高数1(2)12级B卷+答案
《高等数学》试卷1(下)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.cx ey = B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
2020年成人高考高数一真题及答案
2020年成人高等学校专升本招生全国统一考试真题高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分）1、∫3x 5dx =( ).A 、−35x 4+CB 、35x 4+C C 、−34x 4+CD 、34x 4+C2、设函数f (x )=2ln x ，则f′′(x )=( ).A 、−1x 2B 、1x 2C 、−2x 2 A 、2x 2 3、∫(1+x)dx 2−2=( ).A 、4B 、0C 、2D 、−44、设函数f (x )=3+x 5,则f′(x )=( ).A 、5x 4B 、15x 4C 、1+x 4D 、x 45、设函数z =x 3+xy 2+3，则ðZ ðy =( ).A 、2yB 、2xyC 、3x 2+y 2D 、3x 2+2xy6、设函数y =x +2sin x ，则dy =( ).A 、(1+cos x)dxB 、(1+2cos x)dxC 、(1−cos x)dxD 、(1−2cos x)dx7、设函数z =x 2−4y 2,则dz =( ).A 、xdx −4ydyB 、xdx −ydyC 、2xdx −4ydyD 、2xdx −8ydy8、方程x 2+y 2−z 2=0表示的二次曲面是（ ）A 、圆锥面B 、球面C 、旋转抛物面D 、柱面9、 lim x→0x 2+x+1x 2−x+2=( ). A 、2 B 、1 C 、32 D 、1210、微分方程y′+y =0的通解为y = ( ).A 、Cxe xB 、Cxe −xC 、Ce xD 、Ce −x第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11-20小题，每小题4分，共40分） 11、∫e x dx 1−∞= .12、设函数y =e 2x ,则dy = 13、 lim x→0sin x 2x 2= .14、∫(3x +2sin x)dx = .15、曲线y =arc tan(3x +1)在点(0,π4)处切线的斜率为 .16、若函数f (x )= 在x =0处连续，则a = . 17、过点(−1,2,3)且与直线x−12=y+23=z−24 垂直的平面方程为 .18、函数f (x )=x 3−6x 的单调递减区间为 .19、区域D =*(x,y)|1≤x ≤2,1≤y ≤x 2+的面积为 .20、方程y 3+ln y −x 2=0在点(1,1)的某邻域确定隐函数y =y(x), 则dy dx |x=1= .三、解答题（21-28题，共70分）21、计算∫x sin x dx .22、已知函数f (x )=e x cos x ，求f′′(π2).23、计算 limx→01−cos x−x 22sin 2x .x 2−2 ,x ≤0 a +sin x ,x >024、计算∫√1+x 310dx25、求微分方程y′′−y′−2y =0的通解.26、求曲线y =x 3−3x 2+2x +1的凹凸区间与拐点。
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
2020年成人高考《高数一》真题及答案解析
1 / 8−22020 年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（1-10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.∫ 3 dx =（ ） 。
x 5A.− 35x 4 C.− 34x 4+ C B. 35x 4 + CD. 34x 4+ C + C2.设函数f (x ) = 2x ln x ，则f ′′(x ) =（ ）。
A.−1B. 1x 2 x 2 C. − 2 D. 2x 2 x 2 3.∫2(1 + x ) dx =（ ） 。
A.4 B.0 C.2D.−44.设函数f (x ) = 3 + x 5，则f ′(x ) =（ ）。
A.5x 4B.1x 45 C.1 + x 4D.x 45.设函数z = x 3 + xy 2 + 3，则∂z =（ ）。
∂yA.2yB.2xyC.3x 2 + y 2D.3x 2 + 2xy6.设函数y = x + 2 sin x ，则dy =（ ）。
A.(1 + cos x ) dxB.(1 + 2cos x ) dx C. (1 − cos x ) dx D. (1 − 2cos x ) dx 7.设函数z = x 2 − 4y 2，则dz =（ ）。
A.x dx − 4y dy B.x dx − y dy C.2x dx − 4y dy D.2x dx − 8y d y 8.方程x 2 + y 2 − z 2 = 0表示的二次曲面是（ ）。
2 / 8∫ A.圆锥面 B.球面 C.旋转抛物面 D.柱面9.lim x 2+x+1 =（ ） 。
x→1 x 2−x+2A.2B.1C.3D.12210.微分方程y ′ + y = 0的通解为y =（ ）。
A.Cxe xB. Cxe −xC.Ce xD. Ce −x第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（11-22 小题，每小题 4 分，共 40 分） 11. 1−∞ e x dx = 。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
12级高数(ii)期末考试题b卷及答案.doc
西南财经大学本科期末考试试卷（B）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第2学期专业：全校各专业学号：年级：2012级姓名:考试时间：2013年月日（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［v ］开卷［］（_______ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用甜中除纸、笔、尺了外，可另带的用貝有：计算器［］字典［］____________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩）考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空口页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题両请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
一、 填空题：(共10小题，每小题2分，共20分)1・微分方程xy^y = 0满足初始条件X0 = 2的特解为 ^ = 2. 2. y n= sin y 经过变换y'= p,可化为一阶微分方程血=也丄・------- 心 p3. 将xOy 坐标而的圆疋+于二4绕兀轴旋转一周，所生成的旋转曲而的方程为 %2+ y 2+z 2= 4 ・4. 设二元函数z = j4 —兀2一)，+很2 +才_2,其定义域是£> = {(x,y) 2<x 2 + y 2 <4 }.单项选择：(共5小题，每小题2分，共10分)1.若X 和儿是二阶齐次线性方程y /f+P(x)y+Q(x)y = 0的两个特解，则 y = Cj+G” (其中G ，G 为任意常数)( C ) 5. 设函数m 沪令则(『)宀护6. 7."TO x 2 + V 3 )'T1 丿设z = tl + xyY ,则尖=y 2(\ + xy)y ~l.OX --------------------------------8、 2设 z = ln(x 2 + y 2),则 dz = — -- (xdx + ydy).x + y9、 交换二次积分的次序J ； dyj, /(兀，刃血二J ：d 吐7(兀刃dy ・ oonn+110、幕级数Y 缶的收敛半径是一 2,和函数S(x)二—右/i=0(A) 是该方程的通解； (C)是该方程的解2.下列关于函数的结论屮正确是( (A)驻点一定是可微分的极值点 (C)有极大值一定有最大值(B) 是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解B ).(B)可微分的极值点一定是驻点 (D)有最大值一定有极大值（A） /（x0o?）在）, = ）5处的导数等于零（B）/（X0O?）在歹=y°处的导数大于零（C）/（x0o;）在），=儿处的导数小于零（D） f（x09y）在歹=儿处的导数不存在3•设可微函数f（x^y）在点（心儿）取得极小值，贝IJ下列结论正确的是（A ）•4、［代（兀刃内=（C）./（x, y）dx（C）f（x, y）dx5、下列级数中，条件收敛的是（W =I川+1(D))•三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1 .求一阶微分方程为V = /严’ —2y满足条件儿=（）二0的特解.解：移项可得微分方程为y + 2y = A~2x（1 分）故y = x2e-2x e^dx dx + C） = （-x3 + C）e~2x（C为任意常数）.（4 分）将条件y仁=o代入通解,得c = o.即满足条件），仁=0的特解是.y = ^e~2x（7分）2.证明:/(x, y) = < x2 + y20, 证明：因为x "在点（o,o）处不连续但偏导数存在. x2 + y2 = 0lim/(x,y) XT O尸0limx->0y->0令y = kxkx2映(1+wk1+P0, k = 0所以lim /UoO 不存在，所以f （x,y ）在点（0,0）处不连续，（4分）XT O y-»（）但 /（X, 0） = /（0,刃=0 ,则 £（0,0） = f y （0,0） = 0 故/（x, y ）在点（0,0）处偏导数存在.（7分）3•求函数z = xlnfx+ >9的二阶偏导数4. 设函数加）可微，且广（0）=丄,求z = /（4兀2 —y2）在点（1,2）处的全微分dz,2解： 方法一：因为 || | （b2） = f （4x 2 - y 2） • 8x （12） = 4 , （2分）血|（】,2）=瓠）如亂,2）® =4dx-2dy.（7 分）5. 设£>:|x| + | y |<1 ,求二重积分□（卜| + 卜|）加/y.D解：利用对称性，得解:dzlnfx+ y ） + --x+ ydz _ x dy x + yd 2z _ x + 2y d 2z _ x時=（兀+刃2 '頑"（X+）沪（2分）（6分）dzdy （1,2）=广（4十-尸）・（-2创（］,2）=-2 , （4分）所以［［（卜|+卜|）如尸町&广 xdyD&°e\4= 8J （）X （1-X ）6te（4分）（7dxdy dydx （兀6.计算二重积分jjln（l + x2 + y2）t/a, K中D为x2 + y2 < 1的圆域. D解：jjln(l + x 2 + y 2)da =dO^ ln(l + p 2)pdp D& *(4分) = %(21n2-l)(7分)7、讨论级数£需的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛.OO首岛且 n > n =丄. n 2 +1 n 2 4-n 2 2n '8OO 8由于 工1发散，所以申工丄也发散，因此》甘一［也发散;/1=1 /7=1 /?=! “ 十丄77=1又因为井I< —L =〃 +1 n 2 + n n 2+1lim — = 0 川T8矿+ 1曲交错级数判别法知，匚也 收敛; /|=1 n +1综上知级数条件收敛.（2分）（4分）（6分）（7分）四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）1.求由曲线『=丄和直线y = 4x,x = 2所围成的平面图形的面积以及所围成的图形 X 绕X 轴旋转一周所形成的旋转体积. 解：求交点\y=l ，得2丄（1分）. 2 y = 4x 则所求的平而图形的而积是S = f! （4x ——）dx =——21n2（4 分）h x 2所求绕X 轴旋转一周所形成的旋转体体积.2.某厂家生产的一种产品同吋在两个市场销售，售价分别为卩和D ，销售量分别为⑺和色，需求函数分别为4=24-0.2门，q 2 = 10-0.05p 2 ；总成本函数为C = 35 + 40（4+%）。
国家开放大学《高数基础形考》1-4答案
2020年国家开放大学《高等数学》基础形考1-4答案《高等数学基础》作业一第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2x y = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x ⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量． A.xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f xx =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题 ⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是 {}|3x x >．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x)211(lim 1122211lim(1)lim(1)22x x x x e x x ⨯→∞→∞+=+= ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ． ⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 0x =．⒍若A x f xx =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 x →x 0时的无穷小量.（二） 计算题⒈设函数 ⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：()22f -=-，()00f =，()11f e e == ⒉求函数21lgx y x-=的定义域．解：21lg x y x -=有意义，要求21x x x -⎧>⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得1020x x x ⎧⎪⎪><⎨⎪≠⎪⎩或则定义域为1|02x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．解：C设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE ==则上底＝2AE =故((222hS R R h R =+=+ ⒋求xxx 2sin 3sin lim0→．解：000sin3sin33sin3333lim lim lim sin 2sin 2sin 22222x x x x xxx x x x x x xx x→→→⨯==⨯⨯＝133122⨯= ⒌求)1sin(1lim 21+--→x x x ．解：21111(1)(1)111lim lim lim 2sin(1)sin(1)sin(1)11xx x x x x x x x x x →-→-→---+---====-++++ ⒍求xxx 3tan lim0→．解：000tan3sin31sin311limlim lim 3133cos33cos31x x x x x x x x x x x →→→==⨯⨯=⨯⨯=⒎求xx x sin11lim 20-+→． 解：20001lim sin x x x x→→→-== ()00lim 0sin 1111)x xx x→===+⨯⒏求xx x x )31(lim +-∞→． 解：1143331111(1)[(1)]1lim()lim()lim lim 33311(1)[(1)]3x x x x x x x x x x x e x x x e x e x x x----→∞→∞→∞→∞--+--=====++++ ⒐求4586lim 224+-+-→x x x x x ． 解：()()()()2244442682422lim lim lim 54411413x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- ⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间． 解：分别对分段点1,1x x =-=处讨论连续性 （1）()()()1111lim lim 1lim lim 1110x x x x f x x f x x →-+→-+→--→--==-=+=-+=所以()()11lim lim x x f x f x →-+→--≠，即()f x 在1x =-处不连续 （2）()()()()()221111lim lim 2121lim lim 111x x x x f x x f x x f →+→+→-→-=-=-====所以()()()11lim lim 1x x f x f x f →+→-==即()f x 在1x =处连续 由（1）（2）得()f x 在除点1x =-外均连续 故()f x 的连续区间为()(),11,-∞--+∞《高等数学基础》作业二第3章 导数与微分（一）单项选择题 ⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim→存在，则=→xx f x )(lim 0（ C ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0 ⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '- ⒊设x x f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim（ A ）． A. e B. e 2 C.e 21 D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d xx x 5ln 2+． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 21=k ⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 )41(2222π-==x y ⒌设x x y 2=，则 ='y )ln 1(22x x x + ⒍设x x y ln =，则 =''y x1（三）计算题⒈求下列函数的导数y '： ⑴x x x y e )3(+=解：x xe x e x y 212323)3(++='⑵x x x y ln cot 2+= 解：x x x x y ln 2csc 2++-='⑶xx y ln 2=解：xxx x y 2ln ln 2+=' ⑷32cos xx y x+= 解：4)2(cos 3)2ln 2sin (x x x x y x x +-+-='⑸xx x y sin ln 2-=解：xxx x x x x y 22sin cos )(ln )21(sin ---='⑹x x x y ln sin 4-= 解：x x xxx y ln cos sin 43--=' ⑺xx x y 3sin 2+=解：xx x x x x x y 2233ln 3)(sin )2(cos 3+-+='⑻x x y x ln tan e +=解：xx e x e y x x1cos tan 2++='⒉求下列函数的导数y '： ⑴21ex y -=解：2112xx ey x -='-⑵3cos ln x y =解：32233tan 33cos sin x x x xx y -=-=' ⑶x x x y =解：87x y = 8187-='x y⑷3x x y +=解：)211()(31213221--++='x x x y⑸x y e cos 2=解：)2sin(xxe e y -=' ⑹2e cos x y=解：22sin 2xx e xe y -='⑺nx x y n cos sin =解：)sin(sin cos cos sin 1nx x n nx x x n y n n -='- ⑻2sin 5x y =解：2sin 25cos 5ln 2x x x y ='⑼xy 2sin e=解：xxey 2sin 2sin ='⑽22ex x x y +=解：222)ln 2(x x xex x x x y ++='⑾xxx y e e e+=解：x e x x e e e x e xe xy x x++=')ln ( ⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求：⑴y x y 2e cos =解：y e x y x y y '=-'22sin cosyex xy y 22cos sin -=' ⑵x y y ln cos =解：xy x y y y 1.cos ln .sin +'=')ln sin 1(cos x y x yy +='⑶yx y x 2sin 2=解：222sin 2.cos 2y y x yx y y y x '-=+' y yyxy x y x y sin 22)cos 2(222-=+'2020年国家开放大学《高等数学答案》22cos 2sin 22x y xy yy xy y +-='⑷y x y ln += 解：1+'='yy y 1-='y y y ⑸2e ln y x y =+ 解：y y y e xy '='+21)2(1y e y x y -='⑹y y x sin e 12=+解：x x e y y y e y y .sin .cos 2+'='ye y ye y x x cos 2sin -=' ⑺3e e y x y -= 解：y y e y e x y '-='2323y ee y y x+='⑻y x y 25+=解：2ln 25ln 5y x y y '+='2ln 215ln 5y x y -='⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot += 解：dx xxx dy )sin cos cos 1(22--= ⑵xxy sin ln =解：dx xx x x x dy 2sin cos ln sin 1-= ⑶xxy +-=11arcsin 解：dx x x x dx x x x xx dy 2222)1(11)1()1()1()11(11++-=+--+-+--=⑷311xxy +-= 解：两边对数得：[])1ln()1ln(31ln x x y +--=)1111(31xx y y +---=' )1111(11313xx x x y ++-+--=' ⑸x y e sin 2=解：dx e e dx e e e dy x x x x x )2sin(sin 23== ⑹3e tan x y =xdx e x dx x e dy x x 2222sec 33sec 33==⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln = 解：x y ln 1=='xy 1='' ⑵x x y sin = 解：x x x y sin cos +='x x x y cos 2sin +-=''⑶x y arctan =解：211x y +=' 22)1(2x xy +-='' ⑷23x y = 解：3ln 322x x y =' 2233ln 23ln 3422x x x y ⋅+=''（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以)()(x f x f -=- 两边导数得：)()()()1)((x f x f x f x f =-'⇒'-=--' 所以)(x f '是偶函数。
高数(一)试题(2)
高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学院 数 计 出卷教师 李刚(2013.5.10) 系主任签名 制卷份数 专 业 2012级工科，本科 B 班级编号江汉大学 2012——2013 学年第 2 学期考 试 试 卷课程编号： 课程名称： 高 等 数 学 Ⅰ（2） 试卷类型：A B 卷卷 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程y=y(x)应满足的关系式是 ( A ) A. 'y =2x, y(1)=3 ; B. 'y =2x ; C. "y =2x ; D. "y =2x, y(1)=3. 2. 设f(x+y,x y )=x 2—y 2,则f(x,y)= ( A ) A. y y x +-1)1(2 ; B. y y x -+1)1(2 ;C. x x y +-1)1(2 ;D. xx y -+1)1(2 .3.⎰⎰≤+122),(y x dxdy y x f =4⎰⎰-1102),(x dy y x f dx 在下列情况下成立的是 ( D )A. f(-x,y)=-f(x,y) ;B. f(-x,y)=f(x,y) ;C. f(-x,-y)=f(x,y) ;D.. f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y) .4. 设L 为圆周222a y x =+在第一象限部分,则第一类曲线积分⎰+Ly x ds e22= ( B )A.a ae π41; B.a ae π21; C. a π21 ; D. a π41. 5. 下列级数中绝对收敛的有 ( C ) A. ∑∞=-+-121)5()1(n n n n; B;∑∞=-1!2)1(2n nn n ; C.∑∞=--1312)1(n n n n ; D. ∑∞=-+-113)1(n n n n.二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 微分方程-dx dy x2y=x 的通解为y= cx 2+x 2lnx . 2. 过点(1,1,2)且与平面x —2y+5z —1=0平行的平面方程为 x —2y+5z —9=0 .3. 设z x =y z ln ,则dz= zx z+dx -)(2z x y z +dy .4. 函数yxe z 2=在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)到点Q(2, —1)方向的方向导数 22-. 5. I=⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(,交换积分次序得I=⎰⎰10),(eey dx y x f dy .6. 设∑为锥面)(322y x z +=被z=0和平面z=3所截得的部分，则对面积的曲面积分⎰⎰∑+ds y x )(22= π9 . 7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-2的幂级数为f(x)= ln3+∑∞=---11)32(1)1(n nn x n .三、计算题（本大题共6小题，每题8分，共48分）1. 求微分方程x y y 2sin "=+的通解.解:特征方程012=+r 解为i r i r -==21,，对应齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+=x x f 2s i n)(=，由观察法可设x a y 2sin *=，代人原方程得31-=a , 特解x y 2sin 31*-=，故所求通解为*y Y y +==x c x c sin cos 21+x 2sin 31-.2. 求过点（－3，2，5）且与两平面54=-z x 和752=--z y x 的交线平行的直线方程.解:)34(51240121k j i kj in n s ++-=---=⨯=故所求直线方程为 153243-=-=+z y x .3. 设u=f(x,y x ),其中f 具有二阶连续导数,求x u ∂∂,22x u∂∂.解: xu ∂∂=1'f +y 12'f 22x u ∂∂=)(1'f x∂∂+)1('2f y x ∂∂=……=11"f +12''2f y +22"21f y . 4. 计算I=⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω由锥面z=22y x +与z=1所围成的闭区域.解: 用柱面坐标计算I=⎰⎰⎰πθ2011rzdz rdr d =……=41π .5. 计算曲线积分⎰-+Lyydx dy ex 2)(sin ,其中L 是从A(1,0)沿y=221x -上到点B(－1,0)的上半椭圆.解: 由于y P ∂∂=―2,xQ ∂∂=1, 故可补线路用格林公式计算. ⎰L=⎰+BAL ―⎰BA=⎰⎰--Ddxdy )]2(1[―⎰-+BAyydx dy e x )(sin =3⎰⎰Ddxdy +0=3⨯21(21⋅⋅π)=3π . 6. 求级数∑∞=1n nnx 在收敛域内的和函数并求∑∞=12n n n . 解:∑∞=1n nnx =x ∑∞=-11n n nx ,nn n a a 1lim+∞→=1收敛域为)1,1(-，令S(x)=∑∞=-11n n nx,积分得⎰xdx x S 0)(=∑∞=1n n x =x x -1=―1+x-11，求导得∑∞=1n n nx =2)1(x x -，―1<x<1, ∑∞=12n nn =2)211(212=-.四、应用题（6分）求原点到曲面21)(22=--z y x 上的最短距离. 解:目标函数:d 2=x 2+y 2+z 2,约束条件为: ),,(z y x ϕ=(x ―y)2―z 2―21=0 作L(x,y,z,λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―21] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---==-==--==-+=021)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z yx λλλλ 解得 (42,―42,0)或(―42,4221,0), 故d 2=41,即d=21五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1. 设)(22y x xf z +=，f 为可导函数，证明：z xy x z y y z x =∂∂-∂∂. 证明：xz ∂∂= '2222)(f x y x f ++，y z ∂∂='2xyf ，代人左=z xy y x yf x z y y z x =+=∂∂-∂∂)(22=右 .六.综合题（5分）验证在区域{}0),(22>+=y x y x D ，2222222)()2()2(y x dyy xy x dx x xy y +-+--+为某函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u .解:计算得xQ y P ∂∂=∂∂),(y x u ⎰+=),()0,1(y x QdyPdx =⎰⎰+yxdyy x Q dx x P 01),()]0,(=⎰-xdx x x 142+⎰+-+-ydy y x y xy x 022222)()2(=⎰⎰+-++--y y y x d y x dy y x x 0220221)(111…=122---y x y x （或),(y x u =c yx yx +--22）注：将试题答案或解答过程写在答题纸上 常用公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m xλ=,可令特解x m k e x Q x y λ)(*=k=0,1,2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=，可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=, k=0,1,{}n l m ,m ax =2. 拉格朗日乘数法：目标函数：),,(z y x f u =，条件：0),,(=z y x ϕ， 求可能的极值点时，可作拉格朗日函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λϕλ+=3. 第一类曲线积分：))((),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ，则dt t t t t t t f ds z y x f ⎰⎰Γ++=βαωψϕωψϕ)()()()](),(),([),,(2'2'2'第一类曲面积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=⎰⎰⎰⎰∑4. 格林公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n，)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n高等数学Ⅰ（2）B卷答题纸一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1. ；2.；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .三、计算题（本大题共6小题，每题8分，共48分）1.2.3.4.5.6.四、应用题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。