二元函数的极限
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数求极限的微分法与导数应用
二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。
本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。
一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。
对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。
以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。
具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。
（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。
（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。
（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。
（3）对变量u求极限lim f(u)。
（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。
以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。
而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。
2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。
3.2二元函数的极限
二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数z= f (x ,y )同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于有限数值x 0与y 0时，函数z 的变化趋势，即二元函数的极限。
1.二元函数极限的定义定义：设函数z= f (x ,y )在点P 0 (x 0,y 0)的某一去心邻域内有定义，P (x ,y )为该邻域内任意一点，当P (x ,y )以任意方式趋于P 0 (x 0,y 0)时，函数f (x ,y )的值都趋于一个确定的常数A ，则称A 是函数z= f (x ,y )当P (x ,y )趋于P 0 (x 0,y 0)时的极限，记作0lim (,)x x y y f x y A →→=00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=0lim (,)P P f x y A→=或x 、y 趋于x 0 、y 0可看作成点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0) ，又可记作在xOy 平面上，点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
说明（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。
——这是产生本质差异的根本原因。
0P P →∙00(,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y xo y (,)x y（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。
一元极限与二元极限的区别？一元函数在某点的极限存在的充要不同点而多元函数于P 0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.()f P 必需是点P 在定义域内以任何方式和途径趋确定二重极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n 元函数上去.不存在的方法(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,00lim (,)x x y y f x y →→使处极限不存在.存在,(,)f x y 在点),(000y x P 令点P (x ,y )沿直线y =kx 或者其他方式如：沿抛物线y =kx 2等趋向于点P 0 (x 0,y 0)若极限值与k 有关,则可断言极限不存在;22(,)x y f x y x y =+222200lim (,)lim x x y kx k x f x y x k x →→==+则有21kk =+k 值不同极限不同!例1 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿直线y = k x 趋于点,(,)P x y (0,0)(,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)362(,)x y f x y x y =+36626200lim (,)lim 1x x y kx kx k f x y x k x k →→===++则有k 值不同极限不同!例2 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿曲线y = k x 3趋于(0,0)点,(,)P x y (,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)例3222200sin()lim x y x y x y →→++求220,00u x y x y u =+→→→解：令，有，222200sin()lim x y x y x y →→++故，0sin =lim 1u u u →=说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题例4222222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y x y e →-++求222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)1cos()1cos()1lim lim 00()2()x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→-+-++=⋅=⋅=++解：多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim 00y x f y x →→),(lim 00y x f y x →→不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(lim y x f 0→x 0→=kx y。
二元函数求极限的定义与基本性质
二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。
求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。
本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。
一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。
二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。
2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。
3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。
4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元函数求极限的代数性质与解析
二元函数求极限的代数性质与解析在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到求二元函数的极限问题。
二元函数的极限是指当自变量趋近于某个点时，函数的取值趋近于一个确定的值。
在求解这类问题时，我们需要掌握一些代数性质和解析方法。
一、二元函数的极限定义设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 (x, y) 满足不等式0 < √((x-x0)²+(y-y0)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 处的极限为A，记作：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A二、二元函数极限的代数性质1. 唯一性性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在，则极限值 A 唯一确定。
2. 有界性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在且有限，则 f(x,y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有界。
3. 保号性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在且不为零，则在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内，f(x,y) 与 A 的正负号相同。
三、二元函数极限的解析方法在具体的计算中，我们可以通过一些解析方法来求解二元函数的极限。
1. 分别取极限法：当二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在，且其极限可以表示为 A = h(x) + k(y)，其中 h(x) 和 k(y) 分别是关于 x 和y 的函数的极限。
则有：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = lim_(x→x0) h(x) + lim_(y→y0) k(y)2. 代数运算法则：对于二元函数与它的极限，可以利用代数运算法则进行运算，如加减乘除、辽有近似计算的阶乘表.png乘幂、复合函数等。
二元函数求极限的基本思路与方法
二元函数求极限的基本思路与方法在数学中，我们经常需要研究函数在某一点的极限情况。
而当涉及到二元函数时，也就是函数有两个自变量x和y的情况下，我们需要采用一些特殊的方法来求解其极限。
本文将介绍求解二元函数极限的基本思路与方法。
一、定义二元函数的极限对于二元函数f(x,y)，当自变量x和y的取值都趋近于某个确定值(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取怎样的值都趋近于一个确定值L，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处的极限为L，记作：lim(f(x,y)) = L(x,y)->(a,b)与一元函数类似，我们也需要关注函数在点(a,b)附近的取值情况，以确定其极限。
二、二元函数极限求解的思路对于一元函数，我们常用的求极限方法主要有：代入法、夹逼准则、无穷小量法等等。
而对于二元函数，我们可以结合这些方法以及一些特殊的技巧来求解其极限。
1. 代入法：和一元函数求极限一样，我们可以尝试将自变量x和y代入函数，看其极限是否存在。
如果代入后能够得到一个确定的值L，那么我们可以初步判断函数在点(a,b)处的极限为L。
2. 极限分解法：对于形式复杂的二元函数，我们可以采用极限分解法来求解其极限。
即将二元函数分解为一元函数的形式，然后再利用一元函数求极限的方法来求解。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x + y)，我们可以将其分解为f(x,y) = f1(x,y) * f2(x,y)，其中f1(x,y) = x + y，f2(x,y) = (x - y)/(x + y)。
然后分别求解f1(x,y)和f2(x,y)的极限，最后确定原函数的极限。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的求极限的方法，适用于一元函数和二元函数。
夹逼准则的基本思想是将待求极限的函数夹在两个已知函数之间，这两个已知函数的极限都存在且相等。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 * y)/(x^2 + y^2)，我们可以通过夹逼准则来求解其极限。
怎么理解二元函数的极限
怎么理解二元函数的极限二元函数的极限是微积分中一个重要的概念，它描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于何种程度的问题。
在本文中，我们将从不同的角度来理解二元函数的极限，并探讨其在实际问题中的应用。
我们可以从图形的角度来理解二元函数的极限。
对于一个二元函数f(x, y)，我们可以将其表示在一个二维坐标系上。
当自变量(x, y)在平面上靠近某一点(x0, y0)时，如果函数值f(x, y)趋近于一个确定的常数L，那么我们说f(x, y)在点(x0, y0)处的极限为L。
换句话说，当(x, y)在(x0, y0)附近时，函数值会无限接近于L。
我们可以从数学运算的角度来理解二元函数的极限。
根据极限的定义，当自变量趋近于某个值时，函数值也应该趋近于一个确定的常数。
在计算二元函数的极限时，我们可以利用极限运算的性质，如加法、乘法、除法和复合函数的性质，来简化计算过程。
通过运用这些性质，我们可以将复杂的二元函数的极限计算转化为简单的一元函数的极限计算。
我们还可以从实际问题的角度来理解二元函数的极限。
在实际问题中，二元函数的极限可以用来描述一些重要的现象。
例如，在物理学中，我们可以利用二元函数的极限来描述粒子在某一点的速度、加速度等物理量的变化情况。
在经济学中，二元函数的极限可以用来描述市场供需关系的变化，从而预测市场的趋势。
在工程学中，二元函数的极限可以用来描述电路中电流、电压的变化情况，从而优化电路设计。
二元函数的极限是微积分中的一个重要概念，它不仅可以从图形的角度来理解，还可以从数学运算和实际问题的角度来理解。
通过对二元函数的极限的理解，我们可以更好地应用微积分的知识解决实际问题，进一步深化对微积分的理解。
希望通过本文的介绍，读者能够对二元函数的极限有一个更清晰的理解，并能够应用到实际问题中。
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2)
lim
xy 1 1 ;
x, y0,0
xy
3) lim 1 .
x, y1,2 2x y
习题: p106, 1(1,2,3,6,7)
二、累次极限
D
1.累次极限的定义
定义3 设 z f x, y, x, y D,
P0 x0, y0
y
P0 x0, y0 为 D 的聚点, 如果对于每个固定的 y U 0 y0 ,
PP0 PE1
PP0 PE1
D
但 A B,
则 lim f P A 不存在. PP0
PD
注: 推论1和推论2多用于证明极限 lim f P A PP0 PD
不存在, 尤其是推论2. 可证明沿某个方向极限不存在,
或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限
与方向有关(以下例4).但应注意, 沿任何方向的极限
聚点, 若 M 0, 总 0, 当 x, yU0 P0; D 时, 都有
f x, y M ,
则称 f x, y 在 D 上当 P P0 x, y x0, y0 时有非正常
极限(广义极限) , 记作
lim f P 或 lim f x, y .
PP0
x, y x0 , y0
极限
lim
P P0
f P 存在的充要条件是:
对于
D
PD
中任一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P 的点列
Pn,
它所对
应的函数列 f Pn 都收敛.
注: 推论1-3的证明可由定理16.5直接得到, 自证推论3.
3．二元函数的非正常极限
定义2 设 z f x, y, x, y D, P0 x0, y0 是 D 的一个
x
回顾：一元函数极限的 定义。
一、二元函数的极限(二重极限)
设二元函数 z = f (P) = f (x, y), 定义域为D. 如图
z
A
z = f (x, y)
如果当P在D内
变动并无限接近于
f (P)
o
x
P
P P0
D
P0时 (从任何方向, 以任何方式),对应 的函数值 f (P)无限 y 接近于数 A, 则称A为当P趋近于 P0时f (P)的极限.
存在且相等 极限存在(以下例5).
例4
考察函数
f
x,
y
x2
xy y2
,
x, y 0,0 在 0,0
处的极限.
分析: 找过 0,0 的两条直线, 证明当动点 x, y
沿直线趋向于 0,0 时, 函数有极限但不相等.
例5 讨论二元函数
y y mx
f
x,
y
1, 0,
0 y x2, ortherwise,
例3
设
f
x,
y
xy
x2
y2
,
0,
lim f x, y 0.
x, y0,0
x, y 0,0, x, y 0,0,
证明
2．二元函数极限存在的条件
定理16.5 lim f P A 的充要
P0
PP0
PD
条件是: 对于 D 的任一子集 E, 只要
E
P0
是
E 的聚点,
就有 lim PP0
类似于一元函数, f (P)无限接近于数 A可用 | f (P)– A | < 刻划. 而平面上的点 P = (x, y) 无 限接近于点 P0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离
P，P0 (x x0 )2 ( y y0 )2 来刻划.
1.二重极限的定义
定义1 设 f 为定义在 D R2 上的二元函数, P0 为 D 的一个聚点, A 是一个确定的实数. 若 0, 0
类似定义 lim f x, y , x, y x0 , y0
P0
D
lim f x, y .
x, y x0 , y0
例6 考察 f x, y 1 在点 0,0处的极限.
xy
注意到 lim xy 0, 因此 lim f x, y .
x, y0,0
x, y0,0
下面用非正常极限的定义加以验证.
x, y x0 , y0
xD
P0
上面二元函数极限的定义也称为极限的 定义. 注意与一元函数极限的 定义的区别.
例1 用“ ”定义验证极限
lim x2 xy y2 7.
x, y2,1
例2
用“
”定义验证极限
lim
x, y0,0
xy 2 x2 y2
0.
x2 y2
在 0,0 处的极限.
解: 1. 当动点 x, y 沿直线趋向于点 0,0 时,
x o
y 0
相应的 f x, y 都趋向于零. 2. 当动点 x, y 沿抛物线 1 y kx2 0 k 1 趋向于点 0,0 时, 相应的 f x, y
都趋向于1. 因此所讨论的极限不存在.
1x o0
推论3
一元函数
f
x, y 在
x0
处极限存在,
记为 lim x x0
f
x, y y.
进一步, 若 lim y A 存在, 则称 f x, y 先对 x x x0
使得当 PU0 P0, D 时, 都有
则称 f 在 D 上当 P P0 时,
f P A
A z A
成立,
以 A 为(二重)极限. 记作
A
z = f (x, y)
lim f P A. 简记为 lim f P A.
PP0
PP0
PD
当 P和 P0 分别用坐标 x, y 和
o
y
x0, y0 表示时, 也可以写作 lim f x, y A.
解
由于
1 xy
x2
2 y2,源自M 0, 取 2M ,
当 x2 y2 , 时就有
f
x,
y
x2
2
y2
2
2
M,
所以 lim f x, y . x, y0,0
4．二元函数(二重)极限运算性质 与一元函数极限运算性质完全类似 例7 求下列极限: 1) lim sin xy ;
x, y3,0 y
f P A.
D
PE
注: 该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.
推论1 设 E1 D,
P0
是
E1 的聚点,若
lim
PP0
f
P
A
不存在, 则 lim f P A 也不存在.
PE1
PP0
PD
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,
§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限 二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接 近于x0时, 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
f (x)
0 x x0 x x x0
y = f (x) f (x)