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《平面向量的数量积 》课件
平面向量的数量积
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
目 录
平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的运算平面向量的数量积的应用平面向量的数量积的定理和推论平面向量的数量积的习题及解析
平面向量的数量积的定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
题目：已知向量$\overset{\longrightarrow}{a} = (x,1),\overset{\longrightarrow}{b} = (x + 1,x^{2})$，若$\overset{\longrightarrow}{a}\bot\overset{\longrightarrow}{b}$，则实数$x$的
向量的数量积为0当且仅当两向量垂直，即夹角为$90^circ$。
向量数量积与模长的关系
$|vec{a} cdot vec{b}| leq |vec{a}| times |vec{b}|$，即向量数量积的绝对值不超过两向量的模长的乘积。
向量数量积与点积的关系
如果两个向量的点积为0，则它们正交或其中一个向量是零向量。
向量投影
向量垂直与平行判定
动量与冲量
在物理中，向量的数量积可以用于描述物体的动量和冲量，这是理解力学问题的基础。
力的合成与分解
在分析力的合成与分解问题时，向量的数量积可以用于计算合力与分力的大小和方向。
平面向量的数量积的定理和推论
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =
平面向量的数量积及运算律的课件
REPORTING
THANKS
感谢观看
分配律
总结词
平面向量数量积的分配律是指向量的数 量积满足分配律，即一个向量与一个标 量的乘积与该向量与一个向量的数量积 相等。
VS
详细描述
分配律表示为 $vec{a} cdot (lambda + mu) = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$ 和 $(lambda + mu) cdot vec{a} = lambda cdot vec{a} + mu cdot vec{a}$，其中 $lambda$ 和 $mu$ 是标量，$vec{a}$ 是向量。这意 味着一个向量与一个标量的乘积可以分配 到该向量的各个分量上。这个性质在解决 物理问题和几何问题中非常有用，因为它 允许我们将标量因子分配给向量。
总结词
向量数量积的值等于两向量模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。
详细描述
这是平面向量数量积的基本公式，表示两向 量的数量积与它们的模和夹角余弦值有关。 当两向量垂直时，夹角余弦值为0，数量积 为0；当两向量同向或反向时，夹角余弦值 为1或-1，数量积为两向量模的乘积。
向量数量积的坐标表示
要点一
总结词
结合律
总结词
平面向量数量积的结合律是指向量的数量积满足结合律，即三个向量的数量积满足结合顺序无关。
详细描述
结合律表示为 $(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$ 和 $(vec{a} cdot vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$，即向量的数量积满足结合 律，与向量的结合顺序无关。这也是向量数量积的一个重要性质。
平面向量的数量积课件课件
并完成下表：
a夹 角b的 的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力 做功 的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；
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因为a•b=│a││b│COSθ
所以│a•b│ =│a││b││COSθ│
又│COSθ│ 1 所以│ a•b │ │a││b│
思考：在什么情况下取等号？ 0或 180
返回练习
反馈练习（2）
a•b=│a││b│COSθ
若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？
分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 90
2019/8/16
6、课时作业：
a•b=│a││b│COSθ
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－54 2 ，求a和b的夹角
3、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
135
当a•b<0时，ABC 是＿钝角＿＿三角形；
°
当a•b=0时，ABC 是＿直角＿＿三角形
2.4.1平面向量的数量积
向量的夹角
已
知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，
作 OA=a,OB=b,则AOB (0 180 ) 叫做向量a与b的夹角
当 0 时，a与b ＿同＿向；
当 180 时，a与b＿反＿向；
当 90 时，a与b＿垂＿直，记作a b
× 向量的数量积是向量之间的一种
乘法，与数的乘法是有区别的
(
)
（3）若a 0，且a•b=0，则b=0
（ ×）
（4）若a•b=0 ，则a=0或b=0
（ ×）
（5）对任意向量a有 a²=|a|²
（6）若a 0，且a•b= a•c ，则b=c
（ √）
（ ×）
5、典型例题分析
a•b=│a││b│COSθ
数），当θ为锐角时， 0 时│b│COSθ＝＿│＿b│
它是正值；当θ为Biblioteka 角时，它是负值。 180 时│b│COSθ＝－＿│＿b│
向 量 吗
a•b=│a││b│COSθ
2、向量数量积的几何意义
a•b的几何意义： 数量积a•b等于a的长度│a│与b在a
的方向上的投影│b│COSθ的积
OB＝ │b│COSθ
（3） a•b的结果是一个实数（标量）
（4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量
的夹角，尤其是判定垂直
（5）五条基本性质要掌握
8、作业布置 《优化设计》P82随堂训练 1、4、6 P83强化训练 2、8
证明向量数量积性质4
a•b=│a││b│COSθ
(4) │ a•b │ │a││b│
60
A
B
120
进行向量数
量积计算时,
既要考虑向
量的模,又
3. AB与AD的夹角是60,
AB与DA的夹角是120
要根据两个 向量方向确 定其夹角
AB DA AB DA cos120 4 3 1 6 2
SUCCESS
THANK YOU
4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影
32 0
3 2
5、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA －20
7、总结提炼
a•b=│a││b│COSθ
（1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质
（2）向量的数量积的物理模型是力做功
记作 a b 即 a b a b cos 并规定 0 a 0
思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果 有什么区别？
向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结 果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
如图,在平行四边形ABCD 中，AB 4, AD 3,
D
DAB 60,求 : 1.AD BC
2.ABCD 3.AB AD
60
A
C B
解: 1因为AD与BC平行且方向相同,
AD与BC的夹角为0.
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或AD BC AD 9
例题 2.ABCD 3.AB DA a•b=│a││b│COSθ
D
C
2. AB与CD平行,且方向相反
AB与CD的夹角是180
ABCD AB CD cos180
4 4 1 16
2
或ABCD AB 16
当a与b异向时，a•b=_-_│_a_│__│__b_│__
a•a=__a__2____= a2
(4) │ a•b │___ │a││b│
(5)cos ＝ a b
__a_b___
性质4
4、反馈练习:判断正误
a•b=│a││b│COSθ
（1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （ √ ）
（2）若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0
时 a•b=0
返回练习
谢谢大家！
反馈练习（6）
a•b=│a││b│COSθ
× 若a 0，且a•b= a•c ，则b= c( ) b
b
θa
O
B
3、向量数量积的性质 a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，e是与b的方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e•a=_│_a_│__C_O_S_θ__;a•e=│__a_│__C_O_Sθ__ e•a=a•e
(2)a b_ ___a•b=0
=│a│COSθ
(3)当a与b同向时，a•b=│__a_│__│_b_│_
问题情境
F θ
F
θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所
做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
F是_矢__量，S是_矢__量，W是_标__量，
1、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们 把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积）
并说明它的几何意义是什么？
B
B
B
b
B1
O （1）a A
b
B1（2）O a A
b
O (B1（) 3）a A
过b的终点B作OA＝a的垂线段BB1 ，垂足为
角三角形的性质得 OB1 =│b│COSθ
B1
，则由直 投
│b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
影
投影是一个数值（实 90时 │b│COSθ＝＿0＿ 是