北师大版高二数学上试题及答案
高二上学期数学北师大版(2019)期末模拟测试卷B卷(含解析)
高二上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则M 到直线的距离为( )2.已知A ，B 两点的坐标分别为，，两条直线和3.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.4.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有()A.420种B.840种C.476种D.896种5.二项式展开式中的系数为( )A.120B.135C.D.6.过抛物线的焦点作直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，若直线与A.8B.16C.24D.327.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了k 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使最大的N 值估计N 的取值并计算.(若有多个N 使最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是( )()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -AB ()0,1A ()1,0B 1:10l mx y -+=2:10l x my +-=(m ∈R 222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=()()10211x x x ++-5x 140-162-2:8C y x =1l 2l 1l l (01)p p <<(10)P X =()E X (10)P X =A. B.C. D.与10的大小无法确定8.已知椭圆的焦距为2，A 为椭圆的右焦点，过点A 在x 轴上方作两条( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条不同的直线，，，能围成一个三角形，则m 的取值不可能为( )A. B. C. D.110.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A 为“恰有两人所去景点相同”，事件B 为“只有小张去甲景点”，则( )A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44()10E X >()10E X <()10E X =()E X 2222:1(0)x y E a b a b +=>>2=1:240l mx y m +++=2:10l x y -+=3:350l x y --=2-6-3-()P AB =∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则m 的值为___________.13.若直线与曲线只有一个公共点，则实数m 的取值范围是______________.14.已知，，是球M 上三点，球心M 的坐标为，P 是球M 上一动点，则三棱锥的体积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求点B 到平面的距离.16.（15分）已知圆C 经过点、，并且直线平分圆C .（1）求圆C 的方程；（2）过点，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ，且，求k 的值.17.（15分）从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.18.（17分）已知m ，n 是正整数，的展开式中x 的系数为15.0m >6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 0:x y l m ++=:C y =(1,1,1)A (2,0,1)B (1,0,2)C (1,0,1)P ABC -111ABC A B C -BA BC ⊥12BA BC BB ===1AB 11A C 11A B C (1,3)A (2,2)B :320m x y -=(0,1)D 12OM ON ⋅=(1)(1)m n x x +++(1)求展开式中的系数的最小值；(2)已知.19.（17分）已知直线，直线，过动点M 作，，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形（O 为原点）的面积为2.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于，两点，求的取值范围.2x (23x +b +1:l y x =2:l y x =-1MA l ⊥2MB l ⊥OAMB ()3,0F ()0,0P x ()00,Q y 00x y +答案以及解析1.答案：D解析：由，，，可知，则与同方向的单位向量为，又，，故点M 到直线的距离为.故选：D.2.答案：D 解析：由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段为直径的圆上运动，，设，所以，所以当大值2，此时点P 的坐标为.故选：D.3.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -(1,1,1)AB = AB0AB = ||3AM = 0AM AB ⋅== AB d ===1:10l mx y -+=()0,1A 2:10l x my +-=()1,0B 1-AB AB =ABP θ∠=θθπ2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭θ==()1,1()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=PC l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化简，得.4.答案：D解析：由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 5.答案：D解析：展开式通项为：，令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.6.答案：D解析：设直线与的斜率分别为，，则，联立方程组消去y 并整理得，设，，则，当且仅当时，等号成立，所以7.答案：B解析：由题，X 服从二项分布，则，最大即为满足的最小N ，即为28C 28=()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=16C 6=15C 5=2865840⨯⨯=38C 56=84056896+=()101x -()()11010C 1C rrr rr r T x x +=-=-⋅=5r ()1011x ⨯-5x ()55101C 252-=-4r =()101x x -5x ()44101C 210-=3r =()1021x x -5x ()33101C 120-=-()()10211x x x ∴++-5x 252210120162-+-=-1l 2l 1k 2k 121k k =-()122,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩()22221114240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y ()211221424k x x k ++==()()12228AB AF BF x x =+=+++=8MN =+212221218811616832AB MN k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭22121k k ==AB MN +(,)B N p 101010(10)C (1)N N P X p p -==-(10)P X =101010101091C (1)C (1)N N N N p p p p --+-≥-，又为整数时，的最小整数，而，，答选：B.8.答案：C解析：由焦距为2知，，设直线与E的另外一个交点为D，，显然判别式大于0，或．故选：C．9.答案：ABC解析：由直线，，，若；若；101010101091C(1)1910111C(1)11NNNNp p NNp p p N p--+--≥⇔⋅≥⇔≥---+N+∈N1-10Np=--1-()E X Np=()10E X<⇔N<()10X<(1,0)A221a b-=AB()11,B x y)()222242122a x a x a a--+-=12x x+=12x=))1211x x--=12x x+()121x x+-=242222212121a a aa a-+-=--22= 2a=22=1:240l mx y m+++=2:10l x y-+=3:350l x y--=1l//2=-1//l l6=-若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组，解得，，即交点，将点代入直线，可得，解得，故选：ABC.10.答案：CD解析：A 选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A 错误；B 选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，种方案，B 错误；C 选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B 选项可知，，事件AB ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以D 选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另种方案，由A 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故11.答案：AC解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A 正确.，所以B 不正确.因为，所以，所以1l 2l 3l 10350x y x y -+=⎧⎨--=⎩3x =4y =(3,4)P P 1l 32440m m +⨯++=3m =-4381=33A 36=()36n A =()212312C C A 6n AB ==()()()n AB P B A n A ==312413C C A 24=23A 18==1A 2A 1B 2B ()10.4P A =()10.6P B =()210.6P A A =∣()210.5P A B =∣()()()()()21211210.40.60.60.50.54P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣()()2210.46P B P A =-=()()()()2122110.5P A P B A P A B P B ==∣∣()()2120.50.60.3P A P B A =⨯=∣()()1220.30.30.54P B A P A ===∣故选AC.12.答案：3解析：展开式的通项为（），令，解得，所以项的系数为，又，解得.13.答案：解析：因为曲线，所以曲线C 是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线的斜率为-1，在y 轴上的截距为，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：，当直线l 与圆相切时，则或故答案为：.解析：依题意，，，则则，则球M 的半径，设平面的法向量为，则，令，得，()()()()121122P A P B A P A B P B =∣∣()()()121210.4(10.6)0.46P A P A A P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦===∣6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭662166C C kk k k k kk m T x m x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭0,1,2,,6k = 622k -=2k =2x 2226C 15135m m ==0m >3m =(]{3,3-- :C y =()2290x y y +=≥(0,0):l y x m =--m -[)(]3,33,3m m -∈-⇒∈-3d m ⇒=±=-(]3,3∈-m =-(]{3,3-- (1,1,0)AB =- (0,1,1)AC =- ||||AB AC == ||||AB AC A AB AC ⋅==A =ABC =(0),1,0=||1R MA == ABC (,,)n x y z = 0n AB x y n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =(1,1,1)n =则点M 到平面的距离距离最大值为，所以三棱锥解析：（1）依题意可知，，两两相互垂直，以B 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，则由于（2），，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点B 到平面16.答案：（1）（2）1ABC ||||n MA d n ⋅===ABC 1d R +=P ABC -1)+=BA 1BB BC ()2,0,0A ()10,2,0B ()12,2,0A ()10,2,2C ()12,2,0AB =- ()112,0,2A C =-1AB 11A C θ111111cos AB A C AB A C θ⋅===⋅0θ<≤=()112,0,0A B =- ()0,0,2C ()12,2,2A C =-- ()10,2,0BB =11A B C (),,n x y z = 111202220n A B x n A C x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ()0,1,1n = 11A B C = 22(2)(3)1x y -+-=解析：（1）线段AB的中点，，故线段AB的中垂线方程为即，因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上.又因为直线平分圆C，所以直线m经过圆心.即与的交点为圆心，所以圆心的坐标为，而圆的半径，.（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离，两边平方整理得：将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，将①代入②得：，设、，则由根与系数的关系可得：而，所以，，整理，解得.此时有，所以k值为1.17.答案：（1）6（2）16（3）90解析：（1）根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：35,22E⎛⎫⎪⎝⎭32112ABk-==--52y x-=-10x y-+=:320m x y-=10x y-+=320x y-=(2,3)C1r=22(2)(3)1x y-+-=1y kx=+d=1d=<23830k k-+<k<<1(2)2(3)21y kxx y=+⎧⎨-+-=⎩①②()2214(1)70k x k x+-++=()11,M x y()22N x y12x x+=12x=()()()212121212111y y kx kx k x x k x x=+⋅+=+++()()()222121121274(1k)4k(1k)OM ON111181k21k21k2yx x y k x x k x x k k++⋅=+=++++=+⋅+⋅+=++++812=2(1)1k k k+=+1k=>△16C6=38C35C2153C C⨯种；（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.18.答案：(1)49；(2)解析：（1）根据题意得，即，所以，所以展开式中的的系数为故当或时，的系数的最小值为49.，则，，因为的展开式的通项为，令（*）即，所以.因为成立，所以，所以.19.答案：（1）（2）解析：（1）设，由直线，直线，可知，故四边形为矩形，四边形（O 为原点）的面积为2，即得，33218553C C C C 16--⨯=15C 13C 16C 111536C C C 90⨯⨯=2271511C C 15m n +=15m n +=15n m =-2x 2222(1)(1)C C 222m nm m n n m n m n --+--+=+=222211515(15)15105222m m m m m ⎛⎫⎡⎤=+--=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭7m =8m =2x 7=172(23)(23)m n x x +-+=+3477C C 35a ===7(23)x +77177C 2(3)C 23r r r r r r r r T x x --+=⋅⋅=⋅716177718177C 23C 23C 23C 23r r r r r r r r r r r r -+-+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩r r ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩*∈N 4r =434777C 232268032⋅⋅=>>22680b =352268022715a b +=+=()2242x y x -=≥(3,6)(6,)+∞ (,)M x y 1:l y x =2:l y x =-12l l ⊥OAMB OAMB ||||2MA MB ⋅=因为，，故，得，由于点A 在第一象限，点B 在第四象限，故动点M 的轨迹方程为；（2）由题意知，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，即l 与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为，故或；设直线l 的方程为，联立，整理得，，设，则故CD 中点的坐标为，则CD 的垂直平分线的方程为，令，得，得，故因为或，故，所以的取值范围为.||MA =||MB =2=22||4x y -=()2242x y x -=≥()3,0F 224x y -=y x =±1k >1k <-(3)y k x =-22(3)4y k x x y =-⎧⎨-=⎩()222216940k x k x k -+--=()()4222Δ36419420160k k k k =----=+>()()()()1122,3,,3C x k x D x k x --212261k x x k +=-=-22233,11k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭22231311k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭0y =0x =0x =0261k y k =-()()()2002261666611111k k k k k x y k k k k k ++=+===+--+--1k >k <61k <-0>6361k <+<-6>00x y +(3,6)(6,)+∞。
北师大版高二上期末数学试卷1(附答案及详细解析)
北师大版高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．26．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣29．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．310．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB ＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．北师大版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是（）A．“∃x0∈R使得x02+x0+1≥0”B．“∃x0∈R使得x02+x0+1＞0”C．“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”D．“∀x∈R，使得x2+x+1＞0”【解答】解：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即命题的否定是：“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”故选：C．2．（5分）“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当m＝1时，满足0＜m＜2，方程即x2+y2＝1，表示圆不能表示椭圆，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的不充分条件，方程表示椭圆，必有，解可得0＜m＜1或1＜m＜2，则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要条件，综合可得：则“0＜m＜2”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C．3．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图设AD＝1，则D1D＝1，C1D＝2，DC1＝，BC＝1将D1A平移到C1B，则∠DC1B是异面直线AD1与DC1所成角BD＝2，C1B＝，DC1＝2cos∠DC1B＝＝．故选：A．4．（5分）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），关于x的不等式的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2）D．（0，1）∪（2，+∞）【解答】解：根据题意，关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（﹣∞，﹣2），必有，则有b＝﹣2a且a＜0，则⇒＞0⇒＞0⇒＜0⇒（x+1）x（x﹣2）＜0，解可得：x＜﹣1或0＜x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，2）；故选：C．5．（5分）若抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p＝（）A．8B．4C．3D．2【解答】解：抛物线y2＝4px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），由椭圆，得c＝，则椭圆焦点坐标为（，0），（，0），由题意，p＝，解得p＝2．故选：D．6．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．75°B．90°C．135°D．120°【解答】解：边长7所对应的角α满足：cosα＝＝，α∈（0°，180°），∴α＝60°．可得边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，当S n取最大值时，n的值为（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＞0且，∴＝，整理，得，S n＝na1+＝﹣+＝﹣．∴当S n取最大值时，n的值为11．故选：C．8．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使，则的值为（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝＝2，可得＝＝2，F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点，由正弦定理可得|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2．在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1＝＝，则＝||•||•cos∠PF2F1＝2×4×＝2．故选：B．9．（5分）已知log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则2a+b取到最小值时，a+b＝（）A．9B．6C．4D．3【解答】解：由log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1可得，（a﹣2）（b﹣1）＝2且a＞2，b＞1，由（a﹣2）（b﹣1）＝2可得，，∴，当且仅当a＝b＝3时，2a+b取到最小值9，此时a+b＝3+3＝6．故选：B．10．（5分）椭圆＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A1点在平面B1A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接A10∵A10⊥y轴，A20⊥y轴，∴∠A10A2为两个面的二面角．|A10|＝a＝4，|0F|＝c＝＝2，∴cos∠A10A2＝＝∴∠A10A2＝60°，故选：B．11．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，，且sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，则下列选项不一定成立的是（）A．b＝2aB．△ABC的周长为C．△ABC的面积为D．△ABC的外接圆半径为【解答】解：由C＝π﹣A﹣B的，sin C＝sin（A+B），∵sin C+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A＝0，化简得，sin B cos A﹣2sin A cos A＝0，则cos A（sin B﹣2sin A）＝0，∴cos A＝0或sin B﹣2sin A＝0，（1）当cos A＝0，A＝时，由∠C＝得B＝，∵c＝2，∴b＝c tan B＝，则a＝；（2）当sin B﹣2sin A＝0时，由正弦定理得，b＝2a，∵c＝2，∠C＝，∴由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则4＝a2+4a2﹣2a×2a×解得a＝，则b＝，此时满足b2＝a2+c2，即B＝，对于A，当A＝时，a＝2b，故A错误；对于B，当A＝或B＝时，△ABC的周长为：a+b+c＝2+2，故B正确；对于C，当B＝时，△ABC的面积S＝ac＝，当A＝时，S＝bc＝，成立，故C正确；对于D，当A＝或B＝时，由正弦定理得2R＝＝，得R＝，故D正确，综上可得，命题正确的BCD，错误的为A故选：A．12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．所以椭圆C的方程为：+＝1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝|2x+y|的最大值是6．【解答】解：先根据实数x、y满足线性约束条件实数x，y满足画出可行域，A（1，1），C（﹣2，﹣2），B（﹣2，2）然后平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，z最大值为3．经过C时，2x+y取得最小值：﹣6，所以z＝|2x+y|的最大值：6．故答案为：6．14．（5分）已知数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝81，记数列的前n项和为T n，则使不等式成立的正整数n的最大值为6．【解答】解：数列{a n}为正项的递增等比数列，a1+a5＝82，a2•a4＝a2•a4＝81，即解得，则公比q＝3，∴，则＝，∴，即，得3n＜2019，此时正整数n的最大值为6．故答案为：6．15．（5分）已知抛物线C：y2＝6x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝6．【解答】解：根据题意设直线的方程为y＝（x﹣），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得x2﹣5x+＝0，，|PQ|＝＝2×4＝8，|MN|＝8sin60°＝4，故S，故答案为：6．16．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AA1＝2AB＝2AC，M，N 是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当B1M最小时，∠AMB＝．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝2AB＝2AC＝2，BM＝a，CN＝b，则A（0，0，0），B（1，0，0），M（1，0，a），N（0，1，b），＝（1，0，a），＝（0，1，b），设平面AMN的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（﹣a，﹣b，1），平面ABC的法向量＝（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos＝＝，得a2+b2＝3，∴当B1M|最小时，BM＝a最大，此时a＝，b＝0，∴tan∠AMB＝，∴∠AMB＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设p：函数f（x）＝lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；q：设，，不等式对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真则ax2﹣4x+a＞0对x∈R都成立，则△＜0且a＞0，解得a＞2，若q真则由对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，2x2+x﹣（ax+2）＞0即a＞2x﹣+1对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，则a＞（2x﹣+1）max令y＝2x﹣+1，在（﹣∞，﹣1]上是增函数，当x＝﹣1时取得最大值y max＝1，故a≥1，又“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，若p真q假，则，无解，若p假q真，则，则1≤a≤2，综上，1≤a≤2．18．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．19．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|＝2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|＝1+＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x．（2）设AB的方程为：x＝my+n，代入y2＝4x有y2﹣4my﹣4n＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1•y2＝﹣4n，∴x1•x2＝，∴＝x1•x2+y1•y2＝n2﹣4n＝﹣4，∴n＝2，∴AB的方程为：x＝my+2，恒过点N（2，0）．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，且，求b2+c2+bc取值范围．【解答】解：（1）∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，∴b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理，得．∵0°＜A＜180°，∴A＝60°．（2）由正弦定理，有，∴b＝2sin B，c＝2sin C，∴b2+c2+bc＝a2+2bc＝3+2bc＝8sin B sin C+3＝＝．∴，∴，∴，∴，∴b2+c2+bc∈（7，9]．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，四边形EDCF为矩形，，平面EDCF⊥平面ABCD．（1）求证：DF∥平面ABE；（2）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长．【解答】（1）证明：取D为原点，DA所在直线为x轴，过D且与AB平行的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴，设平面ABE的法向量为，∴，可取，又，∴，∴，又∵DF不在平面ABE，∴DF∥平面ABE；（2）解：设，∴，∴，又∵平面ABE的一个法向量为，∴，∴8λ2﹣6λ+1＝0，∴或，∴当时，，∴，当时，，∴，综上．22．已知椭圆M：＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P为椭圆上异于A，B的点，设直线P A的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，．（1）求椭圆C的离心率；（2）若b＝1，设直线l与x轴交于D（﹣1，0），与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x0，y0），代入椭圆方程有：＝1，整理，得：＝﹣（），又k1＝，，∴k1k2＝＝﹣，联立两个方程有k1k2＝﹣＝﹣，解得e＝＝．（2）由（1）知a2＝2b2，又b＝1，∴椭圆C的方程有：．设直线l的方程为x＝my﹣1，代入椭圆的方程为：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理得：，y1y2＝﹣，∴S△OMN＝|OD|•|y1﹣y2|＝＝＝，令＝t，（t≥1），则m2＝t2﹣1，代入上式，有S△OMN＝＝＝≤，当且仅当t＝1，即m＝0时，等号成立，∴△OMN的面积的最大值为．。
2023北京北师大附中高二(上)期末数学(含答案)
2023北京北师大附中高二（上）期末数 学一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）1．已知向量(1a =−，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ，那么(xy = ) A ．18−B ．9C ．9−D ．182．已知O 为原点，点(2,2)A −，以OA 为直径的圆的方程为( ) A ．22(1)(1)2x y −++= B ．22(1)(1)8x y −++= C ．22(1)(1)2x y ++−=D ．22(1)(1)8x y ++−=3．已知双曲线221x y m −=的渐近线方程为12y x =±，则实数m 的值为( )A ．14B ．4C ．4−D ．14−4．为抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( ) A ．1x =−B ．1x =C ．2x =D ．2x =−5．已知直线l 过点(3,1)A −，且与直线230x y −+=垂直，则直线l 的一般式方程为( ) A ．230x y ++=B ．250x y ++=C ．210x y +−=D ．220x y +−=6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是( )A ．14B ．12C ．2D 7．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是( )A ．1//D E 平面11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11BD 所成角的范围为(,)42ππD ．二面角11E A B A −−的大小为4π 8．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a −>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知圆的方程为228150x y x +−+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A ．43−B ．53−C ．35−D ．54−10．已知曲线2:||44C x x y +=，点F ，下面有四个结论： ①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C 上任意点P 满足||23PF −；④曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y −−+−=有5个不同的交点． 则其中所有正确结论的序号是( ) A ．②③B ．①④C ．①③④D ．①②③二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5S = ．12．（5分）已知圆22:(1)(1)4C x y −++=，若直线1y kx =+与圆C 相交得到的弦长为，则k = ．13．（5分）已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若120PF PF ⋅=，则△12PF F 的面积为 ．14．（5分）已知正方体的1111ABCD A B C D −棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若PM =PQ 长度的最小值为 ．15．（5分）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出63105168421→→→→→→→→，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程” )，已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时． ①若13m =，则使得1n a =至少需要 步雹程； ②若91a =；则m 所有可能取值的和为 ．三、解答题（共6小题，共85分．解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 满足1(1)(1)n n n b a a =−+，若数列{}n b 前n 项和n T ．17．（14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1DD 的中点． （Ⅰ）求证：1//BD 平面ACE ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．18．（14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（1）求证：CD ⊥平面11AA B B ； （2）求二面角1B AE B −−的余弦值．19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2−−．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)作直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．20．（15分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =． （1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =−交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点．21．（14分）已知有限数列1:A a ，2a ，，m a 为单调递增数列．若存在等差数列1:B b ，2b ，，1m b +，对于A 中任意一项i a ，都有1i i i b a b +<，则称数列A 是长为m 的Ω数列． （Ⅰ）判断下列数列是否为Ω数列（直接写出结果）: ①数列1，4，5，8； ②数列2，4，8，16．（Ⅱ）若(a b c a <<，b ，)c R ∈，证明：数列a ，b ，c 为Ω数列；（Ⅲ）设M 是集合{|063}x N x ∈的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．参考答案一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案） 1．【解答】解：因为向量(1a =−，2，1)，(3b =，x ，)y ，且//a b ， 所以3121x y==−，解得6x =−，3y =−， 所以6(3)18xy =−⨯−=． 故选：D ．2．【解答】解：O 为原点，点(2,2)A −，则||OA ==OA 的中点坐标为(1,1)−， 故以OA 为直径的圆的方程为22(1)(1)2x y −++=． 故选：A ．3．【解答】解：由双曲线221x y m −=的渐近线方程为12y x =±，0m ∴>12=，解得4m =， 故选：B ．4．【解答】解：椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)， ∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =−． 故选：D ．5．【解答】解：直线l 与直线230x y −+=垂直， 则可设直线l 为20x y k ++=， 直线l 过点(3,1)A −，2(3)10k ∴⨯−++=，解得5k =， 250x y ∴++=．故选：B ．6．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，则(1A ，1，0)，(0C ，2，0)，(0G ，0，2)，(1Q ，0，2)， (1,0,0)GQ =，(0,2,2)GC =−，(1,1,0)CA =−，设平面QGC 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由0220n GQ x n GC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取1z =，得(0,1,1)n =，∴点A 到平面QGC 的距离是|||1||n CA n ⋅⨯==故选：C ．7．【解答】解：对于A ，因为平面11//CDD C 平面11A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ， 则1//D E 平面11A B BA ， 故选项A 正确；建立空间直角坐标系如图所示， 设正方体的棱长为1，则(1A ，0，0)，1(1B ，1，1)，1(0D ，0，1)，1(1A ，0，1)，设(0E ，m ，0)，01m ， 所以11(1,1,1),(1,0,1)EB m AD =−=−， 因为111010EB AD ⋅=−++=， 则11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥， 故选项B 正确；对于C ，11(1,,0),(1,1,0)AE m B D =−=−−， 设直线AE 与11B D 所成角为θ， 所以11|cos ,|AE B D <>=当0m =时，cos θ最大值为2，则θ的最小值为4π，当1m =时，cos θ最小值为0，则θ的最大值为2π，故选项C 错误；对于D ，二面角11E A B A −−即二面角11D A B A −−，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11EA B ，1AA ⊂平面11AA B ， 所以1DA A ∠即为二面角11D A B A −−的平面角， 在正方形11ADD A 中，14DA A π∠=，故二面角11E A B A −−的大小为4π， 故选项D 正确． 故选：C ．8．【解答】解：212n n a a −>，222111n n a q a q −−∴>，221(1)0n a q q −∴−>， 10a >，220n q −>，10q ∴−>，1q ∴<，(−∞，0)(−∞，1)，0q ∴<为1q <的充分不必要条件，即0q <是对任意的正整数n ，212n n a a −>的充分不必要条件． 故选：A ．9．【解答】解：圆C 的方程为228150x y x +−+=，∴整理得：22(4)1x y −+=，∴圆心为(4,0)C ，半径1r =．又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于2，2，化简得：2340k k +，解之得403k −，k ∴的最小值是43−．故选：A ．10．【解答】解：当0x 时，曲线C 方程可化为：2214x y +=，(0)x ，表示部分椭圆；当0x <时，曲线C 方程可化为：2214x y −=，(0)x <，表示部分双曲线． 作出曲线C 的图形，如图所示，对①，由图可知：曲线C 关于x 轴对称，∴①正确；对②，由图可知：曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积显然小于224⨯=，∴②正确；对③，F 为椭圆的焦点，且椭圆中2a =，1b =，c =，∴由椭圆的几何性质及双曲线的几何性质可得：||2PF a c −=，∴③正确；对④，如图，由题意可得直线220x y −−=与直线220x y +−=与双曲线分别切于(0,1)−，(0,1)， 且两直线都过(2,0)，∴曲线C 与曲线(22)(22)0x y x y −−+−=有3个不同的交点，∴④错误． 故选：D ．二、填空题（每小题5分，共25分）11．【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，又由11a =，2327a a =，则有227q q ⨯=，即327q =，解可得3q =， 则数列{}n a 的前5项和515(1)243112112a q S q −−===−；故答案为：121．12．【解答】解：由圆22:(1)(1)4C x y −++=，得圆心(1,1)C −，半径2r =， 则圆心(1,1)C −到直线1y kx =+即10kx y −+=的距离为d =，221(42∴+⨯=，解得34k =−．故答案为：34−．13．【解答】解：由椭圆的方程可得焦点在x 轴上，离心率e ==，可得23b =，所以椭圆的方程为：22193x y +=，所以2936c =−=， 因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥， 则2221212||||||PF PF F F +=，由椭圆的定义可得222121212(||||)2||||||4PF PF PF PF F F c +−⋅==， 即222122||||444PF PF a c b ⋅=−=， 所以212||||26PF PF b ⋅==， 所以121211||||6322PF F SPF PF =⋅=⨯=， 故答案为：3．14．【解答】解：如图，取11B C 中点O ，则MO ⊥面1111A B C D ，即MO OP ⊥，5PM =，则1OP =，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面1111A B C D 内的半圆上．可得O 到1A N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值， 作1OH A N ⊥于H ，△1A ON 的面积为113222111222⨯−⨯⨯−⨯⨯=，∴11322A N OH ⨯=，可得5OH =，PQ ∴长度的最小值为15−．1− 15．【解答】解：13m =，依题意，314020105168421m +=→→→→→→→→， 共9共步骤；若91a =，82a =，74a =，68a =或61a =，若21432121654321165432321128,25632,6421,4220,408,165,103,6321,2,48,161,2,4a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧⎪==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎪==⎪⎧====⎨⎨==⎩⎪⎪=⎧⎪⎪=====⎪⎨⎪⎪===⎩⎩若，1a 的集合为{256，42，40，6，32，5，4}，其和为385；故答案为：9，385．三、解答题（共6小题，共85分．解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．【解答】解析：（Ⅰ）由题意知：22214111101()(3)..1101045110a a a a d a a d S a d ⎧⎧=+=+⎪⎪⇒⋯⋯⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩ 解得12a d ==，故数列2n a n =；⋯（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==−−+−+，..⋯（8分）则1111111[()()()]..213352121n T n n =−+−+⋯+−⋯−+（10分）11(1)22121n n n =−=⋯++（12分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ， 在正方形ABCD 中，OB OD =． 因为E 为1DD 的中点，所以1//.OE BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 因为1BD ⊂/平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（Ⅱ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −． 则(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0E ，2，1)， 所以(0,2,0)AD =，(2,2,0)AC =，(0,2,1)AE =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设平面ACE 的法向量为(n x =，y ，)z ，所以0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩即,2,x y z y =−⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨=−⎩（10分） 令1y =−，则1x =，2z =，于是(1n =，1−，2)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 设直线AD 与平面ACE 所成角为θ，则||2sin |cos ,|6||||26AD n AD n AD n θ⋅=〈〉===⋅．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为6．18．【解答】解：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以1AA CD ⊥．又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD AD ⊥． 因为1ABAA A =，所以CD ⊥平面11AA B B ．（2）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点， 所以DF AB ⊥．由（1）知CDAB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz −，由题意得(1A ，0，0)，(1B −，0，0)，(0C ，0，1(1A ，3，0)，1(1B −，3，0)，1(0C ，3， (0D ，0，0)，3(2E −，3(2AE =−，1(2AB =−，3，0)，设平面1AB E 的法向量(n x =，y ，)，3(2AE =−，0，1(2AB =−，3，0)，则1302230n AE x n AB x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，令1x =，则(1n =，23． 平面BAE 法向量1(0AA =，3，0)． 因为11110cos ,10||||AA n AA n AAn ⋅<>==⋅， 由题意知二面角1B AE B −−．19．【解答】解：（1）由题意， 22222121914c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （2）在x 轴上假设存在点Q ，使得QA ，QB 恰好关于x 轴对称， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 再设直线:1l x my =+，(,0)Q t ，联立22134120x my x y =+⎧⎨+−=⎩，得22(43)690m y my ++−=． 则122643m y y m +=−+，129y y =， 由0QA QB k k +=，可得12120y yx t x t+=−−， 即1221(1)(1)0y my t y my t +−++−=， 可得12122(1)()0my y t y y +−+=． 则22962()(1)()04343mm t m m ⋅−+−⋅−=++，得40t −=，即4t =．故在x 轴上是否存在定点(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称．20．【解答】（1）解：根据题意知，042py =，①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）因为||2AF =，所以022py +=．②．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 联立①②解的01y =，2p =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 所以E 的方程为24x y =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）证明：设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，代入24x y =，得2440x kx b −−=．由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =−．③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） 由MP x ⊥轴及点P 在直线3y x =−上，得2(P x ，23)x −， 则由A ，P ，B 三点共线，得21214122x kx b x x −+−=−−，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 整理，得1212(1)(24)(1)260k x x k x b x b −−−++−−=．将③代入上式并整理，得1(2)(23)0x k b −+−=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）由点B 的任意性，得230k b +−=，所以32(2)3y kx k k x =+−=−+．即直线BM 恒过定点(2,3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列． （Ⅱ）证明：①当b a c b −=−时，令1b a =，2b b =，3b c =，42b c b =−， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<， 所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b a c b −<−时，令12b b c =−，2b b =，3b c =，42b c b =−， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b b c b <<<． 所以数列a ，b ，c 为Ω数列． ③当b a c b −>−时，令1b a =，22a c b +=，3b c =，432c ab −=， 所以数列1b ，2b ，3b ，4b 为等差数列，且1234b a b b bc b <<<． 所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a b c <<，数列a ，b ，c 为Ω数列． （Ⅲ）证明：假设M 中没有长为4的Ω数列， 考虑集合{16k M k =，161k +，，1615}k +，0k =，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列， 所以存在一个k ，使得k M 中没有一个元素属于M ． 对于其余的k ，再考虑集合,{164k j M k j =+，1641k j ++，1642k j ++，1643}k j ++，0j =，1，2，3．因为164k j +，1644k j ++，1648k j ++，16412k j ++，16416k j ++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j ，使得,k j M 中没有一个元素属于M ． 因为,k j M 中4个数成等差数列，所以每个,k j M 中至少有一个元素不属于M ．所以集合{|063}x N x ∈中至少有16431937+⨯+⨯=个元素不属于集合M ． 所以集合M 中至多有643727−=个元素，这与M 中至少有28个元素矛盾． 所以假设不成立．所以M 中的元素必能构成长为4的Ω数列．。
2022北京北师大实验中学高二(上)期中数学参考答案
高二年级数学 参考答案 第Ⅰ卷（共100分）16. 解：（Ⅰ）当3t =时，1cos ,||||2⋅<>===⋅a b a b a b .因为,[0,]<>∈πa b ，所以,3π<>=a b . （Ⅱ）因为22(2)(2)4||||+-=-a b a b a b228(9)10t t =-+=--<因此，对任意t ∈R ，2+a b 与2-a b 不垂直 （Ⅲ） 由题意知，λ+a b ∥(0,0,1)即存在k ∈R ，使得(0,0,1)k λ+=a b 则(3,,)(0,0,)t k λλ+-=即300t k λλ+=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得3λ=-，0t = 17. 解：（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，因此,,PD AD CD 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA uu u r ，DC uuu r ，DP uu u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -.P ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A，M ，(0,1,0)N(2,1,0)AN =-u u ur，(1AM =-u u u r ，(2,4,PB =-u u r.因为2(1)42(0PB AM ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AM ⊥uu r uuu r，即PB AM ⊥因为2(2)41(00PB AN ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AN ⊥uu r uuu r，即PB AN ⊥又因为AM AN A =I ，因此PB ⊥平面AMN（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 为平面ANB 的一个法向量由（Ⅰ）知(2,4,PB =-u u r为平面AMN 的一个法向量. cos ,||||PB PB PB ⋅<>===⋅n n n uu ruu r uu r设所求角为θ，由图知θ为锐角，因此cos θ=（Ⅲ）点D 到平面AMN 的距离2||DA PB d PB ⋅===uu u r uu ruu r 18. 解：以O 为原点，OB uu u r ，OM uuu r的方向为,x y 轴正方向建立平面直角坐标系.图中直线AC 的方程为1122y x =+. 选择①：设(1,)P k ，则直线POQ 的方程为y kx =，联立1122y x y kx⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得1(,)2121kQ k k --. 所以1211121MQkk k k k --==--；又111MP k k k -==-，所以MP MQ k k =-. 所以QMO PMO ∠=∠. 选择②：设1(,)2t Q t +， 则11122MQt t k t t+--==. 因为QMO PMO ∠=∠，所以12MP MQ tk k t-=-=. 所以直线PM 的方程为112ty x t-=+. 所以1(1,)2t P t+. 所以12OP OQ t k k t+==，所以,,P O Q 三点共线. 第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（每小题4分，共16分）五、解答题（共34分）23. 解：圆C 的方程为22(1)1x y +-=. （Ⅰ）由题意知，圆心C 到直线l 的距离1d ===.解得2m =2（Ⅱ）若直线l 过点A ，则1m =，直线l 的方程为210x y -+=.联立直线l 与圆C 的方程，22210(1)1x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得交点坐标分别为(1,1)，（−35，15）（Ⅲ） 设直线l '斜率为k ，则直线l '的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.设圆心C 到直线l '的距离为d '，有22||()()12MN d '+=，因为||MN ≥，所以12d '≤.解12d '=≤k ≤≤.24. 解：（Ⅰ）证明：连接1AC ，1BC ，由于AM MB =，1AN NC =，故1//MN BC 又因为1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（Ⅱ）如图，取11A B 中点Q ，由于1AA ⊥平面ABC ，1//MQ AA ，因此MQ ⊥平面ABC ，又因为AC BC =，所以MB MC ⊥，故,,MB MC MQ 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MB uuu r ，MC uuu r ，MQ uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系M xyz -则1(1,0,2)A -，(0,2,0)C ，1(1,0,2)B ，(0,0,0)M ，1(,1,1)2N -.1(1,2,2)AC =-u u u r ，1(1,0,2)MB =uuu u r ，1(,1,1)2MN =-uuu r 设平面1B MN 的法向量为(,,)x y z =n ，100MB MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu u r uuu r，即20102x z x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取221x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩则(2,2,1)=-n设所求角为θ，则111sin |cos ,|||||AC AC AC θ⋅=<>=⋅n n n uuu ruuu ruuu r89= （Ⅲ）设(01)AP AC λλ=≤≤u u u ru u u r，则(1,0,0)(1,2,0)(1,2,0)MP MA AP λλλ=+=-+=-u u u r u u u r u u u r若点P 在平面1B MN 内，则MP uuu r垂直于平面1B MN 的法向量n因此(1,2,0)(2,2,1)620MP λλλ⋅=-⋅-=-=n u u u r ， 解得1[0,1]3λ=∈，故棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面1B MN 内，此时13AP AC =25. 解：（Ⅰ）① ||||6=a ，|||||x|=b ；② min ||||4-=a b ，此时3x = （Ⅱ）{}121212||||max ||x +x |,|y +y |,|z +z +=a b{}121212max||x |+|x |,|y |+|y |,|z |+|z ≤因为{}{}111222||||max ||,||||max ||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ==a b ， 所以111222||||||,||||||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ≤≤a b所以{}||||max ||||||||||||||||||||||||||||||||,,++++=+≤a b a b a b a b a b（Ⅲ）min 5||||11PQ =uu u v 632(,,)777P。
2023-2024学年安徽省A10联盟(北师大版)高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝54．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√35．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ） A ．9+4√22B ．16C ．17D ．2526．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√528．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ）A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞510．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 211．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝1612．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为直线l 的方程为√3x +y −1=0，即y =−√3x +1， 所以直线的斜率为k =−√3，所以直线的倾斜角为2π3．故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝5解：依题意，圆心坐标为AB 中点，即（1，﹣2），半径为12|AB|=12√(2−0)2+(0+4)2=√5，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝5． 故选：D ．4．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√3解：由圆的方程（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心为原点O （1，0），半径为2， 若圆上有4个点到直线l 的距离等于1，则O 到直线y ＝x +b 的距离d 小于1， 又直线的一般方程为x ﹣y +b ＝0， 所以√1+11，所以|1+b |＜√2，所以−√2−1＜b ＜﹣1+√2，所以实数b 的取值范围为（−√2−1，﹣1+√2）． 故选：A ．5．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ）A ．9+4√22B ．16C ．17D ．252解：由题意知，圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分， 即圆心（1，﹣2）在直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，故a +4b ﹣2＝0，即a +4b ＝2， 故1a +4b =（1a +4b ）•12（a +4b ）=12（1+16+4b a +4a b ）≥12（17+2√4a b ×4b a ）=252， 当且仅当4b a =4a b，结合a +4b ＝2，即a ＝b =25时取等号，所以1a+4b的最小值为252．故选：D ．6．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8解：如图，∵抛物线的方程为y 2＝8x ， ∴焦点F （2，0），准线x ＝﹣2，由抛物线的定义可知|AC |+|BD |＝|AF |+|FB |﹣4＝|AB |﹣4， 即当且仅当|AB |取得最小值，|AC |+|BD |取得最小值，依据抛物线的定义可知当|AB |为通径时，即|AB |＝2p ＝8时为最小值， ∴|AC |+|BD |的最小值为4． 故选：B ．7．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ），因为DB ：DC =√3：1，所以2222=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2， 设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞5解：对A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，曲线C 是圆，∴A 选项正确；对B 选项，若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则5﹣t ＞t ﹣1＞0，∴1＜t ＜3，∴B 选项正确； 对C 选项，若C 为椭圆，则{5−t ＞0t −1＞05−t ≠t −1，∴1＜t ＜5且t ≠3，∴C 选项错误；对D 选项，若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则{t −1＞05−t ＜0，∴t ＞5，∴D 选项正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：∵在椭圆C ：x 225+y 216=1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3， 又A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称， ∴AB 的最大值为2a ＝10，∴选项正确；∴C 的焦距为2c ＝6，短半轴长为4，而6≠4×34，∴B 选项错误； 根据椭圆的对称性可知|BF 2|＝|AF 1|，∴|AF 2|+|BF 2|＝|AF 2|+|AF 1|＝2a ＝10，∴C 选项正确； 根据椭圆的几何性质可得：当A 为短轴顶点时∠F 1AF 2最大，设∠F 1AF 2＝2θ，而当∠F 1AF 2＝2θ最大时，tan θ=cb =34＜1，θ∈（0，π2），∴θ＜π4，∴∠F 1AF 2＝2θ的最大角小于π2，∴椭圆C 上不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，∴D 选项错误．故选：AC ．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝16 解：当截距不为0时，设直线xa +y a=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a ＝7，则直线方程为x +y﹣7＝0，当截距为0时，设直线y ＝kx ，将点（3，4）代入得，4＝3k ，∴k =43，则直线方程为4x ﹣3y ＝0， 则直线方程为x +y ﹣7＝0和4x ﹣3y ＝0，故A 错误； 对于B ，已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0过定点A （1，﹣1）， 又直线AM ，AN 的斜率为k AM =1+12−1=2，k AN =2+13−1=32， 所以直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交， 实数k 的取值范围为[32，2]，故B 正确；对于C ，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，所以a 2+b 2＞r 2， 所以圆心（0，0）到直线的距离d =r 2√a 2+b r ，所以直线与圆相交，故C 不正确；圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线， 所以圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝1+√a ，又√(3−0)2+(4−0)2=5， 所以1+√a =5，解得a ＝16，故D 正确． 故选：BD ．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6，由渐近线方程为y =√3x ，得ba=√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca=2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：圆C ：x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径为2，则依题意有k CP =1−01−0=1， 当直线与CP 垂直时，该直线被圆C 截得的弦长最短， 所以所求直线的斜率为k ＝﹣1，所以直线方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0，所以过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55． 解：已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，则ca=√5，不妨令a ＝t ，t ＞0，则c =√5t ，b ＝2t ，又F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，由双曲线的性质可得：|MF 2|=b 2a ，则tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=4t 2t×2√5t =2√55．故答案为：2√55． 15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 60.5 cm ．解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x 轴（抛物线开口方向是x 轴的正方向），则可设抛物线的标准方程为y 2＝2px （p ＞0）灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为（50，40）， 代入抛物线方程得402＝2p ×50，解得p ＝16，所以抛物线方程为y 2＝32x ，光源应安置在与顶点相距16cm 处，当灯口圆的直径增大到88cm 时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为882=44，故将y ＝44代入y 2＝32x 中，求得x =1212=60.5， 此时，探照灯的深度为60.5cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4， 以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0， 所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1），由MQ →⋅OQ →=0， 得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0，整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的是距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=3√22−√22=√2．故答案为：（﹣1，1）；√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得b a=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0，因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；（2）若直线l ⊥x 轴，此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4． 因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6， 故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4）， 则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．解：（1）若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)，则抛物线开口向右，设抛物线Γ方程为y 2＝2px （p ＞0），代入A 点坐标，得（﹣2）2＝2p ×1，解得p ＝2， 故抛物线Γ方程为y 2＝4x ，恰好经过点B (14，1)，符合题意； 若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、C （﹣2，﹣2），则抛物线开口向下，设抛物线Γ方程为x 2＝﹣2py （p ＞0），找不到p 值，使A 、C 两点都满足该方程；而B (14，1)在第一象限，C （﹣2，﹣2）在第三象限，不存在抛物线，使B 、C 两点都在抛物线上． 综上所述，抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)两点，方程为y 2＝4x ．（2）作出示意图，设点P （x 0，y 0）为抛物线Γ上任意一点，点M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，①若P 点在第四象限，则直线OM 的斜率为负数，不能达到最大值；②若P 点在第一象限，则F （1，0），x 0=y 024，y 0＞0，设M （s ，t ），由OM →=OF →+FM →=OF →−14PF →=OF →−14(OF →−OP →)=14OP →+34OF →，得{s =14x 0+34×1=y 0216+34t =14y 0+34×0=14y 0， 所以M 的坐标为(y 0216+34，14y 0)，可得直线OM 的斜率k =14y 0y 0216+34=y 0y 024+3≤02√y 04×3=√33，当且仅当y 024=3，即x 0＝3，y 0=2√3时，直线OM 的斜率有最大值√33．综上所述，当抛物线Γ上的点P 坐标为(3，2√3)时，直线OM 的斜率有最大值√33． 21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12，即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0， 即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4，由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0，即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0， 因为m ≠0，所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4， 因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16，即m 2＞4， 不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4，所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×183=3√34．。
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)
北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷2024年10月本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题，共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简(A)(B)(C)(D)2.若向量,则(B)4(D)53.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么(A)-2(B)-1(C)(D)24.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)6.如图,在四面体中,为BC 的中点,为AD 的中点,则可用向量表示为1111ABCD A B C D -1AB AD AA ++=1CB 1BC 1CA 1AC (1,1,0),(1,0,2)a b ==- ||a b +=(0,2),(1,0)A B (1,)k k =12-n αl m l m n ⊥//l α123,,l l l 123,,k k k 123k k k >>312k k k >>213k k k >>231k k k <<O ABC -,,,OA a OB b OC c D === E OE,,a b c(A)(B)(C)(D)7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为(A)(B)(C)(D)8.已知,过点的直线与线段AB 没有公共点,则直线斜率的取值范围是(A)或(B)(C)(D)或9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB 上的点,且,点在线段上,则点到直线AD 距离的最小值为(A)(D)110.如图,在棱长为a 的正方体中,为的中点,为上任意一点,E ,F 为CD 上任意两点,且EF 的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是111222a b c ++ 111442a b c ++111424a b c ++ 111244a b c ++111ABC A B C -1AB BC AA ==AB BC ⊥1B C 1A B π6π4π3π2(1,2),(2,0)A B -(1,4)C -l l k 1k >4k <-41k -<<14k -<<4k >1k <-1111ABCD A B C D -E 3AEEB=P 1D E P 35()B ()C 1111ABCD A B C D -P 11A D Q 11A B(A)点P 到平面QEF 的距离(B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥P-QEF 的体积(D)二面角P-EF-Q 的大小第二部分(非选择题，共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
2.2.1双曲线及其标准方程 高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1 C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=13.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( )A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( )A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x 2+y 2=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 .8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1B.x 216−y 29=1(x ≥4)C.x 29−y 216=1 D.x 29−y 216=1(x ≥3)12.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x 2n -y 2=1(n>1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2√n +2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A.3B.6C.9D.1215.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 .16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2. (1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3,∴c=√6,故右焦点坐标为√62,0.2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( ) A.x 2-y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2-y 2=1 D.x 2−y 2=1答案C解析由题意得{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4,则该双曲线的方程为x 2-y 24=1.3.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( ) A.32 B.5 C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y 22-λ−x 23-λ=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c 2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,∴|ON|=12|PF 2|,∵||PF 1|-|PF 2||=4,|PF 1|=10, ∴|PF 2|=14或|PF 2|=6, ∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a.又|AF 2|+|BF 2|=|AB|,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x 2+y 2-8x+12=0, 得(x-4)2+y 2=4,画出圆x 2+y 2=1与(x-4)2+y 2=4的图象如图, 设圆P 的半径为r ,∵圆P 与圆O 和圆M 都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P 在以O ,M 为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x 23+y 24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 答案y 2-x 23=1解析由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为y 2a2−x 2b2=1,则a=1,c=2,所以b 2=3,所以双曲线的标准方程为y 2-x 2=1.8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 答案16解析因为P 是双曲线左支上的点, 所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36,所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x 216−y 29=1, 则c 2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0).依题意知b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2−y 225-a 2=1.∵点P -√52,-√6在所求双曲线上, ∴代入有(-√52) 2a 2−(-√6)225-a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0, 解得a 2=1或a 2=1254. 当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案C解析因为mn<0,所以m ,n 均不为0且异号,方程mx 2+ny 2=1,可化为x 21m+y 21n=1,因为1m 与1n异号,所以方程x 21m+y 21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx 2+ny 2=1表示双曲线,则其方程可化为x 21m+y 21n=1,可知1m 与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 2−y 2=1B.x 2−y 2=1(x ≥4)C.x 29−y216=1 D.x29−y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x 29−y216=1(x≥3).12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x 2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a 2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,可得P 在双曲线的左支上,则|PF 2|=2a+|PF 1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 . 答案(2,+∞)解析由曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,可得x 21m−y 21m -2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .答案x 216−y 29=1解析设焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0), 则由QF 1⊥QF 2,得k QF 1·k QF 2=-1,∴5c ·5-c =-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4√2,-3),∴32a 2−9b2=1.又c 2=a 2+b 2=25,∴a 2=16,b 2=9,∴双曲线的标准方程为x 2−y 2=1. 17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M 在双曲线E 的右支上,点M 到x 轴的距离为h ,MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n , 由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m 2+n 2=(2c )2=80, ②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F 1F 2|·h , ∴h=2√55. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216-λ−y 24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(3√2,2),∴1816-λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C 的方程为x 212−y 28=1.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为{12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗|sin (π-θ)=2√6,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=m ,所以tan θ=4√6. 又√6<m<4√6, 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),Q (x 1,y 1),则FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-c ,y 1), 所以S △OFQ =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗|·|y 1|=2√6,则y 1=±4√6.又OF⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m , 即(c ,0)·(x 1-c ,y 1)=√64-1c 2, 解得x 1=√64c ,所以|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+y 12=√38c 2+96c 2≥√12=2√3,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 这时Q 的坐标为(√6,√6)或(√6,-√6).因为{6a 2-6b 2=1,a 2+b 2=16,所以{a 2=4,b 2=12.于是所求双曲线的标准方程为x 24−y 212=1.。
北师大版高二数学上试题及答案
高二数学试题〔选修2-1〕说明：本试卷分第Ⅰ卷〔选择题〕和第Ⅱ卷〔非选择题〕两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷〔选择题 共36分〕本卷须知：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题〔本大题共12小题，每题3分，共36分。
〕 1.以下命题是真命题的是A 、“假设0=x ，那么0=xy 〞的逆命题；B 、“假设0=x ，那么0=xy 〞的否命题；C 、假设1>x ，那么2>x ；D 、“假设2=x ，那么0)1)(2(=--x x 〞的逆否命题 2.p:522=+，q:23>，那么以下判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，以下描绘正确的选项是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．A 和B 是两个命题，假如A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,那么△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，假设11,,,CA a CB b CC c A B ====则 A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a -+- D ．c b a ++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，以下判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 假设抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴间隔 分别为10和6，那么该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．以下各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g11. 假设A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，那么△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，那么m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题〔本大题共4小题，每题3分，共12分。
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高二数学试题（选修2-1）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共36分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
） 1.下列命题是真命题的是A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．对抛物线24y x =，下列描述正确的是A 、开口向上，焦点为(0,1)B 、开口向上，焦点为1(0,)16C 、开口向右，焦点为(1,0)D 、开口向右，焦点为1(0,)164．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y 6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是A.23B. 8C.34D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC c AB ====则 A ．-+ B ．+- C ．-+- D ．++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，下列判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 若抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．6 B ．8 C ．1或9 D ．10 10．下列各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 11. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．2B ．23C ．25D ．3二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。
把答案填在横线上。
）13．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:bB x x a+=-,则A 是B 的 条件。
14．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为_____。
15、“神舟七号”飞船的运行轨道是以地球球心为一个焦点的椭圆。
设地球半径为R ，且“神舟七号”飞船离地面的最大距离和最小距离分别是H 和h ，则“神舟七号”飞船的运行轨道的离心率是 。
16．下列命题①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件. ② “am2<bm2”是“a<b ”的充分必要条件. ③ “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件. ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.判断错误的有___________三.解答题（本大题共6小题，共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17.（本小题满分8分）已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a+-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。
18.(本小题满分8分)一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示.一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计4.2米，箱宽3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由.19.（本小题满分8分）如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1。
20.（本小题满分8分）设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值。
21.（本小题满分10分）如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是AD CE 和的交点，BC AC ⊥，且BC AC =。
（1）求证：EBC AM 平面⊥；（2）求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； （3）求二面角C EB A --的大小不。
22.（本小题满分10分）（本题满分15分）直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2231x y -=相交于不同的A 、B 两点． （1）求AB 的长度；（2）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k 的值；若不存在，写出理由．高二数学参考答案（选修2-1）一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项） 13．充分条件 14．1- 15．hH R hH ++-2 16．②⑤三.解答题（本大题共6小题，共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17. （本小题满分8分） 解：假设三个方程：22224430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根，则2122221(4)4(43)0(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即31221,1320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩或 ，得312a -<<- 3,12a a ∴≤-≥-或。
18. （本小题满分8分） 解：建立如图所示的坐标系，则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为：221(0)254x y y +=≥. 令3x =，则代入椭圆方程，解得 1.6y =，因为1.63 4.6 4.2+=>，所以，卡车能够通过此隧道.19.（本小题满分8分）证明：设c C b D C a B C===11111，，），（，b a C a c B +=-=2111c x b y x 21a y x 21b a 21yc a b 21x a c R y x OC y OD x C B y x c a b 21OD a b 21OD 1111 +-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-∈+=+-=-=）（）（）（）（则）成立，，（，使得，若存在实数。
）（），（ ∵不同面，，，c b a ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+111021121y x x y x y x 即）（）（∴11OC B +=∵内。
所确定的平面不在为共面向量，且11111ODC OC B OC B ∴。
平面，即平面1111////ODC C B ODC B 20．（本小题满分8分）解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=x 2+(y －1)2 ,又因为Q 在椭圆上, 所以,x 2=a 2(1－y 2) , |PQ|2= a 2(1－y 2)+y 2－2y+1=(1－a 2)y 2－2y+1+a 2=(1－a 2)(y －11－a 2 )2－11－a2+1+a 2 . 因为|y|≤1,a>1, 若a≥2, 则|11－a 2|≤1, 当y=11－a 2时, |PQ|取最大值a2a 2－1a 2－1;若1<a<2,则当y=－1时, |PQ|取最大值2.21．（本小题满分10分）解: ∵四边形ACDE 是正方形 ，EC AM AC EA ⊥⊥∴,，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ，∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 设2===BC AC EA ，则),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，)1,1,0(M ∴．(1)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=EC ，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=， 0,0=⋅=⋅∴，CBAM EC AM ⊥⊥∴,⊥∴AM 平面EBC ． (2) ⊥AM 平面EBC ，AM ∴为平面EBC 的一个法向量，)0,2,2(),1,1,0(==AB AM ，21==∴．︒=60．∴直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30．(3) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =，则AE n ⊥且AB n ⊥，0=⋅∴AE n 且0=⋅AB n ．⎩⎨⎧=⋅=⋅∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即⎩⎨⎧=+=.0,0y x z 取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=．又∵为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，21-==∴AMn ，设二面角C EB A --的平面角为θ，则21cos cos ==θ，︒=∴60θ．∴二面角C EB A --等于︒60．22.（本小题满分10分）解: 联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()38403222>-+=∆≠-a a a ，得2212212232,32,3,6a x x a a x x a a --=-=+≠<且。
(1))36(36524)(1122224212212212≠<-++-=-++=-+=a a a a a x x x x ax x a AB 且。