培优七年级第1讲——走进美妙的数学世界

走进美妙的数学世界现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿越无线的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。

-----------布特勒 知识纵横从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，俞穴科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系。

走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数概念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与试验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图标捉去信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有五行的灵魂，它改变我们的思维方式，它涕尽我们都蒙昧与无知。

诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的技巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。

”例题求解【例1】 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸引进去，五一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和······，重复运算下去，就能得到一个固定的数 T ，我们称之为数字“黑洞”。

（青岛市中考题） 思路点拨：从一个具体的术操作，发现规律。

【例2】 F E D C B A 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出E D C B A 、、、、五队已分别比赛了12345、、、、球场，则还没有与B 队比赛的球队是（ ）A 、C 队B 、D 队C 、E 队D 、F 队（第18届江苏省竞赛题） 思路点拨：用算术或代数方法解，易陷入困境。

用6个点表示F E D C B A 、、、、、这六个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，这样用图来辅助解题，形象而直观。

【例3】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组；在它的周围铺上6快同样大同样大小的正六边形瓷砖来铺设小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺设，定义为第三组·······按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满多少组？此时还剩几块瓷砖？（第16届“希望杯”邀请竞赛题）思路点拨：探寻瓷砖铺设的规律，是解本题的关键。

【例4】在文字算式中，不同的文字代表不同的数，相同的文字代表相同的数字。

那么在“时代数学+时代数学+····+时代数学=好好好好好好”这样的式子中，最少需要几个“时代数学”才能使式子成立呢？（俄罗斯萨温市竞赛题） 思路点拨：问题的实质是对一个数字相同的六位数进行分解，不妨考虑最简单的情形。

【例5】若自然数n 使得作竖式加法)2()1(++++n n n 均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为343332++不产生进位现象；23不是“可连数”，因为252423++产生了进位现象，那么小于的“可连数”有多少个？（湖北省黄冈市中考题） 破译密码解：当“可连数”为一位数时，9)2()1(≤++++n n n ，解得2≤n ，由于n 为自然数，所以当0=n 或1=n 或2=n ，即一位数的“可连数”有3个。

当“可连数”为两位数时，设它的个位数字为a ，十位数字为b ，则9)2()1(≤++++a a a ，解得2≤a ，由于个位数字相加时“不产生进位现象”，所以十位上的数字b 必须满足9≤++b b b ，解得3≤b .从而两位数的“可连数”有，，33,32,3130,22,21,20,13,12,11,10共有9个。

当“可连数”为三位数时，由于我们只求小于200的“可连数”，所以它的百位数字为1，设它的个位数字为a ，十位数字为b ，则9)2()1(≤++++a a a ，解得2≤a ，由于个位数字相加时“不产生进位现象”，所以十位上的数字b 必须满足9≤++b b b ，解得3≤b .从而三位数的“可连数”有,132,131,130,122,121,120,112,111,110,102,101,100共有12个。

综上所述，小于200的“可连数”的个数为24个。

【例6】 同学们看电影、看电视时，经常遇到破译密码的故事情节，在军事上、商业上，为了保密，都采用密码，破译密码需要解密的“钥匙”。

下面我们也来破译一个电话号码：一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的，如图，话机上的数字排列顺序是，，0,9,8,7,6,5,4,32,1图中画出了拨数字5时相应的小孔转过的路线），随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线，他画出了6条线如下： cm 6.3 cm 3 cm 6.0 cm 8.4 cm 8.1他很快就知道了那人拔的电话号码，这个号码是多少？（《时代学习报》数学文化节试题） 分析与解 从电话拨盘上可以看出，拨1时，画出线段最短，拨0时，画出的线段最长，由于画线速度相同，所以，每个数字所对应的线段比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度。

间谍所画下的这6个数字中至少有2个数字是相邻的（想一想为什么），因此，长度最接近的两条线段的长度差，就一定是上面所谈到的那个固定长度，通过对这6条线段长度进行度量，可以发现第一条线段与第二条线段最为接近，它们相差cm 6.0，由于最长的线段与最短线段相差4.5厘米，因此可以断定最长的线段代表数字0，而最短的线段则代表1。

第一条线段比第三条线段长3厘米，因此第一条线段代表651=+，同样可推知第六条线段代表3，第四条线段代表8，第二条线段代表5，所以这个电话号码是651803。

学习训练基础夯实1、表二、表三分别是从表一种选取的一部分，则b a +的值为 （深圳市中考题）2.数学的美学无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，10:12:15把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出调和的乐声do 、mi 、so ．研究101215、、这三个数的倒数发现：121-101151-121=．我们称101215、、这三个数为一组调和数．现有一组调和数）（、、535>x x ，则x 的值是 （济南市中考）3.如图为手的示意图，在各个手指间标记字母D C B A 、、、．请你按图中箭头所指方向（即 ·→→→→→→→→→C B A B C D C B A 的方式）从A 开始数连续的正整数 4,3,2,1，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第12+n 次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）． -----（2011北京市中考题）4.自然数e d c b a 、、、、都大于1，其乘积2000=abcde ，则其和e d c b a ++++的最大值为 ，最小值为 。

5.我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出p 处所对应的点图是（ ）6.法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算87⨯和98⨯的两个示例．若用法国的“小九九”计算97⨯，左、右手依次伸出手指的个数是（ ）A 32，B 33，C 42，D 43， 7.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密）．已知加密规则为：明文c b a ，，对应的密文93,42,1+++c b a 例如明文3,2,1对应的密文18,8,2．如果接收方收到密文15187，，，则解密得到的明文为（ ）A 6,5,4B 2,7,6C 762，，D 627，，8.观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算n 8241681 ++++（n 是正整数）的结果为（ ）（济南市中考题）A ()212+nB ()212-nC ()22+n D 2n 9.观察下表，填表格后再解决问题：（1）试完成下列表格：（2）是否存在“★”的个数与“●”的个数相等的情形？请通过计算加以说明．（河南省中考题）10.在数学活动中，小明为了求n 2121212121432 +++的值（结果用表示），设计如图甲所示的几何图形。

（1） 请你利用这个几何图形求n 2121212121432 +++的值为 。

（2） 请你利用图乙，再设计一个能n 2121212121432 +++的值的几何图形。

（大连市中考题）能力拓展11.勤奋智慧的中华名族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制 c b a abc +⨯+⨯=10102。

世界各地的计数方法中 ，除十进制外，还有十二进制、六进制、二进制等。

与计算机发展密切相关的二进制计数，就是“逢二进一”，如二进制101等于十进制数 ，在二进制加法中，=+101101 （结果仍用二进制表示）12.古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子的排列形状把整数进行分类。

例如： 10,6,3,1这些数叫三角形数（如图）则下列数，1830,364,55中是三角形数的有 。

13.若945k k 是能被3整除的五位数。

则k 的可能值有 这样的五位数中能被9整除的有 。

（“希望杯”邀请赛试题）14.定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数是，结果为53+n ；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如26=n 时，若449=n ，则第449次“F 运算”的结果是 。

（嘉兴市中考题）15.若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是（ ）A 82B 84C 86D 88（“希望杯”邀请赛试题）16.如图，多边形ABCDEFGH 两边互相垂直，要求出它们的周长，需要最少知道（）条边的长。