线代习题
线性代数习题集带答案
线性代数习题集带答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是（）.(A ） 24315 (B ） 14325 （C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ). （A ）k （B)k n - （C)k n -2! （D ）k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有（ )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000（ ).(A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 25. =0001100000100100（）。
（A ） 0 （B)1- （C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（）。
(A ） 0 （B)1- （C ） 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （）. （A ） 4 (B) 4- （C) 2 （D ） 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）.(A ）ka （B ）ka - (C)a k 2 （D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-，则=x ( ）。
(A) 0 (B ）3- (C) 3 （D ） 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A)1- (B ）2- （C ）3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为（）.(A)1- （B ）2- （C ）3- （D ）012。
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线性代数习题集(带答案)
. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
07线性代数练习题(含答案)
习题线性代数练习题一、单项选择题111011011．行列式 ( )10110111A. 1B. 3C. －1D. －3a10２．行列式b40a2b300b2a30b10（） 0a4A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.a1a2a3a4 b1b2b3b4C. (a1a2 b1b2)(a3a4 b3b4)D. (a1a4 b1b4)(a2a3 b2b3) ３、在下列矩阵中，可逆的是（）000 A. 010 001 110 011C. 121110B. 220 001 100 111D. 101４、A是n阶方阵，且A 0，则A中（）A．必有一列元素全为0 B．必有两列元素成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合５．对任意n阶方阵A、B总有（）A.AB=BAB.|AB|=|BA|TTT222C.(AB)=ABD.(AB)=AB ６、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=En，则必有（）（A）ACB=En (B)BCA=En (C)CBA=En (D)BAC=En ７、设有m维向量组(I)： 1, 2, , n，则（）A.当m<n时，(I)一定线性相关B.当m>n时，(I)一定线性相关C.当m<n时，(I)一定线性无关D.当m>n时，(I)一定线性相关８．设A是m n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关-1９．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A|等于（）习题A.-2B.11C. 22D.2* 1１０．设A,B均是n阶方阵， 2,B 3，则2AB （）2n 122n 12n 12nn2 （A）（B）( 1) （C）（D） 333 3（A是A的伴随矩阵）*1 111 的秩为2，则 =（）１１．设矩阵A= 1223 1A.2C.0B.1 D.-1１２．设A是三阶矩阵，有特征值1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（） A. E-A B. E+A C. 2E-A D. 2E+A222１３．二次型f(x1,x2,x3) x1 3x2 4x3 6x1x2 10x2x3的矩阵是（ C ）A. 330 50 4 130C. 335 05 4160B. 0310 00 4 0 16 D. 6310 010 4二、填空题（每小题4分，共20分）012１．行列式123的值为 .234２、=x+1 -1 1 -13.设A 022x123 4 1,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x４．已知A 2A 2E 0,则(A E) (其中E是n阶单位阵)习题1 1 0 1５、初等矩阵A 0 1 0 ,A0 0 100F６．设 A G13G24H2I, 则 A0JJ0K等于1 1 1 11 1 1 1 ,A的非零特征值为７、A1 1 1 1 1 1 1 1T８、向量组 1 1 -1 2 4 , 2 (0 3 1 2),T3 (3 0 7 14)T，4 (1 -1 2 0)T,5 (2 1 5 6)T的秩为。
线代习题及答案
1.设B A ,均为三阶矩阵，2,3A B =-=，则*2T A B = . 2.设A 是4阶矩阵，伴随矩阵*A 的特征值是1,2,4,8--，则矩阵A 的全部特征值是 . 3. 若向量组1(1,3,6,2)T α=，2(2,1,2,1)T α=-，3(1,1,,2)T a α=--的秩为2，则a = .4.若矩阵111111t A t t ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为正定的，则t 满足的条件为 .. .5 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==301020201,2)(B A R ，则=)(AB R6 设A 是n 阶方阵,21,x x 均为方程组b AX =的解,且21x x ≠,则=A ___________7 已知(1,1)T x =是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a A 011的一个特征向量，则=a .8 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=521a A 是正定矩阵,则a 的取值为_____________.1写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.2求 排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 逆序数；2试计算行列式3112513420111533------.3 设γβααα,,,,321都是4维列向量，且4阶行列式a =βααα,,,321，b =321,, ,αααγ，求4阶行列式γβααα+,,,321。
4.设矩阵A=423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程 1、AB=A+2B.2、BA=A+2B.5设向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23102α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=1410233a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=52114a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10612b β，问：b a ,取何值时，向量β可由向量组4321,,,αααα线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式-7 求下列矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶非零子式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110解1011111002202110,4.2----秩为 8.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
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1 4 3
2 0 1
E(1,
2)
2
0
1
E
(2,
3)
r1 r
2
1
4
3
E(2,
3)
1 2 0
1 2 0
2 1 0
c
2c3
1
3
4
1 0 2
11. 设AB=A+2B，求B,其中
4 2 3
A=
1
1
0
-1 2 3
解：AB=A+2B
AB 2B=A
(A-2E)B=A
2 2 3 －1 4 2 3
n
rn rn1
rn1 rn2
L
0
解法2：D
r2 r1
(1)n1 M
0 L 00
n0
rn rn1
0
L
0 1 rn1 rn2 L
0 n 1
M
M
M
M
r3 r2
(1)n1 (1)n2
M
M
LL LL ML
0 0 M
0 0 L 00
0 0 0 L0
0 n 1 L 0 0
0 0 n2 L 0
n 0 000
0 n 1 0 0 0
L
a1n a11 a21 L
a2n
a12
a22
L
M M M L
ann
a1n
a2n
L
an1
an2
AA
(det
A)E
M
ann
a112
a122 L M
a1n2
M
L
L
L
M
L
M
ai12
ai
2 2
L
ain2
L
L
L det A
M M
M M
L
L
LL ML M det A LL
L
M
M
n ( n 1)
L =(1)(n1)(n2)L 21 M M M M M (1) 2 n!
0 0 020
0 0 001
1 2L 2 2
2 2L 2 2 3.(4) 计算行列式D M M M M M
2 2 L n 1 2
2 2L 2 n
1 r2r1 2 L 2 2
2 2L 2 2
r 3 r1
L1
0
)
det(A11A22
A A 21 12 )
B=(A-2E)-1A ＝ 1
－1
0
1
1
0
L
－1 2 1 -1 2 3
13. 设A是n阶矩阵，证明：det(A* ) (det A)n1 证：
由于A* A (det A)E det A* det A det(A* A) det((det A)E) (det A)n det E (det A)n
a1 M
a2
M
L M
an1 M
(ai
1 jin1
aj)
n1
(ai
i1
x)
xn1
an1 1
an1 2
L
an1 n1
令C
(ai aj )，则C是不为0的常数，
1 jin1
n1
D(x) C (ai x)是n 1次多项式。 i 1
n1
令： (ai x) 0，得到根x a1, a2 , a3 ,L , an1 i 1
按第n-1列展开 0 1 2 L 0 0
Dn
MMM M MM
1 21L 00 01 2L 0 0 2 MMM M MM
0 0 0L 21
0 0 0L 21
0 0 0L 1 2 n2
0 0 0L 1 2 n1
Dn2 2Dn1 则 Dn Dn1 Dn1 Dn2
21
Dn Dn1 Dn1 Dn2 Dn2 Dn3 L L D2 D1 1
L
0
0
01L 0 0
解：D
rn r1
1
0
1
M
0
(1)21 M M M
M
M
MM M M M
0 0 L n3 0
1 0 L 0 n2
0 0 L 0 n2
2 (n 2)!
21 0L 0 0
1 21L 00
3.(5)计算行列式Dn
0 M
1 M
2L MM
00 MM
000L 21
解：
000L 1 2
21 0L 00
21 11 12
)
若 A11与A22同阶，且A A 21 11 A11A21
det
A11 A 21
A12 A 22
det
A11 0
A 22
A12
A
A A 1
21 11 12
det
A11
det(A22
A
A A 1
21 11 12
)
det(A11A22
A11A
A A 1
21 11 12
10(2) 解矩阵方程
1 1 1 1 1 1
0
2
2
X
1
1
0
1 -1 0 2 1 1
解：
1
1
1
1
1
1 1
X
0 1
2 -1
2 0
1 2
1 1
10 L
10(3) 解矩阵方程：
0 1 0 1 0 0 1 4 3
1
0
0
X
0
0
1
2
0
1
0 0 1 0 1 0 1 2 0
L
det
A
a
2 i1
ai22
L
ain2 (i
1, 2,..., n)
Q A 0, aij 0,
detA>0
又 AAT =(detA)E，
det(AAT )=det((detA)E) detA det AT =(detA)ndetE=(detA)n (detA)2 = (detA)n
(detA)2 ( (detA)n-2 1) 0 (detA)n-2 1 0，则 (detA)n-2 1
余子式Aij ,求detA.
A11 A21 L
解：A
A12
A22 L
M M L
A1n A2n L
An1 a11 a21 L
An2
a12
a22
L
M M M L
Ann a1n a2n L
an1
an2
AT
M
ann
a11 a12 L
AAT
a21
a22
L
M M L
an1
an2
11
1L 1L MM
1 a1 0 1 1 1 a2 M M M
MM M M M
1 L 1 an 1 1
0L 0 1 1 1 L
1 L 1 0 a2 0 L M M M M M M M
M M M 0 0 0 an1 1 L 1 an 0 0 0 L
1 0 M a1Dn1 0 an
a1(a2 L an a2 L an1 a2 L an2an L a3L an ) a2 L an a1a2 L an a1a2 L an1 a1a2 L an2an L a2 L an
n2 L 0 0
(1)n(n1)L 2(11L 1) n(n 1)L
(n1)(n2) (n1)
n2 3n4
3 2 1 (1) 2
n! (1) 2 n!
n2 n
(1) 2 n!
0 0 L 01 0 0 L 20 3.(3) 计算行列式 D M M M M M 0 n 1 L 0 0 n 0 L 00
解：原式 2 3 1 3 9 12 4
27
4 3 2 5
8 6 42 32 22 （ 5）2
1 5 25 125
43 33 23 （ 5）3
6 (3 4)(2 4)(5 4)(2 3)(5 3)(5 2) 6048
5(1) 证明:
1 a1 1
Dn M
M
1 1 a2
M M
2 3 2 1 2
Dn 1 Dn1 1 1 Dn2 2 Dn2 = 2 1 Dn3 3 Dn3 L L n 1 D1 n 1 2 n 1
4.(1) 计算行列式：
1 4 16 64 2 6 18 54 3 6 12 24 1 5 25 125
1 4 16 64
111 1
11
证：用归纳法。
1L 1
1L 1
M M M a1a2 L an a1a2 L an1 a1a2 L an2an L a2 L an
MM M
1 L 1 an
n=2:
1+a1 1
1 1 a2 (1 a1 )(1 a2 ) 1 a1a2 a1 a2
假设n-1阶时算式成立。
11 1 1 a2 Dn M M MM
由于 detA>0, 所以 detA=1
16.
A11
A
21
A12 r2(A21A111)r1 A11
A
22
0
A12
A 22
A
A A 1
21 11 12
Er
A
A 1
21 11
0 A11
E n-r
A21
A12 A22
A11 0
A12
A22
A 21A111A12
det
E(2, 3)1
E (2, 3)
0
0
1
0 1 0
0 1 0
0 1 0 1 1 4 3 1 0 0 1