新编【沪科版】七年级数学下册《8.4.3 公式法——平方差公式》课件
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沪科版七年级下册数学：8.3 完全平方公式和平方差公式 (共14张PPT)
1002 2100 4 42
10000 800 16
=10816
2 1982
21982 200 22
40000 800 4
39204
12
思考：
a b c2
解 a b c2 a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ca b c2
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 a (a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、左边为两数和的平方； 2、右边为三项，其中两项为左边两数的平方的和， 另一项为两数乘积的2倍
3、公式中的a,b可以表示数，也可以是代数式
1
x
2
6
1
x
3
y
2
6
1
x
2
2
1
x
3
y
3
y
2
6 6
1 x2 xy 9 y2
(2)
0.2a
1Leabharlann b220.2a 1 b2
2
2
0.2a
1 2
b
0.2a
1
b
2
0.2a2
2 2
0.2a
1
b
1
b
2
2 2
0.04a2 0.2ab 1 b2 4
变式2：
11042
11042 100 42
a b2
a ba b
a2 ab ab b2
10000 800 16
=10816
2 1982
21982 200 22
40000 800 4
39204
12
思考：
a b c2
解 a b c2 a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ca b c2
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 a (a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、左边为两数和的平方； 2、右边为三项，其中两项为左边两数的平方的和， 另一项为两数乘积的2倍
3、公式中的a,b可以表示数，也可以是代数式
1
x
2
6
1
x
3
y
2
6
1
x
2
2
1
x
3
y
3
y
2
6 6
1 x2 xy 9 y2
(2)
0.2a
1Leabharlann b220.2a 1 b2
2
2
0.2a
1 2
b
0.2a
1
b
2
0.2a2
2 2
0.2a
1
b
1
b
2
2 2
0.04a2 0.2ab 1 b2 4
变式2：
11042
11042 100 42
a b2
a ba b
a2 ab ab b2
沪科版数学七年级下册完全平方公式与平方差公式课件
无中生有
计算51 ×49 解：原式=(50+1) ×(50 –
1) =50² – 1² =2500 – 1
=2499
项数变化
计算(x+y+1)(x+y –1) 解：原式=(x+y)² – 1²
= x²+2xy+y² – 1
逆用公式
a2−b2 = (a+b)(a−b)
• 计算84²– 83² 解：原式=(84+83) ×(84–83)
a
a
b a+b a −b
a+b a −b
b+b a −b
a&;bb)(aa−bb)= a2−b2
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、(aa−b)(aa+bb) = a2−b2 2、(−b+ aa)(bb+a)a= a2−b2
公式的结构特征
（1）左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全 相同，另一项互为相反项。
例 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n).
相同项
平方
解: (1) (55+6x6)x(5−566xx)= 52 − (6x)2
相反项
(2) (x+22yy) (xx−22yy)
平方
= 25− 36x2 ;
= x2− ( 2y )2
解：原式 =(2–1)
= ( 2²– 1 ) = ( 24 – 1 ) = ( 28 – 1)
( 2+1 )( 2²+1 )(24+1 )( 28+1 ) ( 2²+1 )( 24+1 )( 28+1) ( 24+1 )( 28+1) ( 28+1 ) =216 – 1
沪科版七年级数学下册第八章8.3完全平方公式与平方差公式PPT课件全套
头(乘)尾两倍在中央，
中间符号照原样．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 利用乘法公式计算： (1)(2x＋y)2. (2)(3a－2b)2.
解： 运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么.
(1)(2x＋y)2＝(2x)2＋2· (2x)y＋y2
(a ＋b)2＝ a2 ＋ 2 a b＋b2 ＝4x2＋4xy＋y2. (2)(3a－2b)2＝(3a)2－2· (3a)(2b)＋(2b)2 (a － b )2 ＝ a 2 － 2 a b ＋ b2.
知1－练
1
计算： 2 1 (1) (2)(a＋b)(－a－b)； －2a－ 2 b ； (3)(3m－2n)(2n－3m)．
（来自《点拨》）
2
给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完 全平方式，则加上的单项式不可以是( A．4x C．4x4 B．－4x D．－4x4
（来自《典中点》）
（来自《教材》）
＝9a2－12ab＋4b2.
知1－讲
总
结
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清 题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式 中的b，同时还要确定是用两数和的完全平方公式还
是两数差的完全平方公式；解(1)(2)题时还用到了互
为相反数的两数的平方相等．
（来自《点拨》）
b2的和(差)．
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的取值是多少？ (2)先化简，再求值：
(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；
(3)已知x2－4x＋1＝0， 求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 导引： 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
沪科版七年级数学下册课件8.平方差公式
平方差公式 注意
1.符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反” 这一特征, 在应用时, 只有两个二项式的积才 有可能应用平方差公式; 对于不能 直接应用公式的, 可能要经过变形 才可以应用
课堂小测
1.下列运算中, 可用平方差公式计算的是 ( C )
A.(x＋y)(x＋y)
当 x＝1, y＝2时, 原式＝5×12－5×22＝－15.
新知探究
例4 对于任意的正整数n, 整式(3n＋1)(3n－1) －(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
因为(10n2－10)÷10=n2-1, 且n为正整数,
所以 n2-1为整数, 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
课堂小测
4.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b);
（2）(3+2a)(－3+2a);
原式=(a)2－(3b)2 =a2－9b2 .
原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
=4a2－9.
原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
课堂小测
解：李大妈吃亏了． 理由: 原正方形的面积为a2,
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为a2＞a2－16, 所以李大妈吃亏了．
新知探究
方法总结: 解决实际问题的关键是根据题意列出算 式,然后根据公式化简算式, 解决问题．
课堂小结
内容
两个数的和与这两个数的差的 积, 等于这两个数的平方差
新沪科版七年级下册初中数学 8.3 完全平方公式与平方差公式 教学课件
(a b)(a b) a2 b b) a2 b2
阅读算式，按要求填写下面的表格
算式
与平方差
公式中a对 应的项
与平方差 公式中b 对应的项
写成“a2-b2”
的形式
(x+5)(x-5)
x
5
x2 52
(2-3x)(2+3x)
2
3x 22 3x2
第八页，共二十七页。
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
首平方，尾平方，首尾两倍中间放
平方差公式和完全平方公式也 称乘法公式。
第九页，共二十七页。
例3 用完全平方公式计算;
(1) (x+2y)2
(2) (2a－5)2
(3) (-2s+t)2
(4) (－3x－4y)2
(2) (3x 5 y)( 3x 5 y ) 9x2 25 y2
(3) (5 y 3x)( 5 y 3x ) 9x2 25 y2
第二十三页，共二十七页。
练一练
(1) (2 a)(a 2) (2) (3a 2b)(3a 2b)
(3) (4k 3)(4k 3) (4) (1 x)( x 1)
这两数的平方差
第十八页，共二十七页。
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形,割去一个边长 为b 的小正方形.小明将绿色和黄色两部分拼成一个
长方形.
问:小明能拼成功吗?
a
a
b
第十九页，共二十七页。
a a
a
b
a-b
b
b
长方形的面积为：____(_a___b_)_(_a___b__)_
沪科版七年级数学下册第八章《公式法》优质课课件(共18张PPT)
4
6 a 2 2 a b 4 b 2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x 2 _ _2_ x_ _y _ _ y 2
2 4 a 2 9 b 2 _ _ _1_2_a_b_ 3 x 2 _4_ _x _y_ _ 4 y 2
4 a 2 _ _a_ b_ _ _ _ 1 b 2 4
首 22 首 尾 尾 2=(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy9y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
2
3
y
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因A 式得）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
xHale Waihona Puke y2将一个正方形的一角剪去一个小 正方形，观察剪剩下的部分，你能在 只能剪一刀的情况下，将剩余部分重 新拼接成一个特殊四边形吗？
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
a22abb2 a b 2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a22abb2 a22abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
6 a 2 2 a b 4 b 2 否
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x 2 _ _2_ x_ _y _ _ y 2
2 4 a 2 9 b 2 _ _ _1_2_a_b_ 3 x 2 _4_ _x _y_ _ 4 y 2
4 a 2 _ _a_ b_ _ _ _ 1 b 2 4
首 22 首 尾 尾 2=(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy9y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
2
3
y
6、把
4 9
x2
y2
4 3
xy（分解因A 式得）
A、
2 3
x
y
2
B、
4 3
xHale Waihona Puke y2将一个正方形的一角剪去一个小 正方形，观察剪剩下的部分，你能在 只能剪一刀的情况下，将剩余部分重 新拼接成一个特殊四边形吗？
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
(1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
a22abb2 a b 2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a22abb2 a22abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
七年级数学沪科版下册第8章8.4因式分解 8.4.3 公式法——平方差公式 同步课件
11
1 分解因式：
(1)a2－ 1 b2； 25
(2)－(x＋2)2＋16(x－1)2；
(3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋y2 C．－m2－n2
B．x2－(－y)2 D．4m2－ 1 n2
9
12
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
10
总结
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的 多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因 式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止．
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．
因式分解 整式乘法
a＋b a－b
2.用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先
提取公因式，再用平方差公式分解因式．
6
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2
×
（2）x2-y2
√
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
-(x×2+y2) y√2-x2
（5）x2-25y2 (√x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m√+1)(m-1)
() ①－a2－b2；
②16x2－9y2；
③(－a)2－(－b)2； ④－121m2＋225n2；
⑤(6x)2－9(2y)2. A．5个 C．3个
B．4个 D．2个
13
知识点 2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要 先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
1 分解因式：
(1)a2－ 1 b2； 25
(2)－(x＋2)2＋16(x－1)2；
(3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋y2 C．－m2－n2
B．x2－(－y)2 D．4m2－ 1 n2
9
12
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
10
总结
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的 多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因 式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止．
(2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．
因式分解 整式乘法
a＋b a－b
2.用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先
提取公因式，再用平方差公式分解因式．
6
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2
×
（2）x2-y2
√
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
-(x×2+y2) y√2-x2
（5）x2-25y2 (√x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m√+1)(m-1)
() ①－a2－b2；
②16x2－9y2；
③(－a)2－(－b)2； ④－121m2＋225n2；
⑤(6x)2－9(2y)2. A．5个 C．3个
B．4个 D．2个
13
知识点 2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要 先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
沪科版初一数学下册《8.3 第2课时 平方差公式》课件
面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝
a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
当堂练习
1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算? (1) (a+b)(a−b) ； (2) (a−b)(b−a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能) (不能)
①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 =x2 － 12
②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 =m2－22
用自己的 语言叙述 你的发现.
③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 =(2m)2－12 ④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 =(5y)2－z2
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？ 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
（x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15.
导入新课
情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正 方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说： “我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米， 继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”
张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好
典例精析 例2 计算: (1) 103×97;
解: 103×97 =(100+3)(100－3)
(2) 118×122. 解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
= 1002－32
=10000 – 9 =9991；
= 1202－22
=14400－4
=1439ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
沪科初中数学七年级下册《8.3完全平方公式与平方差公式》PPT课件 (2)
a2 2ab b2
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(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特征：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同. 首平方，尾平方， 积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
于这两数的平方差
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概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
平方差公式的特征：
（1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差.
（2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
完全平方公式与平方差公式
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完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平(a方-b公)2式=的a2文-字2a叙b述+b：2
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍.
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思考:
你能根据图1和图2中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
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完全平方公式 的几何意 义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
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(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特征：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同. 首平方，尾平方， 积的2倍放中央 .
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
于这两数的平方差
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概括总结
平方差公式 (a b)(a b) a2 b2
平方差公式的特征：
（1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差.
（2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差 公式特征的代数式才能
完全平方公式与平方差公式
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完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平(a方-b公)2式=的a2文-字2a叙b述+b：2
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍.
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思考:
你能根据图1和图2中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
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完全平方公式 的几何意 义
和的完全平方公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
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第 8章
整式乘法与因式分解
8.4
因式分解
第3课时
公式法——平方
差公式
1
课堂讲解 直接用平方差公式分解因式
先提取公因式再用平方差公式分解因式
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆
半径为7.5m，内圆半径为5.5m，这个环形绿化带的面积
是多少？怎样计算比较简便？
)
（来自《典中点》）
知1－练
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
(
)
②16x2－9y2； ④－121m2＋225n2；
①－a2－b2； ③(－a)2－(－b)2； ⑤(6x)2－9(2y)2. A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
（来自《教材》）
知1－讲
例2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公
式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方
差公式分解因式；对于(3)将(a＋1)视为一个整体运 用平方差公式分解因式；对于(4)分解因式要完全； 对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用 平方差公式进行分解因式．
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
（来自《点拨》）
知1－讲
总
结
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的
多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因
式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止． (2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．
知1－导
知识点
1 直接用平方差公式分解因式
由平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2可得： a2－b2＝(a＋b)(a－b). 两个数的平方差，等于两个数的和与这两个数的
差的积.
运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分 解因式.
知1－讲
1.乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的
积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方
（来自《点拨》）
知2－练
(中考· 广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( A．x(x2－9) C．x(x＋3)2 B．x(x－3)2 D．x(x＋3)(x－3)
)
2
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题， 你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分 解，这样在今后的学习中要加以区分，不能混淆．
2 2 即 a －b 因式分解 整式乘法
a＋b a－b
2.用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先 提取公因式，再用平方差公式分解因式．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 把下列各式分解因式： (1)x2－81； 解：(1) x2－81 ＝x2－92 ＝(x＋9)(x－9). (2)36a2－25b2. (2) 36a2－25b2 ＝(6a)2－(5b)2 ＝(6a＋5b)(6a－5b).
知2－讲
(4) 3(m＋n)2－27n2
＝3[(m＋n)2－9n2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n) ＝3(m＋4n)(m－2n)．
（来自《典中点》）
知2－讲
总
结
本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平
方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
（来自《典中点》）
知2－讲
例4 因式分解：x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)． 导引： 先提取公因式(y2－1)，再对余下的多项式利用完全
平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解
因式． 解： x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1) ＝(y2－1)(x2＋2x＋1) ＝(y2－1)(x＋1)2 ＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2.
（来自《点拨》）
知2－讲
总
结
本题考查了提公因式法、公式法分解因式，难点 在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次分 解，分解因式一定要彻底．
（来自《点拨》）
知1－讲
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)． 解：
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)．
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)． (4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)． (5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)] ＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
（来自《点拨》）
知1－练
1 分解因式： 1 2 2 (1)a － b； (2)－(x＋2)2＋16(x－1)2； 25 (3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
（来自《点拨》）
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是(
A．－x2＋y2 C．－m2－n2 B．x2－(－y)2 1 2 2 D．4m － n 9
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
（来自《典中点》）
知2－讲
例3 分解因式：
(1)a4－9a2b2； 1 4 (3)2x － ； 8
解： (1)
(2)m2x4－16m2y4；
(4)3(m＋n)2－27n2. (2) m2x4－16m2y4
a4－9a2b2
＝a2(a2－9b2) ＝a2(a＋3b)(a－3b)．
＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
（来自《典中点》）
4 1 1 4 4 (3) 2 x ＝2 x 8 2 2 1 2 2 1 2 ＝2 x x 2 2 1 1 1 ＝2 x 2 x x . 4 2 2
整式乘法与因式分解
8.4
因式分解
第3课时
公式法——平方
差公式
1
课堂讲解 直接用平方差公式分解因式
先提取公因式再用平方差公式分解因式
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆
半径为7.5m，内圆半径为5.5m，这个环形绿化带的面积
是多少？怎样计算比较简便？
)
（来自《典中点》）
知1－练
3 下列各式中，可用平方差公式分解因式的个数有
(
)
②16x2－9y2； ④－121m2＋225n2；
①－a2－b2； ③(－a)2－(－b)2； ⑤(6x)2－9(2y)2. A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点
2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
（来自《教材》）
知1－讲
例2 分解因式： (1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1；(5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
导引：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公
式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方
差公式分解因式；对于(3)将(a＋1)视为一个整体运 用平方差公式分解因式；对于(4)分解因式要完全； 对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用 平方差公式进行分解因式．
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
（来自《点拨》）
知1－讲
总
结
(1)运用平方差公式分解因式的关键是确定公式中的a 和b，再运用公式进行因式分解；对于有公因式的
多项式需要先提取公因式后再用平方差公式分解因
式，同时分解因式要进行到每一个因式都不能再分 解为止． (2)注意：运用平方差公式分解因式，最后的结果除了 要求不能再分解因式外，还要注意使每个因式最简．
知1－导
知识点
1 直接用平方差公式分解因式
由平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2可得： a2－b2＝(a＋b)(a－b). 两个数的平方差，等于两个数的和与这两个数的
差的积.
运用这个公式可以把具有平方差形式的多项式分 解因式.
知1－讲
1.乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的
积条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方
（来自《点拨》）
知2－练
(中考· 广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( A．x(x2－9) C．x(x＋3)2 B．x(x－3)2 D．x(x＋3)(x－3)
)
2
一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题， 你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y) C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m) D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分 解，这样在今后的学习中要加以区分，不能混淆．
2 2 即 a －b 因式分解 整式乘法
a＋b a－b
2.用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要先 提取公因式，再用平方差公式分解因式．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 把下列各式分解因式： (1)x2－81； 解：(1) x2－81 ＝x2－92 ＝(x＋9)(x－9). (2)36a2－25b2. (2) 36a2－25b2 ＝(6a)2－(5b)2 ＝(6a＋5b)(6a－5b).
知2－讲
(4) 3(m＋n)2－27n2
＝3[(m＋n)2－9n2]
＝3(m＋n＋3n)(m＋n－3n) ＝3(m＋4n)(m－2n)．
（来自《典中点》）
知2－讲
总
结
本题的思路是有公因式的先提公因式，再用平
方差公式分解因式，结果一定要分解彻底．
（来自《典中点》）
知2－讲
例4 因式分解：x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)． 导引： 先提取公因式(y2－1)，再对余下的多项式利用完全
平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解
因式． 解： x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1) ＝(y2－1)(x2＋2x＋1) ＝(y2－1)(x＋1)2 ＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2.
（来自《点拨》）
知2－讲
总
结
本题考查了提公因式法、公式法分解因式，难点 在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次分 解，分解因式一定要彻底．
（来自《点拨》）
知1－讲
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)． 解：
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)．
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)． (4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)． (5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)] ＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
（来自《点拨》）
知1－练
1 分解因式： 1 2 2 (1)a － b； (2)－(x＋2)2＋16(x－1)2； 25 (3)m4(m－2)＋4(2－m)；(4)－a4＋16.
（来自《点拨》）
2 下列各式不能用平方差公式分解因式的是(
A．－x2＋y2 C．－m2－n2 B．x2－(－y)2 1 2 2 D．4m － n 9
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式要
先提取公因式，再用平方差公式分解因式．
（来自《典中点》）
知2－讲
例3 分解因式：
(1)a4－9a2b2； 1 4 (3)2x － ； 8
解： (1)
(2)m2x4－16m2y4；
(4)3(m＋n)2－27n2. (2) m2x4－16m2y4
a4－9a2b2
＝a2(a2－9b2) ＝a2(a＋3b)(a－3b)．
＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
（来自《典中点》）
4 1 1 4 4 (3) 2 x ＝2 x 8 2 2 1 2 2 1 2 ＝2 x x 2 2 1 1 1 ＝2 x 2 x x . 4 2 2