2021上海所有区高三数学二模集锦(含答案)
上海市高三数学二模试题(含解析)
2021届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分），若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2021）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求最新的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2021年上海市普陀区高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）设全集{1U =-，0，1，2}，若集合{1A =-，0，2}，则UA = ．2．（4分）若复数2(iz i i+=表示虚数单位），则Imz = ． 3．（4分）函数1y x x=-的零点为 ． 4．（4分）曲线24y x =的顶点到其准线的距离为 ． 5．（4分）若cos()13πθ+=，则cos θ= ．6．（4分）设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ． 7．（5分）设8280128(21)x a a x a x a x -=+++⋯+，则128a a a ++⋯+= ．8．（5分）设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且1lim()3n n S S →∞+=，则公比q = ．9．（5分）设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -⎧⎨+-⎩，则3x y -的最小值为 ．10．（5分）某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为 （结果用最简分数表示）．11．（5分）设(,)M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x ，则11x y y x+-+的最大值为 ．12．（5分）如图，在ABC ∆中，2C π=，3AC =，1BC =，若O 为ABC ∆内部的点且满足0||||||OA OB OCOA OB OC ++=，则||:||:||OA OB OC = ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是( ) A ．22a b -->B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >14．（5分）设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是( )A ．(4,0)±B ．(3,0)±C ．(0,5)±D ．(0,4)±15．（5分）设α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是( )A ．l α⊂，m α⊂且//l β，//m βB ．l α⊂，m β⊂，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m16．（5分）已知函数3()13x xf x =+，设(1i x i =，2，3)为实数，且1230x x x ++=，给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是( ) A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，设底面半径为2的圆锥顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面直径，点C 位于底面圆周上，且90BOC ∠=︒，异面直线PA 与CB 所成角的大小为60︒． （1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O --的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）设函数2()log (0)f x x x =>的反函数为1()f x -． （1）解方程：(2)2()0f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，当01x <<时，1()()g x f x -=，试求2(log 10)g 的值．19．（14分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为(1i A i =，2，3，4)，1230A A =米，214120A A A ∠=︒，D 为对角线24A A 和13A A 的交点，他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ，设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路” L （宽度忽略不计），求L 的长；（结果精确到1米） （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ，对于条件（1）中的L ，当1132||0.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．20．（16分）已知曲线22:3412x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点． （1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程； （3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且5tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（18分）记实数a 、b 中的较大者为{max a ，}b ，例如{1max ，2}2=，{1max ，1}1=，对于无穷数列{}n a ，记21{k k c max a -=，2}(*)k a k N ∈，若对于任意的*k N ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，说明理由； ①1()2n n a =-；②sin2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21||n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．2021年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）设全集{1U =-，0，1，2}，若集合{1A =-，0，2}，则UA = {1} ．【解答】解：全集{1U =-，0，1，2}，且集合{1A =-，0，2}， {|}{1}UA x U x A ∴=∈∉=．故答案为：{1}． 2．（4分）若复数2(iz i i+=表示虚数单位），则Imz = 2- ． 【解答】解：212iz i i+==-，故2Imz =-． 故答案为：2-．3．（4分）函数1y x=的零点为 1x = ．【解答】解：令110y x x ===，解得，1x =， 故函数的零点为1， 故答案为：1．4．（4分）曲线24y x =的顶点到其准线的距离为 1 ． 【解答】解：曲线24y x =，∴焦点为(1,0)，顶点为(0,0)，准线方程为：1x =-，故曲线24y x =的顶点到其准线的距离为1， 故答案为：1．5．（4分）若cos()13πθ+=，则cos θ= 12．【解答】解：因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以11cos cos[()]cos()cossin()sin1033333322ππππππθθθθ=+-=+++=⨯+=． 故答案为：12． 6．（4分）设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 12π ．【解答】解：棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，∴球半径R ==，∴球的表面积4(S π=212π=．故答案为：12π．7．（5分）设8280128(21)x a a x a x a x -=+++⋯+，则128a a a ++⋯+= 0 ． 【解答】解：8280128(21)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =，可得01a =，令1x =，可得80128(21)1a a a a +++⋯+=-=， 所以128110a a a ++⋯+=-=． 故答案为：0．8．（5分）设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且1lim()3n n S S →∞+=，则公比q =12． 【解答】解：因为无穷等比数列{}n a 中，11a =，111lim()lim(1)1311n n n n q S S q q→∞→∞-+=+=+=--，所以12q =． 故答案为：12． 9．（5分）设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -⎧⎨+-⎩，则3x y -的最小值为 43- ．【解答】解：设目标函数3z x y =-，画出可行域，如图所示：，∴当直线3z x y =-过点A 时，z 取得最小值，联立方程220y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2(3A ，2)3，2243333min z ∴=-⨯=-． 故答案为：43-．10．（5分）某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为47（结果用最简分数表示）． 【解答】解：某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，基本事件总数2721n C ==， 在这2名宣讲员中男、女生各1人包含的基本事件个数114312m C C ==， 则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为124217m P n ===． 故答案为：47． 11．（5分）设(,)M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x 11x y y x++的最大值为 6[3，)+∞ ．【解答】解：211111131()2()()322x y x y x y xy y x y x y x xy xy+-+=+++-++=+-++，设t xy =，则2239(3)3()24t x x x x x =-=-+=--+，[1x ∈，2]，[2t ∴∈，9]4，则21131()322x y t y x t t +-+=+-++，[2t ∈，9]4， 设1()f t t t=+，21()10f t t '=->在[2t ∈，9]4上恒成立，1()f t t t ∴=+，在[2t ∈，9]4上单调递增，122t t -++在[2t ∈，9]4上单调递减，又3t 在[2t ∈，9]4上单调递减，∴当2t =时，21131()322x y t y x t t+-+=+-++的最大值为23196322232(3)222+-++=-=-， ∴11x y y x+-+的最大值为63-，故答案为：6[3-，)+∞． 12．（5分）如图，在ABC ∆中，2C π=，3AC =，1BC =，若O 为ABC ∆内部的点且满足0||||||OA OB OCOA OB OC ++=，则||:||:||OA OB OC = 4:2:1 ．【解答】解：由0||||||OA OB OC OA OB OC ++=，得由||||||OA OB OC OA OB OC +=，两边平方得cos ||OAOA <，12||OB OB >=-，23AOB π∴∠=，．同理可得：23AOC COB π∠==．由已知可得2AB =，6CAB π∠=，3CBA π∠=．∴在AOB ∆中：33OBC AOB ππ-∠+∠=，OBC AOB ∴∠=∠．在BOC ∆、AOB ∆中利用正弦定理得2sin sin 3OC CB OBC π=∠∠，2sin sin 3OB AB OAB π==∠． 两式相除得：2OB OC =．在BOC ∆中由余弦定理得：221OB OC OB OC ++⋅=，把2OB OC =代入得：OC =，OB =． 在AOB ∆中：22222cos 3AB OA OB OA OB π=+-⋅，即22142()2OA OA =+--，解得：OA =． ||:||:|4:2:1OA OB OC ∴=．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是( ) A ．22a b -->B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >【解答】解：对于A ，幂函数2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减， 当0a b >>时，f （a ）f <（b ），即22a b --<，故A 错误； 对于B ，幂函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，当0a b >>时，f （a ）f <（b ），即11a b --<，故B 错误； 对于C ，幂函数2()f x x =在(,0)-∞上单调递减，当0a b >>时，f （a ）f <（b ），即22a b <，故C 错误； 对于D ，幂函数3()f x x =在R 上为增函数，因为a b >，所以f （a ）f >（b ），即33a b >，故D 正确． 故选：D ．14．（5分）设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是( )A ．(4,0)±B ．(3,0)±C ．(0,5)±D ．(0,4)±【解答】解：由716m <<，可得160m ->，70m -<，双曲线221167x y m m +=--即为221167x y m m -=--，所以3c =，由双曲线的焦点在x 轴，可得焦点坐标为(3,0)±． 故选：B ．15．（5分）设α、β是两个不重合的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是( )A ．l α⊂，m α⊂且//l β，//m βB ．l α⊂，m β⊂，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m【解答】解：对于A ，若l α⊂，m α⊂且//l β，//m β，若l 、m 是平行直线，则它们可能都平行于α、β的交线，所以A 不符合条件；对于B ，l α⊂，m β⊂且//l m ，可得l 、m 有可能都平行于α、β的交线，所以B 不符合条件；对于C ，由l α⊥且//l m ，得到m α⊥，再由m α⊥、m β⊥，得到//αβ， 所以“l α⊥，m β⊥且//l m ”是//αβ的一个充分条件，所以C 符合条件；对于D ，由“//l α，//m β，且//l m ”得可能l 、m 有可能都平行于α、β的交线，所以D 不符合条件．故选：C ．16．（5分）已知函数3()13x xf x =+，设(1i x i =，2，3)为实数，且1230x x x ++=，给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<； ②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是( ) A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确【解答】解：令函数1313111()()21322(13)213x x x x xg x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2(13)x x x x g x g x ----+-=+=++，即()()g x g x =--， ∴函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示，①中，1230x x x ++=，且1230x x x >，则312()x x x =-+，不妨设10x <，20x <，30x >，则点12(A x x +，12())f x x +，此时直线OA 方程为1212()f x x y x x x +=+，可得121211221212()()(),()g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则12121212121212()()()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，1212()()()0g x g x g x x ∴+-+<，又由31212()(())()g x g x x g x x =-+=-+， 123()()()0g x g x g x ∴++<，即123111()()()0222f x f x f x -+-+-<， ∴1233()()()2f x f x f x ++<，故①正确； ②中，若1230x x x <，又1230x x x ++=，则123()x x x =-+，不妨设10x <，20x >，30x >， 则点23(B x x +，23())f x x +，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得232322332323()()(),()g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则23232323232323()()()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得2323()()()0g x g x g x x +-+>， 又由12323()(())()g x g x x g x x =-+=-+， 123()()()0g x g x g x ∴++>，即123111()()()0222f x f x f x -+-+->， ∴1233()()()2f x f x f x ++>，故②正确． 故选：A ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，设底面半径为2的圆锥顶点、底面中心依次为P、O，AB为其底面直径，点C位于底面圆周上，且90∠=︒，异面直线PA与CB所成角的大小为60︒．BOC（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O--的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）设圆锥的高为h，以O为坐标原点，以OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，根据题设条件，(2A，2C，0，0)，(0B，2，0)，P，0，)h，(0-，0)，(0CB=-，2，0)，PA=，2-，)h-，(2(0由异面直线PA与CB所成角的大小为60︒，2||1cos602||||422PA CB PA CB h ⋅∴︒===⋅+⋅，解得2h =，∴圆锥的体积为211822333V sh ππ==⨯⨯⨯=．（2）取BC 的中点D ，连接OD ，PD ，由OB OC =，得OD BC ⊥，由PB PC =，得PD BC ⊥，PDO ∴∠即为二面角P BC O --的平面角， PO ⊥圆锥的底面，PO OD ∴⊥， POD ∴∆是直角三角形，在POD ∆中，122OD BC ==，2PO =，tan 2POPDO OD∴∠==， arctan 2PDO ∴∠=，∴二面角P BC O --的大小为arctan 2．18．（14分）设函数2()log (0)f x x x =>的反函数为1()f x -． （1）解方程：(2)2()0f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，当01x <<时，1()()g x f x -=，试求2(log 10)g 的值．【解答】解：（1）因为函数2()log (0)f x x x =>， 故方程(2)2()0f x f x +-=即为22log (2)2log 0x x +-=，所以222log (2)log x x +=，则有22002x x x x +>⎧⎪>⎨⎪+=⎩，解得2x =，故(2)2()0f x f x +-=的解为2x =； （2）当01x <<时，1()()2x g x f x -==，因为23log 104<<，且()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数， 故224410222102168(log 10)(log 104)(4log 10)21052log log g g g -=-=--=-=-=-=-． 19．（14分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为(1i A i =，2，3，4)，1230A A =米，214120A A A ∠=︒，D 为对角线24A A 和13A A 的交点，他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ，设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路” L （宽度忽略不计），求L 的长；（结果精确到1米） （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ，对于条件（1）中的L ，当1132||0.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由．【解答】解：（1）平行四边形1234A A A A ，21423A A A π∠=，D 为对角线24A A 和13A A 的交点， ∴306πθ=︒=，又2A 为圆心的圆弧过点1A 和点D ，∴圆弧的半径1230r A A ==， ∴圆弧1A D 的长3056l r πθπ==⨯=，同理可得圆弧3A D 的长也为5π，1031L π∴=≈（米)．（2）由扇形面积公式可得113123046522S =⨯⨯⨯=，又平行四边形1234A A A A 的面积301534503S =⨯，214503465S S S ∴=-=，又△123A A A 为等边三角形，1330A A ∴=， 113231||||0.450.12304503465S L A A S ∴-=-≈>-， ∴此人的设计不“用心”． 20．（16分）已知曲线22:3412x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点． （1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程； （3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且5tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为曲线22:3412x y Γ+=，所以22143x y +=，所以24a =，23b =， 所以2221c a b =-=， 所以2a =，1c =，由椭圆的定义可得12||||2AF AF a +=，所以三角形△12F AF 的周长为1212||||||222226AF AF F F a c ++=+=⨯+=． （2）由上可知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设圆2F 的半径为r ，直线l 为1x my =-，即10x my -+=， 因为直线l 与圆2F 相切，所以圆心2(1,0)F 到直线l 的距离d r =， 21r m=+，①因为以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为222F 到y 轴的距离为1，所以2221r +=，②， 由①②，解得r，m =， 所以直线l的方程为10x y +=或10x y ++=． （3）因为直线l 过点1(1,0)F -，且方向向量为(1,)k ， 所以直线l 的方程为(1)y k x =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=， 所以2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以21212122286(1)(1)()2()23434k ky y k x k x k x x k k k k k+=+++=++=-+=++，||AB =2211234k k +==⋅+， 因为||||MA MB =，所以点M 是线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点，设线段AB 的中点为C ，则MC AB ⊥，且12(2x x C +，12)2y y +，即224(34k C k -+，23)34kk +，所以线段AB 垂直平分线的方程为222314()3434k k y x k k k-=-+++， 令0y =，得222314()3434k k x k k k -=-+++，所以22222234343434k k k x k k k =-=-+++， 所以22(34k M k -+，0)，所以||MC =，在Rt MAC ∆中，22||34tan 11||12234MC k MAB k AC k +∠====+⋅⋅+，解得24k =， 所以4(19M -，0)． 21．（18分）记实数a 、b 中的较大者为{max a ，}b ，例如{1max ，2}2=，{1max ，1}1=，对于无穷数列{}n a ，记21{k k c max a -=，2}(*)k a k N ∈，若对于任意的*k N ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，说明理由； ①1()2n n a =-；②sin2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21||n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0． 【解答】（1）解：①因为1()2n n a =-，所以21211()02k k a --=-<，221()02k k a =->，所以21()(4k k k c a k ==为正整数），所以131()044k k k c c +-=-⋅<，故①数列为“趋势递减数列”． ②因为sin2n n a π=， 所以121(1)0k k a +-=-<，20k a =， 所以0,2(1,21k k lc l k l =⎧=⎨=-⎩为正整数），所以32c c >，故②数列不是“趋势递减数列”．（2）解：因为数列{}n S 为“趋势递减数列”， 所以11{c max S =，223}{S c max S >=，4}S ， ①若12S S ，则2210a S S =-，即110a d d +=+， 所以1d -，此时，230n a a a >>⋯>>⋯， 所以1234n S S S S S >>>⋯>>⋯，故21211(*)k k k k c S S c k N -++=>=∈，满足条件； ②若12S S <，则1d >-，且23S S >， 所以3320a S S =-<，即12120a d d +=+<， 所以12d <-，所以112d -<<-，同理可以验证满足条件，综上所述，d 的取值范围为1(,)2-∞-．（3）证明：先证明必要性：用反证法．假设存在正整数(3)m m ，使得120||m m m d d d --==-，可令12m m d d a --==， 则数列{}n d 从1m d -项开始，以后的各项为a ，a ，0，a ，a ，0⋯， 故1k k c c a +==，与{}n d 是“趋势递减数列”矛盾， 所以必要性成立． 再证明充分性：由21||n n n d d d ++=-，得2{n n d max d +<，1}n d +，因为{}n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠， 所以230(k d k +≠为正整数）， 所以2122k k d d ++≠，①当2122k k d d ++>时，121{k k c max d ++=，222121}{k k k d d max d ++-=<，2}k k d c =， ②当2122k k d d ++<时，121{k k c max d ++=，222221}{k k k d d max d ++-=<，2}k k d c =， 所以均有1k k c c +<， 所以充分性成立，故{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．。
上海市宝山区2021届高三二模数学答案
上海市宝山区2021届高三二模数学试题参考答案1．4【解析】由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p ，所以焦点到准线的距离为4.2．()1,3-【思路点拨】由绝对值不等式的解法可直接求得结果. 【解析】由12x -<得：212x -<-<，解得：13x ，12x ∴-<的解集为()1,3-.3．2【思路点拨】根据二元一次方程组有无穷多组解知两方程为同一方程，由此可求得,m n ，代入可得结果. 【解析】方程组1x y mx ny +=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，x y m ∴+=与1x ny +=为同一方程，1m n ∴==，2m n ∴+=.4．1【思路点拨】确定方程另一根为1-，利用韦达定理表示出,b c -，由此可求得结果.【解析】12i -+是方程()20,x bx c b c R ++=∈的一个根，∴另一根为1-，()()112b ∴-=-+-=-，()()11123c =--=+=，321c b ∴-=-=.5．0【思路点拨】根据题中条件，得到()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，进而可求出结果. 【解析】因为函数()2x m f x -=反函数的图象经过点(4,2)， 所以()2x m f x -=的图象经过点(2,4)，则242m -=，所以0m =.6由题意判断得公比m 满足1m <且0m ≠，化简674lim()n n x x x x →∞++⋅⋅⋅+=，可得关于m 的一元二次方程，结合m 的范围求解得答案.【解析】因为数列{}n x 是无穷等比数列，且67lim()→∞++⋅⋅⋅+n n x x x 存在，所以公比m 满足1m <且0m ≠，由551115674lim()l (1)(1)()[]1l 11im im →∞→∞→∞--⋅-=-+++===---n n n n n n a m a m x a m S S m x mx x m ，所以641x x m =-，所以2441m x x m =-，所以21m m =-，又()1,1m ∈-，所以15m -+=. 【名师指导】解答本题的关键是根据数列的极限存在判断得公比的取值范围，然后再化简计算得关于公比的二次方程求解.7．3【思路点拨】根据三视图还原直观图，然后判断出最长的棱，利用勾股定理计算即可. 【解析】由三视图可得直观图，如图所示，在四棱锥P ABCD -中，最长的棱为PA ，由三视图可知1AB BC PC ===，所以()2222213PA AC PC =+=+=.8．28【思路点拨】将多项式整理为()()8211x x --，由二项式定理可得()821x -展开式的通项，令24r =和23r =可求得符合题意的r 的值，代入可求得结果. 【解析】()()()()()()()8898821111111x x x x x x x ⎡⎤+-=--+=--⎣⎦，()821x -展开式通项公式为()()221881rrrr r r T C x C x +=-=-，令24r =，解得：2r；令23r =，解得：32r =，不合题意； 4x ∴的系数为()228128C -=.9．6【思路点拨】分析几何体的结构，计算出1V 、2V ，由此可得出结果.【解析】将矩形ABCD 绕直线AD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，母线长为2的圆柱，所以，21122V ππ=⨯⨯=，将MCD △绕直线CD 旋转所得到的几何体是以1为底面圆的半径，高为1的圆锥， 所以，2211133V ππ=⨯⨯⨯=. 因此，126V V =. 10．4455【思路点拨】计算出选择的4天恰好为连续4天包含12种情况，利用古典概型的概率公式和组合计数原理可得结果.【解析】选择的4天恰好为连续4天包含12种情况，故所求概率为415124455P C ==. 11．14【思路点拨】先由函数零点求出9a =；判断此时函数()f x 的单调性；将所求不等式化为()26383f n -≥-；根据单调性，得到20364n ≤-≤，进而可根据题中条件，求出结果.【解析】因为函数4()5y f x =+的零点为4，所以5(4)4f =-， 又31228()8a x x f x x --=+，所以8165(4)124a f --==-，所以9a =， 所以311222989()88x x f x x x x --==-++，[)0,x ∈+∞ 因为98y x =+在[)0,x ∈+∞上单调递减，12y x =在[)0,x ∈+∞上单调递增； 所以()f x 在[)0,+∞上单调递减，且63(64)8f =-； 由()283630f n -+≥得()26383f n -≥-，所以20364n ≤-≤，故3,67n ⎡⎡⎤∈⎣⎣，又n Z ∈，故8,7,,3n =±±±，故整数n 的个数为14.【名师指导】根据函数单调性解不等式时，一般需要根据所给函数的解析式，先判断函数单调性，再将所求式子变形整理，利用函数单调性，即可求解. 12．1053-【思路点拨】先利用数量积及面积关系求出3110m n +=，在对1m n+用基本不等式求最大值.【解析】因为(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-， 所以131m n PR PQ PS m n--=+， 过点S 作SA PR ⊥于A ，过点Q 作QB PR ⊥于B ，因为PRS △的面积是PQR △面积的13，所以3QB SA =，从而3BQ SA =， 在131m n PR PQ PS m n--=+的两边同时点乘BQ ， 得03131BQ SA m n PQ PS m n⋅-⋅-=+， 由向量数量积的几何意义（投影）得22,33PQ PS BQ BQ SA SA ⋅=⋅=-， 从而22130(3)1m n m Q A n B S ---=+，即13130(1)m n m n--=⋅+-⋅， 整理得3110m n+=， 所以110105(23)3134234()m n m n m n n m n m ==≤=+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，当且仅当m =时取等号，所以1m n+的最大值为5(2. 【名师指导】（1）在几何图形中进行向量运算: ①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； ②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 13．A 【思路点拨】直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 【解析】若3x >，则29x >，故充分； 若29x >，则3x >或3x <-，故不必要； 所以“3x >”是“29x >”的充分不必要条件， 故选：A14．B 【思路点拨】求出样本的编号，可得出合适的选项.【解析】学生40人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为10， 所以，样本的编号为3、13、23、33，故另一个学生在样本中的编号为13. 故选：B.15．D 【思路点拨】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈⎪⎝⎭，再判断函数值的范围，判断选项. 【解析】因为122()2()log ()log (),xf xg x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上， 又32ππθ<<，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan()1,,cot()0,1,sin()1,2θαθαθα⎛+∈+∞+∈+∈-- ⎝⎭. 故选:D.【名师指导】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小.16．B 【思路点拨】先分析出{}n u 各项均为整数，且11i i u u +-=或12i i u u +-=，判断出15,6,7,8,9u =，依次分析132********u u u u u u u u u u →→→→→→→→→的变换过程，分类讨论，即可求解. 【解析】由（1）得(1,2,,10)i u i ∈=Z ，由（2）点285(,2)u uu +在函数4x y =的图像上，得：2852u u u +=，由（3）向量1(1,)a u =与10(3,)b u =互相平行，得：1013u u =， 由（4）得1123i i i iu u u u ++-+=-，从而11i i u u +-=或12i i u u +-=，从而[]101129,18u u u -∈=，故15,6,7,8,9u =，考虑132********u u u u u u u u u u →→→→→→→→→的变换，每一步变换均为1+或2+，且3254u u u u →→→和6587u u u u →→→所加之和相等， ①若15u =，则1015u =，则9步中只有1步为2+，且只能在2边，故有3种； ②若16u =，则1018u =，则9步中有3步2+，6步1+，共有111333128C C C +=种；③若17u =，则1021u =，则9步中有5步2+，4步1+， 共有12231133333336C C C C C C +=种；④若18u =，则1024u =，则9步中有7步2+，2步1+，共有13332233333312C C C C C C +=种，⑤若19u =，则1027u =，则9步都为2+，共有1种， 综上，共有3283612180++++=种. 故选：B.【名师指导】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 17．【思路点拨】（1）棱锥的高为PA ，利用棱锥的体积公式求解即可；（2）建立恰当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，利用待定系数法求出平面MBC 的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，则PA 为棱锥P ABCD -的高， 又ABCD 是边长为2的正方形，所以224ABCD S ==，4PA =，故111644333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则(0P ，0，4)，(2D ，0，0)，(0M ，0，2)，(0B ，2，0)，(2C ，2，0)， 所以(2,0,4),(0,2,2),(2,2,2)PD MB MC =-=-=-，设平面MBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n MB n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2202220y z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令1y =，则0x =，1z =，故(0,1,1)n =， 所以||10|cos ,|||||252n PD n PD n PD ⋅<>===⨯， 故直线PD 与平面MBC 10 18．【思路点拨】（1）易知2()2mx f x x =-，结合函数的定义域，通过求导得出函数的单调减区间；（2）由(4)f 8=，知1m =，再根据（1）中结论，求得()f x 在[0，1]上的最值；根据二次函数的对称轴与单调性，可得()g x 在[0，1]上的最值，而原问题可转化为函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子区间，然后解不等式，即可．【解析】（1）由题意知，22(22)()22m x mx f x x x -+==--，定义域为{|2}x x ≠， 2222(2)(4)()(2)(2)mx x mx mx x f x x x ---'∴==--，令()0f x '，0m >，04x ∴且2x ≠，∴函数()f x 的单调递减区间为[0，2)和(2，4]．（2）(4)f 8=，∴16842m =-，解得1m =，2()2x f x x ∴=-， 由（1）知，()f x 在[0，1]上单调递减， ()(0)0max f x f ∴==，()min f x f =（1）1=-，2()25g x x ax =-+的对称轴为1x a =>，且开口向上，()g x ∴在[0，1]上单调递减，()(0)5max g x g ∴==，()min g x g =（1）12562a a =-+=-，对于任意1[0t ∈，1]，总存在2[0t ∈，1]，使得21()()g t f t =成立， ()()max max f x g x ∴，且()()min min f x g x ，即15-，且162a --， 72a∴， 故a 的取值范围为7[2，)+∞．【名师指导】本题主要函数的恒成立与存在性问题，将原问题转化为两个函数的值域之间的包含关系是解题的关键．19．【思路点拨】（1）在BCD △中，利用正弦定理可求得结果； （2）由1sin 2BCDSBD BC DBC =⋅∠可构造方程求得BC ，在BCD △中，利用余弦定理可求得CD ，根据ABC 面积，利用面积桥构造方程可求得结果. 【解析】（1）D 到,A C 的距离相等，3CD AD ∴==，在BCD △中，由正弦定理得：sin sin BCD B CDA CD B =∠∠，3sin 32sin 3BD ABC BCD CD ∠∴∠===；（2）13sin 32BCDSBD BC DBC BC =⋅∠==4BC ∴=， 在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 17413CD BD BC BD BC DBC =+-⋅∠=-=，13AD CD ∴==，131AB ∴=，1sin 3932ABCSAB BC ABC ∴=⋅∠= 设点A 到直线BC 的距离为h ，则123932ABC S BC h h =⋅==解得：393h +=A 到直线BC 393+. 【名师指导】本题考查解三角形中正余弦定理的应用，求解点到直线距离的关键是能够将问题转化为三角形高的求解问题，利用面积桥的方式来进行求解. 20．【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，由题中条件，即可得出结果；（2）先设()00,Q x y ，()111,Q x y ，()222,Q x y ，表示出直线1QQ 与直线2QQ 的方程，从而得到直线12Q Q 的方程，进而求出3Q 、4Q ，表示出所求三角形面积，结合基本不等式，即可得出结果； （3）先假设存在2λ>满足题意，即满足DH MN λ=成立；设出直线l 的方程，联立该直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等，表示出MN ；再表示出MN 中垂线的方程，根据两点间距离公式，得出DH ，计算DH MN的范围，即可得出结论.【解析】（1）根据题中，设点(),P x y ，1(2,0)F -，2(2,0)F ，则有1224PF PF FF +=>=，结合椭圆的定义可得：点P 的轨迹即是以1(2,0)F -，2(2,0)F为焦点，以圆，所以22a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2224b a c =-=，故点P 的轨迹方程为22184x y +=；（2）设()00,Q x y ，()111,Q x y ，()222,Q x y ，则根据题意可得11QQ OQ ⊥，22QQ OQ ⊥，因此11111QQ OQ x k k y =-=-，22221QQ OQ x k k y =-=-， 所以直线()11111:x QQ y y x x y -=--，即111x x y y +=； 直线()22222:x QQ y y x x y -=--，即221x x y y +=； 因为直线1QQ 与直线2QQ 交于点Q ，所以1010202011x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，因此直线12Q Q 的方程为001x x y y +=， 令0x =可得01y y =；令0y =可得01x x =；则301,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭、0410,y Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()00,Q x y 是椭圆22184x y +=上的点，所以2200184x y +=≥ （当且仅当00x y =时，等号成立），则00x y ≤所以3434001122Q OQS OQ OQx y==≥=；（3）由0213190||02||DH MNλ=可得1913120020MN DHλ+=，即220MN DHλ-=，所以DHMNλ=；假设存在λ>，使得0213190||02||DH MNλ=成立；即存在λ>，使得DHMNλ=成立；由题意可知，直线l的斜率存在且不等于零，不妨设直线l的方程为()2y k x=-，其中0k≠，设()33,M x y、()44,N x y，由()222184y k xx y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得：()2222128880k x k x k+-+-=，则()()4222126432132320k k k k∆=--=+>+，234223428128812kx xkkx xk⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以)22112k MNk+ ===+，又()343424412ky y k x xk--=++=+所以线段MN的中点H的坐标为22212422,1k kk k⎛++⎫-⎪⎝⎭；则MN的中垂线方程为2222141221k ky xk k k⎛⎫+=--+⎝+⎪⎭，令0y =可得22212k x k =+，即点D 的坐标为222,021k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以DH ==，因此212DH MN k ===+，因为0k ≠，所以()2111,k +∈+∞，则DH MN ⎛= ⎝⎭，故不存在4λ>，使得DH MN λ=成立；即不存在4λ>，使得0213190||02||DH MN λ=成立. 【名师指导】求解椭圆中是否存在参数满足某条件的问题时，一般需要先假设存在，再联立对应的直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等，由题中条件，得出所需的等量关系，进一步求解即可.21．【思路点拨】（1）利用新定义列出不等式组，求解即可；（2）通过令3n k =，31n k =+，32n k =+，分别利用新定义，列出不等关系式，求解λ的最大值；（3）令112⎛⎫=- ⎪⎝⎭nn x ，验证条件Ⅰ，利用数列{}n x 收敛于A ，判断条件Ⅱ，通过2021111()-++-=-=-∑n n kn kn k k x x a xx ，得1202111111222-=⎡⎤⎛⎫⎛⎫---==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑n n k k a ，即可证明202111k k a =>∑.【解析】（1）由题意可知，2434(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-⎩，得563x ≤≤；（2）当3,=∈n k k N 时，3333131(3)1233(31)131313--=⋅-⋅=---n nn nT ，11,313λλλ--≤-≤-n n n n T T ，所以2121313143131λ----≤≤=--n n ；当31,=+∈n k k N 时，13333131(3)151233313131313---=⋅-⋅=⋅---n n n n T ，1λ-≤n n T T ，1151245123131313131115121512313131313λ-⋅--≤≤=⋅--n n ；当32,=+∈n k k N 时，23333131(3)181233313131313---=⋅-⋅=⋅---n nn nT ，1λ-≤n n T T ，118125412313131313718121812313131313λ-⋅--≤≤=⋅--n n ，综上，λ的最大值为11. （3）证明：令112⎛⎫=- ⎪⎝⎭nn x ，显然n x 具有性质(1)P ，且满足条件（Ⅰ），当,1→∞→n x x ，满足条件（Ⅱ），20212020111-+++==-=-∑∑n n k n kk n k k k x x a xa x ，即2021111()-++-=-=-∑n n k n k n k k x x a x x ，所以11202120211111111111[11]222222-++-+==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---==--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑n n n n k n k n k k k k k a a ，所以20211221==≥>∑kkk a，即证202111k k a =>∑.【名师指导】本题考查了数列的新定义与数列的敛散性问题，注意利用等比数列的前n 项和的公式代入求解判断，判断数列的敛散性需要结合数列的极限值判断出数列收敛于某个确定的值.。
上海市2021届高三下学期4月二模试题数学试题及答案
上海市2021高三数学二模试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1．已知集合{}{}221,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是2．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为． 3．在等差数列}{n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则=++654a a a ．4．若2tan -=α，α是直线b kx y +=的倾斜角，则α=．（用α的反正切表示） 5．设(12i)34i z +=-（i 为虚数单位），则||z =．6．直角坐标系xoy 内有点A （2，1），B （0，2），将线段AB 绕直线1y =旋转一周，所得到几何体的体积为．7.已知平面向量1122(,),(,)a x y b x y ==，若2,3,6a b a b ==⋅=-，则1122x y x y +=+8．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =的反函数经过点()1,2，则a=．9．某学生参加3门课程的考试。
假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为45，3,525，且不同课程是否取得合格水平相互独立。
则该生只取得一门课程合格的概率为． 10．已知P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 为椭圆的左、右焦点，则1211PF PF +的最小值为． 11．已知{}n a 是等差数列，设n n a a a T +++= 21()n *∈N ．某学生设计了一个求n T 的算法框图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ←____________．12．不等式12sin x a y x+≥-+对一切非零实数,x y 均成立，则实数a 的范围为（第11题图）结束 开始 输入n n ≤5 T n ←－n 2＋9n 输出T n YN13．平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.定义11,P x y 、22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y ，已知点1,0B ，点M 是直线30(1)kxy k k 上的动点，(,)d B M 的最小值为．14．当n 为正整数时，用()N n 表示n 的最大奇因数，如(3)3,(10)5,N N ==，设(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+，则数列{}1(2)n n S S n --≥的前n 项和的表达式为．二、选择题（每小题5分，共20分）15．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） （A ） 若α⊥l , m l ⊥, 则mα； （B ）若α//l , m α, 则 m l //；（C ）若α⊥l , α//m , 则 m l ⊥； （D ） 若α⊥l , m l ⊥, 则 α//m ； 16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ） （A ）笛卡儿—解析几何； （B ）帕斯卡—概率论；（C ）康托尔—集合论；（D ）祖暅之—复数论； 17．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈. 下列命题中真命题是（ ）(A) 若*n N ∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列(B) 若*n N ∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列(C) 若*n N ∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列(D) 若*n N ∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列18．方程sin cos 0x x x +=的正根从小到大地依次排列为12,,,,n a a a ，则正确的结论为（ ）（A ）102n n a a π+<-<（B ）1212n n n a a a +++<+ （C ）1212n n n a a a +++=+ （D ）1212n n n a a a +++>+三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）19．已知向量()()wx a wx sin 3,1,1,cos 1+=+=（w 为常数且0>w ），函数()x f ⋅=在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()x f y =的图象向右平移6wπ个单位，可得函数()x g y =的图象，若()x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为增函数，求w 的最大值．20．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=（1）证明：PN AM ⊥；（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角的最大值的正切值。
2021年上海市闵行区高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年上海市闵行区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）设集合2{|340}A x x x =--<，{|22}B x x =-<<，则A B= ．2．（4分）复数12(iz i i+=为虚数单位）的共轭复数为 ． 3．（4分）在无穷等比数列{}n a 中，21a =，5127a =，则12lim()n n a a a →∞+++= ．4．（4分）已知函数13sin 1()||1x f x x=，若f （a ）2021=，则()f a -= ． 5．（4分）已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34(,)55P -．则cos2α= ．6．（4分）若直线l 的参数方程为1()13x tt R y t =+⎧⎪∈⎨=+⎪⎩，则直线l 的倾斜角为 ． 7．（5分）在62(1)x-的二项展开式中，中间一项的系数为 ．（用数字作答）8．（5分）如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，2PF x ⊥轴，且2||PF 是1||PF 与12||F F 的等差中项，则双曲线的渐近线方程为 ．10．（5分）若四边形ABCD 是边长为4的菱形，P 为其所在平面上的任意点，则||PA PC PB PD ⋅-⋅的取值范围是 ．11．（5分）已知函数f （x ）＝，若f （x ）在区间D 上的最大值存在，记该最大值为K {D }，则满足等式K {[0，a ）}＝3•K {[a ，2a ]}的实数a 的取值集合是 ．12．（5分）已知数列*{}()n a n N ∈满足121321||||||(2)n n n a a a a a a a n +-=-+-++-，且11a =，2(1)a a a =>，则12324a a a a ++++= ．（结果用含a 的式子表示） 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（5分）设2:log 0p x <，:1q x <，则p 是q 成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分亦非必要条件14．（5分）如图是函数()sin()6f x x ππ=+在一个周期内的图象，该图象分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C 、D ，i 为x 轴上的基本单位向量，则()(BC BD i +⋅= )A ．1-B ．56-C ．56 D ．5315．（5分）已知函数()(0)af x x a x=+>，120x x <<，且12()()f x f x =，给出以下结论：①122x x a +>②12(2)()f a x f x <恒成立．则( ) A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①错误，②错误16．（5分）在直角坐标平面上，到两条直线0y =与y x =的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是( ) A ．18B ．182C ．36D ．362三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知函数2()log (21)x f x =+． （1）证明：()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；（2）若函数()()F x m f x =+在区间[0，2]上存在零点，求实数m 的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===．（1）求四棱锥M ABCD -的体积； （2）求直线MC 与平面ADM 所成的角．19．（14分）某植物园中有一块等腰三角形ABC 的花圃，腰长为20米，顶角为30︒，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE 表示(D 、E 两点分别在腰AB 、AC 上，以下结果精确到0.01)． （1）如果曲线DE 是以A 为圆心的一段圆弧（如图1)，求AD 的长；（2）如果曲线DE 是直道（如图2)，求AD AE +的最小值，并求此时直道DE 的长度．20．（16分）如图，已知椭圆22:14x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆Γ上异于A 、B 的一点，直线:4l x =，直线AP 、BP 分别交直线l 于两点C 、D ，线段CD 的中点为E ．（1）设直线AP 、BP 的斜率分别为AP k 、BP k ，求AP BP k k ⋅的值；（2）设ABP ∆、ABC ∆的面积分别为1S 、2S ，如果212S S =，求直线AP 的方程； （3）在x 轴上是否存在定点(,0)N n ，使得当直线NP 、NE 的斜率NP k 、NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）对于有限集1{S a =，2a ，3a ，，1m a -，*}(m a m N ∈，3)m ，如果存在函数()(()f x f x x =除外），其图象在区间D 上是一段连续曲线，且满足()f S S =，其中(){()|f S f x x S =∈，}S D ⊆，那么称这个函数()f x 是P 变换，集合S 是P 集合，数列1a ，2a ，3a ，，1m a -，m a 是P 数列．例如，{1S =，2，3}是P 集合，此时函数()4f x x =-是P 变换，数列1，2，3或3，2，1等都是P 数列．（1）判断数列1，2，5，8，9是否是P 数列？说明理由；（2）若各项均为正数的递增数列*{}(12021,)n a n n N ∈是P 数列，若P 变换9()f x x=，求122021a a a ⋅⋅⋅的值；（3）元素都是正数的有限集1{S a =，2a ，3a ，，1m a -，*}(m a m N ∈，3)m ，若i j a a <，总有j ia S a ∈，其中1i ，j m ．试判断集合S 是否是P 集合？请说明理由．2021年上海市闵行区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）设集合2{|340}A x x x =--<，{|22}B x x =-<<，则A B = (1,2)- ．【解答】解：2{|340}{|(4)(1)0}{|14}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{|12}AB x x =-<<．故答案为：(1,2)-． 2．（4分）复数12(iz i i+=为虚数单位）的共轭复数为 2i + ． 【解答】解：122iz i i+==-+， ∴2z i =+，故答案为：2i +．3．（4分）在无穷等比数列{}n a 中，21a =，5127a =，则12lim()n n a a a →∞+++=92． 【解答】解：在无穷等比数列{}n a 中，由21a =，5127a =， 得352127a q a ==，即13q =，则213a a q ==． ∴11239lim()11213n n a a a a q →∞+++===--． 故答案为：92． 4．（4分）已知函数13sin 1()||1x f x x=，若f （a ）2021=，则()f a -= 2021- ． 【解答】解：函数1313sin 1()||sin 1x f x x x x==-，函数是奇函数， 所以f （a ）2021=，则()f a f -=-（a ）2021=-． 故答案为：2021-．5．（4分）已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34(,)55P -．则cos2α= 725-． 【解答】解：因为角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点34(,)55P -，所以445tan 335α==--，所以222222161179cos 21612519cos sin tan cos sin tan ααααααα---====-+++． 故答案为：725-． 6．（4分）若直线l的参数方程为1()1x t t R y =+⎧⎪∈⎨=+⎪⎩，则直线l 的倾斜角为 3π．【解答】解：直线l的参数方程为1()1x tt R y =+⎧⎪∈⎨=+⎪⎩，消去参数得到：11)y x =-，整理得1y =+-所以直线的斜率tan k θ=， 由于[0θ∈，)π， 故3πθ=．故答案为：3π． 7．（5分）在62(1)x-的二项展开式中，中间一项的系数为 160- ．（用数字作答）【解答】解：62(1)x-的二项展开式共7项，∴中间一项为第4项，且3333162()160T C x x-+=-=-，∴中间一项的系数为160-．故答案为：160-．8．（5分）如图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为1651．【解答】解：由正六棱柱的18条棱中任取两条，共有218153C =种， 考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直， 其中是互相垂直的异面直线共有26448⨯⨯=种， 所以它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为481615351=． 故答案为：1651． 9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，2PF x ⊥轴，且2||PF 是1||PF 与12||F F 的等差中项，则双曲线的渐近线方程为 22y x =± ． 【解答】解：设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由x c =，可得2221c b y a a=±-=±，则22||b PF a=，由P 为双曲线的右支上一点，可得212||2||2b PF a PF a a=+=+，由2||PF 是1||PF 与12||F F 的等差中项，可得22222b b a c a a=++，可得2222()b c a a a c =-=+，即为3c a =， 则2222b c a a =-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±． 故答案为：22y x =±．10．（5分）若四边形ABCD 是边长为4的菱形，P 为其所在平面上的任意点，则||PA PC PB PD ⋅-⋅的取值范围是 [0，16) ．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设ABD α∠=，OA a =，OD b =，(0,)A a ，(0,)C a -，(,0)B b ，(,0)D b -，(,)P x y ，则4sin OA α=，4cos OD α=，(0,)2πα∈，则2(0,)απ∈，(,)PA x a y =--，(,)PC x a y =---，(,)PB b x y =--，(,)PD b x y =---，所以222PA PC x y a ⋅=+-，222PB PD x y b ⋅=+-，则2222||||16|cos sin |16|cos 2|[0PA PC PB PD b a ααα⋅-⋅=-=-=∈，16)． 故答案为：[0，16)．11．（5分）已知函数f （x ）＝，若f （x ）在区间D 上的最大值存在，记该最大值为K {D }，则满足等式K {[0，a ）}＝3•K {[a ，2a ]}的实数a 的取值集合是．【解答】解：函数f （x ）的大致图象如右图所示， 由K {[0，a ）}＝f （x ）max ，x ∈[0，a ），结合图象可知，，此时，则，而时，或，当时，，满足条件； 当，即时，，满足条件．∴实数a 的值可以为或．故答案为：．12．（5分）已知数列*{}()n a n N ∈满足121321||||||(2)n n n a a a a a a a n +-=-+-++-，且11a =，2(1)a a a =>，则12324a a a a ++++= 23210a + ．（结果用含a 的式子表示） 【解答】解：因为121321||||||n n n a a a a a a a +-=-+-++-，所以213212||||||(3)n n n a a a a a a a n --=-+-++-，所以11||n n n n a a a a +--=-，所以11||n n n n a a a a +-=+-， 因为11a =，2(1)a a a =>， 所以3211a a a a =-=-， 4332||a a a a a =+-=， 5443||1a a a a a =+-=+， 6554||2a a a a a =+-=+，⋯⋯所以11n n a a --=，3n ， 所以1,1,24,3*n n a a n a n n n N =⎧⎪==⎨⎪+-∈⎩且，所以123241(1)(1)(20)a a a a a a a a a ++++=++-++++⋯++2312320a =++++⋯+ 23210a =+，即1232423210a a a a a ++++=+．故答案为：23210a +．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（5分）设2:log 0p x <，:1q x <，则p 是q 成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分亦非必要条件【解答】解：由于命题22log 0log 101p x x ⇔<=⇔<<； :01:1P x p x ∴<<⇒<，q 推不出p ；故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．14．（5分）如图是函数()sin()6f x x ππ=+在一个周期内的图象，该图象分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C 、D ，i 为x 轴上的基本单位向量，则()(BC BD i +⋅= )A ．1-B ．56-C ．56 D ．53【解答】解：由题意得5(,0)6A ，1(0,)2B ，A 为CD 的中点，5(6BA =，1)2-，(1,0)i =，52(3BC BD BA +==，1)-，所以55()10(1)33BC BD i +⋅=⨯+⨯-=．故选：D ．15．（5分）已知函数()(0)af x x a x=+>，120x x <<，且12()()f x f x =，给出以下结论：①122x x a +>②12(2)()f a x f x <恒成立．则( ) A ．①正确，②正确 B ．①正确，②错误 C ．①错误，②正确 D ．①错误，②错误【解答】解：对于①，因为120x x <<，且12()()f x f x =，所以1212(0)a ax x a x x +=+>，于是1212()()0x x x x a --=，因为12x x <，所以12x x a =，所以1212x x x x a +>=122x x a +①对； 对于②，因为120x x <<，且12()()f x f x =，由函数()(0)af x x a x =+>的性质得，120x a x <<<，由①知122a sqrta x x <-<，因为()f x 在(a ，)+∞上单调递增，所以12(2)()f a x f x -<，所以②对． 故选：A ．16．（5分）在直角坐标平面上，到两条直线0y =与y x =的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是( ) A ．18B ．182C ．36D ．362【解答】解：设点(,)P x y 是曲线C 上的任意一点，由点P 满足平面内到两条定直线0x =，y x =距离之和为3， ||32x ∴+=，当03y 时①x y 时，(21)320x y ∴+--=， ②x y 时，(21)320x y -++=， 当30y -时①x y 时，(21)320x y ∴-+-=， ②x y 时，(21)320x y +-+=，分别画出四条直线如下图，易知四边形ABCD 为矩形，直线(21)320x y +-=与直线(21)320x y ++的距离为12|3232|62(21)1422h +∴==-+-直线(21)320x y -+=与直线(21)320x y --的距离为2h ∴==，12h h ∴⋅==故选：B ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知函数2()log (21)x f x =+． （1）证明：()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；（2）若函数()()F x m f x =+在区间[0，2]上存在零点，求实数m 的取值范围． 【解答】证明：（1）在R 上任取1x ，2x ，且12x x <， 则11221222221()()log (21)log (21)log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，12x x <，1202121x x ∴<+<+，12210121x x +∴<<+，12221log 021x x +∴<+，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在(,)-∞+∞上为增函数．（2）()()F x m f x =+在区间[0，2]上存在零点，2log (21)x m ∴=-+在[0，2]上有解，由（1）知2log (21)x m =-+在[0，2]上为减函数，∴当0x =时，m 取得最大值为1-，当2x =时，m 取得最小值为2log 5-， 2log 51m ∴--，m ∴的取值范围为2[log 5-，1]-．18．（14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===．（1）求四棱锥M ABCD -的体积； （2）求直线MC 与平面ADM 所成的角．【解答】解：（1）在梯形ABCD中，2AB=，2CD AB=，则1CD=，所以1()32ABCDS AB CD AD=+⋅=，又四棱锥M ABCD-的高2h AM==，所以棱锥M ABCD-的体积123ABCDV S h=⋅=；（2）因为AM⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以AM CD⊥，又因为AB AD⊥，//AB CD，所以CD AD⊥，又AM AD A=，AM，AD⊂面ADM，所以CD⊥面ADM，所以CMD∠为直线MC与平面ADM所成的角，在Rt CDM∆中，1CD=，222tan22MD CMD=∠==，所以2arctan CMD∠=，故直线MC与平面ADM所成的角为2 arctan4．19．（14分）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30︒，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE表示(D、E两点分别在腰AB、AC上，以下结果精确到0.01)．（1）如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1)，求AD的长；（2）如果曲线DE是直道（如图2)，求AD AE+的最小值，并求此时直道DE的长度．【解答】解：（1）设AD x =，依题知，扇形DAE 的面积为2126DAE S x π=⋅⋅扇形，又ABC ∆的面积为2120sin301002ABC S ∆=⋅︒=， 由12ABC DAE S S ∆=扇形得：215026x π⋅⋅=，解得：2600x π=，13.82x ∴≈（米)故AD 的长约为13.82米．（2）如图2，线段DE 平分ABC ∆的面积，设AD x =，AE y =，∴11sin3010022xy ⋅︒=⨯， 200xy ∴=，又2202AD AE x y xy +=+=（当且仅当102x y ==时取等号）， 此时20228.28AD AE +=≈（米)，2222cos307.32DE x x =-︒≈（米) 综上，AD AE +的最小值约为28.28米，此时直道DE 的长度约为7.32米．20．（16分）如图，已知椭圆22:14x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆Γ上异于A 、B 的一点，直线:4l x =，直线AP 、BP 分别交直线l 于两点C 、D ，线段CD 的中点为E ．（1）设直线AP 、BP 的斜率分别为AP k 、BP k ，求AP BP k k ⋅的值；（2）设ABP ∆、ABC ∆的面积分别为1S 、2S ，如果212S S =，求直线AP 的方程；（3）在x 轴上是否存在定点(,0)N n ，使得当直线NP 、NE 的斜率NP k 、NE k 存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）可求点A 、B 的坐标分别为(2,0)-、(2,0)，（2分）设(,)P x y ，则2214x y =-，所以222211422444AP BPx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；⋯（4分） （2）设点(2cos P θ，sin )(sin 0)θθ≠， 则直线AP 的方程为sin (2)2cos 2y x θθ=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+（6分）令4x =得3sin cos 1y θθ=+，所以点C 的坐标为3sin (4,)cos 1θθ⋯⋯⋯+（8分）由212S S =得3|sin |2|sin |cos 1θθθ=+，所以13cos ,sin 2θθ== 所以直线AP 的方程为32)y x =+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （3）同（2），设点(2cos P θ，sin )(sin 0)θθ≠， 直线AP 的方程为sin (2)2cos 2y x θθ=++同理可求直线BP 的方程为：sin (2)2cos 2y x θθ=--，令4x =得sin cos 1y θθ=-，所以点D 的坐标为sin (4,)cos 1θθ-，CD 中点24cos (4,)sin E θθ-⋯⋯⋯⋯（12分）24cos sin 24cos 24cos sin 2cos 4(2cos )(4)(4)2(4)cos NP NEk k n n n n n n n θθθθθθθθ---⋅=⋅==⋯⋯⋯⋯-----+-（14分）要使NP NE k k ⋅为定值，只需24(4)2(4)n n n -=--， 解得1n =，此时23NP NE k k ⋅=-所以在x 轴上存在定点(1,0)N ，使得NP NE k k ⋅为定值23-．⋯⋯⋯（16分）21．（18分）对于有限集1{S a =，2a ，3a ，，1m a -，*}(m a m N ∈，3)m ，如果存在函数()(()f x f x x =除外），其图象在区间D 上是一段连续曲线，且满足()f S S =，其中(){()|f S f x x S =∈，}S D ⊆，那么称这个函数()f x 是P 变换，集合S 是P 集合，数列1a ，2a ，3a ，，1m a -，m a 是P 数列．例如，{1S =，2，3}是P 集合，此时函数()4f x x =-是P 变换，数列1，2，3或3，2，1等都是P 数列．（1）判断数列1，2，5，8，9是否是P 数列？说明理由；（2）若各项均为正数的递增数列*{}(12021,)n a n n N ∈是P 数列，若P 变换9()f x x=，求122021a a a ⋅⋅⋅的值；（3）元素都是正数的有限集1{S a =，2a ，3a ，，1m a -，*}(m a m N ∈，3)m ，若i j a a <，总有j ia S a ∈，其中1i ，j m ．试判断集合S 是否是P 集合？请说明理由．【解答】解：（1）记{1S =，2，5，8，9}，存在函数()10f x x =-， 使得()f S S =，所以数列1，2，5，8，9是P 数列． （2）因为函数9()f x x =在区间(0,)+∞上是减函数， 所以1232020202199999a a a a a >>>>>， 因为递增数列*{}(12021,)n a n n N ∈是P 数列， 所以20212020202221122020202199999,,,,,,n na a a a a a a a a a -=====．记122021A a a a =⋅⋅⋅，则220211202122020202220211()()()()9n n A a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅=所以202112320213a a a a =．（3）不妨设1231m m a a a a a -<<<<<①当11a ≠时，考察312411111m ma a a a a a a a a a -<<<<<因为312411111,,,,,m m a a a a a S a a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭，故11a >， 且31241232111111,,,,,m m m m a a a a aa a a a a a a a a a ---=====， 即11(2)n n aa n m a -=所以{}(1)n a n m 是等比数列，1(1)n n a a n m =， 此时存在P 变换11()m a f x x+=，使得()f S S =，故集合S 是P 集合．②当11a =时，考察121a a =<，3142222m m a a a aa a a a -<<⋯⋯<<，因为3142222,,,,m m a a a aS a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭， 故31423212222,,,,m m m m a a a aa a a a a a a a ---====， 即21(3)n n a a n m a -=，所以{}(1)n a n m 是等比数列，12(1)n n a a n m -=，此时存在P 变换12()m a f x x-=，使得()f S S =，故集合S 是一个P 集合． 综合①，②可知，集合S 是一个P 集合．。
2021届上海市普陀区高三二模数学试题(解析版)
2021届上海市普陀区高三二模数学试题一、单选题1．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b --> B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【分析】利用作差法逐项进行判断即可.【详解】A ．因为()()22222222b a b a b a a b a b a b---+--==，+a b 的正负无法确定，故错误； B ．因为11b aab ab----=，ab 的正负无法确定，故错误； C ．因为()()22a b a b a b -=+-，+a b 的正负无法确定，故错误；D ．因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2230,024b b a b a ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭ ，所以330a b ->，所以33a b >，故正确，故选：D.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.2．设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是（ ）A ．()4,0±B ．()3,0±C ．(0,5)±D ．()0,4±【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置，求出c 的值，即可得出双曲线的焦点坐标. 【详解】716m <<，则160m ->，70m -<，所以，双曲线的标准方程为221167x y m m -=--，所以该双曲线的焦点在x 轴上，且216a m =-，27b m =-，则3c =， 因此该双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B.3．设,αβ是两个不重合的平面，,l m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是（ ）A ．l ⊂α，m ⊂α且l β//，//m βB ．l ⊂α，m ⊂β，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m【答案】C【分析】根据线面垂直的性质和面面平行判定定理的推论，可得由C 项的条件能证出//αβ，由面面平行判定定理和空间线面位置关系，对A 、B 、D 各项的条件加以推理，可得都有可能,l m 平行于,αβ的交线，得它们不正确.【详解】对于A ，若l α⊂，m α⊂且l β//，//m β，若,l m 是平行直线，则它们可能都平行于,αβ的交线，所以A 不正确； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，且//l m ，可得,l m 都平行于,αβ的交线，所以B 不正确；对于C ，l α⊥且//l m ，可得m α⊥，再由m α⊥，m β⊥，得到//αβ， 所以l α⊥，m β⊥且//l m 是//αβ的一个充分非必要条件，所以C 正确； 对于D ，由//l α，//m β，且//l m ，可能有,l m 都平行于,αβ的交线，所以D 不正确； 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题给出几个位置关系的条件，求能使//αβ的一个充分条件，正确解题的关键是要明确面面平行的判定定理.4．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-， 所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示， ①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x fx f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>， 即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>， 所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.二、填空题5．设全集U ={}1,0,1,2-，若集合{}1,0,2A =-，则UA___________．【答案】{1}【分析】根据集合的补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，全集U ={}1,0,1,2-，集合{}1,0,2A =-， 根据集合补集的概念及运算，可得{1}UA =.故答案为：{1}. 6．若复数2iz i+=（i 表示虚数单位），则Im z =__________． 【答案】2-【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后可直接判断出z 的虚部.【详解】因为()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，所以z 的虚部为2-， 所以Im 2z =-， 故答案为：2-. 7．函数1y x x=的零点为___________． 【答案】1【分析】令10y x ==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1. 故答案为：1.8．曲线24y x =的顶点到其准线的距离为__________． 【答案】1【分析】根据抛物线的定义求出顶点坐标和准线方程，求出其到准线的距离即可. 【详解】因为曲线24y x =，所以其顶点为(0,0)，准线方程为：1x =-， 所以曲线24y x =的顶点到其准线的距离为1， 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，正确解题的关键是要理解抛物线的性质，明确抛物线的顶点和焦点坐标. 9．若cos()13πθ+=，则cos θ=__________．【答案】12【分析】根据cos cos()33ππθθ=+-，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以cos cos()33ππθθ=+-cos()cos sin()sin 3333ππππθθ=+++1102=⨯+12=. 故答案为：1210．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______. 【答案】12π【分析】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是2r r ==∴球的表面积是4212ππ⨯⨯=.故答案为：12π.11．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】令0x =，所以()8011a -==， 令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nnax b ax bx ca b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果.12．设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，则公比q =_________．【答案】12【分析】根据无穷等比数列的求和公式和极限的运算公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，可得1111li +131m 1n n a S S a q q→∞=+=+-=-，解得12q =. 故答案为：12.13．设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -≤⎧⎨+-≤⎩，则3x y -的最小值为__________．【答案】3-【分析】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3x y -的最小值.【详解】记3z x y =-，由条件可知,x y 满足：02200,0x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：由图可知，当直线3z x y =-经过点A 时，此时纵截距最大，所以z 有最小值，又0220x x y =⎧⎨+-=⎩，所以01x y =⎧⎨=⎩，所以()0,1A ，所以min 0133z =-⨯=-， 故答案为：3-.【点睛】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤： （1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；（3）通过平移直线确定出直线纵截距取最值时直线所过可行域内的点的坐标，从而目标函数最值可求.14．某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为____________（结果用最简分数表示）． 【答案】47【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为114327124217C C P C ===. 故答案为：47. 15．设(),M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x ≤≤值为_________．【分析】233xy =+-32t ⎤=⎥⎦，分析函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32⎤⎥⎦上的单调性，求出()max f t ，即可得解.【详解】211x y x y =+++-3333x y x y xy xyxy +=++-=+-=+-，令32t ⎤===⎥⎦， 设()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()1g t t t=+32t ≤≤， 任取1t 、232t ⎤∈⎥⎦且12t t<1232t t ≤<≤，所以，()()()()12121212121221121111t t g t g t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121t t t t t t --=，12322t t ≤<≤，则120t t -<，121t t >，()()12g t g t ∴<，所以，函数()1g t t t =+在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2max 6332962232222f t f-⎛⎫-∴==+-+== ⎪ ⎪⎭，所以，11x y y x +-+的最大值为63632-=-. 故答案为：63-. 【点睛】关键点点睛：本题求解代数式最值的求解，解题的关键就是将代数式平方后，利用换元法将代数式的最值转化为函数的最值来处理. 16．如图，在△ABC 中，2C π=，3AC =，1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:1【分析】根据已知的向量关系先分析出120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒，然后通过设OCB θ∠=，根据相似三角形以及正弦定理找到,,OA OB OC 的关系，从而可求解出::OA OB OC 的结果.【详解】因为0OA OB OC OAOBOC++=，所以OA OB OC OAOBOC=+，所以22OA OB OC OA OB OC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以111211cos ,OB OCOB OC=++⋅⋅⋅<>，所以,1cos 2OB OC OB OC <>=-，所以120,OB OCOB OC<>=︒，即120BOC ∠=︒，同理可知：120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒， 不妨设OCB θ∠=，所以60OBC θ∠=︒-， 又因为2C π=，3AC =，1BC =，所以2,60AB ABC =∠=︒，所以()6060OBA θθ∠=︒-︒-=，所以18012060OAB θθ∠=︒-︒-=︒-，所以AOBBOC ，所以AO BOBO CO=，所以2OA OC OB ⋅=； 在BOC 中，sin sin sin BC OB OCBOC OCB OBC==∠∠∠，所以()1sin120sin sin 60OB OC θθ==︒︒-，所以23sin 3OB θ=， 又在AOB 中，sin sin OB ABOAB AOB=∠∠，所以()2sin 60sin120OB θ=︒-︒，所以()43sin 603OB θ=︒-， 所以()2343sin sin 60θθ=︒-，所以()sin 2sin 60θθ=︒-， 又因为()sin sin 60OB OC θθ=︒-，所以2OB OC=， 又因为2OA OC OB ⋅=，所以4OAOC=， 所以::4:2:1OA OB OC =. 故答案为：4:2:1.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到,,BOC AOB AOC ∠∠∠的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的O 点要注意和“内心”作区分.三、解答题17．如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径．点C 位于底面圆周上，且90BOC ∠=．异面直线PA 与CB 所成角的大小为60．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O --的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）83π；（2）3arccos（或写成arctan 2）． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线PA 与CB 所成角的大小为60求解出圆锥的高OP ，再根据圆锥的体积公式求解出其体积；（2）根据空间直角坐标系，分别求解出平面PBC 和平面OBC 的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC O --的大小.【详解】解：（1）设圆锥的高为h ．以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题设条件，可得(2,0,0)C 、(0,0,)P h 、(0,2,0)A -、(0,2,0)B ．(0,2,)PA h =--，(2,2,0)CB =-由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60， 得01cos602PA CB PA CB⋅⨯===，解得2h =． 圆锥的体积V =211822333Sh ππ=⨯⨯⨯=． （2）方法一：由（1）知()()()0,0,2,0,2,0,2,0,0P B C , 所以()0,2,2PB =-，()2,2,0BC =-， 设平面PBC 一个法向量为(),,m x y z =，所以00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00y z x y -=⎧⎨-=⎩，令1x =，所以()1,1,1m =，取平面BCO 一个法向量为()0,0,1n =， 所以cos ,13m n m n m n⋅<>===⋅ 结合图形可知二面角P BC O --为锐二面角， 所以二面角P BC O --的大小为arccos3； 方法二：取BC 的中点D ，连接OD 、PD ． 由OB OC =，得ODBC ；再由PB PC =，得PD BC ⊥．所以PDO ∠即为二面角P BC O--的平面角．PO ⊥圆锥的底面，所以PO OD ⊥，故POD 为直角三角形．在△POD 中，12OD BC==2PO =，故tan PDO ∠PO OD==即PDO ∠=P BC O --的大小为【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 18．设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -．（1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．【答案】（1）原方程的解集为{}2；（2）()28log 105g =-． 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当01x <<时，()2xg x =，通过计算得出()22258log 10log log 85g g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.【详解】（1）()()()22220log 22log 0f x f x x x +-=⇔+-=，则()222log 2log x x +=即220x x --=，解得2x =或1-．由20x x +>⎧⎨>⎩可得0x >，2x ∴=，所以，原方程的解集为{}2； （2）()2log f x x =，其中0x >，令2log y x =，可得2y x =，即()12x f x -=，所以当01x <<时，所以，()2xg x =，由于()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有()()2g x g x +=，()()g x g x -=-．342102<<，则23log 104<<，故()()()222225log 10log 104log 10log 16log 8g g g g ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 又因为15128<<，所以251log 08-<<，故28log 522588log log 2855g g ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()28log 105g =-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.19．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA （1,2,3,4i =），1230A A =米，214120A A A ∠=，D 为对角线24A A 和13A A 的交点．他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ．设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ．对于条件（1）中的L ，当11320.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由． 【答案】（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析． 【分析】（1）在△124A A A 中，根据正弦定理求出1423A A A ∠=公式可求出结果；（2）利用余弦定理求出1A D ，可得13A A ，利用三角形面积公式和扇形的面积公式求出1S ，2S ，可得1132||S LA A S -，再通过近似计算可得答案. 【详解】（1）根据题设条件，可得在△124A A A 中，24122A A A A =．由正弦定理，得2412214142sin sin A A A A A A A A A A =∠∠，即142123sin sin 234A A A π∠==．所以1423arcsinA A A ∠=，所以3arcsin 3πθ=-， 所以12260L A A θθ=⋅==360arcsin 3π⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭≈36米． 答：甬路L 的长约为36米．（2）由（1）得60L θ=，在△12A A D 中，由余弦定理，得21221800180303023030c cos 0os A D θθ=+-⨯⨯⨯=-，所以13022cos A D θ=-， 故13A A =6022cos θ-，所以13LA A =22cos θ-，2112002930S θθ==⨯⨯，2914303000(2s )sin 90n 0i 2S θθθθ=⨯⨯⨯-=-，故122sin S S θθθ=-， 当3arcsin34πθ=-时，0.11810.122sin 22cos θθθθθ-≈<--．所以此人的设计是“用心”的．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理、弧长和扇形的面积公式、三角形的面积公式求解是解题关键.20．已知曲线Γ：223412x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点．（1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）1)y x =+；（3）存在；4(,0)19M -． 【分析】（1）根据椭圆方程求出,a c ，再根据椭圆的定义可求出结果；（2）圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），根据弦长求出r ，再根据直线l 与圆2F 相切可出k ，从而可得直线l 的方程；（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，满足题意，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理求出AB 的中点坐标，利用AB 的中垂线方程求出M ，再根据点到直线的距离公式求出点M 到直线l的距离，再根据tan MAB ∠=可求出结果. 【详解】（1）根据题设条件，可得22143x y +=，故2a =，根据椭圆定义，可知12||||24AF AF a +==，1c =，12||22F F c ==，由12126AF AF F F ++=，得△12F AF 的周长为6．（2）设圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），令0x =，得y =，故=r = 由l 与圆2F 相切，得2(1,0)F 到直线l ：(1)y k x =+的距离d ==k =故直线l的方程为1)y x =+．（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 并整理，得2222(34)84(3)0k x k x k +++-=，42226416(34)(3)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>，令11(,)A x y ，11(,)B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，AB ==2212(1)34k k++， 121212(1)(1)()2y y k x k x k x x k +=+++=++2228623434k kk k k=-+=++， 故线段AB 的中点C 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段AB 中垂线1l 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =，得0x =2234k k -+，点M 22,034k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭到直线l的距离d =， 又因为||||MA MB =，所以tan 12d MAB AB ∠===2212(1)1034k k ++，k =，解得24k =，故4(,0)19M -．所以在x 轴上是否存在一点4(,0)19M -，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=. 【点睛】关键点点睛：设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），利用直线l 的方程与椭圆方程联立求出AB 的中点坐标，再根据AB 的中垂线方程得到M ，再根据点M 到直线l的距离与tan MAB ∠=建立方程求出2k 是解题关键， 21．记实数a 、b 中的较大者为max{,}a b ，例如{}max 1,22=，{}max 1,11=．对于无穷数列{}n a ，记{}212max ,k k k c a a -=（*N k ∈），若对于任意的*N k ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②sin 2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．【答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）12d <-；（3）证明见解析．【分析】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”可得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=，①若12S S ≥，推出1d ≤-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”； ②若12S S <，推出112d -<<-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解】（1）①中，由2121102k k a --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22102k k a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得14kk c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（k 为正整数），因为11131044414k k kk k c c ++⎛⎫⎛-⎫=-⎝⎛⎪⎫-=⎝ < ⎪⎭⎪⎝⎭⎭，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由121(1)k k a +-=-，20k a =，所以0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），因为3210c c =>=，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”，得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=． ①若12S S ≥，则212S S a -==10a d +≤，即10d +≤，也即1d ≤-， 此时{}n a 为递减数列，故230n a a a ≥>>>>．所以1234n S S S S S ≥>>>>>，故21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件． ②若12S S <，则20a >，则10d +>，即1d >-， 由{}{}112234max ,,c S S c S S =>=得23S S >， 则3320a S S =-<，则120a d +<， 即120d +<，解得12d <-，所以112d -<<-．此时{}n a 为递减数列， 所以1230n a a a a >>>>>>， 所以1234n S S S S S <>>>>>，所以当2k ≥且*k N ∈时，21211k k k k c S S c -++=>=，又12c c >， 所以21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件， 由①②可得，12d <-． （3）先证明必要性：用反证法．假设存在正整数m (3)m ≥，使得0m d =，21||0m m m d d d --=-=，令12m m d d a --==， 因为120,0d d >>，且21n n n d d d ++=-，所以0n d ≥，故0a ≥， 则数列{}n d 从1m d -项开始以后的各项为,,0,,,0,a a a a ，则当211k m -≥-时，212max{,)k k k c d d a -==，所以12122max{,}k k k c d d a +++==， 所以1k k c c a +==，与{}n d 是“趋势递减数列”矛盾． 故假设不成立，故{}n d 的项中没有0. 再证明充分性：由21n n n d d d ++=-，得{}21max ,n n n d d d ++<，因为{}n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠．于是230k d +≠（k 为正整数），所以2122k k d d ++≠，①当2122k k d d ++>时，{}{}1212221212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， ②当2122k k d d ++<时，{}{}1212222212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， 所以均有1k k c c +<，故{}n d为“趋势递减数列”的充要条件是数列{}n d的项中没有0．【点睛】关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.第 21 页共 21 页。
2021年上海市金山区高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年上海市金山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2AB =，3，4}，则m = ． 2．（4分）若关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= ．3．（4分）不等式01xx-的解集是 ． 4．（4分）若直线l 的参数方程为2(24x tt y t =⎧⎨=-+⎩为参数，)t R ∈，则l 在y 轴上的截距为 ．5．（4分）若2(a ib i a i+=+、b R ∈，i 为虚数单位），则a b += ． 6．（4分）某圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 7．（5分）若正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则|23|a b c +-= ． 8．（5分）一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为 ． 9．（5分）若首项为1、公比为13的无穷等比数列的各项和为S ，n S 表示该数列的前n 项和，则12lim()n n S S S nS →∞++⋯+-的值为 ．10．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 ． 11．（5分）若函数20212021()(1sin )(1sin )f x x x =++-，其中263xππ，则()f x 的最大值为 ． 12．（5分）已知向量a 与b 的夹角为60︒，且||2||2b a ==，若c a b λμ=+，其中22λμ+=，则向量a 在c 上的投影的取值范围为 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）毎题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（5分）函数2cos 2()y x x R =∈的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π14．（5分）下列命题为真命题的是( )A ．若直线l 与平面α上的两条直线垂直，则直线l 与平面α垂直B ．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C ．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D ．若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α平行15．（5分）设A 、B 为圆221x y +=上的两动点，且120AOB ∠=︒，P 为直线:34150l x y --=上一动点，则||PA PB +最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 16．（5分）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2021)f f +的最大值为( )A ．12B ．32C ．21-D ．21+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，AB 、AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，23AB km =，4AC km =，6BAC π∠=．（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道(A D C B --，D 在AC 两侧），其中AD ，CD 为线段．若3ADC π∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道ABC --的路程增加多少长度？（精确到0.01)km18．（14分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10． （1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．19．（14分）已知抛物线2:8y x Γ=的焦点为F ，半径为1的圆M 的圆心位于x 轴的正半轴上，过圆心M 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点，如图所示．（1）若圆M 经过抛物线Γ的焦点F ，且圆心位于焦点的右侧，求圆M 的方程； （2）是否存在定点M ，使得11||||MA MB +为定值，若存在，试求出该定点M 的坐标，若不存在，则说明理由．20．（16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣a n +1（n ∈N *）． （1）证明：数列{﹣1}为等比数列；（2）记b n ＝，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得S n ＞1.999的整数n 的最小值；（3）是否存在正整数m 、n 、k ，且m ＜n ＜k ，使得a m 、a n 、a k 成等差数列？若存在，求出m 、n 、k 的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）设m 为给定的实常数，若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()f x m f x f m +=+成立，则称函数()f x 为“()G m 函数”．（1）若函数()2x f x =为“G （2）函数”，求实数0x 的值； （2）若函数2()1af x lgx =+，为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围； （3）已知()()f x x b b R =+∈为“(0)G 函数”，设()|4|g x x x =-．若对任意的1x ，2[0x ∈，]t ，当12x x ≠时，都有1212()()2()()g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．2021年上海市金山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合{1A =，2，3，4}，集合{2B =，3，}m ，若{2A B =，3，4}，则m =4 ．【解答】解：{1A =，2，3，4}，{2B =，3，}m ，{2AB =，3，4}，4m ∴=．故答案为：4．2．（4分）若关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y -= 0 ．【解答】解：关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为204012⎛⎫⎪⎝⎭，即242x y =⎧⎨=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以220x y -=-=． 故答案为：0． 3．（4分）不等式01xx-的解集是 {|01}x x < ． 【解答】解：不等式01xx -等价于10(1)0x x x -≠⎧⎨-⎩， 解得01x <，即不等式的解集为{|01}x x < 故答案为：{|01}x x <4．（4分）若直线l 的参数方程为2(24x tt y t =⎧⎨=-+⎩为参数，)t R ∈，则l 在y 轴上的截距为 2- ．【解答】解：直线l 的参数方程为2(24x tt y t=⎧⎨=-+⎩为参数，)t R ∈， 转换为直角坐标方程为22y x =-+， 则：令0x =时，解得2y =-．所以在y 轴上的截距为2-． 故答案为：2-． 5．（4分）若2(a ib i a i+=+、b R ∈，i 为虚数单位），则a b += 1 ． 【解答】解：因为2a ib i i+=+， 所以21a i bi +=-+，故1a =-，2b =，所以1a b +=． 故答案为：1．6．（4分）某圆锥的底面积为4π，侧面积为8π，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为3π． 【解答】解：由圆锥的底面积为4π，24r ππ=，2r =， 圆锥侧面积公式28S rl l πππ==⨯⨯=，解得4l =， 设母线与底面所成角为θ，则1cos 2r l θ==， 3πθ∴=，故答案为：3π． 7．（5分）若正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则|23|a b c +-= 5 ．【解答】解：以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：(1,0),(0,1),(1,1)a b c ===，∴23(2,1)a b c +-=--，∴|23|5a b c +-=．8．（5分）一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同），经充分混合后，从袋中随机摸出3球，则摸出的3球中至少有一个是白球的概率为2021． 【解答】解：由题意，总的基本事件数是9球中取3个，由组合数公式得，总的基本事件数是3984C =种 3球中至少有一个是白球的”的对立事件是“没有白球”，“没有白球”即取出的三个球都是红球，总的取法共有344C =种 故事件“没有白球”的概率是418421= 所以，“3球中至少有一个是白球的”的概率是12012121-=故答案为：20219．（5分）若首项为1、公比为13的无穷等比数列的各项和为S ，n S 表示该数列的前n 项和，则12lim()n n S S S nS →∞++⋯+-的值为 34- ． 【解答】解：首项为1、公比为13的无穷等比数列的各项和为11311213a S q ===--， n S 表示该数列的前n 项和，11()333122313nn n S -==-⋅-， 12211(1())33111333133()(1)122333224313n n n nS S S nS n n -++⋯+-=-++⋯+-=-⨯=---， 所以12313lim()lim[(1)]434n n n n S S S nS →∞→∞++⋯+-=--=-．故答案为：34-．10．（5分）函数log (3)1(1a y x a =+-≠，0)a >的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则12m n+的最小值为 8 ． 【解答】解：2x =-时，log 111a y =-=-，∴函数log (3)1(0a y x a =+->，1)a ≠的图象恒过定点(2,1)--即(2,1)A --，点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=， 0m >，0n >，∴121244()(2)22428n m n mm n m n m n m n m n+=++=++++=， 当且仅当14m =，12n =时取等号．故答案为：811．（5分）若函数20212021()(1sin )(1sin )f x x x =++-，其中263xππ，则()f x 的最大值为 20212 ．【解答】解：函数20212021()(1sin )(1sin )f x x x =++-，2()63xππ， 则20202020()2021cos (1sin )2021cos (1sin )f x x x x x '=⋅+-⋅-， 当()0f x '=时，解得sin 1x =，解得2x π=，由于263xππ， 故sin x 在263xππ上恒大于0， 所以当()0f x '>时，[,]62x ππ∈，当()0f x '<时，2[,]23x ππ∈，所以当2x π=时，函数()f x 取得最大值，()f x 的最大值为20212021()(11)22f π=+=，故答案为：20212．12．（5分）已知向量a 与b 的夹角为60︒，且||2||2b a ==，若c a b λμ=+，其中22λμ+=，则向量a 在c 上的投影的取值范围为 1(2-，1] ．【解答】解：如图所示，设OA a =，2OD a =，OB b =，OC c =，22λμ+=，12λμ+=，又c a b λμ=+∴2OC OD OB λμ=+，C ∴在直线BD 上，当a 与c 同向时，即C 与D 重合时，a 在c 上的投影最大为||cos01a ⋅=， 作//OC BD ，此时a 在c 上的投影为21||cos 32a π⋅=-，但取不到， ∴a 在c 上的投影最小值大于12-， ∴a 在c 上的投影的范围为1(2-，1]，故答案为：1(2-，1]．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）毎题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（5分）函数2cos 2()y x x R =∈的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解答】解：函数2cos 2()y x x R =∈的最小正周期为22ππ=， 故选：B ．14．（5分）下列命题为真命题的是( )A ．若直线l 与平面α上的两条直线垂直，则直线l 与平面α垂直B ．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C ．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D ．若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α平行 【解答】解：对于A ，若直线l 与平面α上的两条直线垂直，只有当平面α上的两直线是相交线时，才有直线l 与平面α垂直，故A 错误；对于B ，若两条直线同时垂直于一个平面，则由线面垂直的性质得这两条直线平行，故B 正确；对于C ，若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故C 错误； 对于D ，直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，设A 、B 是直线l 上两点，若两点A 、B 在平面α的同侧，则//l α，若两点A 、B 在平面α的异侧，且线段AB 的中点在α上，则l 与α相交，故D 错误． 故选：B ．15．（5分）设A 、B 为圆221x y +=上的两动点，且120AOB ∠=︒，P 为直线:34150l x y --=上一动点，则||PA PB +最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知22()PA PB PD OD OP +==-， 由圆的性质可得OD AB ⊥，圆O 的半径为1，120AOB ∠=︒，可得12OD =， OP 的最小值即为点O 到直线l 的距离：3d ==，所以当且仅当O ，P ，D 三点共线时，||PA PB +取得最小值， 所以1||2||2(||||)2(3)52PA PB OD OP OP OD +=--=-=．故选：C ．16．（5分）已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足1(1)2f x +=，则(0)(2021)f f +的最大值为( )A ．12B ．32C ．1-D ．1+【解答】解：因为1(1)2f x +=+所以22111[(1)][()]242f x f x +-=--，令21()[()]2g x f x =-，则有1(1)()4g x g x +=-，故1()(1)4g x g x ++=①， 所以1(1)(2)4g x g x +++=②， ②-①可得，(2)()g x g x +=，故(2021)g g =（1）， 所以(0)g g +（1）1(0)(2021)4g g =+=，即22111[(0)][(2021)]224f f -+-=，由22211111[(0)(2021)]2{[(1)][(2021)]}22222f f f f -+--+-=， 即22[(0)(2021)1]f f +-， 故2(0)(2021)1f f ++，当且仅当(0)(2021)f f =时取等号， 所以(0)(2021)f f +的最大值为21+． 故选：D ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A B C A ---为某区的一条健康步道，AB 、AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，23AB km =，4AC km =，6BAC π∠=．（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道(A D C B --，D 在AC 两侧），其中AD ，CD 为线段．若3ADC π∠=，求新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道ABC --的路程增加多少长度？（精确到0.01)km【解答】解：（1）连接BC，ABC∆中，由余弦定理得2232cos 1612242322BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠+-⨯⨯⨯=， 1212BC ππ=⨯⨯⨯=，即()km π；（2）设AD a =，CD b =，ACD ∆中，由余弦定理得2216a b ab =+-，所以22()163163()2a b a b ab ++=++⨯， 解得8a b +，当且仅当4a b ==时取得等号，新建健康步道A D C --的最长路程8km ，823 1.39()km π--≈，故新建健康步道A D C --的路程最多可比原来有健康步道A B C --的路程增加1.39()km ． 18．（14分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10． （1）求棱1A A 的长；（2）求点D 到平面11A BC 的距离．【解答】解：（1）设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111103ABCD A B C S h Sh ⨯-⨯⨯=，即1122221032h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =． 故1A A 的长为3．（2）以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知及（1），可知(0D ，0，0)，1(2A ，0，3)，(2B ，2，0)，1(0C ，2，3)， 设平面11A BC 的法向量为(,,)n u v w =，有1n A B ⊥，1n C B ⊥， 其中1(0,2,3)A B =-，1(2,0,3)C B =-， 则有1100n A B n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即230230.v w u w -=⎧⎨-=⎩解得32v w =，32u w =，取2w =，得平面的一个法向量(3,3,2)n =，且||22n =． 在平面11A BC 上取点1C ，可得向量1(0DC =，2，3) 于是点D 到平面11A BC 的距离1||622||n DC d n ⋅==． 19．（14分）已知抛物线2:8y x Γ=的焦点为F ，半径为1的圆M 的圆心位于x 轴的正半轴上，过圆心M 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点，如图所示．（1）若圆M 经过抛物线Γ的焦点F ，且圆心位于焦点的右侧，求圆M 的方程； （2）是否存在定点M ，使得11||||MA MB +为定值，若存在，试求出该定点M 的坐标，若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）抛物线2:8y x Γ=的焦点为(2,0)F ， 则圆心(3,0)M ，故圆M 的方程为22(3)1x y -+=；（2）假设存在定点(M m ，0)(0)m >满足题意，设直线:l x ty m =+，联立28x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，可得2880y ty m --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128y y t +=，128y y m =-， 2222112211||||()()MA MB x m y x m y +=+-+-+ 1222212121||1||1||t y t y t y y =+=+++2121212221212()41||1||y y y y t y y t y y +-==++22643218t m t m+=+⋅，当且仅当3264m =，即2m =时，11||||MA MB +为定值12， 故存在(2,0)M ，使得11||||MA MB +为定值． 20．（16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣a n +1（n ∈N *）． （1）证明：数列{﹣1}为等比数列；（2）记b n ＝，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得S n ＞1.999的整数n 的最小值；（3）是否存在正整数m 、n 、k ，且m ＜n ＜k ，使得a m 、a n 、a k 成等差数列？若存在，求出m 、n 、k 的值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）数列{a n }中，已知a 1＝2，a n +1a n ＝2a n ﹣a n +1（n ∈N *）． 所以，整理得， 故，（）所以数列{﹣1}为等比数列；解：（2）由（1）得：，所以，所以＝＝，故＝．令，则2n +1＞2001，解得n ＞log 22001﹣1≈9.97， 所以n 的最小正值为10．解：（3）假设存在正整数m 、n 、k 满足题意，则2a n ＝a m +a k ， 即，整理得2n﹣m +1（2m ﹣1）（2k ﹣1）＝（2n ﹣1）（2k ﹣1）+2k﹣m（2n ﹣1）（2m ﹣1），由于m ＜n ＜k ，得到k ﹣m ≥2，n ﹣m +1≥2， 所以（2n ﹣1）（2k ﹣1）为奇数，而2n ﹣m +1（2m ﹣1）（2k ﹣1）和2k﹣m（2n ﹣1）（2m ﹣1）均为偶数，故（1）式不能成立，、即不存在正整数m 、n 、k 且m ＜n ＜k ，使得a m ，a n ，a k 成等差数列．21．（18分）设m 为给定的实常数，若函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()f x m f x f m +=+成立，则称函数()f x 为“()G m 函数”．（1）若函数()2x f x =为“G （2）函数”，求实数0x 的值； （2）若函数2()1af x lgx =+，为“G （1）函数”，求实数a 的取值范围； （3）已知()()f x x b b R =+∈为“(0)G 函数”，设()|4|g x x x =-．若对任意的1x ，2[0x ∈，]t ，当12x x ≠时，都有1212()()2()()g x g x f x f x ->-成立，求实数t 的最大值．【解答】解：（1）由()2x f x =为“G （2）函数”，得00(2)()f x f x f +=+（2）， 即0022222x x +=+，解得0243x log =，故实数0x 的值为243log ； （2）函数2()1af x lg x =+，为“G （1）函数”可知，存在实数0x ，使得00(1)()f x f x f +=+（1）成立，∴2200(1)112a a alglg lg x x =++++，即22200(1)12(1)a a x x =+++， 由2001ax >+，得0a >，整理得200(2)2220a x ax a -++-=． ①当2a =时，012x =-，符合题意；②当2a ≠时，由△244(2)(22)0a a a =---，即2640a a -+， 解得3535a -+且2a ≠，综上，实数a 的取值范围是[35-，35]+；（3）由()()f x x b b R =+∈为“(0)G 函数”，得00(0)()(0)f x f x f +=+成立， 即(0)0f =，从而0b =，则()f x x =， 不妨设12x x >，则由1212()()2()()g x g x f x f x ->-成立，即1212()()2g x g x x x ->-，得1122()2()2g x x g x x ->-，令()()2F x g x x =-，则()F x 在[0，]t 上单调递增， 又226,4()|4|22,4x x x F x x x x x x x ⎧-=--=⎨-<⎩， 作出函数图象如图：由图可知，01t <，故实数t 的最大值为1．。
2021-2021年上海市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2021-2021年上海市高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+417．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N= [0，1] ．【考点】并集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴N=（0，1]，则M∪N=[0，1]，故答案为：[0，1]2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b= 3 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；∴a+b=﹣2+5=3．故答案为：3．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125 （结果用数值表示）【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为 2 ．【考点】复数求模．【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：2．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5} ．【考点】反函数．【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a3=，则（a1+a2+…+a n）=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式、等比数列前n项和的极限性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1a3=1，a2+a3=，∴=1，=．解得a1=3，q=．则（a1+a2+…+a n）===．故答案为：．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．【考点】三阶矩阵．【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．【解答】解：由题意得，f（x）==cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．【解答】解：T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n=6．∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．故答案为：64．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），∴，∴bc=b2，∴b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴a==，∴直线AB的斜率k==．故答案为：．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=±．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴=2，解得k=±．∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．故答案为：y=±（x﹣1）．13．设函数f（x）=（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为（1，3] ．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）=，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a x≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．综上可得1＜a≤3．∴实数a的取值范围为：（1，3]．故答案为：（1，3]．14．在直角坐标平面，已知两定点A（1，0）、B（1，1）和一动点M（x，y）满足，则点P（x+y，x﹣y）构成的区域的面积为 4 ．【考点】简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域；数量积的坐标表达式．【分析】利用数量的数量积将不等式组进行化简，设M（s，t），将条件进行中转化，即可得到结论．【解答】解：由，得设M（s，t），则，解得，由，得．作出不等式组对应的平面区域，则对应平行四边形OABC，则A（0，2），B（2，0），C（2，﹣2），则四边形的面积S=2×，故答案为：4．二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件故选：A．16．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴该几何体的表面积=π×12+π×1×2+2×2=4+3π．故选：C．17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S △ABC表示△ABC的面积），且（+）•=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；∴；∴；∴4c2﹣a2=a2；∴a2=2c2=b2+c2；∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选：D．18．已知抛物线y=x2﹣7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A．5 B． C．6 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2﹣7化简可得x2﹣x﹣b﹣7=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣b﹣7，y1+y2=x12﹣7+x22﹣7=（x1+x2）2﹣2x1•x2﹣14=1+2b+14﹣14=1+2b，故AB 的中点为M（，b+），由点M在x+y=0上，即+b+=0，解得：b=﹣1，∴x1•x2=﹣6，∴由弦长公式可求出丨AB丨=•=•=5，故答案选：B．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，====；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．求：（1）异面直线PC与AD所成角的大小；（2）四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB，即可求出异面直线PC与AD所成角的大小；（2）利用体积、侧面积公式求出四棱锥P﹣ABCD的体积与侧面积．【解答】解：（1）由已知，有BC∥AD，AD⊥面PAB，故BC与PC所成的角∠PCB等于AD与PC所成的角，且BC⊥PB．…因BC=1，易知，故．故异面直线BC与PC所成角的大小为．…求得：，故由余弦定理，得；从而．…又，因此．…21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1，又AM的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），直线AN的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．即有k TP•k TQ=﹣1，即为•=﹣1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，即有=4，可得t2=4，解得t=±2，故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣，由|+|=||=|﹣|，两边平方可得•=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，即为（1+k2）•（﹣）+2k（）+4=0，化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，即有k=±，则所求直线的方程为y=±x+2．23．已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4=S3，a9=a3+a4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a k a k+1=a k+2，求正整数k的值；（3）是否存在正整数k，使得恰好为数列{a n}的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k；若不存在，请说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，运用通项公式，解方程可得d=2，q=3，即可得到所求通项公式；（2）当k为奇数时，当k为偶数时，运用通项公式，解方程可得k的值；（3）求得S2k，S2k﹣1，若为数列{a n}中的一项，整理化简求得k，m的值，再由数学归纳法证明，即可得到结论．【解答】解：（1）设{a n}的奇数项构成的等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，则．由已知，得故数列{a n}的通项公式为：．（2）当k为奇数时，由a k a k+1=a k+2，得．由于当k为偶数时，由a k a k+1=a k+2，得．综上，得k=2．（3）由（1）可求得，．若为数列{a n}中的一项，则．（i）若，则．当k=1时，m=3，结论成立；当k≠1时，，由，由于m为正奇数，故此时满足条件的正整数k不存在．（ii）若，显然k≠1，．由k＞1得．，因此，从而．当k=2时，3k﹣1=k2﹣1；下面用数学归纳法证明：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．①当k=3时，显然3k﹣1＞k2﹣1；②假设当k=l≥3时，有3l﹣1＞l2﹣1；当k=l+1时，由l≥3得3（l2﹣1）﹣[（l+1）2﹣1]=（l﹣1）2+（l2﹣4）＞0，故3（l+1）﹣1=3•3l﹣1＞3（l2﹣1）＞（l+1）2﹣1，即当k=l+1时，结论成立．由①，②知：当k≥3时，3k﹣1＞k2﹣1．综合（i），（ii）得：存在两个正整数k，k=1或2，使为数列{a n}中的项．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021上海所有区高三数学二模集锦（含答案）宝山2021学年第二学期高三数学教学质量检测试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若集合A??x|x?0?，B??x|x?1?，则A?B?____________
2.已知复数z满足2i?z?1?i （i为虚数单位），则z?____________
3.函数f?x??sinxcosx的最小正周期是
____________
cosxsinxx2y2?1?a?0?的一条渐近线方程y?3x，则a?____________ 4.已知双曲线
2?a815.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________
?x?y?0?6.已知x,y满足?x?y?2，则z?2x?y的最大值是____________
?x?2?0??x?t?1?x?3cos?7.直线?（t为参数）与曲线?（?为参数）的交点个数是
____________
?y?2?t?y?2sin??2x?x?0??????18.已知函数f?x???的反函数是f?x?，则
f?1???____________
?2???log2x?0?x?1?9.设多项式1?x??1?x???1?x?????1?x?为Tn，则lim23n?x?0,n?N?的展开式中x项的系数
*Tn?____________
n??n2
10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则
p?____________
??????11.设向量m??x,y?,n??x,?y?，P为曲线m?n?1?x?0?上的一个动点，若点P到
直线
x?y?1?0的距离大于?恒成立，则实数?的最大值为____________
12.设x1,x2,?,x10为1,2,?,10的一个排列，则满足对任意正整数m,n，且1?m?n?10，都有xm?m?xn?n成立的不同排列的个数为____________
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设a,b?R，则“a?b?4”是“a?1且b?3”的（） A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
B. 必要而不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
?PAC在该正方体各个14.如图，P为正方体ABCD?A1BC11D1中AC1与BD1的交点，则面上的射影可能是（）
A. ①②③④
15.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1,l2同侧，且P到l1,l2的距离分
别为1，3.
B.①③
C. ①④
D.②④
??????????????????点M,N分别在l1,l2上，PM?PN?8，则PM?PN的最大值为（）
A. 15
B. 12
C. 10
D. 9
16.若存在t?R与正数m，使F?t?m??F?t?m?成立，则称“函数F?x?在x?t处存
x2??在距离为2m的对称点”，设f?x???x?0?，若对于任意t?x?2,6，总存在正
?数m，使得“函数f?x?在x?t处存在距离为2m的对称点”，则实数?的取值范围是（）
A. ?0,2
?B. ?1,2?
C. 1,2
??D. 1,4
??
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
E、F分别是线段BC、CD1的中点. 如图，在正方体ABCD?A1BC11D1中，
（1）求异面直线EF与AA1所成角的大小；（2）求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知抛物线y?2px?p?0?，其准线方程为x?1?0，直线l过点T?t,0??t?0?且与
2抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.
????????（1）求抛物线方程，并证明：OA?OB的值与直线l倾斜角的大小无关；
（2）若P为抛物线上的动点，记PT的最小值为函数d?t?，求d?t?的解析式.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
对于定义域为D的函数y?f?x?，如果存在区间?m,n??D?m?n?，同时满足：①
f?x?在?m,n?内是单调函数；②当定义域是?m,n?时，f?x?的值域也是?m,n?则称函数f?x?是区间?m,n?上的“保值函数”.
（1）求证：函数g?x??x?2x不是定义域0,1上的“保值函数”；
2?? （2）已知f?x??2?值范围.
11?2?a?R,a?0?是区间?m,n?上的“保值函数”，求a的取aax20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列?an?中，已知
a1?1,a2?a,an?1?k?an?an?2?对任意n?N都成立，数列?an?的
*前n项和为Sn.（这里a,k均为实数）（1）若?an?是等差数列，求k；（2）若a?1,k??1，求Sn; 2（3）是否存在实数k，使数列?an?是公比不为1的等比数列，且任意
相邻三项am,am?1,am?2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设TüR,若存在常数M?0，使得对任意t?T，均有t?M，则称T为有界集合，同时称M为集合T的上界.
??2x?11??（1）设A1??y|y?x,x?R?、A2??x|sinx??，试判断A1、A2是否为有界集
2?2?1???合，并说明理由；
（2）已知f?x??x?u，记f1?x??f?x?,fn?x??ffn?1?x??n?2,3,??.若m?R，
2???1?u??,???，且B??fn?m?|n?N*?为有界集合，求u的值及m的取值范围；
?4?（3）设a、b、c均为正数，将?a?b?、?b?c?、?c?a?中的最小数记为d，是否存在正数???0,1?，使得?为有界集合C?{y|y?222d,a、b、c均为正数}的上界，222a?b?c若存在，试求?的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.
(0,1)
2.1
3. ?
4.3
5. 5.1
6. 3
7. 2
8. -1
9.
1 210. 0.03
14. C
11.
2 215.A
12.512 16.A
13. B
17. （1）arctan2 （2）arctan18.（1）y?4x，证明略（2）d(t)??22
2?2t?1,(t?2)?
??t,(0?t?2)
19. （1）证明略
13或a
22120. （1）k?
2（2）a>
感谢您的阅读，祝您生活愉快。