数字信号处理作业答案
数字信号处理作业
DFT 习题
1. 如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把)(~
n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)(~
n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~2k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~1k X 确定)(~2k X 。（76-4）
2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~
n y 具有周期M 。序列)(~n w 定义为)()()(~
~~n y n x n w +=。
a. 证明)(~n w 是周期性的，周期为MN 。
b. 由于)(~n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~k X 的周期也是N 。类似地，
由于)(~n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~k Y 的周期也是M 。)(~n w 的离散傅里叶级数之系数)(~k W 的周期为MN 。试利用)(~k X 和)(~k Y 求)(~k W 。（76-5）
3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:
a. )()(n n x δ=
b ．N n n n n x <<-=000)
()(δ c ．10)(-≤≤=N n a n x n （78-7）
4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）
5. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换
(a ） 证明如果)(n x 满足关系式：)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。
(b ） 证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2/(=N X 。（80-14）
6. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。（82-15）
7. 若)(n x 为一个N 点序列，而)(k X 为其N 点离散傅里叶变换，证明：
∑∑-=-==10k 2102
)k (X N 1)(N N n n x ，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）
8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换)(k X ，如图所示。长度为16的
一个新的序列)(n y 定义为：
?????=为奇数为偶数n n n x n y 0)2()(，试画出相当于
)(n y 的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）
9. 令()x n 表示z 变换为()X z 的无限时宽序列，而1()x n 表示长度为N 的有限时
宽序列，其N 点离散傅立叶变换用1()X k 表示。如果()X z 和1()X k 有如下关系：1()()|, 0,1,2,,1k N z W X k X z k N -===- 式中2j N N W e
π-=。试求()x n 和1()x n 之间的关系。（93-22） 10. 令)(ωj e X 表示序列)()2/1()(n u n x n =的傅里叶变换，并令)(n y 表示长度为10的一个
有限时宽序列，即0
X 的10个等间隔取样，即)()(10/2k j e X k Y π=，试
求)(n y （94-23）
11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列)(n x ，0
计算其z 变换)(z X 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽N ；即N M ≤，试求一种得到)(z X 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列（这个序列是由)(n x 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）
12. 研究两个0 时当时 当20n 0)(8n 0)(≥=≥=n y n x ，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变换，令)(n r 表示它的离散傅里叶反变换，指出)(n r 的哪些点相当于)(n x 与)(n y 线性卷积中的点。（96-26） FFT 习题 1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序： 1,...,1,0)()(1 )/2(-==∑-=-N k e n x k X N n kn N j π，试指出如何用此程序来计算如下反变换： 1,...,1,0)(1 )(1 0)/2(-==∑-=-N n e k X N n x N k kn N j π（193-8） 2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本 题中讨论了两种减少计算量的途径： a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换1()X k 和2()X k 的实序列1()x n 和2()x n ，令 ()g n 为一个复序列，12()()()g n x n jx n =+，()G k 为其离散傅里叶变换。令()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 、()EI G k 分别表示()G k 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用()OR G k 、()ER G k 、()OI G k 和()EI G k 表示1()X k 和2()X k 。 b. 假设()x n 是一个N 点的实序列，且N 可以被2整除，令1()x n 和2()x n 为两个/2 N 点序列，其定义为： 1()(2),0,1,2,...,/21x n x n n N ==-， 试利用1()X k 和2()X k 求()X k 。（198-10） 3. 研究一个有限长度序列)(n x ，并且0n n <和01n N n +->时，0)(=n x 。假设我们想 要计算在z 平面内下列各点上)(n x 的z 变换之取样： ))/2((k M j k re z πθ+=，1,...,2,1,0-=M k ，式中N M <。试详细说出一种计算这些点上的)(z X 的有效方法。（199页-11） 4. 研究一个长度为M 的有限时宽序列)(n x ，并且0 望计算z 变换∑-=-=10)()(N n n z n x z X 在单位圆上N 个等间隔点上的取样，即在 k N j e z )/2(π=，1,...,2,1,0-=N k 上的取样，试找出对下列情况只用一个N 点离散傅里叶变换就能计算)(z X 的N 个取样的方法，并证明之。 （a ） M N ≤ （b ） M N >（200-12） 5. )(ωj e X 表示长度为10的有限时宽序列)(n x 的傅里叶变换，我们希望计算)(ωj e X 在频 率)9,...1,0)(100/2(2==k k k πω时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取 样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各方法的可行性： (a) 直接利用10点快速傅里叶变换算法。 (b) 利用线性调频z 变换算法。（201-13） 6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z 变换可以用来计算一个有限时宽序列()h n 在z 平面实z 轴上诸点{}k z 的z 变换()H z ，使 a) ,0,1,...,1,k k z a k N a ==-≠±为实数,a 1; b) ,0,1,...,1,0k k z a k N a ==-≠为实数,a c) a)和b)两者都行； d) a)和b)都不行，即线性调频z 变换不能计算()H z 在z 为实数时的取样。（203-15） Hilbert 变换习题 1． 令()x n 为()x n <∞的一个实因果序列，已知()x n 的z 变换为 上式为变量1z -的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。 [收敛区域包括点z=∞，事实上，()(0)X x ∞=]。我们说()X z 是解析（在其收敛区域内）的，表示对X 加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据()X z 的实部确定()X z ，条件是()x n 为有限值的实因果序列。 令()x n 为实（有限值的）因果序列，其z 变换为： 式中：R X 和I X 是z 的实函数。 假设j z e ωρ=时，R X 给定为 cos ()j R X e ωραωρρ +=（α为实数） 假设除了z=0外，()X z 处处解析，试求()X z 并表示成z 的显函数。 （建议用时域法解此题）（214-4） 2． 序列()x n 的偶部定义为：()()()2 e x n x n x n +-=，假设()x n 是一个有限时宽实序列，定义为0n <和n N ≥时，()0x n =。令()X k 表示为()x n 的N 点的离散傅立叶变换。 （a ）()e x n 的离散傅立叶变换是否等于Re[()X k ]？ （b ）试求出以()x n 表示的Re[()X k ]的离散傅立叶反变换。（228-15） 3． 研究一个长度N 的有 限时宽实序列（即 n<0,n ≥N 时，()x n =0），此处N 为 奇数。用()X k 表示()x n 的M 点的离散傅立叶变换，因此 令()R X k 表示()X k 的实部。 1(2/)0()()N j M nk n X k x n e π--==∑ （a ） 试利用N 来求能使()R X k 唯一确定()X k 的最小M 值（M=1,2除外）。 （b ） 如果M 满足（a ）中所确定的条件，则()X k 可以表示为()R X k 和序列()U k 的循环 卷积。请确定()U k 。（228-16） 4． 研究一个复序列x （n ），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z 变换 X(z)在单位圆的下半部分为零。即，π≤ω≤2π时，X(ej ω)=0. x(n)的实部为 x r (n)=1/2,01/4,20,n n =????-=±?????? 其他 试求X(e j ω)的实部和虚部。 5． 令H[]表示理想希尔伯特变换运算，即 H[x(n)]= k=-()()h n k x k ∞ ∞-∑ 式中h(n)由（7.48）式给定。试证明下列特性： （a ） H[H[x(n)]]=-x(n). （b ） n=-()[()]0x n H x n ∞ ∞=∑. (提示：利用帕斯维尔定理) （c ） H[x(n)*y(n)]=H[x(n)]*y(n)=x(n)*H[y(n)],式中x(n)和y(n)为任意序列。（233-19） Walsh 函数 1 a) 时间序列()}{i f θ,j θ=0,1,2,….7为{0 0 1 1 0 0 1 1 }将其作离散Walsh 变换 b)将上述序列Hadamard 变换 2 设输入序列()}{i f θ为{0 0 1 1 0 0 1 1 }, 并将此输入序列作a=3的并元移位，试求{Wz (N)} 3 给定两个时间序列()()j j f f θθ2 1，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为： a) 并元时间域相关为： b) 并元时间卷积为： 若()())}({)}({2 21 1m W f m W f j j ??θθ 试证明： 1) 并元相关定理 2) 并元时间卷积定理 提示： a 先证明2) b 在证明过程中利用 n=(n ⊕m)⊕n 关系式 4 给定时间序列为()}{i f θ={1 2 1 1 3 1 1 2},求快速哈达玛变换系数{B f (n)}, n=0,1,2….7 5 用快速算法求()}{i f θ={1,2,1,1,3,1,1,2}的Walsh 变换 6 设（0 1）区间的取样数为N=23求