习题四 欧拉图与汉密尔顿图 - 烟台大学计算机与控制工程学院

习题四: 欧拉图与汉密尔顿图

1．判定图7-4.15的图形是否能一笔画。

2．构造一个欧拉图，其结点数v 和边数e 满足下述条件 a ）v ，e 的奇偶性一样。 b ）v ，e 的奇偶性相反。 如果不可能，说明原因。

3．确定n 取怎样的值，完全图n K 有一条欧拉回路。

4．a ）图7-4.16中的边能剖分为两条路（边不相重），试给出这样的剖分。

b ）设G 是一个具有k 个奇数度结点（k >0）的连通图，证明在G 中的边能剖分为2k 条路（边不相重）。

c ）设G 是一个具有k 个奇数度结点的图，问最少加几条边到G 中，而使所得的图有一条欧拉回路，说明对于图7-4.16如何能做到这一点。

d ）在c ）中如果只允许加平行于G 中已存在的边，问最少加几条边到G 中，使所得的图有一条欧拉回路，这事总能做到吗？叙述能做到这事的充分必要条件。

5．找一种9个a ，9个b ，9个 c 的圆形排列，使由字母｛c b a ,,｝组成的长度为3的27个字的每个字仅出现一次。

6．a ）画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。

图7-4.15

(a)

(b)

图7-4.16

图

7-4.17

b ）画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。

c ）画一个没有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。 7．判断图7-4.17所示的图中是否有汉密尔顿回路。

8．设G 是一个具有n 个结点的简单无向图，3≥n ，设G 的结点表示n 个人，G 的边表示他们间的友好关系，若两个结点被一条边连结，当且仅当对应的人是朋友。 a ）结点的度数能作怎样的解释。 b ）G 是连通图能作怎样的解释。

c ）假定任意两人合起来认识所留下的n -2个人，证明n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，而两端的两个人，他们每个人旁边只站着他的一个朋友。

d ）证明对于n 4≥，c ）中条件保证n 个人能站成一圈，使每一个人的两旁站着自己的朋友。

9．证明如G 具有汉密尔顿路，则对于V 的每一个真子集S 有 1)(+≤-S S G W

10．一个简单图是汉密尔顿图的充要条件是其闭包是汉密尔顿图。

11．设简单图〉〈=E V G ,且e E v V ==,，若有22

,2+≥-v C e ，则G 是汉密尔顿图。 12．将无向完全图6K 的边随意地涂上红色或绿色，证明：无论如何涂法，总存在红色的3K 或绿色的3K 。

13．证明如果G 是二部图，它有n 个顶点，m 条边，则4

2

n m ≤。

14．设G 为有n 个结点的简单图，且()()221--n n E ，则G 是连通图。

15．无向图G 的各个结点的度数都是3，且结点数n 与边数m 有关系32-=n m 。在同构 的意义下G 是唯一的吗？为什么？

16．（1）n 为何值时，无向完全图n K 是欧拉图？n 为何值时n K 为半欧拉图？ （2）什么样的完全二部图是欧拉图？ （3）n 为何值时，轮图n W 为欧拉图？

17．求图6-20中的两个图各需要几笔画出（笔不离纸，每条边均不能重复画）？

（1）

（2）

图6-20

a b

d

e f

l

g j c h

j

i

k b

a d

e

f

g