第17讲特殊三角形

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知识点题号

等腰三角形的性质和判定2,5,11,13

等边三角形10,15,16

直角三角形和勾股定理1,3,4,7,8,9,12,14

线段的垂直平分线 6

A层(基础)

1.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( D )

(A)5 (B) (C) (D)5或

解析:当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为5;当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为.

故选D.

2.(2015南宁)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( A )

(A)35°(B)40°

解析:∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°,

∴∠B=∠ADB=70°,

∴∠ADC=180°-∠ADB=110°,

∵AD=CD,

∴∠C=(180°-∠ADC)÷2=(180°-110°)÷2=35°,

故选A.

3.(2015大连)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( D )

(A)-1 (B)+1

(C)-1 (D)+1

解析:∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,

∴∠B=∠DAB,

∴DB=DA=,

在Rt△ADC中,

DC===1;

∴BC=+1.

故选D.

4.小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC,则AC边上的高是( C )

(A)(B)

(C)(D)

解析:AC==,

S△ABC=S正方形-3个直角三角形面积

=4-×2×1×2-×1×1=,

设AC边上的高为h,

·AC·h=,h=,h=.

故选C.

5.(2015陕西)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( D )

(A)2个(B)3个

解析:根据已知条件分别求出题图中三角形的内角度数,可以发现等腰三角形有△ABC,△BCD,△BDE,△EAD,△DAB共5个,故选D.

6.(2015黄冈)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( C )

(A)6 (B)6(C)9 (D)3

解析:∵DE是AB的垂直平分线,

∴AD=BD,

∴∠DAE=∠B=30°,

∴∠ADC=60°,

∴∠CAD=30°,

∴AD为∠BAC的角平分线,

∵∠C=90°,DE⊥AB,

∴DE=CD=3,

∵∠B=30°,

∴BD=2DE=6,∴BC=9,故选C.

7.(2015北海)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= 8 .

解析:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,

∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,

∵∠CAE=15°,

∴∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.

∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,

∴AE=2AD=8.

8.(2015株洲)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD 和EFGH都是正方形.如果AB=10,EF=2,那么AH等于 6 .

解析:∵AB=10,EF=2,

∴大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,

∴四个直角三角形面积和为100-4=96,设AE为a,DE为b,即4×ab=96,

∴2ab=96,a2+b2=100,

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,

∴a+b=14,

∵a-b=2,

解得a=8,b=6,

∴AE=8,DE=6,

∴AH=8-2=6.

9.(2015曲靖)如图,在Rt△ABC中,∠C=30°,以直角顶点A为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,过D 作DE⊥AC于点E,若DE=a,则△ABC的周长用含a的代数式表示为(6+2)a .

解析:∵∠C=30°,∠BAC=90°,DE⊥AC,

∴BC=2AB,CD=2DE=2a,∠B=60°,

∵AB=AD,

∴△ABD是等边三角形,

∴∠DAB=60°,

∴∠DAC=90°-60°=30°=∠C.

∴AD=CD=2a,

∴BD=AB=AD=2a,

∴BC=4a,

∴AC===2a,

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2a=(6+2)a.

10.已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .

解析:∵△ABC为等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,

∵BD为中线,

∴∠DBC=∠ABC=30°,

∵CD=CE,

∴∠E=∠CDE,

∵∠E+∠CDE=∠ACB,

∴∠E=30°=∠DBC,∴BD=DE,

∵BD是AC边上的中线,CD=1,

∴AD=DC=1,

∵△ABC是等边三角形,

∴BC=AC=1+1=2,BD⊥AC,

在Rt△BDC中,由勾股定理得

BD==,即DE=BD=.

11.(2014菏泽)在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.

解:∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD,

∵DE∥AC,

∴∠CAD=∠ADE,

∴∠BAD=∠ADE,

∴AE=DE,

∵AD⊥DB,

∴∠ADB=90°,

∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,

∴∠ABD=∠BDE,

∴DE=BE,∵AB=5,

∴DE=BE=AE=AB=2.5.

12.(2014泰安)如图,∠ABC=90°,D,E分别在BC,AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.

(1)求证:∠FMC=∠FCM;

(2)AD与MC垂直吗?并说明理由.

(1)证明:由题意知△ADE是等腰直角三角形,F是AE中点,

∴DF⊥AE,DF=AF=EF,

又∵∠ABC=90°,

∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余,

∴∠DCF=∠AMF,

在△DFC和△AFM中,

∴△DFC≌△AFM(AAS),

∴CF=MF,

∴∠FMC=∠FCM.

(2)解:AD⊥MC,

理由:由(1)知,∠MFC=90°,FD=EF,FM=FC,

∴∠FDE=∠FMC=45°,

∴DE∥CM,

又∵AD⊥DE,

∴AD⊥MC.

B层(能力)

13.(2015黑龙江)正方形ABCD的边长是4,点P是AD边的中点,点E是正方形边上的一点,若△PBE是等腰三角形,则腰长为2或或.

解析:分情况讨论:(1)当BP=PE时,如图1所示:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=AD=4,

∠A=∠BCD=∠D=90°,

∵P是AD的中点,

∴AP=DP=2,

根据勾股定理得

BP===2.

(2)当BE=PE时,E在BP的垂直平分线上,与正方形的边交于两点,即为点E;

①当E在AB上时,如图2所示:

则BM=BP=,

∵∠BME=∠A=90°,

∠MBE=∠ABP,

∴△BME∽△BAP,

∴=,即=,

∴BE=;

②当E在CD上时,如图3所示:

设CE=x,则DE=4-x,

根据勾股定理得BE2=BC2+CE2,PE2=DP2+DE2,

∴42+x2=22+(4-x)2,

解得x=,

∴CE=,

∴BE===;

同理BP=BE时,BP=2.

综上所述:腰长为2或或.

14.(2015南昌)如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2 .

解析:分情况讨论:

(1)当∠APB=90°时(如图1),

∵AO=BO,

∴PO=BO,

∵∠AOC=60°,

∴∠BOP=60°,

∴△BOP为等边三角形,

∵AB=BC=4,

∴AP=AB·sin 60°=4×=2.

(2)当∠ABP=90°时,(如图2),

∵∠AOC=∠BOP=60°,

∴∠BPO=30°,

∴BP===2,

在直角三角形ABP中,

AP==2.

(3)∠APB=90°,(如图3)

∵AO=BO,

∴PO=AO,

∵∠AOC=60°,

∴△APO为等边三角形,

∴AP=AO=2.

15.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达B点时,M,N同时停止运动.

(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合?

(2)点M,N运动几秒时,可得到等边△AMN?

(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形?若存在,请求出此时M,N运动的时间.

解:(1)设点M,N运动x秒时,M,N两点重合,x×1+12=2x,解得x=12;

∴M,N运动12秒时,M,N两点重合.

(2)设点M,N运动t秒时,可得到等边△AMN,如图①,

AM=t×1=t,

AN=AB-BN=12-2t,

∵△AMN是等边三角形,

∴t=12-2t,解得t=4,

∴点M,N运动4秒时,可得到等边△AMN.

(3)存在.当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,

由(1)知12秒时M,N两点重合,恰好在C处,

如图②,假设△AMN是等腰三角形,

∴AN=AM,

∴∠AMN=∠ANM,

∴∠AMC=∠ANB,

∵AB=BC=AC,

∴△ACB是等边三角形,

∴∠C=∠B,

在△ACM和△ABN中,

∵

∴△ACM≌△ABN(AAS),

∴CM=BN,

设当点M,N在BC边上运动时,M,N运动的时间为y秒时,△AMN是等腰三角形,

∴CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB,

y-12=36-2y,

解得y=16.故假设成立.

∴当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形,此时M,N运动的时间为16秒.

16.(1)如图(1),已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.

求证:△ABP≌△ACQ;

(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图(2),把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置,点M是边EF′与边FG的交点,点N在边EG′上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.

解:(1)∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形,

∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ,

∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,

∴∠BAP=∠CAQ,

∴△ABP≌△ACQ.

(2)过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线GN的垂线,点K为垂足,

在△EFG中,

EH==12.

同(1)可证明△EFM≌△EGN,

∴∠EFM=∠EGN,可证明△EFH≌△EGK,

∴EH=EK.

∴点E到直线GN的距离是12.

16年最有可能考到的知识点

(1)等腰三角形的边,角的分类讨论;

(2)直角三角形的性质结合折叠与勾股定理考查;

(3)等腰三角形的性质与线段的垂直平分线结合考查;

(4)直角三角形与线段的垂直平分线结合考查;

(5)等腰直角三角形与全等三角形结合考查.

1.(2016预测)已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( C )

(A)40°(B)100°

解析:当40°是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°;当40°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-40°×2=100°.故选C.

2.(2016预测)如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( B )

(A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)5 cm

解析:∵AC=6 cm,BC=8 cm,

∴AB=10 cm,

由题意知AE=6 cm(折叠的性质),

∴BE=4 cm,

设CD=x,则在Rt△DEB中,42+x2=(8-x)2,

∴x=3 cm.

故选B.

3.(2016预测)如图,等腰△ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为13 .

解析:∵△ABC为等腰三角形,

∴AB=AC,

∵BC=5,

∴2AB=2AC=21-5=16,

即AB=AC=8,而DE是线段AB的垂直平分线,

∴BE=AE,故BE+EC=AE+EC=AC=8,

∴△BEC的周长=BC+BE+EC=5+8=13.

4.(2016预测)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.

(1)求证:△ACE≌△BCD;

(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.

(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,EC=DC.

∵∠ACE=∠DCE-∠DCA,

∠BCD=∠ACB-∠DCA,

∠ACB=∠ECD=90°,

∴∠ACE=∠BCD.

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD(SAS).

(2)解:由(1)得∠EAC=∠DBC=45°,

又∠BAC=45°,

∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°,

即△EAD是直角三角形,

∴DE===13.

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