初一下册数学经典题型

1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->⎧⎨<⎩, 的解集为25x << ，因为235<< ，所以，称方程260x =-为不等式组205x x ->⎧⎨<⎩,
的关联方程.
（1） 在方程①520x -=，②3
104x +=，③()315x x -+=-中，不等式组2538434x x x x ->-⎧⎨-+<-⎩
， 的关联方程是 ；（填序号）
（2）若不等式组1144275
x x x ⎧
-⎪⎨
⎪++⎩＜，
＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出
一个即可）
（3）若方程21+2x x -=，
1322x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭都是关于x 的不等式组22x x m x m -⎧⎨
-⎩＜，≤的关联方程，求m 的取值范围.
2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的
等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B
为点A的等距点，此时点A
的等距面积为
9
2.
（1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为.
（2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限，
①若点B的坐标是
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
1
2
9
，－
－
，求此时点A的等距面积；
②
②若点A的等距面积不小于9
8，求此时点B的横坐标t的取值范围.
备用图
3.阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A－B＞0，则A＞B；若A－B＝0，则A＝B；若A－B＜0，则A＜B.
3223的大小.
3(223)
3
2
2-3+
=
＝2322＞0，
3223.
回答下面的问题：
（1）请完成小明的解题过程；
（2）试比较
22
2(34)3
x xy y
-+-与22
3682
x xy y
-+-的大小（写出相应的解答过程）.
4．阅读下列材料：
小明在一本课外读物上看到一道有意思的数学题：解不等式
1
<
x
，根据绝对值的几何意义，到原点距离小
于1的点在数轴上集中在－1和+1之间，如图:所以，该不等式的解集为－1<x<1．
因此，不等式
1
>
x
的解集为x<－1或x>1．
根据以上方法小明继续探究了不等式
5
2<
<x
的解集，即到原点的距离大于2小于5的点的集合就集中在
这样的区域内，如图：
所以，不等式的解集为－5<x<－2或2<x<5．仿照小明的做法解决下面问题：
（1）不等式
5
x<
的解集为____________．
（2）不等式13
x
<<
的解集是____________．
（3）求不等式
22
x-<
的解集．
5.定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为
．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以
．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为___________． ②计算：
()23f =
，
()10f m n +=
．
（2）如果一个“迥异数”的十位数字是k ，个位数字是，且
，请求出“迥异数”．
（3）如果一个“迥异数”m 的十位数字是x ，个位数字是4x -，另一个“迥异数”n 的十位数字是5x -，个位数字是2，且满足()()8
f m f n -<，请直接写出满足条件的x 的值．
6．对x ，y 定义一种新运算T ，规定
22(,)ax by T x y x y
+=
+（其中a ，b 是非零常数
且0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．
如：
22
319(3,1)31
4
a b a b T ⨯+⨯+=
=
+，
24(,2)2
am b T m m +-=
-．
（1）填空：(4,1)T -= （用含a ，b 的代数式表示）； （2）若(2,0)2T -=-且(5,1)6T -=． ①求a 与b 的值；
③ 若(310,)(,310)T m m T m m -=-，求m 的值．
a a ()
f a 12a =211233+=3311=3÷()12=3
f b ()
21k +()11
f b =b
7．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n 的各个数位上的数字之和记为F （n ）．例如n =135时，F （135）=1+3+5=9． （1）对于“相异数”n ，若F （n ）=6，请你写出一个n 的值； （2）若a ，b 都是“相异数”，其中a =100x +12，b =350+y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：
()
()F a k F b =
，当F （a ）+F （b ）=18时，求k 的最小值．
8．在平面直角坐标系xOy 中，对于给定的两点P ，Q ，若存在点M ，使得△MPQ 的面积等于1，即S △MPQ =1，则称点M 为线段PQ 的“单位面积点”． 解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1，0）． （1）在点A （1，2），B （-1，1），C （-1，-2），D （2，-4）中，线段
OP 的“单位面积点”是 ． （2）已知点E （0，3），F （0，4），将线段OP 沿y 轴向上平移t （t >0）个单位长度，使得线段EF 上存在线段OP 的“单位面积点”，求t 的取值范围； （3）已知点Q （1，-2），H （0，-1），点M ，N 是线段PQ 的两个“单位面积点”，点M 在HQ 的延长线上，若S △HMN S △PQN ，直接写出点N 纵坐标的取值范围.
9．（本题7分）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x |＞3的解集． 小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x |恰好是3时x 的值，并在数轴上表示为点A ，B ，如图所示．观察数轴发现，以点A ，B 为分界点把数轴分为三部分： 点A 左边的点表示的数的绝对值大于3； 点A ，B 之间的点表示的数的绝对值小于3； 点B 右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式|x |＞3的解集为：x ＜-3或x ＞3． 参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①|x |＞1的解集是 ．②|x |＜2.5的解集是 ． （2）求绝对值不等式2|x -3|+5＞13的解集．
（3）直接写出不等式x 2＞4的解集是 ．
A B
–1–2–3–412340。