积分在不等式证明中的应用
「用微积分理论证明不等式的方法02762」
「用微积分理论证明不等式的方法02762」微积分作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在证明不等式时，微积分理论可以提供很多有用的方法和手段。
下面，将介绍一些常用的用微积分理论证明不等式的方法。
一、用函数的单调性函数的单调性是研究不等式的一个重要工具。
对于单调递增的函数，可以利用其性质来证明不等式。
设函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，若有a≤x＜y＜b，则有f(a)≤f(x)＜f(y)≤f(b)。
同时，根据单调递增函数的性质，对于任意的a＜b，有f(x)＜f(y)，那么对应的不等式也成立。
例如，要证明在区间[0,1]上，f(x)=x(1-x)＜1/4，可以利用函数f(x)在该区间上的单调递增性。
当x＜1/2时，有f(x)＜f(1/2)=1/4；当x＞1/2时，有f(x)＜f(1/2)＝1/4，因此不等式f(x)＜1/4在区间[0,1]上成立。
二、用导数或微分的性质导数和微分是微积分的基本概念，它们对研究不等式也起到很大的作用。
通过研究函数的导数或微分的性质，可以得到不等式的证明。
例如，要证明在区间(a,b)上f(x)≤g(x)，可以研究函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h(x)≤0，则不等式成立。
对h(x)求导，然后研究导数的正负性即可。
又如，要证明不等式f(x)≥g(x)，可以考虑函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h'(x)≥0，则不等式成立。
通过导数或微分的性质，可以简化不等式的证明过程。
三、用积分的性质积分是微积分的重要工具之一，它在证明不等式中也有广泛的应用。
常用的方法有利用积分的性质来证明不等式的区间逐点性、平均值和中值定理等。
例如，若要证明在区间[a,b]上的函数f(x)满足不等式f(x)≥0，可以考虑利用积分的区间逐点性。
即对于任意一个x∈[a,b]，都有f(x)≥0成立。
又如，若要证明函数f(x)在[a,b]上的平均值大于等于左端点和右端点的函数值之间的平均值，即(∫[a,b]f(x)dx)/(b-a)≥(f(a)+f(b))/2，可以利用积分的性质，将该不等式转化为函数f(x)-(f(a)+f(b))/2的积分大于等于0，然后再进行证明。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用
不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用不等式与绝对值不等式的证明与推广在数学中，不等式是一种数学语句，用于比较两个量的大小关系。
而绝对值不等式则是一种特殊的不等式形式，主要用于研究绝对值的性质。
本文将探讨不等式与绝对值不等式的证明方法，并展示它们在积分应用中的推广。
一、不等式的证明方法不等式的证明是数学推理的重要部分，通常有以下几种常见的证明方法。
1.1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法。
我们通过推导和运算，利用已知条件和逻辑推理推导出不等式的结论。
例如，对于形如a > b的不等式，我们可以令c = a - b，然后通过运算得到c > 0的结果，证明a > b。
1.2. 反证法反证法是一种通过假设不等式的反面，然后证明其矛盾来得出结论的方法。
假设不等式的反面成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原不等式是正确的。
例如，对于形如a > b的不等式，我们可以假设a≤ b，然后通过运算得到矛盾的结果，从而证明a > b。
1.3. 数学归纳法数学归纳法是证明关于整数的不等式的有效方法。
它包括两个步骤：首先证明当n = 1时不等式成立，然后假设对于任意n，不等式都成立，再证明对于n + 1时不等式也成立。
通过这种递推的方式，可以证明不等式对于所有整数都成立。
二、绝对值不等式的证明方法绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中含有绝对值符号。
在证明绝对值不等式时，我们通常利用绝对值的性质进行推导。
2.1. 基于定义的证明绝对值不等式的定义是：|a| ≤ b等价于 -b ≤ a ≤ b。
我们可以利用这个定义，根据不等式的特点进行推导，来证明绝对值不等式的成立。
2.2. 基于绝对值性质的证明绝对值具有非负性、可加性、三角不等式等性质，我们可以将这些性质应用于绝对值不等式的证明中。
例如，对于形如|a - b| ≥ c的不等式，我们可以利用绝对值的可加性和基本不等式来推导出结果。
三、不等式与绝对值不等式的推广积分应用不等式和绝对值不等式在积分应用中有着广泛的应用。
关于积分不等式的证明
关于积分不等式的证明积分不等式是高等数学中的一个重要概念，它可以用来研究函数的性质和求解各类数学问题。
下面将对积分不等式进行证明并详细介绍其应用。
首先，我们来证明\[f(x)\geq0, x\in[a,b]\]是一个有界函数，则其积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]也是有界函数。
证明：我们将证明积分\[F(x)=\int_a^xf(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]具体分为以下两种情况：情况一：当\(F(x)\geq0，x\in[a,b]\)时，由于函数\(F(x)\)是连续的，所以根据闭区间上连续函数的值域定理，存在\(c\in[a,b]\)使得\(F(c)=M\)（其中，\(M\)是\(F(x)\)在区间\([a,b]\)上的最大值）。
假设\(M<0\)，则存在\(\delta>0\)，使得当\(x\in[a,b]\)且\(0<，x-c，<\delta\)时，有\(F(x)>F(c)\)。
进一步，根据积分的定义，我们可以找到\(\varphi(x)\)使得\(F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\)。
由于函数\(f(x)\geq0，x\in[a,b]\)，所以有\(\varphi(t)\geq0\)。
结合前面的不等式，有\[F(x)-F(c)=\int_c^x\varphi(t)dt\geq0，x\in[a,b]\]。
注意到当\(x=c\)时，左边等式成立。
根据积分的唯一性定理，我们可以得到\(\varphi(t)\geq0\)。
因此，当\(x\in[c-\delta,c+\delta)\)时，\(\varphi(t)>0\)。
进一步，根据连续函数局部连续性的定理，我们可以找到\([\alpha,\beta]\subset[c-\delta,c+\delta)\)，使得\(\varphi(t)>0\)，当\(t\in[\alpha,\beta]\)。
微积分在不等式中的应用论文
摘要微积分和不等式都是数学学科中极为重要的内容，其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用徽积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数, 然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式.关键词微积分不等式中值定理函数性质泰勒公式定积分性质1AbstractCalculus mathematics and inequality are extremely important, the proof is not usually easily. This paper reviews several commonly used to prove inequality elementary methods, using the differential mean value theorem, monotone of function, extreme value ( maximum ) decision method, function, convex and concave nature of Taylor formula, the nature of definite integral and some knowledge of calculus of the inequality proof method, this paper discusses how clever use of emblem integral knowledge and the method to solve some of the problems of inequality.Using calculus to prove inequality is established, the basic idea is the construction of an auxiliary function, then make use of infinitesimal calculus to derive the properties of function to prove inequality.Key words calculus inequality theorem function Taylor formulaof definite integral character目录摘要 (I)1 Abstract (II)2 前言 (1)3 微积分 (2)2.1微积分的定义 (2)2.2微积分的发展历史 (3)2.3微积分学的创立的意义 (4)2.4微积分不断深化 (5)4 微积分在不等式中的应用 (6)5 利用微分中值定理证明不等式 (7)6 利用函数的单调性证明不等式 (8)7 利用函数的最值(极值)证明不等式 (9)8 利用函数的凹凸性质证明不等式 (10)9 利用泰勒公式证明不等式 (11)10 利用定积分的性质证明不等式 (12)结论 (13)参考文献 (16)附录 (17)致谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。
利用积分的性质证明不等式
利用积分的性质证明不等式积分是微积分中非常重要的概念，它可以用来计算函数的面积、曲线的弧长、函数的平均值等等。
在解决实际问题时，我们经常会利用积分的性质来证明不等式，这种方法可以简化问题的分析过程，提高解题效率。
下面以证明柯西不等式为例，详细介绍如何利用积分的性质来证明不等式。
柯西不等式是一个非常著名的数学不等式，它的数学表达式如下：对于任意的实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)²要证明柯西不等式，我们可以利用积分的性质，首先将函数f(x)进行平方，然后对其进行积分，进而推导出柯西不等式。
假设f(x)为定义在区间[a, b]上的连续函数，我们可以定义一个函数g(x) = f²(x)。
接下来我们对g(x)在区间[a, b]上求积分，表示为∫[a,b]g(x)dx。
由于g(x)是f(x)的平方，根据积分的性质，可以得到：∫[a,b]g(x)dx = ∫[a,b]f²(x)dx。
接下来我们对函数f(x)进行两次积分，得到的结果如下：∫[a,b]f²(x)dx = ∫[a,b][∫[a,b]f(x)du]dx。
我们可以看出，这个双重积分相当于对函数f(x)在区域C内进行了两次求面积的操作。
接下来，我们将C内部的每个小矩形区域的面积加起来，即得到整个区域C的面积。
设每一个小矩形的宽度为Δx，在区域C内任意选取一个点(ξ,x)。
根据微积分的定义，存在一点c，使得：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx。
根据上面的表达式，我们可以得到：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx≥0。
我们可以看出，f'(c)代表函数f(x)的导数，而根据导数的定义，它反映了函数f(x)在特定点的变化率，也可以理解为函数f(x)的斜率。
终稿 微积分在证明不等式中的应用
Key words: Calculus； proof ；Inequality； Application
引言 不等式是数学中的重要内容之一，它反映了各个变量之间很重要的一种关
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系。它的证明在数学中起着重要作用，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思 维能力。证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。 运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如 积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识。作为高等数 学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法。 1. 证明不等式的常用方法 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒等不等式进行合乎逻辑 的等价变换。具体的方法很多，下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.。 1.1 比较法 欲证 A ≥ B ， （ⅰ）只要证明 A − B ≥ 0 ； （ⅱ）如果 A > 0, B > 0 ，只要证明
目 录
摘要 ............................................................................................ 1 引言 ............................................................................................ 1 1. 证明不等式的常用方法 ....................................................... 2 1.1 比较法 ........................................................................... 2 1.2 公式法 ........................................................................... 3 2. 微分在证明不等式中的应用 ............................................... 5 2.1 利用函数的单调性 ....................................................... 5 2.2 利用函数的极值与最值 ............................................... 7 2.3 利用微分中值定理 ....................................................... 8 2.4 利用函数的凹凸性 ..................................................... 11 2.5 利用泰勒公式 ............................................................. 13 3. 积分在证明不等式中的应用 ............................................. 16 3.1 利用积分性质 .............................................................. 16 3.2 利用积分中值定理 ..................................................... 17 3.3 利用变限积分函数 ..................................................... 18 3.4 利用柯西—施瓦兹不等式 ......................................... 19 参考文献 .................................................................................. 21 致谢 .......................................................................................... 21
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题积分不等式是高中数学中常见的一种重要方法，它通过对不等式两边同时进行积分，将不等式问题转化为求解等式的问题，从而解决高中数学中的各种问题。
本文将介绍积分不等式的概念、求解步骤以及应用案例。
一、积分不等式的概念积分不等式是指在某个区间上满足一定关系的函数不等式。
具体来说，如果在区间[a, b]上，函数f(x)和g(x)满足f(x)≤ g(x)，则对于[a, b]上连续函数φ(x)，如果有∫[a, b] f(x)φ(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)φ(x)dx，那么就称这个不等式为积分不等式。
二、积分不等式的求解步骤解决积分不等式的一般步骤如下：1. 将积分不等式两边的函数进行积分，得到对应的不等式。
2. 利用已知的数学方法和技巧，对不等式进行简化和变形。
3. 运用数学推理和变换，得到最终的解或结论。
下面通过一个具体的案例来说明积分不等式的求解过程。
案例：已知函数f(x) = x^2sinx在区间[0, π/2]上连续，求证：∫[0, π/2]x^2sinx dx ≥ (π-2)/2π。
解：根据题目中给出的函数f(x)和区间[0, π/2]上的连续函数φ(x)，将不等式转化为积分形式：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] (π-2)/2π φ(x)dx。
由于函数φ(x)的具体形式未知，难以直接求解。
因此我们需要借助于已知条件及数学推理来简化和变形不等式。
首先，根据积分的线性性质，我们可以将不等式右边的积分进行拆分：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] φ(x)dx - ∫[0, π/2] φ(x)/π dx。
接着，考虑利用积分区间[0, π/2]上函数x^2sinx的特点，我们可以使用分部积分法对不等式左边的积分进行简化。
按照分部积分法的公式，我们令u = x^2，dv = sinxφ(x)dx，那么du = 2xdx，v = -cosxφ(x)。
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积分在不等式证明中的应用摘 要：本文是根据积分的有关概念与性质，采用举例的方法归纳并总结了积分在不等式证明中的几种比较常见的技术和手法，同时重点突出了积分在不等式证明中的基本的思想与方法。
关键词：积分 不等式 应用Application of integral in proving inequalityAbstract:This article is based on concepts and properties about integral, several common techniques andpractices of the integral in the proving inequalities are concluded and summarized using the example of the way, while highlighting the integral in the proving inequalities of basic ideas and methods.Keywords:integral; inequality; application不等式证明不但是初等数学的重要课题，同时也是解决其他相关数学问题的基础知识。
在初等数学领域中有许多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、放缩法、归纳法、函数法、几何法等，但用这些初等方法证明不等式时证明过程比较繁琐，而常用的高等方法如微分法，则往往忽略了积分在不等式证明中的重要作用，本文着重从积分的一些定理和相关性质的方面来说明不等式证明的几种技术和手法，以便于从整体上更好地掌握证明不等式基本的思想方法。
1. 积分的定义在不等式证明中的应用从积分的定义出发来证明不等式，是很容易被忽略的一种方法，但是这种比较原始的证明方法有时却是一种很有效的证明方法。
例题1：设）（x ψ是[]a ,0上的连续函数，)(x f 二阶可导，0)(≥''x f ，试证：))(1()]([100dt t af dt t f a aa ⎰⎰≥ψψ. 证明：由题意知，0)(≥''x f ，故对于[]a x x x n ,0,,,21∈∀ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ ．若令n i a nix i ,,2,1),( ==ψ.则有)].(1[])([111a nin f a n i f n n i n i ∑∑==≥ψψ 故由根据题意可知，当+∞→n 时，有dt t f a n a a n i f a a n i f n an i n i ⎰∑∑→===011)]([1}])([{1])([1ψψψ, ⎰∑∑→⎪⎭⎫ ⎝⎛===a ni n i dt t a f n a a n i a f a n i n f 011].)(1[])([1)](1[ψψψ 从而))(1()]([100dt t a f dt t f a aa ⎰⎰≥ψψ. 值得注意的是，此题还可以采用积分中值定理来证明。
例题2：设[]0)(,)(≥x fb a x f 上的连续函数，且是在.试证：dx x f ab eb a dxx f ab ba ⎰-≤⎰-)(1)(ln 1. 证明：取,10b x x x a n =<<<= 且.,,2,1,1n i nab x x x i i i =-=-=∆-则 ∑===n i i n n x f nx f x f x f nn eex f x f x f 121)(ln 1)()()(ln 21)()()(])(ln [1])(ln [111i ni i ni i x x f a b na b x f a b ee∆---∑=∑===,])([1])([1)(1)()()(11121i ni i n i i n i i n x x f a b n a b x f a b x f n n x f x f x f ∆-=--==+++∑∑∑=== .又由于)(ln )(x f x f 和的连续性，故由积分的定义知：当+∞→n 时，有⎰→∑-∆-=bani i i dx x f a b x x f a b ee)(ln 1])(ln [11,⎰∑-→∆-=b an i i i dx x f a b x x f a b )(1])([11. 又由于1a-1bx图1 例题3nx f x f x f x f x f x f n nn )()()()()()(2121+++≤.从而dx x f ab eb a dxx f ab ba ⎰-≤⎰-)(1)(ln 1. 2. 积分的几何意义在不等式证明中的应用我们知道，定积分、二重积分等积分都有其几何意义，对于某些特殊的不等式，就可以从积分的几何意义出发，进行比较，从而给出证明。
例题3：若1,≥b a 时．试证：b b e ab a ln 1+≤-. 证明：.1,1ln ln 111+=+-=⎰⎰--dx e eb xdx b b a x a b且如图1，可以看出矩形的面积()b a 1-一定不会超过1s 和2s 的面积之和，即().ln ln 1111--+-=+≤-⎰⎰a a y be b b b dy e xdx b a从而.ln 1b b e ab a +≤- 例题4：若dx x x I ⎰-=122,(){}1,,)1(2222≤+=+-=⎰⎰y x y x D dxdy y x J D.试证：J I <.证明：dx x dx x x I ⎰⎰--=-=12102112）（ .又由于10,11102≤≤--=⎰x dx x y ）（的几何意义表示圆心为()0,1，半径为1的圆的面积的四分之一，故由积分的几何意义知4π=I .同理，由二重积分的几何意义知，J 表示高和底面半径都为1的圆锥的体积，故可知3π=J .从而J I <.3. 积分中值定理在不等式证明中的应用当所要求证的不等式中同时出现了形如)(x f 和dx x f ba ⎰)(的式子，其中)(x f 是[]b a ,上的连续函数，此时可以考虑利用积分中值定理。
定理1[1]：设)(x f 是[]b a ,上的函数连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得).)(()(a b f dx x f ba-=⎰η定理2[1]：设)(x f 和)(x g 是[]b a ,上的函数连续，且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=η定理3[1]：设)(x f 是[]b a ,上的可积函数，(1) 若函数)(x g 在[]b a ,上递减，且0)(≥x g ，则存在一点[]b a ,∈η，使得dx x f a g dx x g x f aba⎰⎰=η)()()()(,(2) 若函数)(x g 在[]b a ,上递增，且0)(≥x g ，则存在一点[]b a ,∈ξ，使得dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=ξ)()()()(.例题5：求证不等式11083+>+.[3]试题分析：此题若用一般的方法证明也比较简单，这里我们可以用积分中值定理来证明，首先我们需要将其转换成可以利用积分中值定理的形式。
证明：不等式11083+>+可变形为81013->-.由于⎰⎰==-313112113dx x x d ，又因为[]3,11)(在xx f =上连续，故由定理1可得，[]3,11∈∃η，使得dx xf ⎰==31111211)(ηη. 同理可知，[]10,82∈∃η，使得⎰⎰==-108108121810dx x x d 21η=. 由于211ηη<<，故2111ηη>，即81013->-.从而11083+>+.例题6：设)(x f 是[]b a ,上的递增连续函数，试证：⎰⎰+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)(. 证明：⎰⎰⎰+++-++-=+-b b a ba a ba dx x fb a x dx x f b a x dx x f b a x 22)()2()()2()()2( .又由于)(x f 在[]b a ,上连续，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∀2,b a a x ，有02≤+-b a x ，故由定理2可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∃2,1b a a η，使得 ⎰⎰+++-=+-212)2()()()2(ba a ba adx b a x f dx x f b a x η,同理，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∃b b a ,22η，使得 ⎰⎰+++-=+-b b a ab a dx ba x f dx x fb a x 222)2()()()2(η. 从而=+-++-⎰⎰++b b a ba adx x f ba x dx x fb a x 22)()2()()2(⎰++-21)2()(b a adx b a x f η⎰++-+b b a dx ba x f 22)2()(η)]()([2)(122ηηf f a b --=.又 )(x f 在[]b a ,上递增，且12ηη>，故0)()(12≥-ηηf f .0)()2(≥+-∴⎰ba dx x f ba x . 从而⎰⎰+≥ba badx x f b a dx x xf )(2)(. 例题7：若0>c .试证：当0>x 时有不等式xdt t cx x1sin 2≤⎰+. 证明：若令2t u =，则du u dt u t 2121,==，则⎰⎰++=22)(2.2sin sin c x xcx xdu uu dt t设[]0)()(,)(,21)(,sin )(22>+==u g c x x u f uu g u u f 上连续，在则且递减，故由定理3可知，[]22)(,c x x +∈∃ξ，使得⎰⎰++=22)(22sin sin c x xcx xdu uu dt t ⎰=ξ2sin 212x udu x)cos (cos 212ξ-=x x. 从而xx x dt t cx x1cos cos 21sin 22≤-=⎰+ξ. 4. 积分的性质在证明不等式中的应用利用积分的性质证明不等式时，我们首先要判断出需要证明的不等式是否存在基本初等函数的积分值。
其次，根据题意设出相应的积分不等式和定义区间。
最后，运用相应的积分性质对已设积分不等式在定义区间内求值。
证明这种类型的题目需要掌握一定的初等不等式的积分公式。
定理4[1]：设)(x f 和)(x g 是在[]b a ,上的两个可积函数。