数学必修三回归分析经典题型(带答案)资料讲解

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数学必修三回归分析经典题型带答案

1 / 3数学必修三回归分析经典题型1．一位母亲记录了儿子3～９岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7ˆ+=x y用这个模型预测这个孩子1０岁时的身高，则正确的叙述是( ）Ａ．身高一定是1４５。

83cm B ．身高在1４5．83cm 以上C ．身高在145。

8３cm 以下D 。

身高在145．83ｃm 左右【答案】D【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为14５.83，由于回归模型是针对３—9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值,只能说左右,不能说在上或者下，没有标准.选D 2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y ＝a +b x,关于回归系数b ，下面叙述正确的是＿_____＿_．①可以小于0；②大于0;③能等于0;④只能小于0．【答案】①【解析】由b 和ｒ的公式可知，当r ＝0时,这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0。

3。

对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据（x i ，y ｉ)（i ＝１，2,…，1０),它们之间的线性回归方程是y =3x+20，若101i i x =∑=18，则101ii y=∑=________.【答案】25４【解析】由101i i x =∑=18,得x =1.８。

因为点（x ,y )在直线y =3x+20上，则y ＝25．４. 所以101i i y =∑＝25.４×10=254.4。

下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是y ＝-０。

7x ＋a,则a 等于___＿＿__＿．【答案】5．25【解析】x ＝2。

5，y ＝3。

5, ∵回归直线方程过定点（x ，y )， ∴3.5=-0.７×2.5＋ａ. ∴a=5。

25．５．由一组样本数据（ｘ1,y 1），（x 2，ｙ２），…，(ｘn ,ｙn ）得到线性回归方程y =b ｘ＋a ,那么下列说法正确的是__＿_＿_＿＿. ①直线y =b x+a 必经过点（x ，y );②直线y ＝b x+a 至少经过点(x 1，ｙ1)，(x 2，ｙ２)，…，(x n ，ｙn )中的一个点;③直线y =b x ＋a 的斜率为1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑；④直线y ＝b x ＋a 和各点(x 1，ｙ1),(x ２，ｙ2)，…,（x n ，y n ）的偏差21()ni i i b a y x =⎡⎤⎣⎦∑－＋是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差。

(完整版)数学必修三回归分析经典题型(带答案)

数学必修三回归分析经典题型1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7ˆ+=x y用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（） A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm 以上 C.身高在145.83cm 以下 D.身高在145.83cm 左右【答案】D【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为145.83，由于回归模型是针对3-9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值，只能说左右，不能说在上或者下，没有标准。

选D2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程$y ＝$a＋b $x ，关于回归系数b $，下面叙述正确的是________．①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0. 【答案】①【解析】由b$和r 的公式可知，当r ＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是$y ＝3x ＋20，若101i i x =∑＝18，则101i i y =∑＝________.【答案】254【解析】由101i i x =∑＝18 1.8.因为点在直线$y ＝3x ＋2025.4. 所以101i i y =∑＝25.4×10＝254.4．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量其线性回归直线方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于________．【答案】5.252.53.5，∵回归直线方程过定点， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a. ∴a ＝5.25.5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程$y ＝b$x ＋$a ，那么下列说法正确的是________．①直线$y ＝b$x ＋$a 必经过点(x ，y )； ②直线$y ＝b$x ＋$a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； ③直线$y ＝b$x ＋$a 的斜率为1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑；④直线$y ＝b $x ＋$a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差$21()ni i i b a y x =⎡⎤⎣⎦∑$－＋是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差．【答案】①③④【解析】回归直线的斜率为b ，故③正确，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心，故①正确，②不正确．6．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【答案】185【解析】设父亲身高为173176，b$＝ $a＝－b $ 176－1×173＝3， ∴$y ＝x ＋3，当x ＝182时，$y ＝185.7．下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？【答案】解：（1）0.08 1.23yx =+线性回归方程为（2）估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元. 【解析】(1)先求然后利用公可求出回归直线y ax b =+方程.(2)把x=10代入回归直线方程可得y 的值，就可得所求的值.解：（1906543222222512=++++=∑=i ixΘ又x y 23.108.0+=∴线性回归方程为（2）把10=x 代入回归方程得到：38.121023.108.0=⨯+=y∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元.。

数学必修3自主练习：2.4线性回归方程含解析精品

自主广场我夯基我达标1．相关关系与函数关系的区别是_________.思路解析:考查函数关系和相关关系的含义.答案:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性 2．线性回归方程y=bx+a 过定点__________.思路解析:考查线性回归方程的意义，及点与直线的位置关系的判断.由线性回归直线方程的推导过程不难发现直线恒过定点（x ，y ）.答案:（x ，y ）3．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ˆ=50+80x ，下列判断正确的是( ) A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元D ．当月工资250元时，劳动生产率为2 000元思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: B4．设有一个直线回归方程为yˆ=2-1．5x ，则变量x 增加一个单位( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y xy1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量答案: C5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A ．角度和它的余弦值B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和它的内角和D ．人的年龄和身高思路解析:本题主要考查相关关系的概念.由函数的定义可知A 、B 、C 三项中的两个变量间的关系均为函数关系，故答案为D.答案: D 6．已知样本容量为11，计算得∑=111i ix=510，∑=111i iy=214，∑=1112i ix=36 750，∑=1112i iy=5422,∑=111i ii yx =13 910，则y 对x 的回归方程为__________.思路解析:考查线性回归方程的求法.在回归方程中b=．　x b ，x x n y x y x n ni i n i i ni i n i i n i i i -=--∑∑∑∑∑=====y a )())((2112111答案:y=5.34+0.3x7．部分国家13岁学生数学测验平均分数见下表.试作出该数据的散点图,并由图判断是否存在回归直线.若有，试求出直线方程.思路解析:考查了用回归直线方程进行拟合的一般步骤.用回归直线方程进行拟合的一般步骤为:作出散点图;判断散点是不是在一条直线的附近；若散点在一条直线的附近，利用公式求出回归直线方程.答案:(图略)存在回归直线方程,回归直线方程是y=0.313 3x+0.900 1.我综合我发展8．一个工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的一组数据如下:试作出该数据的散点图，并求总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 思路解析:考查了回归直线方程的求法. 答案:(图略)回归直线方程是y ˆ=1.215x +0.974.9．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r|∈(0,+∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小B ．r ∈(-∞,+∞)，r 越大，相关程度越大；反之，相关程度越小C ．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对思路解析:考查了线性相关程度的判断方法.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小.答案: C我创新我超越10．改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展.这里我们得到了某省从1990～2000年18～24岁的青年人每年考入大学的百分比，我们把农村、乡镇和城市分开统计.为了便于计算，把1990年编号为0，1991年编号为1，…,2000年编号为10．如果把每年考入大学的百分比作为因变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线:城市yˆ=9.50+2.84x,乡镇yˆ=6.76+2.32x,农村yˆ=1.80+0.42x.(1)在同一坐标系内作出三条回归直线.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着什么?(3)在这一阶段，三个组哪一个的大学入学率年增长最快?(4)请查阅我国人口分布的有关资料，选择一个在高等教育发展上有代表性的省，以这个省的大学入学率作为样本，说明我国在1991～2000年10年间大学入学率的总体发展情况.思路解析:考查了直线方程的画法，直线斜率的实际意义及解决问题和分析问题的能力.答案:(1)图略.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着考入大学的百分比增长较慢.(3)城市组.(4)略.。

数学必修3知识导引 2.4线性回归方程含解析精品

6.4线性回归方程案例探究在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？分析：凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素.例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等.在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，圆的面积S与半径r 之间就是确定性函数关系，可以用函数S=πr2表示.一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.例如，人的体重与身高有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.自学导引1．在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性关系，另一类是相关关系.2．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.3．请你说出确定性关系与相关关系的相同点和不同点.答案：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：相关关系是一种非确定的关系.确定性关系是自变量与函数值之间的关系，可以用一个函数表示.这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.这种关系不能用一个确定的函数来表示.4．你是否还能举出一些现实生活中存在的相关关系的问题？答案：例如，商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；人体的脂肪含量与年龄之间的关系，等等.5．将n个数据点（x i,y i）（i=1,2,…,n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.6．（1）当两个变量成正相关时，散点图有什么特点？（2）当两个变量成负相关时，散点图又有什么特点？答案：（1）散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.（2）散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.7．对于散点图可以作出如下判断：（1）当所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系；（2）当所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间具有相关关系；（3）当所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间具有线性相关关系.8．回归直线是怎样定义的？答案：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.疑难剖析【例1】下表是某地年降雨量与年平均气温的统计数据，判断两变量有相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？思路分析：用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为：（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；（2）如果散点在一条直线附近，以公式求出a, b ，并写出线性回归方程.解：以x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量可得相应的散点图：因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没有必要用回归直线进行拟合，用公式求得的回归方程也是没有意义的.思维启示：要判断两个变量是否具有线性相关关系，可先作出散点图，再观察散点是否在一条直线附近，如果是，则二者具有线性相关关系；否则，二者不具有线性相关关系. 思维陷阱：解此题的第（2）小问时不要盲目地去求回归方程.观察两相关变量得如下数据：求两变量间的回归方程.错解:求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表x i ,y i ,x i y i ；第二步：计算x ,y，∑=ni ix12，∑=ni iy12，∑=ni ii yx 1；第三步：代入公式计算b, a 的值；第四步：写出回归直线方程.列表：计算得：x =0, y =0∑=1012i ix=110,∑=1012i iy=310,∑=101i ii yx =110∴b=1010110010110)(101021012101=*-*-=--∑∑==x x yx yx i i i iia=y -b x =0-1*0=0故所求回归直线方程为yˆ=x. 正解：作两个变量的散点图（图略），从散点图中看出，点不在某条直线附近，分散得很开.因此，变量x 和y 不具有线性相关关系，也就不存在线性回归方程.【例2】某班学生每周用于数学学习的时间x （单位：h ）与数学成绩y （单位：分）之间有如下数据：某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩. 思路分析：首先应该利用表中数据通过计算去判断数学学习的时间x 与数学成绩y 是否具有线性相关关系.若有，则可求出回归方程；然后在方程中令x=18，可求出该生数学成绩.解：因为学习时间与学习成绩之间具有线性相关关系.利用科学计算器计算到如下表所示的数据：于是可得b=53.34.1544.545)(101021012101≈=--∑∑==x xyx yx i ii iia=y -b x =74.9-3．53×17.4≈13.5 故所求回归直线方程为y=3.53x+13.5当x=18时，yˆ=3.53×18+13.5=77.04≈77 故该同学预计可得77分左右.思维启示：两个有线性相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，而对总体的预测可依据回归直线方程进行.【例3】一般说，一个人的身高越高，他的手就越大.为了调查这一问题，对10名高三男生的身高与右手一揸长测量得如下数据：（单位：cm ）（1）依据上述数据制作散点图，发现两者有何相关关系吗？（2）如果近似成线性关系，求线性回归方程.（3）如果一个学生身高185 cm ，估计他的右手一揸长.思路分析：首先作出散点图；利用散点图去判断两变量是否具有线性关系；若具有线性关系，再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小问.解：（1）散点图如下：可见，身高与右手一揸长之间的总体趋势成一条直线，即他们线性相关.（2）设线性回归方程为yˆ=bx+a 由上述数据计算可得x =174.8, y =21.7∑=1012i ix=305 730,∑=101i ii yx =37 986∴b=21012101)(1010x xyx yx i ii ii--∑∑===303.08.174107303057.218.17410986372≈⨯-⨯⨯- a=y -b x =-31.264∴方程为yˆ=0.303x-31.264. （3）当x=185时, yˆ=24.79. 思维启示:先作出散点图，若两变量具有线性关系，再利用公式求出方程.拓展迁移【拓展点1】如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为x 轴的变量为__________. 答案：播放次数【拓展点2】有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.（1）求出回归直线方程；（2）关于两个变量之间的关系，得出的结论是什么？答案：（1） yˆ=1.565x+37.827 （2）由回归方程知道，食品所含热量越大，口味记录越好，反之亦然.【拓展点3】某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：（1）作出散点图；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；（3）估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.答案：（1）散点图略.（2）由散点图可知y与x线性相关.设回归方程为yˆ=bx+A．计算可得回归方程为yˆ=36.95x-11.3．（3）当x=9时，yˆ=36.95×9-11.3=321.25≈321。

高中数学回归分析精选题

回归分析精选题20道一．选择题（共12小题）1．设某大学的女生体重y （单位：)k g 与身高x （单位：)cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i=，2，⋯，)n ，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，)yC ．若该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k gD ．若该大学某女生身高为170c m ，则可断定其体重必为58.79k g2．某商品销售量y （件)与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是()A ．ˆ10200yx =-+ B ．ˆ10200yx =+ C ．ˆ10200yx =-- D ．ˆ10200yx =-3．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是( )A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱4．在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R 依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R 为( )A ．0.95B ．0.81C ．0.74D ．0.365．已知四个命题：①在回归分析中，2R 可以用来刻画回归效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好； ②在独立性检验中，随机变量2K 的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；③在回归方程ˆ0.212yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy平均增加1个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．②③6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年)的函数关系较为接近的是( )A ．0.2yx= B ．20.10.1y x x=+ C ．40.2lo g yx=+ D ．210xy=7．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为1b ，2b ，下列说法正确的是( )A ．若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好 B ．若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好 C ．若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好 D ．若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好8．下列结论正确的是( )①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟10．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的22121()1()ni i i ni i y y Ry y ==-=--∑∑的值如下，其中拟合效果最好的模型是()A ．模型1对应的20.48R =B ．模型3对应的20.15R =C ．模型2对应的20.96R =D ．模型4对应的20.30R =11．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在残差图中，纵坐标表示残差B ．若散点图中的一组点全部位于直线ˆ32yx =-+的图象上，则相关系数1r =C ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越大D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 12．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( )A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数二．多选题（共1小题）13．下列有关回归分析的结论中，正确的有()A ．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x ，)yB ．若相关系数r 的绝对值越接近于1，则相关性越强C ．若相关指数2R 的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高三．填空题（共4小题）14．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是ˆˆˆy bx a =+，那么该直线必过的定点是．15．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a=+，据此模型预测，当10x=时，y 的估计值是16．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为．17．对某城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查后知，y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，若该城市居民人均消费水平为7.5（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为．四．解答题（共3小题）18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-19．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆa、ˆb ；（3）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-．20．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考数值：511380 i iix y==∑，521145)iix==∑回归分析精选题20道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设某大学的女生体重y （单位：)k g 与身高x （单位：)cm 具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i=，2，⋯，)n ，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是()A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，)yC ．若该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k gD ．若该大学某女生身高为170c m ，则可断定其体重必为58.79k g【分析】根据回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，0.85>，可知A ，B ，C 均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A ，0.85>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故正确；对于B ，回归直线过样本点的中心(x ，)y ，故正确；对于C ，回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，∴该大学某女生身高增加1c m ，则其体重约增加0.85k g，故正确；对于D ，170xc m=时，ˆ0.8517085.7158.79y =⨯-=，但这是预测值，不可断定其体重为58.79k g，故不正确故选：D ．【点评】本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题． 2．某商品销售量y （件)与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是()A ．ˆ10200yx =-+ B ．ˆ10200yx =+ C ．ˆ10200yx =-- D ．ˆ10200yx =-【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y （件)与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．【解答】解：由x 与y 负相关，可排除B 、D 两项，而C 项中的ˆ102000yx =--<不符合题意．故选：A ．【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正；两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．3．有一散点图如图所示，在5个(,)D后，下列说法正确的是()x y数据中去掉(3,10)A．残差平方和变小B．相关系数r变小C．相关指数2R变小D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．【解答】解：从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选：A．【点评】本题考查了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．4．在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R为()A．0.95B．0.81C．0.74D．0.36【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数2R越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，由此选出选项中的答案．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数2R越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，在所给的四个选项中0.95是相关指数最大的值，∴其拟合效果也最好．故选：A．【点评】本题考查了相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知四个命题：①在回归分析中，2R可以用来刻画回归效果，2R的值越大，模型的拟合效果越好；②在独立性检验中，随机变量2K的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大；③在回归方程ˆ0.212y x=+中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ˆy平均增加1个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题是()A．①④B．②④C．①②D．②③【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①相关指数2R是用来刻画回归效果的，2R表示解释变量对预报变量的贡献率，2R越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强，越趋近0，关系越弱，故2R的值越大，说明回归模型的拟合效果越好，故①正确．②由2K的计算公式可知，对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小，随机变量2K的值越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大，故②正确；③在回归直线方程ˆ0.212=+中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加y x0.2个单位，故③错误．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故④不正确．故选：C．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了抽样方法，相关系数，回归分析，独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.39万公顷和0.78万公顷，则沙漠面积增加数y （万公顷）关于年数x （年)的函数关系较为接近的是( )A ．0.2yx= B ．20.10.1y x x=+ C ．40.2lo g yx=+D ．210xy=【分析】将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)分别代入0.2y x=，20.10.1yx x=+，40.2lo g yx=+和210xy=中，验证即可．【解答】解：将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入0.2y x=，当3x=时，0.6y=，和0.78相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入20.10.1y x x=+，当2x=时，0.6y=，和0.39相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入40.2lo g y x=+，当2x=时，0.7y=，和0.39相差较大；将(1,0.2)，(2,0.39)，(3,0.78)代入210xy =，当1x =时，0.2y =，当2x =时，0.4y =，与0.39相差0.01，当3x=时，0.8y=，和0.78相差0.02；综合以上分析，选用函数关系210xy =较为近似．故选：D ．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7．对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为1b ，2b ，下列说法正确的是( )A ．若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好 B ．若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好 C ．若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D ．若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好【分析】比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数2R 越大，该模型拟合的效果越好，即可得出结论．【解答】解：比较两个模型的拟合效果时，如果模型残差平方和越小，则相应的相关指数2R 越大，该模型拟合的效果越好．故选：C ．【点评】本题是基础题．考查残差平方和、相关指数． 8．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【分析】本题是一个对概念进行考查的内容，根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．【解答】解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论． ②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，所以③不对．与③对比，依据定义知④是正确的，故选：C ．【点评】本题的考点是相关关系，对本题的正确判断需要对相关概念的熟练掌握． 9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出a 的值，写出线性回归方程．将100x=代入回归直线方程，得y ，可以预测加工100个零件需要102分钟，这是一个预报值，不是生产100个零件的准确的时间数．【解答】解：由表中数据得：20x =，30y=，又ˆb 值为0.9，故300.92012a=-⨯=，0.912y x ∴=+．将100x=代入回归直线方程，得0.910012102y =⨯+=（分钟）．∴预测加工100个零件需要102分钟．故选：C ．【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，再一点就是代入样本中心点可以求出字母a 的值，是一个中档题目． 10．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们对应的22121()1()ni i i ni i y y Ry y ==-=--∑∑的值如下，其中拟合效果最好的模型是()A ．模型1对应的20.48R =B ．模型3对应的20.15R =C ．模型2对应的20.96R =D ．模型4对应的20.30R =【分析】根据回归分析中相关指数2R 越接近于1，拟合效果越好，即可得出答案．【解答】解：回归分析中，相关指数2R 越接近于1，拟合效果越好；越接近0，拟合效果越差，由模型2对应的2R 最大，其拟合效果最好．故选：C ．【点评】本题考查了利用相关指数判断模型拟合效果的应用问题，是基础题． 11．对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在残差图中，纵坐标表示残差B ．若散点图中的一组点全部位于直线ˆ32y x =-+的图象上，则相关系数1r =C ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越大D ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定【分析】根据题意，对选项种的命题分析判断正误即可．【解答】解：对于A ，在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，所以A 正确；对于B，散点图中的一组点全部位于直线ˆ32=-+的图象上，则x，y成负相关，且相关y x关系最强，此时相关系数1r=-，所以B错误；对于C，若残差平方和越小，则残差点分布的带状区域的宽度越窄，其相关性越强，相关指数2R越大，所以C正确；对于D，回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，即变量间的关系不是函数关系，因变量不能由自变量唯一确定，所以D正确．故选：B．【点评】本题考查了统计知识的概念与应用问题，掌握相关概念的含义是解题的关键，是基础题．12．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是() A．总偏差平方和B．残差平方和C．回归平方和D．相关指数【分析】本题考查的回归分析的基本概念，根据拟合效果好坏的判断方法我们可得，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．【解答】解：拟合效果好坏的是由残差的平方和来体现的，而拟合效果即数据点和它在回归直线上相应位置的差异故据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．故选：B．【点评】拟合效果好坏的是由残差的平方和来体现的，也可以理解为拟合效果即数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故据点和它在回归直线上相应位置的差异是通过残差的平方和来体现的．二．多选题（共1小题）13．下列有关回归分析的结论中，正确的有()A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心(x，)yB．若相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强C．若相关指数2R的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高【分析】利用回归分析中的相关知识对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，回归方程必定经过样本中心(x，)y，故选项A正确；对于B，由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越接近于1，则相关性越强，故选项B正确；对于C ，若相关指数2R 的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，故选项D 正确．故选：A B D ．【点评】本题考查了回归分析的理解，主要考查了回归方程的性质，相关系数的意义等，属于基础题．三．填空题（共4小题）14．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是ˆˆˆy bx a =+，那么该直线必过的定点是13(2，8)．【分析】根据回归方程必过点(,)x y ，计算出,x y 即可求得答案．【解答】解：35289121362x+++++==，4639121486y+++++==，回归方程必过点(,)x y ，∴该直线必过的定点是13(2，8)．故答案为：13(2，8)．【点评】本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点(,)x y ，这是线性回归中最常考的知识点，希望大家熟练掌握．属于基础题．15．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a=+，据此模型预测，当10x=时，y 的估计值是 106.5【分析】根据表中数据计算x 、y ，代入回归直线方程求得ˆa的值，写出回归直线方程，利用方程求出10x =时ˆy的值即可．【解答】解：根据表中数据，计算1(24568)55x=⨯++++=，1(2040607080)545y =⨯++++=，代入回归直线方程ˆˆ10.5y x a=+中，求得ˆ5410.55 1.5a =-⨯=，∴回归直线方程为ˆ10.5 1.5yx =+，据此模型预测，10x=时，ˆ10.510 1.5106.5y=⨯+=，即y 的估计值是106.5．故答案为：106.5．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 16．已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，则m 的值为 0.5 ．【分析】首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m 的值．【解答】解：0123342x +++==，3 5.5715.544m m y++++==，∴这组数据的样本中心点是3(2，15.5)4m +，关于y 与x 的线性回归方程ˆ 2.10.85y x =+，∴15.532.10.8542m +=⨯+，解得0.5m =，m∴的值为0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．17．对某城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查后知，y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，若该城市居民人均消费水平为7.5（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 75%．【分析】根据y 与x 具有线性相关关系，且满足回归方程，和该城市居民人均消费水平为，把消费水平的值代入线性回归方程，可以估计该市的职工均工资水平，做出人均消费额占人均工资收入的百分比．【解答】解：y与x 具有线性相关关系，满足回归方程0.6 1.5yx =+，该城市居民人均消费水平为7.5y=，∴可以估计该市的职工均工资水平7.50.6 1.5x =+，10x ∴=，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.5100%75%10⨯=，故答案为：75%【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查用线性回归方程估计方程中的一个变量，利用线性回归的知识点解决实际问题．四．解答题（共3小题）18．某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-【分析】（1）用数组(,)m n 表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m ，n 的所有取值情况，分析可得m ，n 均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x ，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．【解答】解：（1）用数组(,)m n 表示选出2天的发芽情况，m，n 的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(30,26)，共有10个设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26) 所以3()10P A =，故事件A 的概率为310（2）由数据得12,27xy ==，3972x y=，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =由公式，得9779725ˆ4344322b -==-，5ˆ271232a=-⨯=-所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-（3）当10x =时，ˆ22y=，|2223|2-<，当8x=时，ˆ17y=，|1716|2-<所以得到的线性回归方程是可靠的．【点评】本题考查回归直线方程的计算与应用，涉及古典概型的计算，是基础题，在计算线性回归方程时计算量较大，注意正确计算．19．随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y（万元）有如下的数据资料：（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆa、ˆb ；（3）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y n x yb x n x==-=-∑∑，ˆˆ)ay bx =-．【分析】（1）利用描点法作出散点图；（2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程；（3）把10x=代入回归方程得y 值，即为预报变量．【解答】解：（1）散点图如图，由图知y 与x 间有线性相关关系．（2）4x=，5y=，52190i i x ==∑，51112.3i i i x y ==∑，∴112.354512.3ˆ 1.239054210a-⨯⨯===-⨯；ˆˆ5 1.2340.08a y b x =-=-⨯=．（3）线性回归直线方程是ˆ 1.230.08y x =+，当10x=（年)时，ˆ 1.23100.0812.38y=⨯+=（万元），即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．【点评】本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心．20．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（参考数值：511380i i i x y ==∑，521145)i i x ==∑【分析】（1）根据表格数据，可得散点图；（2）先求出横标和纵标的平均数，代入求系数b 的公式，利用最小二乘法得到系数，再根据公式求出a 的值，写出线性回归方程，得到结果．（3）允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，即线性回归方程的预报值不大于89，写出不等式，解关于x 的一次不等式，得到要求的机器允许的转数．【解答】解：（1）散点图如图；（2）5x =，50y=，511380i i i x y ==∑，521145i i x ==∑∴13805550ˆ 6.5145555b-⨯⨯==-⨯⨯，ˆˆ17.5ay b x =-=∴回归直线方程为：ˆ 6.517.5yx =+；（3）由89y …得6.517.589x+…，解得11x …∴机器的运转速度应控制11转/秒内【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．。

高中数学选择性必修三精讲精炼 8 一元线性回归模型及其应用(精练)(含答案)

8.2 一元线性回归模型及其应用(精练)【题组一样本中心求参数】1．(2021·全国·高二单元测试)某公司生产某种婴幼儿纸尿裤的产量x 与相应的生产能耗y 有如下样本数据：已知这组样本数据具有线性相关关系，由表中数据，求得回归直线的斜率为0.72，则这组样本数据的回归直线方程是( )A ．ˆ0.72 2.05yx =+ B ．ˆ0.720.35yx =+ C ．ˆ0.720.26yx =+ D ．ˆ0.350.72yx =+ 【答案】C【解析】设回归直线方程为ˆˆ0.72yx a =+，由样本数据，可得 4.5x =， 3.5y =，因为回归直线经过点(),x y ，所以ˆ3.50.72 4.5a=⨯+，解得ˆ0.26a =，所以回归直线方程为ˆ0.720.26yx =+．故选：C ．2．(2021·江西·吉安一中高二开学考试 )已知x 与y 之间的一组数据：()()()()13253749，，，，，，，，则y 与x 的线性回归方程为y bx a =+必过( )A ．()26，B ．()38，C ．()2.56，D ．()3.58，【答案】C【解析】由题意可知：1234 2.54x +++==，357964y +++==， ∴y 与x 的线性回归方程必过点()2.5,6.故选：C.3(2021·河南·孟津县第一高级中学 )为了庆祝建党100周年，某网站从7月1日开始推出党史类书籍免费下载活动，已知活动推出时间x (单位：天)与累计下载量y (单位：万次)的统计数据如表所示：根据上表，利用最小二乘法得到回归直线方程 1.4ˆˆyx a =+，据此模型预测，活动推出11天的累计下载量约A ．13.8万次B ．14.6万次C ．16万次D ．18万次【答案】C【解析】由表格数据知4567868910126,955x y ++++++++====，由回归直线方程的性质，得ˆ1.469a⨯+=，所以ˆ0.6a =，故ˆ 1.40.6y x =+，所以当11x =时， 1.4110.616y =⨯+=(万次)，故选：C.4．(2021·河北·藁城新冀明中学高二月考)(多选)随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养的要求逐渐提高.据了解，烧烤食品含有强致癌物，因此吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也随之减少.某市对2014年至2018年这五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表所示：根据所给数据，得出y 关于t 的回归直线方程为273y bt =+，则下列说法正确的是( ) A ．该市2014年至2018年全市烧烤店盈利店铺个数的平均数219y = B ．y 关于t 的回归直线方程为18273y t =-+ C ．估计该市2020年烧烤店盈利店铺的个数为147D ．预测从2025年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100 【答案】ABC【解析】由已知数据得3t =，219y =，故A 正确；因为y 关于t 的回归直线过点()3,219，所以2193273b =+，所以18b =-，所以y 关于t 的回归直线方程为18273y t =-+.故B 正确；2020年的年份代码为7，故2020年该市烧烤店盈利店铺的个数约为187273147y =-⨯+=.故C 正确；令18273100t -+≤，由*t N ∈，得10t ≥，故从2023年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故D 不正确，故选：ABC.5．(2021·广东惠州 )(多选)某种产品的价格x (单位：元/kg )与需求量y (单位：kg )之间的对应数据如根据表中的数据可得回归直线方程为14.4y bx =+，则以下结论正确的是( ) A ．y 与x 正相关 B ．y 与x 负相关C ．样本中心为()20,8D ．该产品价格为35元/kg 时，日需求量大约为3.4kg【答案】BC【解析】由表格数据，随着价格x 的增加，需求量y 随之减少，所以y 与x 负相关. 因为1015202530205x ++++==，111086585y ++++==，故样本中心为()20,8由回归直线14.4y bx =+必过样本点的中心()20,8，所以有82014.4b =⨯+，解得0.32b =-，所以当35x =时，0.323514.4 3.2y =-⨯+=，日需求量不为最大故选：BC6．(2021·重庆市秀山高级中学校 )(多选)已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是( )A ．变量x ，y 之间呈负相关关系B ．可以预测，当20x 时， 3.7y =-C ．4m =D ．该回归直线必过点()9,4 【答案】ABD【解析】对于A ：由线性回归方程为0.710.3y x =-+可知：0.70-<，所以变量x ，y 之间呈负相关关系，故对于B ：当20x 时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，故选项B 正确；对于C ：68101294x +++==，6321144m m y ++++==，因为回归直线过样本中心点，所以110.7910.34m+=-⨯+，解得：5m =，故选项C 不正确；对于D ：由C 可知5m =，所以11544y +==，所以该回归直线必过样本中心点()9,4，故选项D 正确；故选：ABD.7．(2021·贵州·贵阳一中 )某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表已得回归方程为8.6.8ˆ5yx =-，表中一数据模糊不清，请推算该数据的值为___________. 【答案】12【解析】由题中数据可得3,8.63 5.820x y ==⨯-=，故空白数据为12. 故答案为：128．(2021·全国·高二课时练习)已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且回归直线方程为ˆ0.95 2.6yx =+，那么表格中的数据m 的值为______.【答案】6.7 【解析】013424x +++==， 2.2 4.3 4.811.344m m y ++++==，把(),x y 的坐标代入回归直线方程得11.30.952 2.64m+=⨯+，解得 6.7m =. 故答案为：6.79．(2021·全国·高二课时练习)蟋蟀鸣叫的频率P (每分钟鸣叫的次数)与气温T (单位：℃)有着很大的关系.某观测人员根据下表中的观测数据计算出P 关于T 的线性回归方程ˆ 5.2168PT =-，则下表中k 的值为______.【答案】51【解析】计算()138414239404T =⨯+++=，()110929443644k P k +=⨯+++=，将点10940,4k +⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入P 与T 的线性回归方程ˆ 5.2168P T =-中，得109 5.2401684k +=⨯-，解得51k =. 故答案为：51.10．(2021·福建宁德·高三期中)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表：由最小二乘法得到回归方程ˆ0.6754.9yx =+，则a ＝___________. 【答案】75 【解析】1020304050305x ++++==，62688189600.25a y a ++++==+，因为线性回归方程过样本中心点，所以600.20.673054.975a a +=⨯+⇒=，故答案为：75 【题组二线性回归方程】1．(2021·河北·藁城新冀明中学高二月考)假定产品产量x (千件)与单位成本y (元/件)之间存在相关关系.数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归直线方程，对于单位成本70元/件时，预报产量为多少； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；【答案】(1)散点图见解析；(2)ˆ 1.8277.37yx =-+，4.050千件；(3)各组残差见解析，残差平方和为3.8182. 【解析】(1)解：散点图如下：(2)解：因为2343453.56x +++++==，737271736968716y +++++==，61279ii x==∑，611481i ii x y==∑，所以6162221614816 3.571ˆ 1.82796 3.56i i i i ix yx ybx x==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ71 1.82 3.577.37ay bx =-=+⨯=，所以回归直线方程为ˆ 1.8277.37yx =-+，令70y =，则70 1.8277.37x =-+，解得 4.050x ≈，所以单位成本70元/件时，预报产量约为4.050千件. (3)解：各组残差分别为：()11173 1.822ˆ77.370.73ˆey y =--⨯+=-=-， ()22272 1.82377.370.0ˆˆ9ey y =--⨯+==-， ()33371 1.82477.370.9ˆˆ1ey y =--⨯+==-， ()44473 1.82377.37 1.0ˆˆ9ey y =--⨯+==-， ()55569 1.824ˆ77.37 1.09ˆey y =--⨯+=-=-， ()66668 1.825ˆ77.370.27ˆey y =--⨯+=-=-，残差的平方和为()()()2222621220.730.090.91 1.09 1.090.27 3.2ˆ818i i i y y=--+++--==++∑. 2．(2021·甘肃张掖)某家庭2015～2019年的年收入和年支出情况统计如表：(1)已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；(2)假设受新冠肺炎疫情影响，该家庭2021年的年收入为9.5万元，请根据(1)中的线性回归方程预测该家庭2021年的年支出金额．附：回归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率的最小二乘估计公式为()()()1122211ˆnni iiii i nniii i x ynx y xxy y b xnxxx====---==--∑∑∑∑．【答案】(1)ˆ0.780.24yx =+；(2)7.65万元．【解析】(1)依题意，1(99.61010.411)105x =++++=，1(7.37.588.58.7)85y =++++=，则()5212.32i i x x=-=∑，()()511.8i ii x xy y =--=∑，则有()()()125151.8ˆ0.782.32iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑，则ˆˆ0.24a y bx =-≈，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.780.24yx =+； (2)当2021年的年收入为9.5万元时，即9.5x =，ˆ0.789.50.247.65y=⨯+=，所以预测该家庭2021年的年支出金额为7.65万元．3．(2021·云南师大附中)大气污染物PM 2.5的浓度超过一定的限度会影响人的健康.为了研究PM 2.5的浓度是否受到汽车流量的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点统计24小时内过往的汽车流量x (单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定该时间段空气中的PM 2.5的平均浓度y(单位：μg/m 3)，制作了如图所示的散点图：(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)； (2)建立y 关于x 的回归方程；(3)我国规定空气中的PM 2.5浓度的安全标准为24小时平均依度75μg/m 3，某城市为使24小时的PM 2.5浓度的平均值在60~130μg/m 3，根据上述回归方程预测汽车的24小时流量应该控制在什么范围内？附：参考数据： 1.4x =，95y =，2421() 2.1i i x x =-=∑，2421()60343i i y y =-=∑，241()()294i i i x x y y =--=∑，357.参考公式：相关系数()()nii xx y y r --∑，回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】(1)答案见解析；(2)140101y x =-；(3)24小时的车流量应该控制在1150~1650辆. 【解析】1)由题得2940.82357r =≈，因为y 与x 的相关系数近似为0.82，说明y 与x 具有很强的相关性，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2)由95y =得2412421()()ˆ()iii ii x x y y bx x ==--=-∑∑2941402.1==，95140 1.4101a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的回归方程为140101y x =-． (3)当60y =时，由14010160x -=得 1.15x =；当130y =时，由140101130x -=得 1.65x =. 所以24小时的车流量应该控制在1150~1650辆．4．(2021·全国·高三专题练习)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表．并计算得101890i i i x y ==∑，1021385i i x ==∑，101150i i y ==∑75.99．(1)是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明；(当0.751r ≤≤时，那么变量x ，y 有较强的线性相关关系)(2)建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况．(结果保留整数)附：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)y 与x 有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；(2)ˆ0.810.7yx =+，预测该商场12月份的收入为20万元．【解析】(1)由题中数据得1011155 5.51010i i x x ===⨯=∑，10111150151010i i y y ===⨯=∑，1010 5.515825x y =⨯⨯=，于是得1010111()()1089082565i i i i i x x y y x y y x ==--=-=-=∑∑，75.99，从而10()()650.8675.99iix x y y r --==≈∑，0.75||1r ≤≤，所以y 与x 有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合；(2)由(1)知1011065i i i x y x y =-=∑，而1021385i i x ==∑，221010 5.5302.5x =⨯=，从而得10122110106565ˆ0.8385302.582.510i ii i i x y ybx xx ==-===≈--∑∑，65ˆˆ15 5.510.782.5ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.810.7yx =+，当12x =时，ˆ0.81210.720y =⨯+≈，从而预测该商场12月份的收入为20万元．5(2021·河南许昌 )某新型外贸出口公司对2021年过去9个月的出口销售数据进行整理，得到了今年第x 个月份与截止该月底的销售额y (单位：万元)之间的关系，如下表：(1)若y 与x 满足线性关系，求出y 关于x 的回归方程；(ˆa，ˆb 精确到整数位) (2)预测该公司10月份的销售额附：参考数据：913087i i y ==∑；9117524i i i x y ==∑；921285i i x ==∑；参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】(1)ˆ35169yx =+；(2)答案见解析. 【解析】(1)5x =，343y =，919175249534317524154352089i i i x y xy =∴-=-⨯⨯=-=∑92221952859560ii x=-⨯=-⨯=∑，2089ˆ3560b ∴=≈， 2089ˆ343516960a=-⨯≈， ˆ35169yx ∴=+ (2)当10x =时，ˆ3510169519y=⨯+=，所以预测该公司10月份销售额为519万元.6．(2021·福建·莆田第二十五中学高三月考)2021年东京奥运会，中国举重选手8人参赛，7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表 (1)根据表中的数据，求出运动员举重成绩y 与运动员的体重x 的回归直线方程(保留1位小数)； (2)某金牌运动员抓举成绩为170公斤，挺举成绩为204公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？参考数据：()()()992112620,7076i i i i i x x x x y y ==-=--=∑∑；参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x yy bay bx xx ==--==--∑∑．【答案】(1) 2.7155.4y x =+；(2)83公斤级举重. 【解析】(1)依题意，5459647076839199106789x ++++++++==，2913043373533633894064214303669y ++++++++==，()()()1217076ˆ 2.702620nii i nii xx y y bxx ==--===-∑∑，则366 2.778155.4a y bx =-=-⨯=，故回归方程为： 2.7155.4y x =+．(2)该运动员的抓举和挺举的总成绩为374公斤，根据回归方程可知：374 2.7155.4x =+，解得81x ≈，即该运动员的体重应该在81公斤左右，即参加的应该是83公斤级举重．7．(2021·西藏·拉萨中学高二月考)珠海国际赛车场(简称ZIC)位于珠海经济特区金鼎镇.创建于1996年，是中国国内第一座符合国际汽车联盟一级方程式标准的国际级赛车场.目前该赛事已打造成集赛车竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体.为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾.通过查阅近5年参会人数(万人)与所需环保车辆数量(辆)，得到如下统计表：(1)根据统计表所给5组数据，求出关于,x y 的线性回归方程ˆˆy bxa =+． (2)已知租用的环保车平均每辆的使用成本费用C (元)与数量(辆)的关系为3000200035,N 2900t t 35,N t t t C t +<<∈⎧=⎨≥∈⎩，主办方根据实际参会人数投入所需环保车，租车每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用.预计本次赛车会大约有14万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润是多少？ (注：利润L =主办方支付费用－使用成本费用C )．参考公式：()()()1122211ˆ,ˆˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑ 【答案】(1) 2.32y x =+；(2)为确保完成任务，需要租用35辆环保车，获得的利润108500元. 【解析】(1)11981012105x ++++==2823202529255y ++++== ()()()()()()()()()22222131******** 2.310111091081010101210ˆb ⨯+-⨯-+-⨯-++⨯===-+-+-+-+- ˆˆ2ay bx =-= 关于,x y 的线性回归方程 2.32y x =+ (2)将14x =代入 2.32y x =+得34.2y =为确保完成任务，需要租用35辆环保车，所以290035101500C =⨯=获得的利润600035101500108500L =⨯-=元8．(2021·江西·新余市第一中学高二月考)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 中至少有一个数小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+.(参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()1221ni ii nii x y nxyb xn x==-=-∑∑，a y bx =-)【答案】(1)710(2)532y x =-【解析】(1)从3月1日至3月5日中任选2天，m ，n 构成的基本事件(m ，n )有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共有10个．记“m ，n 至少有一个数小于25”为事件A ，包括：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，16)，30，16)，(26，16)，共有7个基本事件由古典概型概率公式：7()10P A = (2)11131225302612,27,33x y ++++==== 22221125133012263122751113123122b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯．于是，5271232a =-⨯=-故所求线性回归方程为532y x =- 9．(2021·全国·高二单元测试)某地区2013年至2019年居民纯收入y (单位：千元)的部分数据如表所示：2018和2019年的居民纯收入y (单位：千元)数据采用随机抽样的方式获得，用样本的均值来代替当年的居民人均纯收入，其数据如下：2018年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：5.2 4.8 6.5 5.6 6.0 7.1 6.1 7.3 5.9 7.5 2019年抽取的居民纯收入(单位：千元)数据：6.2 7.8 6.6 5.8 7.1 6.8 7.2 7.9 5.9 7.7 (1)求y 关于t 的线性回归方程；(2)当地政府为了提高居民收入水平，现从2018和2019年居民纯收入(单位：千元)高于7.0千元的样本中随机选择3人进行座谈，了解其工作行业及主要收入来源．设X 为选出的3人中2018年纯收入高于7.0千元的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121()()()niii nii t t y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．【答案】(1)ˆ0.5 3.3yt =+；(2)分布列见解析；期望为98．【解析】(1)根据2018年的抽样数据可得2018年的人均纯收入为1(5.2 4.8 6.5 5.6 6.07.1 6.17.3 5.97.5) 6.210+++++++++= 千元，根据2019年的抽样数据可得2019年的人均纯收入为1(6.27.8 6.6 5.87.1 6.87.27.9 5.97.75) 6.910+++++++++=千元，由所给的数据得1(1234567)47t =++++++=，1(3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9) 5.37y =++++++=， ∴721()941014928i i t t =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，∴71721()()14ˆ0.528()ii i ii tt y y btt ==--===-∑∑，则ˆˆ 5.30.54 3.3ay bt =-=-⨯=，则所求y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.5 3.3yt =+； (2)由2018年和2019年的抽样数据可知，2018年居民纯收入高于7.0千元的有3人，2019年居民纯收入高于7.0千元的有5人，由题意可得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，则35385(0)28C P X C ===，12353815(1)28C C P X C ===，21353815(2)56C C P X C ===，33381(1)56C P X C ===，∴随机变量X 的分布列为则X 的分布列为：则5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【题组三非线性回归方程】1．(2021·福建·泉州科技中学 )数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据99⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫(33⨯)内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.(1)赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如表的数据：现用by a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度y约为多少秒？(2)小明和小红在数独APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为34，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据(其中1i t x =)参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅.【答案】(1)1000130y x=+，经过100天训练后，每天解题的平均速度y 约为140秒；(2)243256.【解析】(1)由题意，1(990990450320300240210)5007y =++++++=，令1t x=，设y 关于t 的线性回归方程为y bt a =+，则 717221184570.3750010000.5577i ii i i t y t yb t t==-⨯-⨯-===⋅∑∑，则50010000.37130a =-⨯=. ∴1000130y t =+，又1t x=，∴y 关于x 的回归方程为1000130y x=+，故100x =时，140y =.∴经过100天训练后，每天解题的平均速度y 约为140秒.(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.当2X =时，小明4:1胜，∴339(2)4416P X ==⨯=；当3X =时，小明4:2胜，∴123339(3)144432P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭；当4X =时，小明4:3胜，∴21333327(4)1444256P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭.∴小明最终赢得比赛的概率为99272431632256256++=. 2．(2021·云南大理 )2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A 型材料更好地投入商用，拟对A 型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x (亿元)与产品的直接收益y (亿元)的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①： 4.1109ˆ.y x =+，模型②：ˆ14.4y =；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =-+． (1)根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型①，②的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小．附：刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑，且当2R 越大时，4.1≈．用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的截距：ˆˆa y bx =-．【答案】(1)模型②拟合精度更高、更可靠，72.93亿；(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小. 【解析】(1)对于模型①，对应的15222740485460=387y ++++++=，故对应的()12222111271750i i i i y y y y ==-=-=∑∑，故对应的相关指数2179.1310.9551750R =-≈，对于模型②，同理对应的相关指数2220.210.9881750R =-≈，故模型②拟合精度更高、更可靠.故对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为ˆ14.472.93=≈y. (2)当17x >时，后五组的2122232425235x ++++==，68.56867.5+66+65675y ++==，由最小二乘法可得()ˆ670.72383.1a=--⨯=，故当投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小为：0.72083.1+574.172.93-⨯+=>，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.3．(2021·全国·高二单元测试)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y (元)与生产的产品数量x (千件)有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了如下散点图.参考数据：(其中1iu x =) (1)观察散点图判断，by a x=+与y c dx =+哪一个适宜作为非原料成本y 与生产的产品数量x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)试预测生产该产品10千件时，每件产品的非原料成本为多少元？【答案】(1)b y a x =+；(2)100ˆ11y x=+；(3)21元.【解析】(1)由题意，根据题设中的散点图，可得这些点分布在b y a x =+的两侧，所以选择函数by a x=+作为非原料成本y 与生产的产品数量x 的回归方程类型. (2)令1u x =，则by a x=+可转化为y a bu =+，则y 与u 的关系可看成线性相关关系. 因为360458y ==，所以8182218183.480.344561ˆ1001.5380.1150.618i ii ii u yu y b uu==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑，则ˆˆ451000.3411a y bu =-=-⨯=，所以ˆ11100y u =+，代入1u x =，得100ˆ11y x=+.(3)当10x =时，100ˆ112110y=+=，所以预测生产该产品10千件时，每件产品的非原料成本为21元. 4．(2021·全国·高三课时练习)某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x (单位：亿元)对年销售额y (单位：亿元)的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②e x t y λ+=，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y (1,2,,12i =⋅⋅⋅)的数据作了初步处理，令2u x =，ln v y =，经计算得到如下数据：(1)设u 和y 的样本相关系数为1r ，x 和v 的样本相关系数为2r ，请从样本相关系数(精确到0.01)的角度判断，哪个模型拟合效果更好；(2)(i)根据(1)的选择及表中数据，建立y 关于x 的非线性经验回归方程；(ii)若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 约为多少亿元？参考数据为308477=⨯9.4868， 4.4998e 90≈.【答案】(1)模型e x t y λ+=的拟合效果更好；(2)(i)0.018 3.84ˆe x y+=；(ii)36.66亿元. 【解析】(1)()()121215000.8625000iiu u y y r --====∑，()()12214100.91770.211iix x v v r --====≈⨯∑，因为12r r <，所以从样本相关系数的角度判断，模型e x t y λ+=的拟合效果更好. (2)(i)先建立v 关于x 的经验回归方程. 由e x t y λ+=，得ln y x t λ=+，即v λx t =+.()()()121122114ˆ0.018770iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑， ˆˆ 4.20.01820 3.84tv x λ=-=-⨯=，所以v 关于x 的经验回归方程为0.01838ˆ.4vx +=，所以0.0134ˆln 8.8x y=+，即0.018 3.84ˆe x y +=.(ii)若下一年销售额y 需达到90亿元，则由0.018 3.84ˆe x y+=，得0.018 3.8490e x +=，又 4.4998e 90≈，所以4.49980.018 3.84x ≈+，所以 4.4998 3.8436.660.018x -≈≈，所以预测下一年的研发资金投入量约为36.66亿元.5．(2021·全国·高二课时练习)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D (单位：dB )与声音能量I (单位：2W cm -⋅)之间的关系，将测量得到的声音强度D 和声音能量I 的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：参考数据：111.0410I -⨯=，45.7D =，11.5W =-，()1022111.5610i i I I-=-=⨯∑，()10210.51i i W W=-=∑，()()101116.8810iii IID D -=--=⨯∑，()()1015.1i i i W W D D =-⋅-=∑，其中lg i i W I =，101110i i W W ==∑.(1)根据散点图判断，11D a b I =+与22lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归模型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)求声音强度D 关于声音能量I 的非线性经验回归方程.(3)假定当声音强度大于60dB 时，会产生噪声污染.城市中某点P 处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是a I 和b I ，且101410a bI I +=.已知点P 处的声音能量等于a I 与b I 之和.请根据(2)中的非线性经验回归方程，判断点P 处是否受到噪声污染，并说明理由.【答案】(1)22lg D a b I =+更适合；(2)ˆ10lg 160.7DI =+；(3)P 会受到噪声污染，理由见解析. 【解析】(1)22lg D a b I =+更适合. (2)设ˆˆD bW a =+，则 ∵()()()10110215.1ˆ100.51iii i i W W D D bW W==--===-∑∑， ∴ˆˆ160.7a D bW=-=， ∴D 关于W 的经验回归方程是ˆ10160.7DW =+，则D 关于I 的非线性经验回归方程是ˆ10lg 160.7DI =+. (3)设点P 处的声音能量为1I ，则1a b I I I =+. ∵101410a bI I +=， ∴()101010141410105910b a a b a b a b a b I I I I I I I I I I I ---=+=++=++≥⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭(当且仅当10310a I =，93510bI =⨯时等号成立) 根据(2)中非线性经验回归方程，知点P 处的声音强度D 的预报值的最小值，()10min 10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>，∴点P 会受到噪声污染.6．(2021·福建·福州三中高二期中)某地从2月20日开始的连续7天的某传染病累计确诊人数如下表：由上述表格得到如下散点图．(1)根据散点图判断lg =+y a b x 与x y c d =⋅(,c d 均为大于0的常数)哪一个更适合作为累计确诊人数y 与天数x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)，并求出y 关于x 的回归方程；(2)3月20日，该地的疾控中心接受了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每份样本是阳性的概率是0.6，试剂把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99(试剂存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性样本检测呈阳性样本)，求这1000份样本中检测出呈阳性的份数的期望．参考数据：其中11lg ,7i i i i v y v v ===∑参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221,ni i i ni i u v nuvv u unuβαβ==-==--∑∑，v u αβ=-．【答案】(1)0.253.4710x x y c d y =⋅=⨯； (2)594【解析】(1)由散点图可知，x y c d =⋅更适合作为累计确诊人数y 与天数x 的回归方程类型. 把x y c d =⋅两边取对数，得lg lg lg y c x d =+，令lg v y =，则lg lg v c x d =+，1(1234567)47x =++++++=，7211.54140i i v x ===∑，， 7172221750.1274 1.54lg 0.25140747i i i i i x v xvd x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以lg 1.540.2540.54c =-⨯=，则0.540.25v x =+，所以y 关于x 的回归方程为0.253.4710x y =⨯； (2)设这1000份样本中检测出呈阳性的份数为X ，每份样本检测出阳性的概率为0.60.990.594P =⨯=，由题意可知，(10000.594)XB ，，所以()10000.594594E X =⨯=份.故这1000份样本中检测出呈阳性的份数的期望为594.7．(2021·山西太原·高二期中(文))为了更好的指导青少年健康饮食，某机构调查了本地区不同身高的未成年男性，得到他们的体重的平均值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中ln i i w y =(1)根据散点图判断，可采用x y a b =⋅作为这个地区未成年男性体重y 千克与身高x 厘米的回归方程．利用表中数据建立y 关于x 的回归方程；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为175厘米，体重为78千克的在校男生的体重是否正常？参考数据：0.020.71751.02,2,1.0231.99e e ===．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑．【答案】(1)2 1.02x y =⨯；(2)体重偏胖. 【解析】(1)由x y a b =⋅，得ln ln ln y a x b =+⋅，设ˆˆˆw cx d=+，由表格中数据，得801ˆ0.02400050c ===， ˆ 3.40.021350.7d=-⨯=，则0.70.02ln 0.7,ln 0.02,2, 1.02a b a e b e ======，则y 关于x 的回归方程为2 1.02x y =⨯．(2)当175x =时，1752 1.02231.9963.98y =⨯=⨯=，因为63.98 1.276.77678⨯=<，所以该名在校男生的体重偏胖．。

高中数学专题03线性回归方程及其应用分项汇编(含解析)新人教A版必修3(2021年整理)

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专题03 线性回归方程及其应用一、选择题1．【北京101中学2016-2017学年下学期高二年级期中考试】一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7。

19x＋73。

93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高,则正确的叙述是（）A. 身高一定是145。

83cmB。

身高在145.83cm以上C. 身高在145。

83cm左右D。

身高在145.83cm以下【答案】C【解析】由回归模型可得y=7。

1910x＋73.93=145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83cm左右.2．【吉林省辽源市田家炳高级中学2017—2018学年高二下学期3月月考】有位同学家开了个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为ˆy＝－2。

35x＋147.77．如果某天气温为2℃,则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（ )A。

140 B. 143 C. 152 D。

156【答案】B点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用,即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报y 的值，这是一些解答题目中经常会出现的一个问题，是一个基础题。

回归分析-高中数学知识点讲解(含答案)

回归分析（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2012秋•西城区期中）下面给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积2()y m 与时间t （月)的关系的散点图．以下叙述中不正确的说法是( )A ．与函数21y t =+相比，函数2t y =作为近似刻画y 与t 的函数关系的模型更好B ．按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过230mC ．按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍D ．按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的24m 蔓延到216m 至少需要经过3个月2．（2009春•大兴区期末）一位母亲记录了儿子3~9岁的身高（单位：)cm ，由此建立身高与年龄的回归模型为ˆ73.937.19yx =+．则下列说法中正确的是( ) A ．身高与年龄是一次函数关系 B ．这个模型适合所有3~9岁的孩子C ．预测这个孩子10岁时，身高一定在145.83cm 以上D ．这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均增加约7.19cm 二．填空题（共5小题）3．（2013春•房山区校级期中）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元） 2 3 4 5 销售额y （万元）26394954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4．据此模型可知广告费用每增加1万元，销售额平均增加万元，当广告费用为6万元时可以预测销售额为万元．4．（2012•丰台区二模）某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数(%)y4745.543.541从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为．5．（2011春•海淀区期中）成年人的身高()y cm 与足长（脚趾到脚跟的长度）()x cm 有很强的线性相关性．有关部门研究获得y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.8yx =，如果某人留下的足印长为25cm ，根据上面回归方程可推测此人的身高为 cm ．6．（2009春•北京校级期末）许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国 50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )的数据，建立的回归直线方程为ˆ0.8 4.6yx =+，斜率的估计等于0.8说明． 7．（2008秋•通州区期中）回归方程ˆ 1.55yx =-，则当4x =时，y 的估计值为．三．解答题（共2小题）8．（2009春•房山区期中）某产品的广告费支出x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有如下数据：（1）画出散点图．（2）求y 关于x 的回归直线方程．（3）预测广告费为9百万元时的销售额是多少？9．（2009春•东城区校级月考）某产品的广告支出x （单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之间有下表所对应的数据：（Ⅰ）画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求出y 对x 的回归直线方程ˆybx a =+，其中1122211()()().nni i i ii i nni ii i x x y y x ynxy b x x xnx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑（Ⅲ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？回归分析（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2012秋•西城区期中）下面给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积2()y m 与时间t （月)的关系的散点图．以下叙述中不正确的说法是( )A ．与函数21y t =+相比，函数2t y =作为近似刻画y 与t 的函数关系的模型更好B ．按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过230mC ．按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍D ．按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的24m 蔓延到216m 至少需要经过3个月【分析】本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答时，首先应该仔细观察图形，结合图形读出过的定点进而确定函数解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，至于第D 要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．【解答】解：1t =时，2122t y t =+==，2t =时，215t +=，24t =，3t =时，2110t +=，28t =，由图可知这些点更符合函数2t y =，故A 正确当5x = 时，253230y ==>，故第5个月时，浮萍的面积就会超过230m 成立，故B 正确；由2x y =知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故C 正确由2x y =知，2x =，4y =，4x =，16y =，即需要经过2个月，故D 不正确；故选：D ．【点评】本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形和利用图形的能力，同时对数求值和对数运算的能力也得到了体现，值得同学们体会与反思．2．（2009春•大兴区期末）一位母亲记录了儿子3~9岁的身高（单位：)cm ，由此建立身高与年龄的回归模型为ˆ73.937.19yx =+．则下列说法中正确的是( ) A ．身高与年龄是一次函数关系 B ．这个模型适合所有3~9岁的孩子C ．预测这个孩子10岁时，身高一定在145.83cm 以上D ．这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均增加约7.19cm【分析】根据所给的高与年龄的回归模型，可以估计这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均约增加多少，这是一个预报值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错．【解答】解：身高与年龄的回归模型为为ˆ73.937.19yx =+． ∴可以估计这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均约增加7.19cm ．选项D 正确；对于A ，身高与年龄是相关关系，不是一次函数关系；对于B ，这个模型只适合这个3~9岁的孩子，其它孩子不一定适合这个模型；对于C ，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确定的值．故选：D ．【点评】本题考查回归分析的初步应用，是一个基础题，这种根据回归直线方程预报出的结果，是一个估计值，不是确定的值，这是题目要考查的知识点．二．填空题（共5小题）3．（2013春•房山区校级期中）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x （万元） 2 3 4 5 销售额y （万元）26394954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4．据此模型可知广告费用每增加1万元，销售额平均增加 9.4 万元，当广告费用为6万元时可以预测销售额为万元．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为7代入，预报出结果．【解答】解：3.5x =，42y =，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， 429.4 3.5a ∴=⨯+， 9.1a ∴=，∴线性回归方程是ˆ9.49.1yx =+， ∴广告费用每增加1万元，销售额平均增加9.4万元，广告费用为6万元时销售额为ˆ9.469.165.5y=⨯+=，故答案为：9.4；65.5．【点评】本题考查求回归方程，考查利用回归方程进行预测，解题的关键是根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数．4．（2012•丰台区二模）某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为 31.25 ．【分析】先计算,x y ，再代入回归方程可得ˆ2b=，从而可预测2012年该地区的恩格尔系数．【解答】解：由题意，20042005200620072005.54x +++==，4745.543.54144.254y +++==将(2005.5,44.25)代入??4055.25y b x =+，可得ˆ2b= ∴?24055.25y x =+当2012x =时，?220124055.2531.25y =⨯+= 故答案为：31.25【点评】本题考查回归方程及其运用，利用回归方程过样本中心点是关键．5．（2011春•海淀区期中）成年人的身高()y cm 与足长（脚趾到脚跟的长度）()x cm 有很强的线性相关性．有关部门研究获得y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.8yx =，如果某人留下的足印长为25cm ，根据上面回归方程可推测此人的身高为 170 cm ．【分析】根据得有关部门研究获得y 与x 的线性回归方程，把所给的x 的值代入计算y 的值，即可推测此人的身高．【解答】解：有关部门研究获得y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.8yx =， ∴当25x =时， 6.825170y =⨯=，∴可推测此人的身高为170cm．故答案为：170．【点评】本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是正确运算线性回归方程，根据所给的自变量的值和线性回归方程得到的结果是一个预报值，而不是准确值，本题是一个容易题目．6．（2009春•北京校级期末）许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比( y)的数据，建立的回归直线方程为ˆ0.8 4.6y x=+，斜率的估计等于0.8说明一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右．【分析】根据线性回归方程中回归系数的意义，即可得出结论．【解答】解：线性回归方程中回归系数为正，从而可知：一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右．故答案为：一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右．【点评】回归直线是对相关关系的一种估计关系式，通过回归直线可对某些事物的发展趋势进行预报，回归直线方程对相应的数据进行预报时，其误差反映了数据的稳定性，即预报的准确度．7．（2008秋•通州区期中）回归方程ˆ 1.55y x=-，则当4x=时，y的估计值为1．【分析】根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．【解答】解：回归直线方程为?1.55y x=-，4x=，1.545651y∴=⨯-=-=，故答案为：1．【点评】本题考查线性回归方程，考查用线性回归方程估计或者说预报y的值，这是一个基础题，题目主要数字的运算不出错，一般是一个送分题目．三．解答题（共2小题）8．（2009春•房山区期中）某产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下数据：（1）画出散点图．（2）求y关于x的回归直线方程．（3）预测广告费为9百万元时的销售额是多少？【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到对应的五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出五个点，得到这组数据的散点图．（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，利用样本中心点求出a 的值，写出线性回归方程．（3）将9x =代入回归直线方程求出y 的值即为当广告费支出9（百万元）时的销售额的估计值．【解答】解：（1）根据表中所给的五组数据，得到对应的五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出五个点（2）由散点图知，y 与x 有线性相关，设回归方程为：ˆy bx a =+ 521550145i i x y x ====∑511380i ii x y==∑ˆˆ17.5ay bx =-= 故ˆ 6.517.5yx =+ （3）当9x =时， 6.5917.576y =⨯+=（百万元）即广告费为9百万元时的销售额预报值是77百万元．【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再进一步根据样本中心点求出a 的值，注意把一个自变量的值代入线性回归方程，得到的是一个预报值，本题是一个中档题目．9．（2009春•东城区校级月考）某产品的广告支出x （单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出x （单位：万元） 1 2 3 4销售收入y （单位：万元）12 28 42 56（Ⅰ）画出表中数据的散点图；（Ⅱ）求出y 对x 的回归直线方程ˆybx a =+，其中1122211()()().nni i i ii i nn i i i i x x y y x ynxyb x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑（Ⅲ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？【分析】()I 根据所给的数据构造有序数对，在平面直角坐标系中画出散点图．()II 观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．()III 把9x =代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．【解答】解：（Ⅰ）作出的散点图如图⋯（4分）（Ⅱ）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：序号 xy2xxy1 1 12 1 12 2 2 28 4 563 3 42 9 126 44 56 16 224 ∑1013830418可得52x =，692y =．所以122215694184732255304()2ni ii nii x ynxy b xnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，697352252a y bx =-=-⨯=-．故y 对x 的回归直线方程73ˆ25y x =-．⋯（8分）（Ⅲ）当9x =时，73ˆ92129.45y=⨯-=．故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．（12分）【点评】本题考查线性回归方程的写法和应用，解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．。

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数学必修三回归分析经典题型(带答案)
数学必修三回归分析经典题型
1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模
型为93.7319.7ˆ+=x y
用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（） A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm 以上 C.身高在145.83cm 以下 D.身高在145.83cm 左右【答案】D
【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为145.83，由于回归模型是针对3-9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值，只能说左右，不能说在上或者下，没有标准。

选D
2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程$y ＝$a ＋b $x ，关于回归系数b
$，下面叙述正确的是________． ①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0. 【答案】①
【解析】由b
$和r 的公式可知，当r ＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.
3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是$y ＝3x ＋20，若10
1
i i x =∑＝18，则10
1
i i y =∑＝
________. 【答案】254
【解析】由10
1i i x =∑＝18，得x ＝1.8.
因为点(x ，y )在直线$y ＝3x ＋20上，则y ＝25.4. 所以10
1i i y =∑＝25.4×10＝254.
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于________．【答案】5.25
【解析】x ＝2.5，y ＝3.5， ∵回归直线方程过定点(x ，y )， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a. ∴a ＝5.25.
5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程$y ＝
b
$x ＋$a ，那么下列说法正确的是________． ①直线$y ＝b
$x ＋$a 必经过点(x ，y )； ②直线$y ＝b
$x ＋$a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；
③直线$y ＝b
$x ＋$a 的斜率为1
2
21
n
i i
i n
i
i x y
nx y x
nx
==--∑∑；
④直线$y ＝b $x ＋$a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差$2
1
()n
i i i b a y x =⎡⎤⎣⎦∑$－＋是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差．【答案】①③④
【解析】回归直线的斜率为b ，故③正确，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心，故①正确，②不正确．
6．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【答案】185
【解析】设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则
x ＝173，y ＝176，b
$＝2099
＋＋＝1， $a
＝y －b $ x ＝176－1×173＝3， ∴$y ＝x ＋3，当x ＝182时，$y ＝185.
7．下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？（参考：①3.1120.765.655.548.332.22=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ②x b y a x
n x y
x n y
x b n i i n
i i
i -=--=
∑∑==,1
2
2
1
）
【答案】解：（1）0.08 1.23y x =+线性回归方程为
（2）估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元. 【解析】(1)先求出,x y ,然后利用公式
x b y a x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i -=--=
∑∑==,1
2
2
1,a y bx =-，可求出回归直线y ax b =+方程.
(2)把x=10代入回归直线方程可得y 的值，就可得所求的值.
解：（1）45
65432=++++=x Θ
55
0.75.65.58.32.2=++++=y
90654322
22225
12=++++=∑=i i x Θ又
23.180
905453.112=-⨯⨯-=∴b
08.0423.15=⨯-=-=x b y a 又 x y 23.108.0+=∴线性回归方程为（2）把10=x 代入回归方程得到： 38.121023.108.0=⨯+=y
∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元.。

数学必修三回归分析经典题型(带答案)资料讲解