【高优指导】高考数学一轮复习 第五章 平面向量 53 平面向量的数量积 理 北师大版分解PPT课件
高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积文
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.3 平面向量的数量积 文1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a·b )＝λa·b (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( × ) (4)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )(5)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (6)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )1．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 答案3解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝ 3.2．(2015·山东改编)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝________. 答案 32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30° ＝3a 2×32＝32a 2. 3．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.答案 3解析 ∵|a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.4．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．答案 90°解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90°.5．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)9 (2)1 1 解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9. (2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. (2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.题型二 用数量积求向量的模、夹角 命题点1 求向量的模例2 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 (1) 3 (2)7＋1解析 (1)因为向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，所以|a ＋b |＝a ＋b2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2cos π3＋1＝ 3.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝x －2＋y ＋32.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x －2＋y ＋32的最大值为7＋1.命题点2 求向量的夹角例3 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为________．(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 (1)π4 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ， 即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 思维升华 (1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________． 答案 (1)223 (2) 6解析 (1)∵|a |＝ e 1－2e 22＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝e 1－e 22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2015·怀化二模)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sinα，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为________． 答案 －43解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43.6．向量夹角范围不清致误典例 (14分)若两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2所成的角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2所成的角为钝角，求实数t 的取值范围．易错分析 两个向量所成角的范围是[0，π]，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角π为钝角，导致所求的结果范围扩大． 规范解答解 设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为θ，由θ为钝角，知cos θ＜0，故 (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－12.[5分] 再设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向， 则2t e 1＋7e 2＝k (e 1＋t e 2)(k ＜0)，[8分]从而⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝k ，7＝tk ，且k ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－142，k ＝－14，即当t ＝－142时，两向量所成的角为π.[12分] 所以t 的取值范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．[14分] 温馨提醒 (1)两个非零向量的夹角范围为[0，π]，解题时要注意挖掘题中隐含条件． (2)利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时，应该注意向量夹角的取值范围，不要忽视两向量共线的情况．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉∈(π2，π]；若a ·b ＞0，则〈a ，b 〉∈[0，π2)．[方法与技巧]1．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [失误与防范]1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝________. 答案 2 3解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________.答案3解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，a ·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，若a ＝3e 1，b ＝e 1－e 2，则向量b 在a 方向上的投影为________． 答案 32解析 ∵向量e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，∴|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝1×1×cos 2π3＝－12.又|a |＝|3e 1|＝3，a·b ＝3e 1·(e 1－e 2)＝3e 21－3e 1·e 2＝3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝92， ∴向量b 在a 方向上的投影为b·a |a |＝923＝32.4.如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝________. 答案109解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC→＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109. 5．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为________． 答案3解析 如图，设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0， 得AO →＝2AD →，∴点A 、O 、D 共线且|AO →|＝2|AD →|， 又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC →|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴CA →与CB →的夹角为30°， ∴|CD →|＝|CA →|cos 30°＝3， ∴CA →在CB →方向上的投影为 3.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM → ＝2×2×1×cos 180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案 132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，所以AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132. 8．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线．同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35， 得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2 A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝b sin B， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·湖南改编)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为________．答案 7解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以x ＝－1时有最大值49＝7.12．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________.答案 23解析 BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，BQ →·CP →＝(λ－1)AC →2－λAB →2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝23.13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是___________________________．答案 2解析 依题意得AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(AF →－AB →)＝AB →·AF →－AB →2＋BE →·AF →－BE →·AB →＝2－2＋1×2－0＝ 2.14．已知△ABC 中，BC →·CA →＝CA →·AB →，|BA →＋BC →|＝2，且B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，则BA →·BC →的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23 解析 因为BC →·CA →＝CA →·AB →，所以CA →·(BC →－AB →)＝(BA →－BC →)·(BC →＋BA →)＝0，即BA →2＝BC →2，可得AB ＝BC .由|BA →＋BC →|＝2，可得BA →2＋2BA →·BC →＋BC →2＝4，设AB ＝BC ＝a ，则有2a 2＋2a 2cos B＝4⇒a 2＝21＋cos B .因为B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，可得cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以BA →·BC →＝a 2cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23， 故答案为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，23.15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2，向量m ＝(－1,1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos B cos C ，sin B sin C －22，且m⊥n . (1)求A ；(2)当sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－C 取得最大值时，求B 和b . 解 (1)由m·n ＝－cos(B ＋C )－22＝cos A －22＝0，即cos A ＝22，又A ∈(0，π)，得A ＝π4.(2)sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－C ＝sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4，所以当B ＝π3时，sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－C 最大．由正弦定理b sin B ＝asin A ，得b ＝3，所以B ＝π3，b ＝ 3.。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积及其应用教案理解析版
１．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB 就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤１80°θ＝0°或θ＝１80°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b２．平面向量的数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b.３．向量数量积的运算律（１）a·b＝b·a.（２）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（３）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.４．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝错误!|a|＝错误!夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误!a⊥b的充要条件a·b＝0x１x２＋y１y２＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x１x２＋y１y２|≤错误![小题体验]１．已知|a|＝２，|b|＝6，a·b＝—6错误!，则a与b的夹角θ为________．答案：错误!２．已知向量a＝（—１,３），b＝（１，t），若（a—２b）⊥a，则|b|＝________.解析：因为a＝（—１,３），b＝（１，t），所以a—２b＝（—３,３—２t）．因为（a—２b）⊥a，所以（a—２b）·a＝0，即（—１）×（—３）＋３（３—２t）＝0，即t＝２，所以b＝（１,２），所以|b|＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知两个单位向量e１，e２的夹角为错误!，若向量b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，则b１·b＝________.２解析：由b１＝e１—２e２，b２＝３e１＋４e２，得b１·b２＝（e１—２e２）·（３e１＋４e２）＝３e错误!—２e１·e２—8e错误!.因为e１，e２为单位向量，〈e１，e２〉＝错误!，所以b１·b２＝３—２×错误!—8＝—6．答案：—6１．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．２．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．３．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.４．在用|a|＝错误!求向量的模时，一定要把求出的a２再进行开方．[小题纠偏]１．给出下列说法：１向量b在向量a方向上的投影是向量；２若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角，若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角；３（a·b）c＝a（b·c）；４若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：0２．已知向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，则∠ABC＝________.解析：因为错误!＝错误!，错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!＋错误!＝错误!.所以cos∠ABC＝错误!＝错误!，又0°≤∠ABC≤１80°，所以∠ABC＝３0°.答案：３0°３．已知平面向量a与b的夹角为错误!，a＝（１，错误!），|a—２b|＝２错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（１，错误!），所以|a|＝２，又|a—２b|＝２错误!，即|a|２—４a·b＋４|b|２＝１２，故２２—４×２×|b|×cos 错误!＋４|b|２＝１２，化简得|b|２—|b|—２＝0，所以|b|＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．设a＝（１，—２），b＝（—３,４），c＝（３,２），则（a＋２b）·c＝________.解析：因为a＋２b＝（１，—２）＋２（—３,４）＝（—５,6），所以（a＋２b）·c＝（—５,6）·（３,２）＝—３．答案：—３２．（２0１8·南京高三年级学情调研）在△ABC中，AB＝３，AC＝２，∠BAC＝１２0°，错误!＝λ错误!.若错误!·错误!＝—错误!，则实数λ＝________.解析：因为错误!＝错误!—错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝错误!＋λ（错误!—错误!）＝（１—λ）错误!＋λ错误!，错误!·错误!＝２×３×cos １２0°＝—３．所以错误!·错误!＝（λ—１）错误!２＋λ错误!２＋（１—２λ）错误!·错误!＝１9λ—１２＝—错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!３．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝（—２，—6），|b|＝错误!，则a·b＝________.解析：因为a＝（—２，—6），所以|a|＝错误!＝２错误!，又|b|＝错误!，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝２错误!×错误!×错误!＝１0．答案：１0４．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝２，D为BC的中点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝２，AB＝２错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos ４５°＋|错误!|·|错误!|cos ４５°＝２错误!×２×错误!＋２错误!×１×错误!＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A（0,２），B（—２,0），D（—１,0），所以错误!＝（—２,0）—（0,２）＝（—２，—２），错误!＝（—１,0）—（0,２）＝（—１，—２），所以错误!·错误!＝—２×（—１）＋（—２）×（—２）＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的２种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题法求解，即若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a·b ＝x１x２＋y１y２错误!错误![锁定考向]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）平面向量的模；（２）平面向量的夹角；（３）平面向量的垂直．[题点全练]角度一：平面向量的模１．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知平面向量a＝（２,１），a·b＝１0，若|a＋b|＝５错误!，则|b|＝________.解析：因为a＝（２,１），所以|a|＝错误!，又|a＋b|＝５错误!，所以a２＋２a·b＋b２＝５0，所以b ２＝２５，所以|b|＝５．答案：５角度二：平面向量的夹角２．（２0１8·太湖高级中学检测）已知|a|＝１，|b|＝错误!，且a⊥（a—b），则向量a与向量b的夹角为________．解析：因为a⊥（a—b），所以a·（a—b）＝a２—a·b＝１—错误!cos a，b＝0，所以cos a，b＝错误!，所以a，b＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·启东中学检测）已知平面向量α，β满足|β|＝１，且α与β—α的夹角为１２0°，则α的模的取值范围是________．解析：如图，在△ABC中，设错误!＝β，错误!＝α，则错误!＝错误!—错误!＝β—α.因为α与β—α的夹角为１２0°，所以A＝60°.由正弦定理得错误!＝错误!，则BA＝错误!sin C．又0＜sin C≤１，所以0＜BA≤错误!，故α的模的取值范围是错误!.答案：错误!角度三：平面向量的垂直４．在平面直角坐标系xOy中，已知向量错误!＝（6,１），错误!＝（x，y），错误!＝（—２，—３），且错误!∥错误!.（１）求x与y之间的关系式；（２）若错误!⊥错误!，求四边形ABCD的面积．解：（１）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x＋４，y—２），错误!＝（x，y）．因为错误!∥错误!，所以（x＋４）y—（y—２）x＝0，即x＋２y＝0．（２）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝（x＋6，y＋１），错误!＝错误!＋错误!＝（x—２，y—３）．因为错误!⊥错误!，所以（x＋6）（x—２）＋（y＋１）（y—３）＝0，即x２＋y２＋４x—２y—１５＝0，联立错误!解得错误!或错误!当错误!时，错误!＝（8,0），错误!＝（0，—４），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6；当错误!时，错误!＝（0,４），错误!＝（—8,0），S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝１6．所以四边形ABCD的面积为１6．[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略（１）求两向量的夹角：cos θ＝错误!，要注意θ∈[0，π]．（２）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：１a２＝a·a＝|a|２或|a|＝错误!.２|a±b|＝错误!＝错误!.３若a＝（x，y），则|a|＝错误!.（３）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a—b|＝|a＋b|.[演练冲关]１．（２0１9·海安模拟）已知平面向量a与b的夹角等于错误!，若|a|＝２，|b|＝３，则|２a—３b|＝________.解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 错误!＝３，所以|２a—３b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知向量a，b满足a＝（４，—３），|b|＝１，|a—b|＝错误!，则向量a，b的夹角为________．解析：易知|b|＝１，|a|＝５，对|a—b|＝错误!两边平方，整理得２a·b＝５，即２|a||b|cos θ＝５，解得cos θ＝错误!，则向量a，b的夹角为错误!.答案：错误!３．已知向量错误!与错误!的夹角为１２0°，且|错误!|＝３，|错误!|＝２．若错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．解析：错误!＝错误!—错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即（λ错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝—λ错误!２＋错误!２＋（λ—１）错误!·错误!＝—9λ＋４＋（λ—１）×３×２×错误!＝0，解得λ＝错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]（２0１8·启东高三期中）已知向量a＝（sin x,２），b＝（cos x，１），函数f（x）＝a·b.（１）若a∥b，求tan错误!的值；（２）求函数y＝f错误!，x∈错误!的最小值和最大值．解：（１）由a∥b，得sin x＝２cos x．所以tan x＝２．所以tan错误!＝错误!＝—３．（２）因为f（x）＝a·b＝sin x·cos x＋２＝错误!sin ２x＋２，所以y＝f错误!＝错误!sin错误!＋２．因为x∈错误!，所以２x—错误!∈错误!，从而—错误!≤sin错误!≤１．于是，当２x—错误!＝—错误!，即x＝0时，函数y＝f错误!有最小值错误!，当２x—错误!＝错误!，即x＝错误!时，函数y＝f错误!有最大值错误!.[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路（１）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．（２）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用]已知向量m＝（错误!cos x，—１），n＝（sin x，cos２x）．（１）当x＝错误!时，求m·n的值；（２）若x∈错误!，且m·n＝错误!—错误!，求cos ２x的值．解：（１）当x＝错误!时，m＝错误!，n＝错误!，所以m·n＝错误!—错误!＝错误!.（２）m·n＝错误!cos x sin x—cos２x＝错误!sin ２x—错误!cos ２x—错误!＝sin错误!—错误!.若m·n＝错误!—错误!，则sin错误!—错误!＝错误!—错误!，即sin错误!＝错误!.因为x∈错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!，所以cos错误!＝错误!，则cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·海门模拟）向量a＝（３,４）在向量b＝（１，—１）方向上的投影为________．解析：∵向量a＝（３,４），b＝（１，—１），∴向量a在向量b方向上的投影为|a|cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·江苏百校联盟联考）已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a—b）＝8，|a|＝２，则|b|＝________.解析：因为a·（a—b）＝8，所以a·a—a·b＝8，即|a|２—|a||b|cos a，b＝8，所以４＋２|b|×错误!＝8，解得|b|＝４．答案：４３．（２0１8·苏州期末）已知a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，则向量a与b的夹角是________．解析：设向量a与b的夹角是θ，θ∈[0，π]，∵a＝（m,２），b＝（１，n），m＞0，n＞0，且|a|＝４，|b|＝２，∴m２＋４＝１6,１＋n２＝４，解得m＝２错误!，n＝错误!.∴a·b＝m＋２n＝４错误!＝４×２×cos θ，∴cos θ＝错误!，则向量a与b的夹角是错误!.答案：错误!４．（２0１8·滨海期末）已知向量a＝（—１,３），b＝（３，t），若a⊥b，则|２a＋b|＝________.解析：∵向量a＝（—１,３），b＝（３，t），a⊥b，∴a·b＝—３＋３t＝0，解得t＝１，∴b＝（３,１），２a＋b＝（１,7），故|２a＋b|＝错误!＝５错误!.答案：５错误!５．（２0１8·淮安高三期中）在平行四边形ABCD中，AB＝２，AD＝１，∠ABC＝60°，则错误!·错误!＝________.解析：由题意得错误!＝错误!＋错误!，所以错误!·错误!＝错误!·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＝４＋２×１×cos １２0°＝３．答案：３6．（２0１8·南通一调）已知边长为6的正三角形ABC，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，AD 与BE交于点P，则错误!·错误!的值为________．解析：如图，以D为原点，以BC为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B（—３,0），C（３,0），D（0,0），A（0，３错误!），E（１, ２错误!），P错误!，所以错误!·错误!＝|错误!|２＝错误!２＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·淮安调研）已知向量a＝（１，x），b＝（—１，x），若２a—b与b垂直，则|a|＝________.解析：由已知得２a—b＝（３，x），而（２a—b）·b＝0⇒—３＋x２＝0⇒x２＝３，所以|a|＝错误!＝错误!＝２．答案：２２．（２0１9·如皋模拟）已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝（３,４），|b|＝１，则|a—２b|＝________.解析：∵a＝（３,４），∴|a|＝错误!＝５，又|b|＝１，∴a·b ＝|a|·|b|cos 60°＝５×１×错误!＝错误!，∴|a—２b|２＝a２＋４b２—４a·b＝２５＋４—１0＝１9，则|a—２b|＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·苏北四市期末）已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与２a—b夹角的余弦值为________．解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a２＝b２＝a２＋２a·b＋b２，a·b＝—错误!a２＝—错误!b２，所以a·（２a—b）＝２a２—a·b＝错误!a２，|２a—b|＝错误!＝错误!＝错误!|a|，cos〈a,２a—b〉＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·泰州中学高三学情调研）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足PA ＝３，PC＝４，矩形对角线AC＝6，则错误!·错误!＝________.解析：由题意可得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝错误!２＋错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝9＋错误!·（错误!＋错误!）＋0＝9＋错误!·错误!＝9＋３×6×cos（π—∠PAC）＝9—１8×错误!＝9—１8×错误!＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１8·苏锡常镇调研）已知菱形ABCD边长为２，∠B＝错误!，点P满足错误!＝λ错误!，λ∈R，若错误!·错误!＝—３，则λ＝________.解析：法一：由题意可得错误!·错误!＝２×２cos 错误!＝２，错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·[（错误!—错误!）—错误!]＝（错误!＋错误!）·[（λ—１）·错误!—错误!]＝（１—λ）错误!２—错误!·错误!＋（１—λ）错误!·错误!—错误!２＝（１—λ）·４—２＋２（１—λ）—４＝—6λ＝—３，所以λ＝错误!.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（２,0），C（１，错误!），D（—１，错误!）．令P（x,0），由错误!·错误!＝（—３，错误!）·（x—１，—错误!）＝—３x＋３—３＝—３x＝—３得x＝１．因为错误!＝λ错误!，所以λ＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏北四市调研）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝３，OC＝５．若错误!·错误!＝—7，则错误!·错误!＝________.解析：错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（错误!—错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２，同理，错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝—7，所以错误!·错误!＝错误!２—错误!２＝错误!２—错误!２—7＝9．答案：97．（２0１9·崇川一模）若非零向量a与b满足|a|＝|a ＋b|＝２，|b|＝１，则向量a与b夹角的余弦值为________．解析：∵非零向量a与b满足|a|＝|a＋b|＝２，|b|＝１，∴|a|２＝|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b，即a·b＝—错误!|b|２＝—错误!×１２＝—错误!，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝—错误!，∴向量a与b夹角的余弦值为—错误!.答案：—错误!8．（２0１8·盐城期中）如图，在四边形ABCD中，A＝错误!，AB＝２，AD＝３，分别延长CB，CD至点E，F，使得错误!＝λ错误!，错误!＝λ错误!，其中λ＞0，若错误!·错误!＝１５，则λ的值为________．解析：∵错误!＝错误!—错误!＝λ错误!—λ错误!＝λ错误!＝λ（错误!—错误!），∴错误!·错误!＝λ（错误!—错误!）·错误!＝λ（错误!２—错误!·错误!）＝λ（9—３）＝１５，∴λ＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·通州调研）设两个向量a，b不共线．（１）若错误!＝a＋b，错误!＝２a＋8b，错误!＝３（a—b），求证：A，B，D三点共线；（２）若|a|＝２，|b|＝３，a，b的夹角为60°，求使向量k a＋b与a＋k b垂直的实数k的值．解：（１）证明：∵错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（a＋b）＋（２a＋8b）＋３（a—b）＝6（a＋b）＝6错误!，∴错误!与错误!共线，且有公共点A，∴A，B，D三点共线．（２）∵k a＋b与a＋k b垂直，∴（k a＋b）·（a＋k b）＝0，∴k a２＋（k２＋１）|a||b|·cos 60°＋k b２＝0，即３k２＋１３k＋３＝0，解得k＝错误!.１0．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!.（１）若四边形ABCD是矩形，求错误!·错误!的值；（２）若四边形ABCD是平行四边形，且错误!·错误!＝6，求错误!与错误!夹角的余弦值．解：（１）因为四边形ABCD是矩形，所以错误!⊥错误!，即错误!·错误!＝0，又AB＝9，BC＝6，错误!＝２错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9２＝１8．（２）设错误!与错误!的夹角为θ，由（１）得，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!２—错误!错误!·错误!—错误!错误!２＝6２—错误!×9×6×cos θ—错误!×9２＝6，所以cos θ＝错误!.故错误!与错误!夹角的余弦值为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）如图，在半径为２的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P为AB上的一点，若错误!·错误!＝２，则错误!·错误!＝________.解析：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（２,0），B（0,２），设P（x，y），由错误!·错误!＝２，可得２x＝２，x＝１，P为A错误!上的一点，所以|错误!|＝２，所以P（１，错误!），错误!＝（１，错误!），又错误!＝（—２,２），所以错误!·错误!＝—２＋２错误!.答案：—２＋２错误!２．（２0１8·南通、扬州、泰州、淮安调研）如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q.若错误!＝３，错误!＝５，则（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）的值为________．解析：法一：因为错误!＝错误!＋错误!，所以错误!＋错误!＝２错误!＋错误!，而错误!—错误!＝错误!，由于错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，所以（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝（２错误!＋错误!）·错误!＝２错误!·错误!，又因为Q是BC的中点，所以２错误!＝错误!＋错误!，故２错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝9—２５＝—１6．法二：由题意得△ABC是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB⊥BC，从而P为AC的中点．又|错误!|＝３，|错误!|＝５，所以|错误!|＝４，cos∠BAC＝错误!，故错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!，从而（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!·（错误!—错误!）＝错误!错误!２＋错误!错误!·错误!—错误!２＝错误!×9＋错误!×３×５×错误!—２５＝—１6．答案：—１6３．（２0１9·姜堰中学调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos （A—B），sin（A—B）），n＝（cos B，—sin B），且m·n＝错误!.（１）求sin A的值；（２）若a＝４错误!，b＝５，AD⊥BC于D，求错误!·错误!的值．解：（１）由m·n＝错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）·sin B＝错误!，所以cos A＝错误!.因为0＜A＜错误!，所以sin A＝错误!＝错误!.（２）由正弦定理，得错误!＝错误!，则sin B＝错误!＝错误!＝错误!.因为0＜B＜错误!，所以B＝错误!，所以sin C＝sin（A＋B）＝错误!（sin A＋cos A）＝错误!.又|错误!|＝|错误!|sin C＝５×错误!＝错误!，所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝—错误!２＝—|错误!|２＝—错误!.命题点一平面向量基本定理１．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）在△ABC中，错误!＝a，错误!＝b，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝________.（用a，b表示）解析：由题知错误!＝错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝—错误!错误!＋错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b.答案：错误!a—错误!b２．（２0１8·全国卷Ⅲ）已知向量a＝（１,２），b＝（２，—２），c＝（１，λ）．若c∥（２a＋b），则λ＝________.解析：由题易得２a＋b＝（４,２），因为c∥（２a＋b），所以４λ＝２，解得λ＝错误!.答案：错误!３．（２0１7·江苏高考）如图，在同一个平面内，向量错误!，错误!，错误!的模分别为１,１，错误!，错误!与错误!的夹角为α，且tan α＝7，错误!与错误!的夹角为４５°.若错误!＝m错误!＋n错误!（m，n∈R），则m＋n＝________.解析：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（１，0），由tan α＝7，α∈错误!，得sin α＝错误!，cos α＝错误!，设C（x C，y C），B（x B，y B），则x C＝|错误!|cos α＝错误!×错误!＝错误!，y C＝|错误!|sin α＝错误!×错误!＝错误!，即C错误!.又cos（α＋４５°）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，sin（α＋４５°）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，则x B＝|错误!|cos（α＋４５°）＝—错误!，y B＝|错误!|sin（α＋４５°）＝错误!，即B错误!.由错误!＝m错误!＋n错误!，可得错误!解得错误!所以m＋n＝错误!＋错误!＝３．答案：３４．（２0１５·江苏高考）已知向量a＝（２,１），b＝（１，—２），若m a＋n b＝（9，—8）（m，n ∈R），则m—n的值为________．解析：因为m a＋n b＝（２m＋n，m—２n）＝（9，—8），所以错误!所以错误!所以m—n＝２—５＝—３．答案：—３命题点二平面向量的数量积１．（２0１6·江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝４，错误!·错误!＝—１，则错误!·错误!的值是________．解析：由题意，得错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（—错误!＋错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—|错误!|２＝—１，１错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋３错误!）·（—错误!＋３错误!）＝9错误!２—错误!２＝9|错误!|２—|错误!|２＝４．２由１２得|错误!|２＝错误!，|错误!|２＝错误!.所以错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋２错误!）·（—错误!＋２错误!）＝４错误!２—错误!２＝４|错误!|２—|错误!|２＝４×错误!—错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１４·江苏高考）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝５，错误!＝３错误!，错误!·错误!＝２，则错误!·错误!的值是________．解析：因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝|错误!|２—错误!|错误!|２—错误!错误!·错误!＝２，将AB＝8，AD＝５代入解得错误!·错误!＝２２．答案：２２３．（２0１8·全国卷Ⅱ改编）已知向量a，b满足|a|＝１，a·b＝—１，则a·（２a—b）＝________.解析：a·（２a—b）＝２a２—a·b＝２|a|２—a·b.∵|a|＝１，a·b＝—１，∴原式＝２×１２＋１＝３．答案：３４．（２0１8·北京高考）设向量a＝（１,0），b＝（—１，m）．若a⊥（m a—b），则m＝________.解析：因为a＝（１,0），b＝（—１，m），所以m a—b＝（m＋１，—m）．由a⊥（m a—b），得a·（m a—b）＝0，即m＋１＝0，所以m＝—１．答案：—１５．（２0１8·天津高考改编）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝１２0°，AB＝AD＝１．若点E为边CD上的动点，则错误!·错误!的最小值为________．解析：如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝３0°，则D（0,0），A（１,0），B错误!，C（0，错误!）．设E（0，y）（0≤y≤错误!），则错误!＝（—１，y），错误!＝错误!，∴错误!·错误!＝错误!＋y２—错误!y＝错误!２＋错误!，∴当y＝错误!时，错误!·错误!有最小值错误!.答案：错误!6．（２0１7·北京高考）已知点P在圆x２＋y２＝１上，点A的坐标为（—２,0），O为原点，则错误!·错误!的最大值为________．解析：法一：由题意知，错误!＝（２,0），令P（cos α，sin α），则错误!＝（cos α＋２，sin α），错误!·错误!＝（２,0）·（cos α＋２，sin α）＝２cos α＋４≤6，当且仅当cos α＝１，即α＝0，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．法二：由题意知，错误!＝（２,0），令P（x，y），—１≤x≤１，则错误!·错误!＝（２,0）·（x＋２，y）＝２x＋４≤6，当且仅当x＝１，P（１,0）时“＝”成立，故错误!·错误!的最大值为6．答案：67．（２0１6·全国卷Ⅰ）设向量a＝（m,１），b＝（１,２），且|a＋b|２＝|a|２＋|b|２，则m＝________.解析：因为|a＋b|２＝|a|２＋|b|２＋２a·b＝|a|２＋|b|２，所以a·b＝0．又a＝（m,１），b＝（１,２），所以m＋２＝0，所以m＝—２．答案：—２8．（２0１7·江苏高考）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），x∈[0，π]．（１）若a∥b，求x的值；（２）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．解：（１）因为a＝（cos x，sin x），b＝（３，—错误!），a∥b，所以—错误!cos x＝３sin x.则tan x＝—错误!.又x∈[0，π]，所以x＝错误!.（２）f（x）＝a·b＝（cos x，sin x）·（３，—错误!）＝３cos x—错误!sin x＝２错误!cos错误!.因为x∈[0，π]，所以x＋错误!∈错误!，从而—１≤cos错误!≤错误!.于是，当x＋错误!＝错误!，即x＝0时，f（x）取到最大值３；当x＋错误!＝π，即x＝错误!时，f（x）取到最小值—２错误!.。
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件
m＝－79， 联立①②，解得n＝－73.
故选 D.
(2)(2022·陕西渭南模拟)已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C
→ →→ →→ |＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数 λ 的值为
7 12
．
解析 因为A→P⊥B→C，所以A→P·B→C＝0.又A→P＝λA→B＋A→C，B→C＝A→C－A→B，
3．向量数量积的运算律 交换律 分配律
数乘结合律
a·b＝ □10 b·a (a＋b)·c＝ □11 a·c＋b·c (λa)·b＝λ(a·b)＝ □12 a·(λb)
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
A. 5 B．3 5 C．4 5 D．2 5 答案 C
解析 由向量加法的平行四边形法则可知B→A＋B→C＝B→D，则原式＝2|B→D |＝2 42＋22＝4 5.故选 C.
(2)(2021·全国甲卷)若向量 a，b 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b| ＝ 32 .
解析 由|a－b|＝5 得(a－b)2＝25，即 a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b ＝1，得 32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3 2.
4．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 0 时也有 a·b>0)． (2)两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立(因为 a 与 b 的夹角为 π 时也有 a·b<0)．
1．已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( ) A. 2 B．2 C．5 2 D．50 答案 A
近年高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本文(202
（北京专用）2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例夯基提能作业本文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1。
已知=（2,1)，点C（—1,0),D（4，5)，则向量在方向上的投影为( ）A。
-B。
-3 C. D.32。
(2017北京东城二模）已知向量a=(1,2),b=(x,4）,且a⊥b,那么x的值为( ）A.—2 B。
-4 C.-8 D.-163.(2015北京通州一模)在正方形ABCD中,已知AB=3,E是CD的中点，则·等于( ）A。
B。
6 C。
D。
4。
设向量a，b满足|a|=1,｜a-b|=,a·（a—b)=0，则｜2a+b｜=( ）A.2 B。
2C。
4 D.45。
(2018北京海淀期末)在△ABC中，AB=AC=1,D是AC边的中点,则·的取值范围是（) A. B.C. D.6.(2017北京东城期末)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=5，b=7，c=8，则·等于。
7。
(2015北京朝阳一模)已知平面向量a，b满足｜a｜=|b|=1,a与b的夹角为60°，则a·（a+b）= .8.（2016北京西城二模)设平面向量a，b满足｜a｜=｜b｜=2,a·（a+b)=7，则向量a,b夹角的余弦值为.9。
2025版高考数学一轮总复习第五章平面向量的数量积及平面向量的应用pptx课件
C.
5
5
2 5
D.
5
解：由题意，得 + = 5,3 ， − = 1, −1 .则 + = 25 + 9 = 34，
− = 1 + 1 = 2， + ⋅ − = 2.故cos⟨ + ，
− ⟩ =
+ ⋅ −
+ −
=
2
34× 2
=
17
A. ⊥
√
B. =
解：因为 + = − ，所以 +
故选A.
C.//
2
)
D. >
= − 2 .整理得4 ⋅ = 0，所以 ⊥ .
【点拨】 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即对于两个非零
向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ， ⊥ ⇔ ⋅ = 0 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0.
投影向量为(
A. 2,2
)
B. −2,2
√
C. 1,1
解：由 = −1,1 ，得 = 2.
− ⋅ = ⋅ − 2 = 2，则 ⋅ = 4.
则向量在向量上的投影向量为
⋅
×
= −2,2 .故选B.
D. −1,1
（2）（2023年全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
2
= 2 ,即 = 2 ,将模的运算转
变式2 （2023年新课标Ⅱ卷）已知向量，满足 − = 3， + = 2 − ，
3
则 =____.
解：因为 + = 2 − ，所以 +
高考数学一轮复习第5章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用课件文
12/11/2021
第二十四页，共三十八页。
(2)①因为 m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0， 所以 ccosB＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0， sin A＝2sin Acos C，又 sin A≠0， 所以 cos C＝12，而 C∈(0，π)，所以 C＝π3. ②由A→D＝D→B知，C→D－C→A＝C→B－C→D，
12/11/2021
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考点三 平面向量数量积的综合应用
(1)已知 x，y 满足yx≥＋xy， ≤2，若O→A＝(x，1)，O→B＝(2， x≥a，
y)，且O→A·O→B的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是
(D.81
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(必修 4 P113A 组 T4 改编)平面上三个力 F1，F2，F3 作用于 一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ 2 N，F1 与 F2 的夹角为 45°，则 F3 的大小为________． 解析：根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， 所以|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. 所以|F3|＝ 5 N. 答案： 5 N
第五章 平面(píngmiàn)向量
第3讲 平面向量(xiàngliàng)的数量积及应用
12/11/2021
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1．平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作_a_·b_＝___|a_||_b_|c_o_s_θ_____． 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2．平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_|b_|_c_o_s_θ___ 的乘积．
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》53精品课件
2．用向量法处理垂直 →· → ＝0. 要证两线段 AB⊥CD，只需证AB CD 3．用向量法处理平行 → 要证两线段 AB∥CD， 只需证存在实数 λ≠0， 使等式AB → 成立． ＝λCD 4．用向量法处理距离 → 2＝CD → 2 或|AB → |＝ 要证线段 AB＝CD，可转化为证明AB → |. |CD
• 4．若<a，b>＝θ，则a在b方向上的投影为|a|·cosθ，b 在a方向上的投影为|b|·cosθ，应注意区分．
→ OS → 在 OS → 方向上的分力 OF → ′＝ |OF → |cosθ· ，是与 力 OF →| |OS → 共线的向量，不要和投影|O→ OS F |cosθ 相混淆．
[例 1]
已知向量 a＝( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单 ) 3 2
位向量，且 a· b＝ 3，则 b 等于(
A.
3 1 ， 2 2
1 B. 2，
1 3 3 C. ， 4 4 a· b＝ 3及|b|＝1 列方程可 解．
(3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1， y1)， (x2，y2)，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22.
(4)若向量 a＝(x1，y1)与向量 b＝(x2，y2)的夹角为 x1x2＋y1y2 a· b θ，则有：cosθ＝ ＝ . |a|· |b| x12＋y12· x22＋y22
• 答案：B
• [例2] 已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直， a－4b与7a－2b垂直． • 试求：a与b的夹角． • 分析：求a、b的夹角θ可利用公式a·b＝|a||b|cosθ，利 用题设中的垂直条件，可得|a|、|b|的方程组求得|a|、 |b|的关系，将它代入公式求出θ的值．
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积 理(2021年最新整理)
2018版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第3讲平面向量的数量积一、选择题1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·（a＋2b)＝（）A．4 B．3C．2 D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c,则c·(a＋2b）＝c·a＋2c·b＝0.答案 D2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－错误!b，则向量a与c的夹角为（）A．0 B。
错误! C。
错误! D.错误!解析∵a·c＝a·错误!＝a·a－错误!a·b＝a2－a2＝0,又a≠0，c≠0，∴a⊥c,∴〈a,c〉＝错误!，故选D.答案D3．若向量a,b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ( )．A．4 B．3 C．2 D．0解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·（a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0。
答案D4．已知△ABC为等边三角形,AB＝2.设点P，Q满足AP→＝λ错误!，错误!＝(1－λ)错误!,λ∈R.若错误!·错误!＝－错误!,则λ等于（）．A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!解析以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),C（1,错误!）,由错误!＝λ错误!，得P(2λ，0），由错误!＝（1－λ)错误!,得Q（1－λ，错误!（1－λ）），所以错误!·错误!＝(－λ－1，错误!(1－λ））·（2λ－1，－错误!)＝－(λ＋1）(2λ－1）－错误!×错误!（1－λ）＝－错误!,解得λ＝错误!。
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第5章 §5.3 平面向量的数量积
第五章 平面向量与复数
§5.3 平面向量的数量积
考试要求
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大 小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北 方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于
A.－
21 5
C.－35
√B.－25
D.－45
由题意知(v1＋v2)·v2＝0， 有|v1||v2|cos θ＋v22＝0， 即10×4cos θ＋42＝0， 所以 cos θ＝－25.
且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；
当|F1|＝|G|时，即|G|＝ 2F21＋2F21·cos θ＝|F1|，解得 cos θ＝－12， 又因为 θ∈(0，π)，所以 θ＝23π，故 D 错误.
思维升华
用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3 (2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 向量的模
例2 已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝
A.1＋2 3
√B. 19
C. 13＋4 3
D.3 2
3，则|a＋2b|等于
根据向量的运算法则和数量积的定义， 可得|a＋2b|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 12＋4×1× 3×cos 30°＋4× 32＝ 19.