数列章末检测

数列章末检测
一、填空题
1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.
2．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4＝________.
3．若{a n}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q＝________.
4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________.
5.
“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10
S5＝
1
2，则
S15
S5＝
________.
7．已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1
，则数列{a n}的通项公式a n＝________.
8．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是________．
9．如果数列{a n}满足a1＝2，a2＝1，且
a n a n－1
a n－1－a n
＝
a n a n＋1
a n－a n＋1
，
则此数列的第10项a10＝________.
10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －
1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.
11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.
12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－
a n (n ∈N *)．若
b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.
13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56
是数列中的第________项．
14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足
条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1
<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)
二、解答题
15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别
加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋54是等比数列．
16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n
<1. 17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和．
18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n 2
n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14
(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．
20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万
元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2
(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多 a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 答案
1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n 8.20 9.15
10.1 11．－7 12.3
13．50 14．①②④
15．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.
所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .
依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，
解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．
故{b n }的第3项为5，公比为2.
由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54
. 所以{b n }是以54
为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为
b n ＝54
·2n －1＝5·2n －3.
(2)证明 数列{b n }的前n 项和
S n ＝54(1－2n )1－2
＝5·2n －2－54， 即S n ＋54
＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52
， S n ＋1＋54S n ＋54
＝5·2n －1
5·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列． 16．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9，
得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，
则d ＝1.
所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，
即a n ＝2n ＋1.
(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n
＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n
＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
＝1－12n <1. 17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .
由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19
.
由条件可知q >0，故q ＝13
. 由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，
所以a 1＝13
. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n
＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2
. 故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n
＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1. 18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，
得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2
n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.
∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2
n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1
两边乘以2得：
2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，
两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n
＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，
∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.
19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，
∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.。