生物统计学-抽样分布
第二节 抽样分布
以样本容量n = 2对该总体进行复置抽 样，则样本平均数抽样总体为：
样本平均数抽样总体的总体容量为：
9 32 N n
样本平均数抽样总体的总体平均数为：
x
23 9
6
36 9
4
（2）原总体的总体标准差为：
x2 (
x )2 N
N
56 48 8
3
3
样本平均数抽样总体的总体标准差为：
第二节 抽样分布
生物统计学的主要任务就是研究总体和样本的关系：
■ 从样本到总体
从特殊到一般， 目的就是通过样本来推断总体
■ 从总体到样本
从一般到特殊， 目的就是研究样本统计量的分布及其与原总体的 关系
抽样分布是统计推断的基础，研究抽样分布的目的就是为了更好地进行统 计推断，并能正确地理解统计推断的结论
5. t-分布
5.1 t-分布的定义
正态分布的标准化公式为：
u x
根据公式可以计算出随机变量x在某一区间内出现的概率：
u x u
对于总体方差σ2已知的总体，根据标准正态分布可以知道样本平均数在某 一区间内出现的概率，公式为：
x
u
x
u x x u x
2 1
(n1 1)S12
2
2 2
(n2
1)
S
2 2
2
这两个χ2变量除以各自的自由度后的比值为：
12
(n1 1)
2 2
(n2 1)
(n1 1)S12
(n2
1)S
2 2
(n1
抽样分布知识点总结
抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。
抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。
在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。
一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。
抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。
1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。
样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。
1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。
当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。
抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。
二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。
2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。
大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。
2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。
置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。
三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。
通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。
生物统计学 第4章 抽样分布
df1 df2
df1 df2 2
F
,F
0
0, F 0
F分布的平均数和方差分别为：
F
df2 , df df2 2
2
2 F
2df22 (df1 df2 2) df1(df2 2)2 (df2 4)
,
df
2
4
线性内插法求F值
求F12,17,0.05 1. 先查F12,15,0.05 ＝2.475， F12,20,0.05 ＝2.278 2. 公式： F12,17,0.05 ＝ F12,15,0.05 +(F12,20,0.05 F12,15,0.05 )/(20-15)×（17-15） 3. 结果：＝2.3962
( df 1) 2
(1
t2
df 1
) 2 ,
t
df ( )( df ) df
2
式中df＝n-1
t分布的特征数：
t 0 (df 1)
t
df df 2
(df 2)
1:t 0 (df 3)
2:t
6 df 4
(df 4)
P(t≥tα)＝ P(t≤-tα)＝α
P(| t | t )
当用σi2去出si2之后， si2 就被标准化了，标准化
的样本方差之比称为F：
s12
2
1
F df1,df2
2
s2
2 2
F分布是由一对自由度df1和df2确定的，F分布的 密度函数为：
f df1 ,df2
df1 df2
df1
2
df1 df2
2
df1 df2 2 2
1
df1 1
,2
0
生物统计学课件抽样分布及应用一
如例2.1中定义样本标准误SӮ = S /√n，
则可将抽样误差转换成另一个标准化变量
t = ( Ӯ－μ)÷S/√n = 0.55 ÷ 0.9 = 0.61 查附表3可知获得0.55的两尾概率
第二节 显著性检验的原理
附表3所列为9种双侧概率对应的 | t | , 如右图所示, 当 n –1= 9时, 0.05 和0.10栏目下的2.262和1.833就表明 所得标准化变量 t 在 n =10时绝对值 超过2.262的概率(双侧面积)为0.05, 超过1.833的概率(双侧面积)为0.10。
0.15 0.1
0.05 0
2.262
↓ 0.025
0.025
1.833 ↓
0.05
t
-3.9 -2.7 -1.5 -0.3
0.9 2.1 3.3
第二节 显著性检验的原理
0.45 0.4
0.35 0.3
f(t)
N(0, 1)
←ν= 7
0.25 0.2
ν=∞→
0.15 0.1
0.05
ν= 2→
←ν= 4
4.0
1
Σ 还是正态分布，只是其变量特殊罢了。 16
12 36 0 0 14 49 0.5 2 4 16 0 1
48 148 — 8
⑶只有以自由度 n –1算得的样本方差 S2才是σ2 的无偏估计值。
（ ΣS2 / Nn = 8÷16 = 1/2 = σ2 ）
（但 S 不是σ的无偏估计值）
第一节 单个母总体抽样
统计学_抽样分布
统计学_抽样分布统计学——抽样分布在统计学的广袤天地中，抽样分布宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的光芒。
它不仅是理论研究的重要基石，更是实际应用中的得力工具。
那什么是抽样分布呢？简单来说，抽样分布就是从同一个总体中抽取多个样本，然后根据这些样本计算出某个统计量（比如均值、方差等）所形成的概率分布。
想象一下，我们有一个装满各种颜色球的大箱子，这就是我们的总体。
现在我们不能把所有的球都拿出来研究，只能随机抽取一部分球作为样本。
如果我们一次又一次地进行这样的抽样，并计算每次抽样的均值，那么这些均值所呈现出来的分布规律就是抽样分布。
抽样分布之所以重要，是因为它为我们提供了一种从样本推断总体的方法。
在实际情况中，我们往往很难直接研究总体的所有数据，而抽样分布则让我们能够通过对样本的分析来对总体的特征做出合理的估计和推断。
以均值的抽样分布为例。
假设总体的均值为μ，方差为σ²，从这个总体中抽取样本容量为 n 的简单随机样本。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时（通常认为n ≥ 30），样本均值的抽样分布将近似服从正态分布，其均值等于总体均值μ，方差为总体方差σ²除以样本容量n 。
这意味着，如果我们知道了总体的均值和方差，以及样本的容量，就可以大致了解样本均值的分布情况。
这对于进行统计推断非常有帮助。
比如，我们可以根据抽样分布计算出某个样本均值出现的概率，从而判断这个样本是否具有代表性。
再来说说方差的抽样分布。
卡方分布在研究方差的抽样分布中起着关键作用。
假设从正态总体中抽取样本容量为 n 的简单随机样本，计算样本方差 s²，然后定义统计量（n 1）s²／σ²，它服从自由度为 n 1 的卡方分布。
抽样分布在实际生活中的应用广泛。
比如在质量控制中，工厂会从生产线上抽取一定数量的产品进行检测，通过样本的质量数据和抽样分布的知识，来判断整个生产线的产品质量是否符合标准。
在市场调查中，调查人员通过抽取一定数量的消费者进行问卷调查，然后利用抽样分布来推断全体消费者的偏好和需求。
生物统计学 第五章 t分布
2 =4/16=1/4=(1/2)/2= / n
x 1/ 4 1 2 / 2
2 x
n
n=4时：
x
768 / 256 3
4
2 x 32 / 256 1 / 8 (1 / 2) / 4 2 / n
x 18 12
n
总体 X1 X2 ������1 X3 X4 ������2 f(x) X5 X6 …Xn ������3 …
样本统计量(如������ ) 函数(统计量）
1.3 抽样分布 从一个总体中,按一定的样本容量随机抽取所有可能 的样本，由这些样本计算出的统计量[样本函数f(x); ������, ������ 2 ]必然形成一种分布(亦即一个新的总体),这种分 布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分布 。 t分布&t检验
1.显著性检验的意义
饲喂相同饲料，随机抽测10尾甲品种鱼和10尾乙品种鱼 增重情况（g/month），资料如下： 甲型鱼：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13 乙型鱼：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7 甲型鱼平均增重=11，标准差S1=1.76；甲型鱼平均增重 =9.2，标准差S2=1.549。能否仅凭这两个平均数的差值 11-9.2=1.8，立即得出两品种鱼增重不同的结论呢？ 观测值x i 包含两部分，即x i = + i 。总体平均数 反映了 总体特征， i表示误差。
样本1 样本2（总体） … t检验、 F检验、 2检验
差异：本质 差异（处理 效应）or 试验误差？
t分布&t检验
3.统计假设 无效假设( ������������ )：是直接检验的假设，是对总体 提出的一个假想目标，又称为“零假设”。“无效” 意指处理效应与总体参数之间没有真实的差异，试 验结果中的差异乃误差所致。 无效假设的两原则：无效假设是有意义；据之可 算出因抽样误差而获得样本结果的概率。 备择假设( ������������ ) ：是和无效假设相反的一种假设， 即认为试验结果中差异是由于总体参数不同所引起 的。
生物统计学名词解释 填空 简答
生物统计复习资料一、名词解释1.总体与样本：具有共同性质的个体所组成的集合称为总体。
从总体中抽取若干个个体的集合称为样本。
2.参数：由总体的全部观察值而算得的总体特征数称为参数。
3.因素水平：每个实验因素的不同状态（处理的某种特定状态或数量上的差别）称为因素水平。
4.实验指标：用于衡量试验效果的指示性状称试验指标。
5.方差：离均差平方和除以样本容量n，得到平均的平方和6.极差：又称全距，是样本资料中最大值与最小值之差。
7.二项总体：非此即彼的事件所构成的总体称为二项总体。
8.平均数的标准差：总体方差除以“样本容量的平方根”9.无效假设：无效假设是直接检验的假设，是对总体提出的一个假象目标。
10.备择假设：与无效假设相反的一种假设，即认为实验结果中的差异是由于总体参数不同所引起的，即处理“有效”。
11.α错误：如果H0是真实的，假设检验时却否定了它，就犯了一个否定真实假设的错误，这类错误称为α错误。
12.β错误：如果H0不是真实的，假设检验时却接受了H0，否定了HA，这样就犯了接受不真实假设的错误，这类错误称为β错误。
13.接受区：接受H0的区域。
14.否定区：否定H0的区域。
15.置信区间：在一定的概率保证之下，估计出一个范围或区间以能够覆盖参数μ，这个区间称置信区间。
16.置信度：保证该区间能覆盖参数的概率以P=（1-α）表示，称为置信系数或置信度。
17.适合性测验：比较观测值与理论值是否符合的假设检验称为适合性测验.18.独立性检验：研究两个或者两个以上因子彼此之间是相互独立的还是相互影响的一类统计方法。
19.回归分析：确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
20.相关分析：研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
21.无偏估计值:如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于总体的相应参数，则称该统计数为总体相应参数的无偏估计值。
22.二项分布：我们把这种“非此即彼”的事件所构成的总体称为二项总体，其概率分布称为二项分布。
统计学_抽样分布
统计学_抽样分布统计学——抽样分布在统计学的广袤领域中，抽样分布无疑是一个至关重要的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们从局部的样本数据中窥探到总体的特征和规律。
那么，究竟什么是抽样分布呢？想象一下，我们面前有一个巨大的“总体”，这个总体可以是某个城市所有居民的收入情况，也可以是某批产品的质量数据等等。
但由于总体太过庞大，我们无法对其进行全面的测量和分析。
这时候，抽样就派上用场了。
我们从这个总体中抽取一部分个体，这部分个体就构成了一个样本。
而抽样分布，简单来说，就是指从同一个总体中抽取相同大小的多个样本，这些样本统计量（比如均值、方差等）所形成的概率分布。
为了更直观地理解抽样分布，我们以一个简单的例子来说明。
假设我们要研究某个班级学生的考试成绩。
这个班级学生的成绩总体就是我们要研究的对象。
我们先随机抽取 10 名学生的成绩作为一个样本，计算这 10 名学生成绩的平均值。
然后，我们重复这个抽样过程，多次抽取 10 名学生的成绩，每次都计算平均值。
这些平均值就会形成一个分布，这就是抽样分布。
抽样分布有着不同的类型，其中最常见的就是样本均值的抽样分布和样本方差的抽样分布。
先来说说样本均值的抽样分布。
根据中心极限定理，如果总体的分布不论是什么形状，只要样本容量足够大（通常认为大于 30），那么样本均值的抽样分布就近似服从正态分布。
这意味着，我们可以利用正态分布的性质来进行很多统计推断。
比如说，我们可以计算出样本均值落在某个区间内的概率，从而对总体均值进行估计和推断。
再谈谈样本方差的抽样分布。
样本方差的抽样分布与自由度有关。
自由度这个概念可能有些抽象，但可以简单理解为在计算样本方差时能够自由取值的变量个数。
对于样本容量为 n 的样本，其自由度为 n 1。
了解抽样分布对我们有什么实际用处呢？它的作用可大了！首先，抽样分布能够帮助我们进行参数估计。
比如说，我们想要知道总体均值是多少，但又无法直接测量总体中的每一个个体。
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1.样本均数的分布
1)样本均数的抽样分布(标准差已知)- u分布 正态总体抽得的样本平均数的分布
非正态总体抽得的样本平均数的分布
样本量小，不是正态分布 随着样本含量的增大（如 n > 50)，接近于正态分 布，并且变异性逐渐缩小
x x 2 2 n或 x
n
样本均数具有规律，容易掌握！
n
每个均数大小不同， 并与总体不同 （抽样误差） 均数分布具有一定的特点：单峰， 对称 随着样本量的增大， 样本平均数的分布的方差越来越小。
理论上：
若随机变量X ～N (μ,σ2 )，(x1，x2，x3，…，xn )，则：样本 平均数服从平均数为 μ，方差为σ2/n 的正态分布： X～N (μ, σ2/n )
1.样本均数的抽样分布
1)样本均数的抽样分布(标准差已知)-u分布 正态总体抽得的样本平均数的分布
实验1:
假定某年某地所有13岁女学生身高服从总体均数为155.4cm， 总体标准差5.3cm的正态分布。 在总体中随机抽样，每次均抽取30例组成一份样本,共抽取
100份,得到的均数分别为：
153.6， 153.9， 154.1……
x x tu σ σ sx s/ n
2)样本均数的抽样分布(标准差未知)- t分布
与正态分布相似，t分布为单峰， 0为中心， 左右对称 与正态分布相比，t分布的离散度较大，顶部偏低，尾部偏高， 尤其是自由度小的t分布更为明显 t分布是一簇曲线，分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度 的大小有关
抽样误差(sampling error)
2. 抽样分布
如果从容量为N 的有限总体抽样，若每次抽取容量为n 的样本， 那么一共可以得到 N’个样本(所有可能的样本个数)。抽样所 得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被 抽取后可以得到N’个平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一
x x 2 2 n或 x
标准差 （standard deviation， SD）: 标准误 （standard error of mean, SEM
n
n
standard error):
x
样本均数的标准差 （导出量的标准差）
1.样本均数的抽样分布
1)样本均数的抽样分布(标准差已知)- u分布 正态总体抽得的样本平均数的分布
在重复选取容量为 n 的样本时，由样本方差的所有可
能取值形成的相对频数分布
对于来自正态总体的简单随机样本，则比值
(n 1) s 2
的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即
(n 1) s 2 ~ 2 (n 1)
2
2
2分布的特点
分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度 df 的大小，通常为不对 称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称
第四章 抽样分布
一. 研究抽样分布的意义 二. 从总体中抽取样本统计量的分布
一.研究抽样分布的意义
1. 总体与样本的关系
总体 → 样本：（一般 → 特殊）
主要研究所抽取样本的分布亦即变异特点。 ………[抽样分布]
样本 → 总体：（特殊
→
一般）
主要从样本的结果去推断原来总体的结果。 ………[统计推断]
2 2 df1 s1 df2 s2
df1 df2
(
1 1 ) df1 1 df 2 1
df1 n1 1, df2 n2 1
t df 1 df 2
( y1 y 2 ) ( 1 2 )
2 2 df1 s1 df2 s2
df1 df2
(
总体
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
……
随机样本1 2 3 无穷个样本
样本可以代表总体,但是又不能完全代表总体
抽样误差
2. 抽样分布
从一个总体按一定的样本容量随机地抽出所有可能的样本，由这 些样本计算出的统计量（如 χ 和s2）必然形成一种分布（亦即一 个新的总体），这种分布称为该统计量的随机抽样分布或抽样分 布。
x1
μ x2 x3
1)样本均数的抽样分布(标准差已知)-u分布 正态总体抽得的样本平均数的分布
非正态总体抽得的样本平均数的分布
2)样本均数的抽样分布(标准差未知)-t分布 正态总体抽得的样本平均数的分布 非正态总体抽得的样本平均数的分布 3）样本均数和与差的分布 标准差已知 –u分布 标准差未知 –t分布 2. 样本方差的抽样分布 1）样本方差的抽样分布 - χ2分布 2）样本标准差的抽样分布-F分布
1 1 ) df1 1 df 2 1
df1 n1 1, df2 n2 1
tdf 1 df 2
( y1 y 2 ) ( 1 2 )
2 2 ( n1 1) s1 ( n2 1) s2 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
df1 n1 n2 2
非正态总体抽得的样本平均数的分布
Mean Medium Sd Skew kurtosis
实验2:
Mean Medium Sd Skew kurtosis
N=5, 抽样：1000次
偏斜度（skewness)：度量数据围绕众数呈不对称的程度
m3 g1 3/ 2 m2
m2
( y y) n
12
n1
2 2
n2
3)来自两个总体的样本均数的和与差的分布 标准差未知 σ1 和 σ2 未知， s1和s2分别代替 σ1 和 σ2
两个样本为正态分布
σ1 = σ2
y1 y2
服从
df1 df2
的 t 分布：
t df 1 df 2
( y1 y 2 ) ( 1 2 )
课后作业
1. 用下面的例子 , 通过计算理解均数抽样分布特点 : 假设有 一个有限总体,包括1,2,3三个数字,那么进行抽样,每次抽 取2个样本,抽样分布如何?每次抽取4个样本,抽样分布如 何?每次抽取8个样本,抽样分布如何?根据所得结果,发现 随着样本量的增大 , 分布有何变化趋势 , 并计算各种抽样 分布的参数,与原始分布的参数进行比较. (思考题)
1.样本均数的分布
2)样本均数的抽样分布(标准差未知)-t分布 非正态总体抽得的样本平均数的分布 随着样本含量的增大，样本均数的分布接近于 正态分布的进度较慢
3) 来自两个总体的样本均数的和与差的分布 标准差已知
且 y1 与 y2 相互独立，由这两个正态总体中抽样（无论样本容量 设y1 ～ N( μ1, σ12 ) ，y2 ～ N( μ2, σ22 )，
2. 样本方差的分布- 2分布 （ 2 distribution)
1）单个样本方差的2分布
2分布的图示
正态 总体
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差s2
n=1 n=4 n=10
不同容量样本的抽样分布
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
2
计算出所有的
2值
2分布的定义
2)样本均数的抽样分布(标准差未知)- t分布
正态总体抽得的样本平均数的分布
从正态总体抽样，σ未知时，所得的样本平均数 x 服从t分布 (student t distribution, W.S.Goesst 1908)，
x x t sx s/ n
0
X～N (μ, σ2/n )
f(t) n=5 n=3 t
可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，
U ～ 2(n1)， V ～ 2(n2), 则 U +V 这一随机变量服
从自由度为n1+n2的2分布
2） 两个样本方差比的分布-F分布 (Fisher)
设：从两个正态总体 N1 (μ1,σ12)和 N2 (μ2,σ22)中随机抽取样本容量为n1和n2的独 立样本，σ1和σ2可以相等或者不等，标准化的样本方差为s12/σ12和s22/σ22
df
受自由度 df影响 df增大， f(t) 减小 n无穷大， 为正态分 布
df
单侧t0.05，9＝1.833
双侧t0.05/2，9＝2.262
＝单侧t0.025，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.01/2，9＝3.250 ＝单侧t0.005，9 双侧t0.05/2，∞＝1.96 ＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
随着样本含量的增大，接近于正态分布
当自由度df ＞30时，t分布曲线就比较接近正态分布曲线； 当df →+∞时则和正态分布曲线重合 （最瘦高）
f (x)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
x 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
正态分布曲线与t分布曲线的比较 (—— t分布，----正态分布)
t分布 (t-distribution) t分布表 p329
n1、n2多大），则样本平均数之差（ y1 y2）服从正 态分布: y1 y2 ～ N (μ , σ2 y y )
y1 y2
1 2
且总体参数有如下关系：
μ σ2
y1 y2
=μ1 ± μ2
12
n1
22
n2
y1 y2
u
( y1 y 2 ) ( 1 2 )
2. 从正态总体和非正态总体抽样，样本均数服从什么分布？ 3. t分布与正态分布有何区别和联系？其分布特征是什么？ 它的极限分布是什么？
2
m3
3 ( y y )
n
g1 > 0 , 正偏；g1 < 0 , 正偏；