北师版数学高二《 曲线与方程》同步学案 北师大
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程二精品学案北师大版选修2
4.1 曲线与方程(二)学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？梳理(1)坐标法：借助于______，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出__________.②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究________.知识点二求曲线的方程的步骤类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍.求动点P 的轨迹方程. 引申探究若将本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列.求点P 的轨迹方程.类型二 代入法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程.反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝fx ，y ，y 0＝g x ，y(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2 △ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条定直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围.反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧Fx ，y ＝0，G x ，y ＝0的解来确定.跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.1.曲线y ＝1x与xy ＝2的交点是( )A.(1,1)B.(2,2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在2.方程x 2＋y 2＝1(xy <0)表示的曲线是( )3.直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________.4.已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________.5.M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP ∶PM ＝3，求动点P 的轨迹方程.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法.(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.提醒：完成作业 第三章 §4 4.1(二)答案精析问题导学 知识点一思考1 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准. 梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质 知识点二有序实数对(x ，y ) P ＝{M |p (M )}p (M ) f (x ，y )＝0 f (x ，y )＝0方程的解 题型探究例1 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2|PA |. 则|8－x |＝2x －2＋y －2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究解 据题意设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又|PA |＝x －2＋y －2，故|y －8|＝2x －2＋y －2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 跟踪训练1 解 设点P (x ，y )， 由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0).∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x ).于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12x ＋＋－x ，－x －x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0). 例2 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.跟踪训练2 解 如图所示，以BC 所在的定直线为x 轴，以过A 点与x 轴垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点的坐标为(0，b ).设△ABC 的外心为M (x ，y )，作MN ⊥BC 于N ，则MN 是BC 的垂直平分线. ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心， ∴M ∈{M ||MA |＝|MB |}. 而|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝a 2＋y 2， ∴x 2＋y －b2＝a 2＋y 2，化简，得所求轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0. 例3 解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ＝[－(2－k )]2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ， ∴k ＝2－a ，代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪(2，83).跟踪训练3 解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)， 再由OM ⊥MP ，得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2， ∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25， 整理得(x －52)2＋y 2＝254.∵点M 应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －522＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16得两曲线交点的横坐标为x ＝165，故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165).当堂训练 1.D 2.D3.x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)4.x ＝325.解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.。
高中数学第3章圆锥曲线与方程44.1曲线与方程学案北师大版选修2_1
4.1 曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点) 2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”． 思考：曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，能否说f (x ，y )＝0是曲线C 的方程？试举例说明．[提示] 不能．还要验证以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C 为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x 2＋y 2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x 2＋y 2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点P (x 0，y 0)斜率为k 的直线的方程是y －y 0x －y 0＝k ( )(2)若点P (x 0，y 0)在曲线C 上，则有f (x 0，y 0)＝0 ( ) (3)方程y ＝x 与y ＝x 2x表示同一条曲线( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．下列点中，在曲线x ＋25－y 2＝0上的是( ) A ．(4，3) B ．(3，－4) C ．(－4，3)D ．(5，0)C [经检验，只有(－4，3)满足方程x ＋25－y 2＝0.] 3．方程x 2＋xy ＝x 表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [由x 2＋xy ＝x 变形得x (x ＋y －1)＝0， ∴x ＝0或x ＋y －1＝0，故选D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝3，∴x 2＋y 2＝9.]所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[解] (1)把点A (－4，3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是( )D [方程x 2＋y 2＝1表示的曲线是图(1)；方程x 2－y 2＝0表示的曲线是图(2)；方程lg x ＋lg y ＝1表示的曲线是图(3)；故选D.](1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；[解] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1. (2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2＝0，（y ＋1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．2．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( )A ．前后两者都是一条直线和一个圆B ．前后两者都是两点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝±1表示点(0，1)，(0，－1)．]1．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．2．求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？[提示] (1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题． 【例3】 (1)已知点M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路探究] (1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P 的坐标(x ，y )与点M (x 0，y 0)及点B (3，0)的坐标间满足：x ＝x 0＋32，y ＝y 02，代入曲线x 2＋y 2＝1中，化简即可．(1)A [由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M ，N ，P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．](2)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y .又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．(2)代入法求解轨迹方程的步骤： ①设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． ②利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.③代入相关动点的轨迹方程． ④化简、整理，得所求轨迹方程．提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围．1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )A．曲线C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是CC．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上C[原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此说法即C.]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是( )A B C DC[∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.]3．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________．5[由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.]4．已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．x2＝4y[设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以动点C的轨迹是以A(0，1)为焦点以直线l1：y＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为x2＝4y.]5．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.。
2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程44.1曲线与方程学案北师大版选修2_1
4.1 曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点) 2.掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”．思考：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．[提示] 不能．还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点P (x 0，y 0)斜率为k 的直线的方程是y －y 0x －y 0＝k ( ) (2)若点P (x 0，y 0)在曲线C 上，则有f (x 0，y 0)＝0( ) (3)方程y ＝x 与y ＝x 2x表示同一条曲线( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．下列点中，在曲线x ＋25－y 2＝0上的是( ) A ．(4，3) B ．(3，－4) C ．(－4，3)D ．(5，0)C [经检验，只有(－4，3)满足方程x ＋25－y 2＝0.] 3．方程x 2＋xy ＝x 表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线D [由x 2＋xy ＝x 变形得x (x ＋y －1)＝0， ∴x ＝0或x ＋y －1＝0，故选D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为3的点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝3，∴x 2＋y 2＝9.]所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[解] (1)把点A (－4，3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．下列图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是( )D [方程x 2＋y 2＝1表示的曲线是图(1)；方程x 2－y 2＝0表示的曲线是图(2)；方程lg x ＋lg y ＝1表示的曲线是图(3)；故选D.](1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；[解] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（x －1）2＝0，（y ＋1）2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．2．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1， 表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1.x2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝±1表示点(0，1)，(0，－1)．]1．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x ，y )所适合的方程f (x ，y )＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围．(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形．故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．2．求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．求解时需要注意什么？[提示] (1)求曲线方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验．(2)求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．即由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题． 【例3】 (1)已知点M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)(2)动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3，0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路探究] (1)直接利用直角三角形的性质建立等量关系；(2)设点P 的坐标(x ，y )与点M (x 0，y 0)及点B (3，0)的坐标间满足：x ＝x 0＋32，y ＝y 02，代入曲线x 2＋y 2＝1中，化简即可．(1)A [由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M ，N ，P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．](2)解：设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y .又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1，所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.(1)直接法求动点轨迹的方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明．(2)代入法求解轨迹方程的步骤： ①设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． ②利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f （x ，y ），y 0＝g （x ，y ）.③代入相关动点的轨迹方程． ④化简、整理，得所求轨迹方程．提醒：对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围．1．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F (x ，y )＝0 B ．方程F (x ，y )＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线C 上C [原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此说法即C.]2．方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)的曲线形状是( )A B C DC [∵xy ＜0，∴x ＞0，y ＜0或x ＜0，y ＞0.]3．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________．5 [由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0，解得a ＝5.]4．已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为________．x2＝4y[设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以动点C的轨迹是以A(0，1)为焦点以直线l1：y＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为x2＝4y.]5．一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.。
北师大版数学高二学案 3.4.1曲线与方程(一)
§4曲线与方程4.1曲线与方程(一)学习目标 1.了解曲线和方程的概念(重点).2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义(重、难点).知识点曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线.【预习评价】如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.题型一曲线与方程的概念【例1】(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0解析命题C是原命题的逆否命题，它与原命题是等价的.答案 C(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.解 ①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.规律方法 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.【训练1】 判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，r 为半径的圆的方程是y ＝r 2－x 2；(2)过点A (2，0)平行于y 轴的直线l 的方程为|x |＝2.解 (1)不正确.设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2.两边开平方取算术平方根，得x 20＋y 20＝r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r 为半径的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r 为半径的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2.(2)不正确.直线l 上的点的坐标都是方程|x |＝2的解.然而，坐标满足|x |＝2的点不一定在直线l 上，因此|x |＝2不是直线l 的方程，直线l 的方程为x ＝2.题型二 由方程判断其表示的曲线【例2】 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.规律方法 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.【训练2】 方程(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0表示什么曲线？解 因为(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y >0，或者x ＋2y ＝8，即2x ＋3y －5＝0(x <10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x <10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8.【探究1】 已知直线l ：x －y ＝a 及曲线x 2＋y 2－4y －4＝0，当a 取何值时，分别有一个交点、两个交点、无交点？解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝a ，x 2＋y 2－4y －4＝0消去x ，得 2y 2＋(2a －4)y ＋a 2－4＝0, 则Δ＝(2a －4)2－8(a 2－4)＝－4a 2－16a ＋48.当Δ＝0，即－4a 2－16a ＋48＝0时，得a ＝－6或a ＝2，此时方程组有一解； 当Δ＞0，即－4a 2－16a ＋48＞0时，得－6＜a ＜2，此时方程组有两解； 当Δ＜0，即－4a 2－16a ＋48＜0时，得a ＜－6或a ＞2，此时方程组无实数解；综上所述，当a ＝－6或a ＝2时有一个交点：当－6＜a ＜2时有两个交点；当a ＜－6或a ＞2时无交点.【探究2】 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【探究3】 (1)已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，＋∞)D.∅ 解析 ∵a >0，∴方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)的图像大致如图，要使方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y ＝a |x |在y 轴右侧的斜率大于y ＝x ＋a 的斜率，∴a >1.答案 A(2)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1（y ≥0）.消去x，得到2y2＋2by＋b2－1＝0(y≥0).l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b2－8（b2－1）>0，y1＋y2＝b>0，y1y2＝b2－12≥0，解得1≤b< 2.所以b的取值范围为[1，2).规律方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.课堂达标1.“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析∵y＝－2x≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上时，点M不一定在y＝－2x上.反之，点M在y＝－2x上时，点M一定在y2＝4x上.答案 B2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B. 答案 B3.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________.解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.答案 π3或5π34.过点P (1，1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为______________.解析 设M (x ，y )，如图，由直角三角形的性质可知|PM |＝|MO |，即(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2，∴x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝05.试画出方程log x y －log y x ＝0所表示的曲线.解 由原方程知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，由原方程得log x y ＝1log xy ， 所以log x y ＝±1，所以y ＝x 或y ＝1x .所以原方程等价于y ＝x 或y ＝1x (其中x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1)，其图像如图.课堂小结1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.3.方程表示的曲线的判断步骤：4.判断方程表示曲线的注意事项：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线.(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.。
高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程一学案北师大版选修2_101
4.1曲线与方程(一)学习目标 1. 认识曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2. 初步领悟“曲线的方程”与“方程的曲线”的观点.3. 学会依据已有的情境资料找规律，学会剖析、判断曲线与方程的关系，加强“形”与“数”的一致以及互相转变的思想方法.知识点一曲线与方程的观点思虑 1设平面内有一动点P，属于以下会合的点构成什么图形？(1){ P| PA＝PB}( A，B是两个定点 ) ；(2){ P| PO＝ 3 cm}( O为定点 ).思虑 2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为何？梳理一般地，在平面直角坐标系中，假如某曲线C(看作知足某种条件的点的会合或轨迹)上的点与一个二元方程 f ( x， y)＝0的实数解成立了以下的关系：(1)____________ 都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在______上，那么，这个方程叫作__________；这条曲线叫作__________.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思虑 1曲线C上的点的坐标都是方程 f ( x， y)＝0的解，可否说 f ( x， y)＝0是曲线 C 的方程？试举例说明.思虑 2方程x－y＝0可否表示直角坐标系中的第一、三象限的角均分线？方程x－ y＝0呢？梳理(1) 曲线的方程和方程的曲线是两个不一样的观点，是从不一样角度出发的两种说法. 曲线C的点集和方程 f ( x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质能够反应在它的方程上，方程的性质又能够反应在曲线上. 定义中的条件①说明曲线上的全部点都合适这个方程；条件②说明合适方程的点都在曲线上而毫无遗漏.(2)曲线的方程和方程的曲线有着密切的关系，经过曲线上的点与实数对( x，y) 成立了__________ 关系，使方程成为曲线的代数表示，经过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质 .种类一曲线与方程的观点理解与应用命题角度 1曲线与方程的判断例 1命题“曲线 C上的点的坐标都是方程 f ( x，y)＝0的解”是正确的，以下命题中正确的是 ()A. 方程f ( x，y) ＝ 0的曲线是 CB. 方程f ( x，y) ＝ 0的曲线不必定是 CC. f ( x，y) ＝ 0 是曲线C的方程D. 以方程f ( x，y) ＝ 0 的解为坐标的点都在曲线C上反省与感悟解决“曲线”与“方程”的判断这种问题( 即判断方程能否是曲线的方程或判定曲线能否是方程的曲线 ) ，只需一一查验定义中的“两性”能否都知足，并作出相应的回答即可 .判断点能否在曲线上，就是判断点的坐标能否合适曲线的方程.追踪训练1设方程f(x，y)＝0的解集非空，假如命题“坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点都在曲线 C上”是不正确的，那么以下命题正确的选项是()A. 坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点都不在曲线C上B. 曲线C上的点的坐标都不知足方程 f ( x， y)＝0C. 坐标知足方程 f ( x， y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D. 必定有不在曲线C上的点，其坐标知足 f ( x， y)＝0命题角度2曲线与方程的观点应用例 2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k( k>0)的点的轨迹方程是xy＝± k.反省与感悟解决此类问题要从双方面下手：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为齐备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 .追踪训练2写出方程(x＋y－1)x－1＝0表示的曲线.种类二曲线与方程关系的应用例 3 已知方程x2＋ ( y－ 1) 2＝ 10.(1)判断点 P(1，－2)， Q( 2，3)能否在此方程表示的曲线上；m(2)若点 M 2，－ m 在此方程表示的曲线上，求 m的值.反省与感悟判断曲线与方程关系问题时，能够利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.追踪训练3若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈ R)，求k的取值范围.1. 曲线f ( x，y) ＝ 0 对于直线x－y－3＝0对称的曲线方程为()A. f ( x－ 3，y) ＝0B. f ( y＋ 3，x) ＝0C. f ( y－ 3，x＋ 3) ＝ 0D. f ( y＋ 3，x－ 3) ＝ 02.方程 xy2－ x2y＝2x 所表示的曲线()A. 对于x轴对称B. 对于y轴对称C. 对于原点对称D. 对于直线x－y＝ 0 对称3.方程 4x2－y2＋ 6x－ 3y＝ 0 表示的图形为 ________.2214.若曲线 ax ＋ by ＝4过点 A(0，－2)， B(2，3)，则 a＝________， b＝________.5.方程 ( x2－ 4) 2＋ ( y2－ 4) 2＝ 0 表示的图形是 ________.1.判断点能否在某个方程表示的曲线上，就是查验该点的坐标能否是方程的解，能否合适方程 . 若合适方程，就说明点在曲线上；若不合适，就说明点不在曲线上.2.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，进而可研究相关参数的值或范围问题.提示：达成作业第三章§4 4.1( 一 )答案精析问题导学知识点一思虑 1 (1) 线段AB的垂直均分线；(2)以 O为圆心，3 cm为半径的圆.思虑 2 y＝±x. 在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标( x0，y0)知足 y0＝ x0或y0＝－ x0，即( x0， y0)是方程 y＝± x 的解；反之，假如( x0，y0) 是方程y＝x或y＝－x的解，那么以 ( x，y ) 为坐标的点到两坐标轴距离相等 .00梳理 (1)曲线上点的坐标(2)曲线曲线的方程方程的曲线知识点二思虑 1 不可以 . 还要考证以方程 f ( x， y)＝0的解为坐标的点能否都在曲线上. 比如曲线C为“以原点为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋ y2＝4”，曲线上的点都知足方程，但曲线的方程不是x2＋ y2＝4.思虑 2 方程x－y＝0不可以表示直角坐标系中的第一、三象限的角均分线. 由于第一、三象限角均分线上的点不全部是方程x－ y＝0的解.比如，点 A(－2，－2)不知足方程，但点 A 是第一、三象限角均分线上的点. 方程x－y＝0 能够表示第一、三象限的角均分线.梳理 (2)一一对应题型研究例 1 B追踪训练 1 D例 2证明①如图，设M( x0， y0)是轨迹上的随意一点.由于点 M与 x 轴的距离为| y0|，与 y 轴的距离为| x0|，所以 | x0| ·|y0| ＝k，即 ( x0，y0) 是方程xy＝±k的解 .②设点 M1的坐标( x1， y1)是方程 xy＝± k 的解，则 x1y1＝± k，即| x1|·|y1|＝ k.而 | x1| ， | y1| 正是点M1到纵轴、横轴的距离，所以点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点 M1是曲线上的点.由①②可知， xy＝± k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k( k>0)的点的轨迹方程 .追踪训练 2由方程 ( x＋y－1)x－1≥0，解x－1＝0可得x＋ y－1＝0或 x－1＝0.即 x＋y－1＝0( x≥1)或 x＝1，∴方程表示直线 x＝1和射线 x＋y－1＝0( x≥1).例 3解 (1) ∵12＋ ( － 2－ 1) 2＝ 10，(2) 2＋ (3 － 1) 2＝6≠10，∴ P(1，－2)在方程 x2＋( y－1)2＝10表示的曲线上， Q(2， 3) 不在此曲线上 .(2) ∵m2＋(－2m2＋( －－1)2＝ 10.解得＝ 2 或，－ m 在方程x y1) ＝10表示的曲线上，∴M 22m m＝－18.m5追踪训练3解∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋ k＝0.2121∴ k＝－2a －2a＝－2 a＋2＋2.1∴k≤，21∴ k 的取值范围是－∞，2.当堂训练1.D2.C3. 两条订交直线4.415.4 个点。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 4.1曲线与方程》
曲线与方程——求点的轨迹方程[考纲]1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2了解解析几何的根本思想和利用坐标法研究几何问题的根本方法．3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程知识点1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C看作满足某种条件的点的集合或轨迹上的点与一个二元方程f，＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．知识点2求动点的轨迹方程的根本步骤1．必会结论1“曲线C是方程f，＝0的曲线〞是“曲线C上的点的坐标都是方程f，＝0的解〞的充分不必要条件．2曲线的交点与方程组的关系①两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；②方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．2．必清误区1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．1．思考辨析判断以下结论的正误．正确的打“√〞，错误的打“×〞1f0，0＝0是点，点F0,1①求圆C的圆心轨迹L的方程；②求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．【解析】1由题意知|CA|－|CB|＝63．【答案】错误!－错误!＝1>32①设圆2＋＋42＝1的圆心O0，－4，圆2＋－22＝1的圆心O′0,2，圆C 的半径为r，由题意知，|CO|＝r＋1，|CO′|＝r＋1，从而|CO|＝|CO′|，所以为线段OO′的垂直平分线，的方程为＝－1②由m＝n知，动点M到定点F和定直线的距离相等．由抛物线的定义知，动点M的轨迹Q是以点F0,1为焦点，以直线＝－1为准线的抛物线，且Q⊥A为A垂直平分AP连结AQ，那么|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2又|AC|＝2错误!>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C－错误!，0，A错误!，0为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝错误!，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为2－2＝11长为错误!P是AB上一点，且错误!＝错误!错误!，那么点P的轨迹方程为________．2设直线－＝4a与抛物线2＝4a交于两点A，Ba为定值，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．【解析】1设Aa,0，B0，b，P，，那么错误!＝－a，，错误!＝－，b－，由错误!＝错误!错误!得－a，＝错误!－，b－，即错误!所以错误!又a2＋b2＝3＋2错误!，所以错误!＋2＝1【答案】错误!＋2＝12设△ABC的重心为G，，点C的坐标为0，0，A1，1，B2，2．由方程组错误!消去并整理得2－12a＋16a2＝0∴1＋2＝12a，1＋2＝1－4a＋2－4a＝1＋2－8a＝4a∵G，为△ABC的重心，∴错误!∴错误!又点C0，0在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得3－4a2＝4a3－12a，即错误!2＝错误!－4a．又点C与A，B不重合，∴≠6±2错误!a，∴△ABC的重心的轨迹方程为错误!2＝错误!－4a≠6±2错误!a．相关点代入法的根本步骤1．设点：设被动点坐标为，，主动点坐标为1，1．2．求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误!3．代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．[变式训练]2021·武汉模拟P是椭圆错误!＋错误!＝1a>b>0上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足错误!＝错误!＋错误!，那么动点Q的轨迹方程是________．【解析】由题意知F1－c,0，F2c,0，设P0，0，Q，，由错误!＝错误!＋错误!得，＝－c－0，－0＋c－0，－0，即错误!所以错误!又错误!＋错误!＝1，所以错误!＋错误!＝1【答案】错误!＋错误!＝1。
北师大版数学高二曲线与方程(第一课时)参考教案 北师大版选修2-1 (2)
高中数学 曲线与方程（第一课时）参考教案 北师大版选修2-1（2）一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ． 解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。
高中数学选修2-1北师大版 曲线与方程 学案2(含答案)
4.1 曲线与方程．能解决一些简单的曲线与方程问题. 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)________________都是这个方程的解；(2)______________________都在曲线上，那么这条曲线叫作______________，这个方程叫作__________．预习交流想一想：到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x －y ＝0吗？为什么？答案：曲线上点的坐标 以这个方程的解为坐标的点 方程的曲线 曲线的方程 预习交流：提示：到两坐标轴距离相等的点满足的方程不只是x －y ＝0，还有x ＋y ＝0，以方程x －y ＝0的解为坐标的点都在曲线上，但曲线上的点的坐标不都是这个方程的解，有些是方程x ＋y ＝0的解，所以方程x －y ＝0不是已知曲线的方程，曲线也不是该方程的曲线．1．曲线与方程的判定下列命题是否正确？若不正确，请说明理由．(1)过点(5,0)且平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝5；(2)到直线y ＝x 的距离等于2的点的轨迹方程是x －y ＋2＝0.设A (2,0)，B (0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？只有同时满足以下两个条件：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点时，这条曲线才是方程的曲线，这个方程才是曲线的方程．2．求曲线的方程已知Rt △ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 满足的方程．过原点作直线l 与曲线y ＝x 2－4x ＋6交于A ，B 两点．求线段AB 的中点M 满足的方程．求曲线方程实质上是将产生曲线的条件逐步转化成代数方程，即文字语言描述的条件→数学语言描述的等式→数学符号语言中含动点的坐标x ，y 的代数方程→化简方程．答案：活动与探究1：解：(1)不正确．因为点(－5,0)满足方程|x |＝5，但该点不在过点(5,0)且平行于y 轴的直线上．(2)不正确．因为(3,1)是到直线y ＝x 的距离等于2的点，但不满足方程x －y ＋2＝0. 迁移与应用1：解：不能．因为点(3，－1)的坐标是方程x ＋y －2＝0的解，但该点不在线段AB 上．活动与探究2：解：设C 点坐标为(x ，y )，则AC →＝(x ＋1，y )，BC →＝(x －1，y )．∵∠C 为直角，∴AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0.即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0，化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形，∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0.∴满足条件的点C 满足的方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．迁移与应用2：解：设直线l 的方程为y ＝kx ，把它代入曲线方程y ＝x 2－4x ＋6，得x 2－(4＋k )x ＋6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )．则x 1＋x 2＝4＋k ，y 1＋y 2＝kx 1＋kx 2＝k (x 1＋x 2)＝k (4＋k )．∴x ＝4＋k 2，y ＝k (4＋k )2，得y ＝2x 2－4x .又由于直线与曲线有两个交点， ∴(4＋k )2－24＞0，解得k ＜－4－26或k ＞－4＋2 6.由x ＝4＋k 2得，x ＜－6或x ＞ 6. ∴线段AB 的中点M 满足的方程为y ＝2x 2－4x (x ＜－6或x ＞6)．1．一条线段长为10，两端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 点在线段AB 上，且AM ＝4MB ，则点M 满足的方程为( )．A ．x 2＋16y 2＝64B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝82．▱ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 满足的方程为( )．A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝03．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与斜线AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为( )．A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．抛物线4．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 满足的方程为______．答案：1．B 解析：设M 点坐标为(x ，y )，由A ，B 分别在x 轴、y 轴上，且AM →＝4MB →，得A (5x,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，54y . 又由|AB |＝10，得(5x )2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝100，整理得16x 2＋y 2＝64. 2．A 解析：设AC ，BD 交于点P ，∵点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－2. 设B 为(x ，y )，则D 为(5－x ，－4－y )，∵点D 在直线3x －y ＋1＝0上，∴15－3x ＋4＋y ＋1＝0，即3x －y －20＝0.3．A 解析：设l 转到l 1位置时l 1∩α＝C 1，由l ⊥AB ，l 1⊥AB ，知AB ⊥平面ACC 1，且由l ，l 1确定的平面交α于CC 1，故当l 转动时，l 与平面α的交点在直线CC 1上．4．x 2＋y 2＝4 解析：设P (x ，y )，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O .∵∠APB ＝60°，圆O 的半径为1，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4.。
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3.4.1 曲线与方程
学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。
学习重点：曲线与方程的一一对应关系。
学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。
学习过程：
一、复习：
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。
一、新旧知识连接：
复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。
二、我能自学：
1.认识角的概念：
一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程
曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程
三、巩固训练
1．22
:(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程
(1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上.
2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？
3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1
例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程
f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( )
(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件。