八年级数学下册第18章18.2特殊的18.2.2菱形(第1课时)课件(新版)新人教版
合集下载
人教版数学八年级下册课件全套：18-2-2-菱形(第1课时)
人生若只如初见 任你方便时来 随你心性而去 却为何，有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷 和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了 被你默诵过，懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
∴DA=AB(菱形的定义)，
OD=OB （平行四边形的对 角线互相平分），
∴ AC ⊥ DB ，
AC平分∠DAB（三线合一）.
同理： AC平分∠DCB ； DB平分∠ADC和∠ABC.
活动4：
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的
边长是__3_c_m__.
∠2.A菱B形DA＝B_C_D__中6_0_，0_.∠BAD＝600，则
A
∵四边形ABCD是
平行四边形，
B
D
AB=BC，
C
∴四边形ABCD是
菱形.
菱形就在我们身边
感受生活
三菱汽车标志欣赏
活动3： 将一张长方形的纸对折、再对折，
然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到 一个菱形.
画出菱形的两条折痕, 并通过折叠手中的图 形回答以下问题：
１.菱形是轴对称图形吗？ 2.菱形有几条对称轴？ 3.对称轴之间有什么关系？
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们 得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
A
D
B
C
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角.
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
D
求证: AC⊥BD,
O
AC平分∠DAB和∠DCB, A
【最新】人教版八年级数学下册第十八章《19.2.2菱形 》公开课课件(共28张ppt).ppt
直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
全等三角形有： Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
Ø菱形的四条边相等
Ø菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组 对角。
Ø菱形是轴对称图形， 也是中心对称图形
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
19.2特殊的平行四边形
20.2.2菱形
Байду номын сангаас
活动一：
边 平行四
边形的 性质：
对角线
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
矩形的性质
矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等
活动二：
E B
S菱形 ABCD12AC•BD
AB•DE 1 AC•BD 2
2、如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2 ）
A
B
O
C
解 ： 花坛 ABCD 是菱形
AC BD ， ABO 1 ABC 1 60 0 30 0
②
.
5.菱形既是
图形，又是
图形.
6.已知菱形的周长是12cm，那么它的
边长是__3_c_m__.
7.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60
度，则∠ABD60＝0 _______.
8、菱形的两条对角线长
D
分别为6cm和8cm，则 A
人教版八年级数学下册18.2《菱形》新授课课件
源自平行四边形邻边相等
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
高效上好每节课·快乐上好每天学
(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
高效上好每节课·快乐上好每天学
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
高效上好每节课·快乐上好每天学
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被人们用 在图案设计上.
高效上好每节课·快乐上好每天学
(1) 观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗? 如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
A
菱形是轴对称图形
2条对称轴，对称轴互相垂直平分
高效上好每节课·快乐上好每天学
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一 个菱形的纸片？ 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 你知道其中的道 理吗？
高效上好每节课·快乐上好每天学
随堂练习
1、如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠B=∠ EAF=60°, ∠ BAE=18°, 求∠ CEF的度数.
∥ ∴ AD BC ∴ ∠ ∴ DAB+ ∠ DAC= ∠ ABC= ∠BAC 180° ∴ AB=BC=CD=DA ∴OA=OC;OB=OD ∠DAB= ∠ DCB ∴ =
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角.
高效上好每节课·快乐上好每天学
证一证
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC . 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， BO=DO A O D
3. 能够运用菱形的知识解决简单的具体问题.
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道如果 平行四边形有一个角是直角时, 成为什么图形 ?
八年级数学下册课件-18.2.2 菱形1-人教版
D
菱 形 性 质：
O A
C
B
1、菱形的四条边都相等。
2、菱形的两条对角线互相垂直；
3、菱形的每一条对角线平分一组对角。
说 说 理 由：
∵ABCD是菱形
D
O
A
C
B
∴AD ∥BC，AB ∥CD(
）
AB=BC=CD=DA (
)
OA=OC,OB=OD (
)
AC⊥BD (
)
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD
中国结
汽车标志
伸缩衣架
伸 缩 门
18.2.2 菱形及性质
Contents
1 菱形的定义 2 菱形的性质 3 菱形性质的应用
1 菱形的定义
特殊的平行四边形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
AB=BC ABCD
四边形ABCD是菱形
2 菱形的性质
动手做一做：
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪 开，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？
=½ ∠ADC=½ ∠ABC (
)
3 菱形性质的应用
已知菱形的两条对角线分别是8cm和6cm，求菱形的边长和面积。
解： ∵菱形ABCD
S ∴ 菱形ABCD
∴AO=CO，AC ⊥BD
D
又∵AC=8cm ∴AO=4cm
=S + S △ADC
△ABC
O
同理：DO=3cm
=½ AC·DO+½ AC·BO
A
C
∴AD=
=½ AC（DO+BO）
B
=
=½ AC ·BD
=5cm
=½ ×8×6=24cm2
·探 索 创 新 对角线互相垂直的四边形面积公式：
【最新】人教版八年级数学下册第十八章《18.2.2菱形的判定》公开课课件.ppt
平行四边形的所 有性质 四条边相等 对角线互相垂直,且每条
对角线平分一组对角
轴对称图形
菱形的判定 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:24:34 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
菱形的判定
1.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，
过D作DE∥AC交AB于E点,
过D作DF∥AB交AC于F点.
求证：（1）四边形AEDF是平行四边形
（2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF是菱形
A
12
E
F
3
B
D
C
菱形的判定
选做题
2.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
对角线平分一组对角
轴对称图形
菱形的判定 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 6:24:34 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
菱形的判定
1.如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，
过D作DE∥AC交AB于E点,
过D作DF∥AB交AC于F点.
求证：（1）四边形AEDF是平行四边形
（2）∠2﹦∠3 （3）四边形AEDF是菱形
A
12
E
F
3
B
D
C
菱形的判定
选做题
2.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
人教版八年级数学下册第十八章《18.2.2 菱形的定义、性质 》优质课课件(共23张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
§18.2 .2 菱形的定义、性质
菱形
情
景
创
前面我们学习了平行四边形
设 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
相信你能解释 !
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
D
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
在△ABD中，
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B
O C
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积． A
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/72022/5/7May 7, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
我们，还在路上……
§18.2 .2 菱形的定义、性质
菱形
情
景
创
前面我们学习了平行四边形
设 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
相信你能解释 !
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
D
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
在△ABD中，
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B
O C
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
A
B
O
D
C
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
⑵求菱形ABCD的面积． A
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/72022/5/7May 7, 2022 人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
人教版八年级下册18.2.2 菱形 课件(共30张PPT)
D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
E F G H 1B D ， F G E H 1A C ,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各
边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
E F G H 1 2 B D ， F G E H 1 2A C , D
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
解：四边形EFGH是菱形.
八年级数学下册第十八章18.2.2菱形第1课时菱形的性质作业课件新版新人教版
,第12题图)
13．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作 DF⊥BC于点F，连接EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF； (2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥BA，DF
⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△ADE 和△CDF 中，∵A∠DA＝＝C∠DC，， ∠AED＝∠CFD，
3．菱形的面积与两对角线的关系是_菱__形__的__面__积__等__于__两__对__角__线__乘__积__的__一__半__． 练习2.四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12 cm，BD ＝7 cm，则这个菱形的面积是__4_2_cm.
知识点1：菱形的性质 1．菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是( C ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
,第3题图)
4．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE ＝3，则点P到AD的距离为____3．
5．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边CD，DA上，且 CE＝AF，求证：BE＝BF.
解：在菱形ABCD中，AB＝CB，∠A＝∠C，又AF＝CE， ∴△ABF≌△CBE，∴BE＝BF
2．(淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8， 则这个菱形的周长是( A )
A．20 B．24 C．40 D．48
,第2题图)
3．(广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2， 0)，点D在y轴上，则点C的坐标是_______(－__5_，__4_)_．
8．如图，已知菱形的周长为 40 cm，两邻角度数之比为 1∶2. (1)求菱形的两条对角线的长； (2)求菱形的面积．
13．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作 DF⊥BC于点F，连接EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF； (2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥BA，DF
⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△ADE 和△CDF 中，∵A∠DA＝＝C∠DC，， ∠AED＝∠CFD，
3．菱形的面积与两对角线的关系是_菱__形__的__面__积__等__于__两__对__角__线__乘__积__的__一__半__． 练习2.四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12 cm，BD ＝7 cm，则这个菱形的面积是__4_2_cm.
知识点1：菱形的性质 1．菱形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是( C ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
,第3题图)
4．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE ＝3，则点P到AD的距离为____3．
5．如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边CD，DA上，且 CE＝AF，求证：BE＝BF.
解：在菱形ABCD中，AB＝CB，∠A＝∠C，又AF＝CE， ∴△ABF≌△CBE，∴BE＝BF
2．(淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8， 则这个菱形的周长是( A )
A．20 B．24 C．40 D．48
,第2题图)
3．(广州中考)如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2， 0)，点D在y轴上，则点C的坐标是_______(－__5_，__4_)_．
8．如图，已知菱形的周长为 40 cm，两邻角度数之比为 1∶2. (1)求菱形的两条对角线的长； (2)求菱形的面积．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)根据菱形的四条边相等得到△ABE为等边三角形,且
边长为2,然后根据勾股定理求出其高,进而根据菱形的 面积公式计算.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,∠B=∠D,BC=AD,
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴BE=DF,在△ABE和△CDF中,
(2)当四边形AECF为菱形时,△ABE为等边三角形,且
BF的垂直平分线,∴AD⊥BF.
(2)如图,设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G, 1 则四边形BGDH是矩形,∴DG=BH= BF. 2 1 ∵BF=BC,BC=CD,∴DG= CD. 2
1 在直角△CDG中,∵∠CGD=90°,DG= CD,∴∠C=30°, 2 ∵BC∥AD,∴∠ADC=180°-∠C=150°.
18.2.2 菱
第1课时
形
【基础梳理】 一、菱形的定义 邻边 相等的平行四边形是菱形. 有一组_____
二、菱形的性质
都相等 1.菱形的四条边_______. 互相垂直 2.菱形的两条对角线_________,并且每一条对角线平
对角 分一组_____. 对角线 所在的直线就是它的对 3.菱形是轴对称图形,_______ 称轴.
∵∠ABC=120°,∴∠A=60°, ∴△ABD为等边三角形, ∵菱形的周长为40 2 m,
∴菱形的边长为10 2 m, ∴BD=10 2 m,∴EH=5 2 m, ∴同理求出EF=5
6
m,
∴S矩形=50 3 m2,
则需投资资金50
3
×30=1500×1.732≈2598元.
【微点拨】 利用菱形的性质解决问题的方法 利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计 算(或证明线段、角的相等)问题.一般是根据菱形的性
【自我诊断】
×
(1)菱形的对角线互相垂直且相等. ( ) (2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. (√)
(3)在菱形ABCD中,AB=5cm,则此菱形的周长为
A.5cm B.15cm C.20cm D.25cm
( C )
(4)如图,菱形ABCD的周长是16,∠A=60°,则对角线BD 的长度为 (C)
A.2
B.2 3
C.4
D.4
3
知识点一
菱形的性质
【示范题1】(2017·广东中考)如图所示,已知四边形 ABCD,ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD为锐角. (1)求证:AD⊥BF.
(2)若BF=BC,求∠ADC的度数.
【思路点拨】(1)连接DB,DF.根据菱形四边相等得出 AB=AD=FA,再利用SAS证明△BAD≌△FAD,得出DB=DF,那 么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF,即A在线段BF的 垂直平分线上,进而证明AD⊥BF.
质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证
明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出
线段、角的相等),从而解决问题.
【纠错园】 如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的点,∠B=
∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数.
【错因】本题在利用菱形性质证明△AEF是等边三角 形时,只根据∠EAF=60°,就说明△AEF是等边三角形,
(2)设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G,证明DG=
CD.在直角
1 △CDG中得出∠C的度数,再根据平行线的性质即可求出 2 ∠ADC的度数.
【自主解答】(1)如图,连接DB,DF.∵四边形ABCD,ADEF 都是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AD=DE=EF=FA.
在△BAD与△FAD中,
∴△BAD≌△FAD,∴DB=DF,∴D在线段BF的垂直平分线 上,∵AB=AF,∴A在线段BF的垂直平分线上,∴AD是线段
条件不足,应先证明AE=AF,才能得出△AEF是等边三角
形.
【备选例题】(2016·安顺中考)如图,在平行四边形 ABCD中,BC=2AB=4,点E,F分别是BC,AD的中点. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)当四边形AECF为菱形时,求出该菱形的面积.
【思路点拨】(1)先根据平行四边形的性质得到证明三 角形全等的条件,然后根据SAS证明两个三角形全等.
BE=2,如图,过点A作AM⊥BE于M,则 AM 22 12 3 ,
∴菱形AECF的面积为
2 3 2 3.
【微点拨】 菱形的“边”与“对角线”
边:菱形的一个突出特点是“四条边相等”,由此可知
菱形与一般平行四边形的不同之处:邻边相等;周长是 边长的4倍.在解决与菱形有关的线段长问题中,常常用 到这两个结论.
对角线:菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰 三角形;菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角
三角形,因此由两条对角线的长可求菱形的面积,结合
勾股定理可求边长或对角线的长.
知识点二
菱形性质的实际应用
【示范题2】如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周
长为40 2 m,形ABCD各边中点, 现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为 30元/m2,则需投资资金多少元?( 3 取1.732)
【思路点拨】根据菱形的性质,先求出菱形的一条对角 线,由三角形的中位线定理,求出矩形的一条边,同理求
得另一边,再求出矩形的面积,最后求得投资资金.
【自主解答】连接BD,如图: