讲义-多边形及角度计算
多边形及其内角及讲义学生用
多边形内角和第一部分知识点回首定义：由三条或三条以上的线段首位按序连结所构成的关闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：多边形非正多边形：多边形的定理1、 n 边形的内角和等于180 °（ n-2）。
2 、随意凸形多边形的外角和等于360 °。
3、 n 边形的对角线条数等于1/2·n（ n-3）只用一种正多边形：3、4、 6/ 。
镶嵌拼成360 度的角只用一种非正多边形（全等）：3、 4。
知识点一：多边形及有关观点1、多边形的定义：在同一平面内。
多边形的分类：不叫三边形2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，往常把这种问题叫做用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 )。
这里的多边形能够形状同样，也能够形状不同样。
实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰巧等于360°；相邻的多边形有公共边。
3、常有的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；极点公用；在一个极点处各正多边形的内角之和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖能够用。
注意：随意四边形的内角和都等于 360°。
因此用一批形状、大小完整同样但不规则的四边形地砖也能够铺成无缝隙的地板，用随意同样的三角形也能够铺满地面。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上面长相等的正多边形组合成平面图形，重点是有关正多边形“交接处各角之和可否拼成一个周角”的问题。
比如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都能够作平面镶嵌。
第二部分经典习题种类一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形【变式【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为2】一个多边形除了一个内角外，其他各内角和为1800 °，求这个多边形的边数.2750°，求这个多边形的内角和是多少.【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
四边形和多边形内角和讲义
四边形，多边形的内角和重点：多边形的内角和定理和外角和定理难点：多边形内角和定理的证明；多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用1、知识讲解1. 多边形（包括四边形）的定义：在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
这里所说的多边形都是凸多边形，即该多边形完全处在其任何一边所在直线的同侧。
反之就称为凹多边形。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2. 多边形（包括四边形）的对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
n边形共有条对角线。
连结多边形的对角线是一种常见的辅助线3. 多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）·180°。
定理证明的基本思路是要把问题转化为三角形的内角和问题。
4. 多边形外角和定理：n边形的外角和为360°。
5. n边形的内角中最多有3个是锐角2、例题分析例1已知：四边形的四个内角度数为1：2：3：4，求各内角的度数。
解：设四个内角的度数分别为x，2x，3x，4x，根据题意得：x+2 x+3x+4 x=360°解得：x=36，∴2x=72，3x=108，4x=144答：四边形各内角度数分别为36°，72°，108°，144°例2如图：四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，求∠BAD的度数。
解：连结AC∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1∴设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K∵∠B=90°，AB=BC=2K∴AC2=AB2+BC2=8K2（勾股定理）∠BAC=∠BCA=45°（等边对等角）∵AC2+AD2=9K2，CD2=9K2∴AC2+AD2=CD2∴∠CAD=90°（勾股定理的逆定理）∴∠CAD=90°∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°例3一个多边形的内角和是720°，求这个多边形的边数。
初二数学经典讲义 多边形(提高)知识讲解
多边形（提高）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。
如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nng°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。
初中数学知识归纳多边形内角和外角的性质和计算
初中数学知识归纳多边形内角和外角的性质和计算多边形是初中数学中常见的几何图形之一，它具有许多有趣的性质。
本文将归纳多边形内角和外角的性质，并介绍如何计算它们。
一、多边形内角的性质多边形的内角指的是多边形中任意两条边之间的夹角。
多边形内角的性质如下：1. 三角形内角和为180度三角形是最简单的多边形，它的内角和为180度。
无论是等边三角形、等腰三角形还是普通三角形，它们的内角和都是180度。
2. 正多边形内角和的计算方法对于正多边形，它的每个内角都是相等的。
正n边形的内角和可以通过公式计算：(n - 2) × 180度。
3. 一般多边形内角和的计算方法对于一般多边形，我们可以将其分割成n个三角形，并利用三角形内角和为180度的性质来计算多边形的内角和。
例如，四边形可以分割为2个三角形，五边形可以分割为3个三角形，以此类推。
二、多边形外角的性质多边形的外角指的是在多边形外部、与多边形某一条边相邻但不共线的两条边所形成的角。
多边形外角的性质如下：1. 三角形的外角等于其对应的没有公共顶点的内角对于三角形ABC，它的外角∠D等于角∠BAC。
这是因为∠D和∠BAC互为补角，补角等于180度。
2. 正多边形的外角等于360度除以边数对于正多边形，它的每个外角都是相等的。
正n边形的外角可以通过公式计算：360度/ n。
3. 一般多边形外角和的计算方法一般多边形的外角和为360度。
我们可以通过画出所有边的外角，并将它们相加来验证这一性质。
三、多边形内角和外角的计算在计算多边形的内角和外角时，我们需要注意以下几点：1. 当已知正多边形的内角和时，可以利用公式 (n - 2) × 180度计算n边形的内角和。
2. 当已知正多边形的外角时，可以利用公式 360度/ n 计算n边形的外角。
3. 当已知一般多边形的内角时，可以通过将多边形分割为若干个三角形，利用三角形内角和为180度的性质，相加计算多边形的内角和。
多边形的内角和外角计算
多边形的内角和外角计算多边形是几何学中的重要概念，它由若干条边和相应的顶点组成。
在研究多边形的性质时，我们经常会遇到内角和外角的计算问题。
本文将介绍多边形内角和外角的定义和计算方法。
一、多边形的内角和外角定义多边形的内角是指由多边形的两条边所夹角度，而外角是指多边形内一条边的延长线和下一条边所夹角度。
二、多边形内角和外角的计算方法1. 内角的计算方法：对于n边形，内角和的计算公式为：(n-2)×180°。
例如，三角形的内角和为(3-2)×180°=180°，四边形的内角和为(4-2)×180°=360°。
2. 外角的计算方法：外角和的计算公式为360°。
每个外角可通过360°除以n来得到。
例如，对于正五边形，每个外角为360°/5=72°。
三、多边形内角和外角的举例说明1. 三角形的内角和：三角形是最简单的多边形，由三条边和三个顶点组成。
根据前述计算方法，三角形的内角和为180°。
2. 四边形的内角和：四边形是常见的多边形，例如矩形、正方形和平行四边形等。
根据前述计算方法，四边形的内角和为360°。
3. 五边形的内角和和外角：五边形是一种五边形多边形，常见的有正五边形和不规则五边形。
根据前述计算方法，五边形的内角和为540°，每个外角为72°。
四、多边形内角和外角计算的意义1. 内角和：多边形的内角和是多边形几何性质的重要指标，它能反映出多边形的形状和结构。
通过计算多边形的内角和，我们可以判断多边形是凸多边形还是凹多边形，并进一步研究多边形的各种性质和规律。
2. 外角和：多边形的外角和也是多边形几何性质的重要指标，它与内角和之间存在着一定的数学关系。
通过计算多边形的外角和，我们可以推导出内角和与外角和的关系公式，并应用于解决复杂的多边形计算问题。
北师大版八年级数学下册多边形及其角计算 讲义word版
也。
者未闻有以家待之者国者未闻有以国待之者也，失其家失去家贵者安”子方曰：“亦贫贱者骄人耳！富敢骄人！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。
失其乎？贫，谓子伏谒。
子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。
子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？学科：数学专题：多边形及其角度计算xx 主讲教师：重难点易错点解析题一那么这个多边形的边数是多少？140°，题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？边形：n n2) °(内角和=180 °外角和=360n3每一个顶点出发的对角线=??3nn? =对角线总条数2正多边形：边长相等、内角相等金题精讲题一初中生物教案、试题、试卷 - 1 -也。
待之者失其家者未闻有以家者也，大夫而骄人则失去家。
失其国者未闻有以国待之去国；敢骄人亦贫贱贱者骄方曰：子方不遭田子子击出，方于道，下车伏谒。
为礼。
子击怒，谓子“富贵者骄人乎？贫人乎？”子方曰：“者骄人耳！富贵者安！国君而骄人，则失下列拼法中不能镶嵌成一正方形和正六边形纸片若干张，题面：现有边长相同的正三角形、）个平面图案的是（．正方形和正六边形A B．正三角形和正方形 C．正三角形和正六边形．正三角形、正方形和正六边形D镶嵌问题题二题面：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为m.初中生物教案、试题、试卷 - 2 -也。
有以家待之者国待之者也，失其家者未闻失去家！国君而骄人，则失去国；大夫而骄人则。
失其国者未闻有以贵者安曰：“乎？贫，谓子伏谒。
子击出，遭田子方于道，下车子方不为礼。
子击怒方曰：“富贵者骄人贱者骄人乎？”子方亦贫贱者骄人耳！富敢骄人多边形外角和题三题面：. 倍，则这个多边形的内角和是一个多边形对角线的条数等于边数的5(1). 150°，那么这个多边形的对角线数目是(2)一个多边形的每一个内角都等于ppnm则边边形有(3)过边形的一个顶点有4条对角线，边形没有对角线，条对角线，pnm. )数为(+的正多边形每一个内角的度数是初中生物教案、试题、试卷- 3 -也。
多边形的边数与角数的计算
多边形的边数与角数的计算多边形是指由若干条边和角组成的几何图形。
在数学中，我们经常需要计算多边形的边数与角数。
本文将就此问题展开讨论，从计算多边形边数和角数的公式入手，阐述其应用和意义。
一、多边形边数的计算多边形的边数可以通过以下公式计算得出：n = (n - 2) * 180° / α其中n表示多边形的边数，α表示每个内角的度数。
以三角形为例，根据公式可得：n = (3 - 2) * 180° / α = 180° / α在等腰直角三角形中，α = 45°，则n = 180° / 45° = 4，也就是说，等腰直角三角形有4条边。
同样地，四边形的边数可以通过 n = (4 - 2) * 180° / α 计算得出，其中α为每个内角的度数。
对于矩形而言，其所有内角都是直角，即α = 90°，带入公式可得：n = (4 - 2) * 180° / 90° = 4，即矩形有4条边。
以此类推，我们可以根据上述公式计算出多边形的边数。
这对于几何学以及与多边形相关的其他学科具有重要意义，方便了多边形的分类和研究。
二、多边形角数的计算多边形的角数可以通过以下公式计算得出：n = (n - 2) * 180° / β其中n表示多边形的角数，β表示每个外角的度数。
以三角形为例，根据公式可得：n = (3 - 2) * 180° / β = 180° / β在等边三角形中，β = 60°，则n = 180° / 60° = 3，也就是说，等边三角形有3个角。
同样地，四边形的角数可以通过 n = (4 - 2) * 180° / β 计算得出，其中β为每个外角的度数。
对于矩形而言，其每个外角都为直角，即β = 90°，带入公式可得：n = (4 - 2) * 180° / 90° = 4，即矩形有4个角。
多边形的内角和外角
多边形的内角和外角多边形是几何学中常见的图形，由多个直线边构成，每个角由相邻两条边所夹。
本文将介绍多边形的内角和外角的性质和计算方法。
1. 多边形的内角和外角性质内角：指多边形内部两条边所夹的角度。
一般来说，n 边形（n边形是指有n条边的多边形）的内角和为 (n-2) * 180度。
例如，三角形的内角和为 (3-2) * 180 = 180度，四边形的内角和为 (4-2) * 180 = 360度。
外角：指多边形内部一条边的延长线与相邻边所夹的角度。
多边形的外角和等于360度，即各个外角的和等于360度。
这意味着每个外角都相等。
例如，三角形的外角和为360度，四边形的外角和也为360度。
2. 多边形内角和计算方法当已知多边形的边数 n 时，内角和可以通过以下公式计算：内角和= (n-2) * 180度。
举例：- 三角形的内角和 = (3-2) * 180度 = 180度- 四边形的内角和 = (4-2) * 180度 = 360度3. 多边形外角的计算方法多边形的外角和始终等于360度，即每个外角的度数相等。
当已知多边形的边数n 时，每个外角的度数可以通过以下公式计算：外角度数 = 360度 / n。
举例：- 三角形的外角度数 = 360度 / 3 = 120度- 四边形的外角度数 = 360度 / 4 = 90度4. 多边形内角和外角的应用多边形的内角和外角的性质在许多几何问题中有重要的应用。
- 在计算多边形的内角和时，我们可以通过已知内角和求解未知内角的方法来确定多边形内部的角度分布，从而帮助计算各种几何问题。
- 外角和的知识可以帮助我们计算多边形中某个顶点的外角度数，从而在解决几何问题时提供有效的信息。
5. 总结多边形的内角和是 (n-2) * 180度，每个内角的度数与多边形的边数n 有关。
多边形的外角和为360度，每个外角的度数等于 360度 / n。
多边形的内角和外角的性质和计算方法是解决几何问题中重要的基础知识。
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第三讲多边形及角度计算
（补充讲义）
Part1 三角形外角
【知识回顾】
1.外角：延长多边形的一边，与邻边的夹角就叫这个多边形的一个外角。
2.三角形的外角等于不相邻两个内角的和。
3.三角形内角和180°，外角和360°。
4.（1）按角分类
直角三角形
三角形锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
（2）按边分类
不等边三角形
三角形等边三角形
等腰三角形
底边和腰不等的等腰三角形
【涉及题型】
1.3个外角模型。
2.利用外角、内角求角度度数。
【精讲例题】
例1.【外角求角度】（1）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）
A．15° B．20°C．25°D．30°
（2）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数为（ ）
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
Part2多边形的认识
【知识回顾】
1.多边形内角和公式：180°·（n-2）。
2.多边形外角和：360°。
3.多边形对角线条数公式： 。
4.正多边形：每个内角都相等，每条边都相等的多边形叫正多边形。
【涉及题型】
1.内角与外角结合（设未知数求解）。
2.求不规则图形的角度（看外角、看内角）。
3.对角线
4.砍去与增加的角度问题
【精讲例题】
例2.【内角与外角结合】五边形中，前四个角的比为1：2：3：4，第五个角比最小角多100°，则五边形的五个内角分别为 °， °， °， °， 度．
例3.【求不规则图形的角度】如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G=（ ）度．
A ．540
B ．720
C ．360
D ．900
例4.【对角线】从n 边形一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A ．n
B ．n ﹣1
C ．n ﹣2
D ．n ﹣3
例5.【砍去与增加角度问题】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A ．7
B ．7或8
C ．8或9
D ．7或8或9
23-n n ）（。