11-3 波的能量要点
波的能量和能流密度
f S
S
x
y
Δy 为 质元 ab 长度变化
与弹簧比较 弹簧的弹性势能 所以时刻质元 ab 的弹性势能
S / x 为常数
f弹簧 Kx
W弹簧P
1 2 Kx 2
1S 2 WP ( y) 2 x
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
1S WP ( y) 2 2 x
当媒质中有机械波传播时，媒质的质元具有机械能
为了描述媒质中能量分布状况引入——能量密度
二．能量密度
波传播时 ，媒质中单位体积内的能量
——称作波的能量密度
记作 Ω
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
球面波的平均能流
讨论：在无吸收的理想 媒质中球面波的振幅
通过球面1和球面2的能流应该相等：
I 1 4r12 I 2 4r22
而：
I 1 I 2 A12 A22
r2 r1
A1 A2 r2 r1 Nhomakorabea1 A r
取 : r1 1
——球面波的振幅与距离成反比 球面波的波函数可以写成：
S
2.
能流密度
P S u S
平均能流密度又称波的强度
2 A
2 2
2
记作
I
2
2
2 2
I S u
通常
I 2 A u
1 2 2 I A u 2
S u
说明：
I 2 2 A2 2 u
上式根据平面简谐波得到的结论， 但是波的强度与波的振幅、波的频 率的平方成正比的结论对任何弹性 波都成立 波的能量密度表征媒质中某点质元的 能量的大小 能流密度表征媒质中某点，能量传播的 多少和快慢
波的能量
第4节 波的能量一、 波的能量密度 绳上横波 质量线密度μ )(cos[),(ω-=cx t A t x y x m ∆=∆μ， ])(sin[ϕωω+--=∂∂=cx t A t y V ])([sin 21212222ϕωω+-∆=∆=cx t A m mV E k 伸长量x l ∆-∆=]1)(1[)()(222-∂∂+∆=∆-∆+∆xy x x y x 小振幅条件下，xy ∂∂（波形曲线切线斜率）及其平方很小 +∂∂+=∂∂+22/12)(211])(1[xy x y x l ∆-∆≈21()02y x x∂∆≈∂，则 T T T =≈21 ≈∆-∆=T x l E P )(xT xy ∆∂∂2)(21 ])(sin[ϕωω+-=∂∂cx t A c x y ，2c T μ= ])([sin 2122222ϕωωμ+-∆=c x t A cx c E P =])([sin 21222ϕωω+-∆cx t A m =E k E +P E =])([sin 222ϕωω+-∆cx t A m 结论：（1）k E 、P E 都是时间的周期函数，且k E =P E（2）E 是时间的周期函数平衡位置→最大位移处，能量↓最大位移处→平衡位置，能量↑（3）能量的传播速度也是c无限大各向同性均匀媒质也成立V m ∆=∆ρ ∆ =E k E +P E =])([sin 222ϕωωρ+-∆cx t A V 能量密度：V E w ∆==])([sin 222ϕωρω+-cx t A平均能量密度220211A wdt T w T ρω==⎰ 二、 能流密度（波的强度）：单位时间内通过与波的传播方向c相垂直的单位面积的平均能量c A c w I 2221ρω==c A c wI 2221ρω==，2A I ∝ 三、 平面和球面谐波的振幅1、 平面谐波 S I S I 21=cS A cS A 2222122121ρωρω= 21A A = ])(c o s [),(ϕω+-=cx t A t x y ， 2、 球面谐波2211S I S I =2222221212421421r c A r c A πρωπρω=2211r A r A =，2112r r A A =，r A 1∝，I ∝])(cos[)(),(ϕωξ+-=cr t r A t r m r 10=，0A ，r r A r A )(00=，rA r A 0)(= ])(cos[),(0ϕωξ+-=cr t r A t r第5节 惠更斯原理一、 惠更斯原理（1690年）“媒质中波动传到的各点都可以看作发射子波的波源，在其后任意时刻这些子波的包络面（公切面）就是新的波阵面”例t 1r t t ∆+ t c ∆t c r r ∆+=12二、 波的绕射（衍射）当波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向会发生变化，并且能够绕过障碍物的边缘继续向前传播：波的绕射波的传播方向第6节 波的干涉一、 波的独立传播原理和迭加原理当几列波在媒质中相遇时，每一列波的振幅、频率、波长、 振动方向及传播方向不因其它波的存在而受影响，或者说 每一列波都保持其独立的传播特性——波的独立传播原理 当几列波在媒质中相遇时，媒质质点的振动位移等于每列波 单独引起位移的矢量和——波的迭加原理二、 波的干涉1、 波的干涉现象，p146如果两列波在相遇区域迭加的结果使得某些点上振动始终加强 某些点上振动始终减弱，形成稳定的干涉花样：波的干涉现象2、 相干条件同振向、同频率、位相差恒定——相干条件相干波，相干波源3、 定量分析)c o s (11010ϕω+=t A y )c o s (22020ϕω+=t A y 1S])(c o s[1111ϕω+-=cr t A y ])(c o s [2222ϕω+-=cr t A y 2S 21y y y +==])(cos[111ϕω+-c r t A +])(cos[222ϕω+-c r t A ϕ∆++=c o s 2212221A A A A Aϕ∆++=c o s 22121I I I I I ，（2A I ∝） -+-=∆])([22ϕωϕc r t ])([11ϕω+-cr t =)(1212r r c ---ωϕϕ=)(21212r r ---λπϕϕ =∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ：两列波在P 点的相位差 δ=-12r r ：波程差=∆ϕπk 2±， 2,1,0=k ，21A A A +=最大，21212I I I I I ++=，干涉加强=∆ϕπ)12(+±k ， 2,1,0=k ，21A A A -=最小，21212I I I I I -+=，干涉相消如果21ϕϕ=，=∆ϕ)(212r r --λπ 干涉加强条件=∆ϕπλπk r r 2)(212±=-- λδk r r ±=-=12， 2,1,0=k干涉相消条件=∆ϕπλπ)12()(212+±=--k r r λλδ)21(2)12(12+±=+±=-=k k r r , 2,1,0=k 4、 （1）干涉加强或相消是指合振幅或波的强度最大或最小 而不是合位移最大或最小（2）位相差恒定要求两个波源在观察时间内持续振动（3）ϕ∆由两部分组成（4）干涉后，波的能量重新分布例：A ，B 两个相干波源，等振幅 x P 20-x同频率=ν100Hz ，初相差π相距20m,波速s m c /200= A 20m B 求：A ，B 连线上因干涉而静止的点解：=∆ϕ)(21212r r ---λπϕϕ =2(20)()x x c πνπλν---=)220(x --ππ=π)12(+k k x +=10 , 10,2,1,0±±±= k20,,1,0 =x m例：声波干涉仪 EC 每移动8cm ，声音减弱一次 x 求：声波的频率（空气中声速s m c /340=）解：21ϕϕ=λλ)21(2)12(12+=+=-k k r r （1） λ)211(212++=-+k r x r （2） νλc x ==2，Hz x c 212508.023402=⨯==ν。
3波的能量
●
●
o
x
S
x
在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处
取一面积 ΔS ，考虑 dt 时间通过面积 ΔS 的能量
●
●
o
x
u
S
x
udt
在面积 ΔS 后做一方体，侧面积为 ΔS，宽为 udt
dt时间通过面积 ΔS 的能量就等于方体中的能量
w 设能量密度为 ，方体的体积为 Δs udt
w 方体中的能量 ΔSudt，
动能达到最大时势能为零，势能达到最大时动能为零，两者互相转化， 使得系统的总机械能保持守恒。
在波动过程中，每个质点尽管也是处在振动状态，但是这个振动系统 并不是孤立系统。每个质元动能和势能的变化是同相位的。同时达到 最大，同时达到最小，当此体积元的机械能达到零时，表明它已经把 全部机械能传递给邻近的下一个体积元。接下来它又要从上一个体积 元接收机械能，此能量由波源提供。质元随时和外界作能量的交换和 传递。
S1 4r12
S2 4r22
1 2
u 2 A12r12T
1 2
u 2 A22r22T
波面
A1 r2 A2 r1
球面波振幅与距离成反比。
波线
就越多，表示波动越强烈。描述波的能量强弱.
注意：定义中出现了对方向的要求，即能量密度 是个矢量。有时称为波的强度，则是只取其大小， 也就是说成了一个标量。
分析平面波和球面波的振幅
例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向 上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。
证明： 对平面波：
沿着波动的传播方向，该体积元不断从后面的介质获得能量，又不断 地把能量传递给前面的介质。随着波的行进，从介质的这一部分传向 另一部分，所以，波动是能量传递的一种方式。
3波的能量
2
u
S S
1
2
A A
1
2
球面波振幅： 设球面波在均匀介质中传播，设波源在O点，在 距波源分别为 r1 和 r2处取两个球面，面积分别为S1和 S2，设介质不吸收能量
PP
1
S1 S2
2
所以，球面波波幅A与传播距离 r成反比。即球面 波波幅既使在介质不吸收能量时，也要随距离变小。
一.现象
在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能
形变最小 振速 最小 时刻波形 未起振的体积元
上 下
抖 动
形变最大 振速 最大
各体积元以变化的振动速率 v 上下振动，具有振动动能
二、 波的能量
1．介质质元△m的动能
设波速为 u 的简谐波沿x 轴正向传播，波函数为
x y A cos ( t ) u
衍射：受限的尺度与波长相比
障 碍 物
广播和电视 哪个更容易 收到?
更容易听到男 的还是女的说 话的声音？
2.用惠更斯作图法导出了光的折射定律
历史上说明光是波动 • 作图步骤：
入射波 u 法线 1 B 媒质1 u1Dt 折射率n1 i· · E · C · A · 媒质2 F u 折射率n2 2Dt r D u2
2 2
注意：
（1）波的强度与振幅的平方成正比，这一结论不仅 适用于简谐波，而且具有普遍意义。 （2）根据上式和能量守恒概念，可以研究波传播时 振幅的变化。
平面波振幅 如果介质不吸收能量，既单位时间内通过两个截 面的能量相等时，则波在这两个平面处的振幅也相等。
P P
1
2 2 1 1
2
1 1 rA us rA us 2 2
波的能量(新)
一 、媒质元的能量 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 波动是状态的传播过程，也是能量的传播过程。 以棒的纵波为例， 有一行波在棒中传播： 以棒的纵波为例，设有一行波在棒中传播： 设棒的密度为ρ; 截面积为S,距原点为 处取长为dx的 距原点为x处取长为 设棒的密度为ρ; 截面积为 距原点为 处取长为 的媒质元：
A sin(ϕ1 − 1
2πr1
) + A2 sin(ϕ2 −
2πr2
)
A=
2 2 A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos ∆ϕ
A与时间无关，与 ∆ϕ 有关 与时间无关， 与时间无关
∆ ϕ = (ϕ 2 − ϕ 1 ) − 2π
振源相差
r2 − r1
当两相干波源为同相波源时 当两相干波源为同相波源时 ，即 同相波源
∆ϕ = 2π (r1 − r2 )
λ
δ = 2π λ
ϕ 2 = ϕ1
δ = ± kλ
3)
k = 0 ,1, 2 , L
振动始终加强
A = A1 + A2
δ = ± (k + 1 2)λ
A = A1 − A2
k = 0 ,1, 2 , L
A r y = cos ω (t − ) r u
1 球面波的强度与半径的平方成反比 I ∝ 2 r
§10-4 惠更斯原理 波的衍射 10一、惠更斯原理(C.Huygens，1678年) 惠更斯原理( ， 年
表述： 表述： 媒质中波动传播到的各点都可以视为是发射 子波的新波源，而其后任意时刻， 子波的新波源，而其后任意时刻，这些子波的包 络面就是新的波阵面。 络面就是新的波阵面。
3波的能量与能流、声压与声强
dengyonghe1@
I∝A
2
2 1 2 2
（1）对于平面波： ）对于平面波：
s1 = s2
∴ A1 = A2 ; I1 = I 2
I1 r2 A1 r2 ∴ = ; = I 2 r1 A2 r1 A1 r2 I1 r ∴ = ; = A2 r1 I 2 r
2 2 2 1
dengyonghe1@
P = wuS
1 2 2 = ρA ω uS 2
2.平均能流密度----波强I 平均能流密度----波强I ----波强
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积 上的平均能量。 上的平均能量。
1 P 2 2 I= = wu = ρA ω u 2 S
单位：J•s−1•m−2 ， W •m−2 单位：
= ρuωA sin(ωt −
声压的振幅： 声压的振幅：
ω
u
x)
Pm = ρuωA
3.声强
声波的平均能流密度叫声强。 声波的平均能流密度叫声强。
1 2 2 1P I = ρA ω u = 2 2 ρu
2 m
单位： 单位：W/m2
dengyonghe1@
4.声强级
相差较大。 引起人的听觉声强范围是 10−12~1W/m2，相差较大。 声强级： 声强级：
∂y ω ω = A sin(ωt − x) 质元的形变： 质元的形变： ∂x u u 2 1 ∂y 1 2 ω2 x 2 dE p = E dV = EA 2 sin ω (t − )dV 2 ∂x 2 u u 1 2 2 2 ∴ dEP = ( ρdV ) A ω sin ω (t − x / u ) 2 dengyonghe1@
大学物理-波的能量
二、波的衍射 衍射（绕射）--波动在传播过程中遇到障碍物时
能绕过障碍物的边缘继续前进的现象
能够衍射的条件：缝宽（对缝而言）
a 或障碍物的线度 a
三、波的反射和折射
在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，
下面就讨论波的能量问题
以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能
量的传播作简单说明。
y Acos
(t
x
)
u
波动媒质中一体积元 V中的能量
E EK EP
VA2 2 sin 2 (t x )
二、能流和能流密度（波强）
u
为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度
1、能量密度---介质中单位体积中的波动能量
w E A2 2 sin 2 (t x )
V
u
能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布
由间上t 而式周可期知变—w化—的波。的A能2量2 密sin度2是随(t介质ux的) 空间坐标 x 和时
1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射
角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。
介面 i i' i i'
i
“1”
r “2”
2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射（媒质“1”
进入媒质“2”）时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等
到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之
比
10-3 波的能量能流密度
平均能量密度
一个周期内能量密度的平均值。 一个周期内能量密度的平均值。
第十章 波动
5
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度
1 T 1 T x 2 2 2 w = ∫ wdt = ∫0 ρA ω sin ω( t − u )dt T 0 T T 1 x 2 2 2π ρA ω ∫0 sin ( t − )dt = T =π ω T T u T 1 1 x π 2 2 2 2 2π w = ρA ω = ρA ω ∫0 sin ( t − )d( t ) π T u T 2
1 A2ω2 x 2 = YSdx sin [ω(t − )] 2 2 u u
1 x 2 2 2 Wp = ρ A ω sin [ω(t − )]∆V = W k 2 u
第十章 波动
3
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 体积中质点的总能量： 考虑 ∆V 体积中质点的总能量：
2 2 2
x W = Wk +Wp= ρA ω sin ω( t − )∆V u 说明： 说明：
∫
π
0
sin 2 θ ⋅ dθ = π 2
第十章 波动
6
物理学
第五版
1010-3 波的能量 能流密度 二、波的能流和能流密度 波的能流和能流密度
u
∆S
能流: 能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。 截面的能量。 p = wu∆S 平均能流：在一个周期内能流的平均值。 平均能流：在一个周期内能流的平均值。
物理学
第五版
一、波的能量 波的能量
1010-3 波的能量 能流密度
波动是振动状态的传播过程， 波动是振动状态的传播过程，伴随着振动能量 的传播。 的传播。 振动动能 + 形变势能 = 波的能量 以纵波为例: 以纵波为例:
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dW x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
11－3 波的能量
三 波的能流和能流密度
第11章 机械波与电磁波
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
x
dx
x
y dy
y
x
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2 y x x y A cos (t ) v A sin (t ) t u u 1 x 2 2 2 振动动能 dWk dVA sin (t ) 2 u
势能、总机械能均随 是同相位的.
x、t
作周期性变化，且变化
体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
位移最大时，v =0 斜率为0，dWk 、 dWp 为0
x x
B C 平衡位置时，v =max 斜率最大，dW、 最大 k dWp A
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
弹性势能 1 2 dWP k dy 2 F l E 杨氏模量 S l
O O
x
dx
y y dy
x x
SE k dx E
1 1 dy 2 2 dWP k dy ES dx( ) u 2 2 dx 1 2 dy 2 y x u dV ( ) A sin (t ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA sin (t ) 2 u
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.
Hale Waihona Puke uudtSP I wu S 1 I A2 2u 2
单位： W/m2
11－3 波的能量
例 证明球面波的振幅 与离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等.
ES F l l
11－3 波的能量
第11章 机械波与电磁波
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA sin (t ) 2 u
x dW dWk dWp dVA sin (t ) u
2 2 2
体积元的总机械能
讨论
1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、
第11章 机械波与电磁波
s2
s1
r1
r2
P 1 w 1 u S1 P 2 w2 u S2
即
式中
r 为离开波源的距离， A0 为 r r0 处的振幅.
1 A2 2u 4πr 2 1 A2 2u 4πr 2 1 2 2 1 2 2 A0 r0 r A1 r2 y cos (t ) r u A2 r1
11－3 波的能量
一 波动的能量
第11章 机械波与电磁波
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
x
dx
x
y dy
y
x
11－3 波的能量
O O
第11章 机械波与电磁波
y 2 dWk ( ) t y 2 dWp ( ) x
11－3 波的能量
2 2
第11章 机械波与电磁波
2
x dW dVA sin (t ) u
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .