①函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域②满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x−1，x≧1 1−x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(33)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：①如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R②如果f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合③如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合④如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12−x（2）f(x)=x−2+233x+7（3）f(x)=4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式∆≥0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数的值域如：求y=x+1x²+2x+2（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13−4x的值域的函数的值域，舱采用分离常数法（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b的值域如：求y=3x−2x−1（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：①区间的左端点必小于右端点②用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示③无穷大∞是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则④以“+∞”或“- ∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号⑤单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]的定义域可用区间表示为__________例4：函数y=1−1−x例5：已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，求A∩B，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x 3+2x,求f(f(1))的值2.已知f(x)=1-2x ，则f(12)=______3.已知f(x)=11+x （x ∈R ，且x ≠-1），g(x)=x ²+2（x ∈R ）（1）求f （2），g （2）的值（2）求f(g(2)) 的值考点2：求函数定义域1.求已知解析式的函数定义域1.求下列函数的定义域（1）y= −x 2x²−3x −2（2）y=4x+83 3x −2（3）y= x ²−3· 5−x ²（4）y= x +2+13−x。
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
高中数学2-1-1参数方程的概念与圆的参数方程
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消 去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和
利用三角恒等式消参法两种．
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【变式1】 设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运 π 动， 角速度为 rad/s.试以时间 t 为参数， 建立质点运动轨迹 60 的参数方程．
当 cos θ ＝0 时，(|PC|＋|PD|)max＝ 52＋52＝2 26. ∴|PC|＋|PD|的最大值为 2 26.
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【反思感悟】 如果取半径绕原点 O 逆时针旋转转过的角度 θ 为参数，圆
x＝rcos θ， 2 2 2 x ＋y ＝r 对应的参数方程为 y＝rsin θ.
【综合评价】 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的 方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困
难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参
数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习 参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提 高应用意识和实践能力．
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【学习目标】 1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写 出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参
数写出它们的参数方程． 3．举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示
更方便，感受参数方程的优越性．
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自学导引
1．参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数
数学必修一：2-2-1-1对数函数
2．对数与指数的关系 (1)指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 中，a、b、N 三者间的关系 实质如下(a>0 且 a≠1)：
项目 式 子 a b N
意义
指数式 ab＝N 底数 指数 幂
a的b次幂等于N
对数式 logaN＝b 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于b
(2)利用对数式与指数式之间的关系，可以把指数与对数进行互化．
∴
(5－2 6)＝2；
(4)log1041＝0； (5)ln e＝1；
(6)利用公式
＝N 求得
＝9.
(7)原式＝
＝7×5＝35.
第十六页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
题型三 对数恒等式
的应用
审题指导 利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求值． (4分)
(8分)
(12分)
第十七页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
对数的表达式 x＝logaN 中底数 a 须满足 a>0 且 a≠1，只有满足这一条件式子才能够成立，在解题时要时时记 住这一点．
第二十页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
单击此处进入 活页限时训练
第二十一页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
(3)∵14－2＝16，∴
＝－2.
(4)∵log101 000＝3，∴103＝1 000.
第十二页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
题型二 对数基本性质的应用
【例 2】 求下列各式中 x 的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log(
2－1)
1 3＋2
＝x. 2
第七页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
人教版高中数学必修一(1.2.1-1函数的概念)ppt课件
定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)
x
2
2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。
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{ 真题演练集训 }
1．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案：C
解析：∵ －2<1，
∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.
∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
2．[2015·浙江卷]存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )
A ．f (sin 2x )＝sin x
B ．f (sin 2x )＝x 2＋x
C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|
D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|
答案：D
解析：取特殊值法．
取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；
取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；
取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；
取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．
综上可知，故选D.
3．[2014·江西卷]已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f (g (1))＝1，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．－1
答案：A
解析：由已知条件可知，f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.
4．[2014·上海卷]设f (x )＝⎩⎨⎧
(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小
值，则a 的取值范围为( )
A ．[－1,2]
B ．[－1,0]
C ．[1,2]
D ．[0,2]
答案：D
解析：∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，
又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.
当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时，等号成立．
要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，
∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.
5．[2017·全国卷Ⅲ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞ 解析：当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>2x >2>1； 当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12>2x >1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1＝2x ＋32， ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12>1⇒2x ＋32>1⇒x >－14，即－14<x ≤0. 综上，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.。