王松桂第三版概率论与数理统计 答案

即
1 3
a
b
2 3
，得 b
2 3
1 3
a
1 9
3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？
解：由习题3.8，二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
P(Y 2) 0.25 0.18 0.43
P(Y 5) 0.35 0.02 0.37
所以，Y的边缘分布为 Y P
0
2
5
0.20
0.43
0.37
3.8 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
f
(
x,
y)
3 2
xy 2
,
0,
0 x 2, 0 y 1, 其他
求边缘概率密度 fX (x), fY ( y) .
1
y
(0 y 1)
故Y的密度函数为
fY
(
y)
ln
1 1
y
0
0 y 1 其他
3.13 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
f
(x,
y)
x 2
xy 3
,
0 x 1, 0 y 2,
0,
其他
求条件概率密度 f X
Y (x y),
fY
X
(y
x), 以及
P{Y
1 2
X
1}. 2
2 0
3 2
xy 2dx
3 4
x2 y2
2 0
3y2
其他情形，显然 fY ( y) 0. 所以，Y的边缘分布密度为
fY
(
y)
3 y
0
2
0 y 1 其他
3.9 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
f
(x,
y)
4.8 y(2 0,
x), 其他
0
x
1, 0
y
x,
求边缘概率密度 fX (x), fY ( y) .
一、第三章习题详解：
3.1设二维随机向量
(
X
,Y
)
的分布函数为:
F
(x,
y)
1 0,
2 x
2
y
2 x y
,
x 0, y 0, 其他
求 P1 X 2,3 Y 5 .
解：因为 F (2, 5) 1 22 25 27 ， F (1,5) 1 21 25 26 F (2,3) 1 22 23 25 ， F (1,3) 1 21 23 24
1 18
1(11 12x x 2 )dx
0
8 27
3.5
设二维随机向量
(X
,Y)
的概率密度函数为:
f
(x,
y)
2e(2x y) , 0,
(1) 求分布函数 F (x, y) ;
x 0, y 0, 其他
(2) 求 PY X
解：(1) 求分布函数 F (x, y) ; 当 x 0, y 0 ，
3
0.4
0
3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为Y | X (3 X ) || 2 X 3 | ，又X的可能取值为0,1,2,3
所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)
解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
且
P( X
2,Y
1) 0 ， P( X
2,Y
2)
C32
C
2 2
C54
3 5
0.6
P( X
3,Y
1)
C33C
1 2
C54
2 5
0.4 ， P( X
3,Y
2) 0
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
2
2
0
0.6
所以 P(1 X 2,3 Y 5) F (2,5) F (1,5) F (2,3) F (1,3)
27
26
25 24
3 27
3 128
3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
f (x, y)dx
y 6dx 6(
y
y y)
所以，Y的边缘分布密度为
fY
(
y)
6(
y y) 0
0 y 1 其他
3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.
解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3
Y
0
2
5
P 0.75 0.25
P 0.20 0.43 0.37
(1)当X=1时，Y的条件分布为
x 0, y 0, 其他
(2) 求 PY X
P{X Y} dy 2e(2x y)dx 2e ydy e2xdx
0
y
0
y
e3 y dy
0
1e3 y 3
0
1 3
3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
f
(x,
y)
(1
1 x2
y2
)2
P( X
3|Y
2)
0.18 0.43
0.419
即
X
1
3
P
0.581
0.419
(5)当Y=5时，X的条件分布为
P( X
1|Y
5)
0.35 0.37
0.946
P( X
3|Y
5)
0.02 0.37
0.054
即
X
1
3
P
0.946
0.054
3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上 随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.
f (x, y) fY (y)
6
x2 2
2xy y
0
0 x 1 其他
在X=x的条件下Y的条件概率密度为
fY|X ( y | x)
f (x, y) f X (x)
36xx
0
y 2
0 y2 其他
P(Y
1 2
|
X
12)
1 2 0
fY|X
(y
|
12 )dy
1 2
3 2
y dy
05
1
(
3y 10
00
a
1[
0
1 2
(6
x
y)2
2
]dx
0
a 2
1[(6 x)2 (4 x)2 ]dx
0
2a 1(5 x)dx 9a 0
由 f (x, y)dxdy 1，得9a=1，故a=1/9.
(2) P(X
0.5,Y 1.5)
0.5 0
1.5 0
1 9
(6
x
y)dxdy
F (x, y) y x f (u, v)dudv y x 2e(2uv)dudv 2 x e2udu y evdv (1 e2x )(1 e y )
00
0
0
其他情形，由于 f (x, y) =0，显然有 F (x, y) =0。综合起来，有
F
(
x,
y
)
(1 0,
e2
x
)(1
e
y
),
(
y)
2.4
y(3
4 0
y
y2
)
0 y 1 其他
3.10 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为
f
(x,
y)
c, 0,
x2 y x, 其他
(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度 f X (x), fY ( y) .
解：(1)因为 f (x, y)dxdy 1 dx x cdy
P{X 1} P{Y 2} P{X 1,Y 2} 0.25 ,从而X 与Y 不相互独立.
3.15设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
3
0.05
0.18
0.02
问 a, b 取何值时, X 与Y 相互独立?
解：因为，当 0 x 2 时， f X (x)
f (x, y)dy
1 0
3 2
xy 2dy
1 2
xy 3
1 0
x 2
；其他情
形，显然 f X (x) 0. 所以，X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
x / 2
0
0 x2 其他
又因为，当 0 y 1时， fY ( y)
f (x, y)dx
0
x2
c
1(x
0
x 2 )dx
c( x2 2
x3 )1 30
c 6
1
所以 c = 6.
(2) 因为，当 0 x 1 时， f X (x)
f (x, y)dy
x x2
cdy
6( x
x2
)
所以，X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
6(
x
0
x
2
)
0 x 1 其他
又因为，当 0 y 1时， fY ( y)
,
x,
y
,
求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.
解： P(X
2
Y2
a2)
x2 y2a2
(1
1 x2
y 2 )2 dxdy
2 d
0
a 0
(1
r
r
2
)
2
dr
2
1
1 2
[
1
1 r
2
]
a 0
1
1
1 a
2
a2 1 a2
3.7设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X
1)
0.02 0.25
2 25
即
Y
0
2
5
P
1/5
18/25
2/25
(3)当Y=0时，X的条件分布为
P( X
1|Y
0)
0.15 0.20
3 4
P( X
3|Y
0)
0.05 0.20
1 4
即
X
1
3
P
3/4
1/4
(4)当Y=2时，X的条件分布为
P( X
1|Y
2)
0.25 0.43
0.581
1 9
0.5 [(6
0
x) y
1 2
y2
1.5
]dx
0
1 9
0.5 [
0
3 2
(6
x)
9 8
]dx
0.5 0
( 87
x 6
)dx
5 12
(3)
P{( X ,Y ) D}
D
f (x, y)dxdy
1 dx
0
1 x 0
1 9
(6
x
y)dy
1 9
1[(6
0
x)
y
1 2
y2
1 x 0
]dx
P (Y
0|
X
1)
0.15 0.75
1 5
P(Y
2|
X
1)
0.25 0.75
1 3
P(Y
2|
X
1)
0.35 0.75
7 15
即
Y
0
2
5
P
1/5
1/3
7/15
(2)当X=3时，Y的条件分布为
P (Y
0|
百度文库
X
3)
0.05 0.25
1 5
P(Y
2|
X
3)
0.18 0.25
18 25
P(Y
2|
解，积分区域显然为三角形区域，当 0 x 1时， 0 y x ，因此
fX (x)
f (x, y)dy
x 4.8y(2 x)dy 2.4(2 x) y2 x 2.4(2 x)x2 ；
0
0
其他情形，显然 f X (x) 0. 所以，X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
2.4
x
2
y2 ) 2 10 0
3 20
1 40
7 40
3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？
解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3
P 0.75 0.25
Y
0
2
5
P 0.20 0.43 0.37
P{X 1} 0.75, P{Y 2} 0.43 ,而 P{X 1,Y 2} 0.25 ,显然
解：因为
f
X
(
x)
1 0
0 x 1
，
其他
fY|X
(
y
|
x)
1
1
x
0
x y 1 其他
所以(X,Y)的联合密度为
f (x, y)
f X (x)
fY|X
(
y
|
x)
1
1
x
0
0 x 1, x y 1 其他
于是
fY (y)
f (x, y)dx
y 0
1
1
xdx
ln(1
y)
ln
1
(2 0
x)
0 x 1 其他
同理，当 0 y 1时， y x 1, 因此
fY ( y)
f (x, y)dx
1 4.8y(2 x)dx 2.4 y(4x x2 ) 1 2.4 y(3 4 y y2 )
y
y
其他情形，显然 fY ( y) 0. 所以，Y的边缘分布密度为
fY
且
P( X
0,Y
3)
(
1 2
)
3
1 8
， P(X
1,Y
1)
C31
(
1 2
)1
(
1 2
)
2
3 8
P( X
2,Y
1)
C32
(
1 2
)
2
(
1 2
)1
3 ， P(X 8
3,Y
3)
(1)3 2
1 8
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
3
0
0
1/8
1
3/8
0
2
3/8
0
3
0
1/8
3.4设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为:
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
3
0.05
0.18
0.02
解：因为 P( X 1) 0.15 0.25 0.35 0.75
P( X 3) 0.05 0.18 0.02 0.25
所以，X的边缘分布为 X P
1
3
0.75
0.25
因为 P(Y 0) 0.15 0.05 0.20
f
(
x,
y)
a(6 0,
x
y),
0 x 1, 0 y 2, 其他
(1) 确定常数 a ;
(2) 求 PX 0.5,Y 1.5
(3) 求 P{( X ,Y ) D},这里 D 是由 x 0, y 0, x y 1 这三条直线所围成的三角形区域.
解：(1)因为 f (x, y)dxdy 1 2 a(6 x y)dxdy
解：因为
P( X
1)
1 6
1 9
1 18
1 3
，
P(Y
2)
1 9
a
要X和Y相互独立，则 P( X 1,Y 2) P( X 1)P(Y 2)
即
1 9
1 3
( 91
a)
，得 a
1 3
1 9
2 9
由
P( X 1) P( X 2) 1 ，得
P( X
2) 1 P( X
1)
1
1 3
2 3
解：因为，当 0 x 1 时， f X (x)
f (x, y)dy
2(x2
0
xy )dy 3
2x2
2 3
x
又当 0 y 2 时， fY ( y)
f (x, y)dx
1(x2
0
xy )dx 3
1 3
y 6
所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为
f X |Y (x | y)