数学思想与数学文化——第一讲 数学是什么34页PPT
合集下载
数学文化
展涛，山东大学校长
展涛，男，回族，1963年4月出 生，山东兖州人，中共党员，理 学博士，教授，博士生导师。 1979年9月入山东大学数学系学 习，先后获得学士、硕士、博士 学位；1987年留校任教，先后被 评聘为讲师、副教授、教授； 1991年1月至1992年12月获德国 洪堡基金会奖励基金，赴德国弗 莱堡大学从事合作研究；1993年 4月任山东大学数学系副主任； 1995年3月任山东大学副校长； 1996年12月任山东大学党委常委、 副校长；2000年7月任山东大学 党委常委、校长。
关联 人 数 还 广 系系 为 学 包 义 ，， 成 教 括 ： 等数 分 育 数 除 等学 ， ， 学 上 。与 数 数 史 述 。各 学 学 ， 内 。种 与 发 数 涵 。文 社 展 学 以 化会中美外 的的的，，
他方 狭 们法 义 的、 ： 形观 数 成点 学 及、 的 发语 思 展言 想 。、 、 以精 及神 、
公公 拉 从 时古 元元 图 爱 期希 腊 前前 学 奥 数 三七 派 尼 学 世世 为 亚 分 纪纪 止 学 中，派 为 叶约到 三 到为柏 个
古希腊的数学家
古希腊的数学家 泰勒斯，被誉为科学之祖 毕达哥拉斯，发现勾股定理 欧几里德，以后欧洲几何学的基础 阿基米德，善用穷举法、趋近观念 丢番图，代数之父
中国的数学
祖冲之：计算出圆周率在 3．1415926和3.1415927之间， 成为世界上最早把圆周率数值推 算到七位数字以上的科学家。
杨辉：《详解九章算法》《杨辉算法》 杨辉三角是一个由数字排列成的三角 形数表，一般形式如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 6 4 3 6 2 3 4 1 1 1 5 1 6 1
数学思想与数学文化——第一讲-数学是什么
学物理。
(妻子胡和生均为中科院院士，苏步青学生。2010 年国家最高科技奖获得者。数学人生：一生尝尽 数学的深奥与抽象。)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
潘承洞，山东大学校长（1986-1997）
1934出生，江苏省苏州市人。1997年 12月27日在济南病逝。中国科学院院 士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著 的《哥德巴赫猜想》一书，为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想 研究工作的专著；1982年与王元、陈 景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果 获国家自然科学一等奖。
献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德·费格曼
（Richard Fegnman）曾说过：“若是没有数学语言，宇宙 似乎是不可描述的。”
例子
1)牛顿（Issac Newton）：微积分学---万有引力定律。
2)爱因斯坦（Albert Einstein）： Riemann几何---广义相对论。
王梓坤，北京师范大学校长（1984-1989）
1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生，师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南开 大学讲师、教授。1984年以来任 北京师范大学教授。1991年当选 为中国科学院院士。王梓坤是我 国概率论研究的先驱和主要领导 者之一。
（其专长于解析数论的研究，尤以哥德巴 赫猜想研究著名，与当代著名数学家华罗 庚、王元、陈景润一起成为中国数论派的 代表。）
展涛，山东大学校长（2000-2008）
回族，1963年4月出生，山东兖州 人，中共党员，理学博士，教授， 博士生导师。1979年9月入山东大 学数学系学习；1987年留校。1991 年1月至1992年12月获德国洪堡基 金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学 从事合作研究；1993年4月任山东 大学数学系副主任；1995年3月任 山东大学副校长；1996年12月任山 东大学党委常委、副校长；2000年 7月任山东大学党委常委、校长。 2008年11月任吉林大学校长。
(妻子胡和生均为中科院院士，苏步青学生。2010 年国家最高科技奖获得者。数学人生：一生尝尽 数学的深奥与抽象。)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
潘承洞，山东大学校长（1986-1997）
1934出生，江苏省苏州市人。1997年 12月27日在济南病逝。中国科学院院 士。1981年与其胞弟潘承彪合作编著 的《哥德巴赫猜想》一书，为世界上 第一本全面系统地论述哥德巴赫猜想 研究工作的专著；1982年与王元、陈 景润共同以哥德巴赫猜想的研究成果 获国家自然科学一等奖。
献于1965年获得了Nobel奖的物理学家理查德·费格曼
（Richard Fegnman）曾说过：“若是没有数学语言，宇宙 似乎是不可描述的。”
例子
1)牛顿（Issac Newton）：微积分学---万有引力定律。
2)爱因斯坦（Albert Einstein）： Riemann几何---广义相对论。
王梓坤，北京师范大学校长（1984-1989）
1929年4月生,江西吉安县人。 1952年毕业于武汉大学数学系。 1955年考入苏联莫斯科大学数学 力学系做研究生，师从于数学大 师 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南开 大学讲师、教授。1984年以来任 北京师范大学教授。1991年当选 为中国科学院院士。王梓坤是我 国概率论研究的先驱和主要领导 者之一。
（其专长于解析数论的研究，尤以哥德巴 赫猜想研究著名，与当代著名数学家华罗 庚、王元、陈景润一起成为中国数论派的 代表。）
展涛，山东大学校长（2000-2008）
回族，1963年4月出生，山东兖州 人，中共党员，理学博士，教授， 博士生导师。1979年9月入山东大 学数学系学习；1987年留校。1991 年1月至1992年12月获德国洪堡基 金会奖励基金，赴德国弗莱堡大学 从事合作研究；1993年4月任山东 大学数学系副主任；1995年3月任 山东大学副校长；1996年12月任山 东大学党委常委、副校长；2000年 7月任山东大学党委常委、校长。 2008年11月任吉林大学校长。
数学双基·新概念数学·数学文化(张奠宙)
记者：“傅聪先生，您曾经说过，现在的年轻 人弹奏技巧越来越好，能不能告诉我们，您的 潜台词是什么?”
傅聪：“现在很多孩子都是从3岁就开始练琴， 练到10多岁，基础打得很扎实，基本技巧好得 不得了，连我也很羡慕。但是呢，音乐其实他 们懂的并不多，所以我说技巧有时是音乐的敌 人，技巧和音乐根本是两码事。”
合作者。（全国标准 第二页） 误解：建构主义认为，教师不应该直接
告诉任何知识，要学生自己去建构。 启发式就是符合建构主义观点的！
“数学教育幽默之一
一。 合作学习 在一堂数学公开课上， 女生：你的头发有点乱。 男生：你的眉毛画得太浓 评课者：这堂课合作学习搞得很好，学
生很活跃。
数学教育幽默之二
双基教学的内涵（二）
做题要讲究速度。 例如20以内的加减法， 每分钟至少8个
精讲多练。 课堂练习丰富。 变式练习， 丰富多彩。 （如那道错题） 熟能生巧的教育古训 考试文化的正反效应。
双基教学的模式
常规模式：问题引入 – 师生讨论 – 巩固 练习三段论
教学方式：教师主导的由教师提问、师 生讨论的方式。
每一次“以西非中“的时候， 一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表我们要固步自封， 而是要在谈发展 之前， 我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。 免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理， 甚
至把自己的东西丢掉。
教训：要平衡， 不要搞片面性
双基与发展。 中国双基教学是否过时？ 记忆与理解。 三角公式要不要背？ 独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？ 知识积累与探究创新。 公开课课都必须探究？ 科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？ 形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考 艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？ 事先探究与事后反思。 反思教学的缺失
傅聪：“现在很多孩子都是从3岁就开始练琴， 练到10多岁，基础打得很扎实，基本技巧好得 不得了，连我也很羡慕。但是呢，音乐其实他 们懂的并不多，所以我说技巧有时是音乐的敌 人，技巧和音乐根本是两码事。”
合作者。（全国标准 第二页） 误解：建构主义认为，教师不应该直接
告诉任何知识，要学生自己去建构。 启发式就是符合建构主义观点的！
“数学教育幽默之一
一。 合作学习 在一堂数学公开课上， 女生：你的头发有点乱。 男生：你的眉毛画得太浓 评课者：这堂课合作学习搞得很好，学
生很活跃。
数学教育幽默之二
双基教学的内涵（二）
做题要讲究速度。 例如20以内的加减法， 每分钟至少8个
精讲多练。 课堂练习丰富。 变式练习， 丰富多彩。 （如那道错题） 熟能生巧的教育古训 考试文化的正反效应。
双基教学的模式
常规模式：问题引入 – 师生讨论 – 巩固 练习三段论
教学方式：教师主导的由教师提问、师 生讨论的方式。
每一次“以西非中“的时候， 一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表我们要固步自封， 而是要在谈发展 之前， 我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。 免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理， 甚
至把自己的东西丢掉。
教训：要平衡， 不要搞片面性
双基与发展。 中国双基教学是否过时？ 记忆与理解。 三角公式要不要背？ 独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？ 知识积累与探究创新。 公开课课都必须探究？ 科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？ 形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考 艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？ 事先探究与事后反思。 反思教学的缺失
漫谈数学文化.ppt
清晰、从条件到结论的环环紧扣；是从具 体到抽象再到具体的过程。这些特征，对 于训练人的素质是十分有用的。
13
“数学素养”的专业说法
● 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； ● 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思 想的素养； ● 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、 新概念、新方法的素养； ● 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻 解决问题的方法的素养； ● 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化， 建立数学模型的素养。
3
“数学文化”的内涵
狭义：数学的思想、精神、方法、观点、 语言，以及它们的形成和发展；
广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数 学史、数学美、数学教育、数学发展中的 人文成分、数学与各种文化的关系。
4
数学素养使人终身受益
一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级， 一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但 许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反， 大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数 学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以 为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方 式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实 践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。
14
举例： 1。乒乓球比赛问题 2。头发数目问题 3。Haoli塔问题 4。悖论：山村理发师问题 5。换啤酒问题：小明父亲买回10瓶啤酒，
商店规定3个空瓶可以换回一瓶啤酒。问他 不再化钱，最多可以喝多少瓶啤酒？（类 似有11头羊各分1/2,1/4,1/6.如何分）
15
微软公司招考员工的一道面试题
11
“数学素养”的通俗说法 —把所学的数学知识都排除或忘掉
13
“数学素养”的专业说法
● 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； ● 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思 想的素养； ● 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、 新概念、新方法的素养； ● 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻 解决问题的方法的素养； ● 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化， 建立数学模型的素养。
3
“数学文化”的内涵
狭义：数学的思想、精神、方法、观点、 语言，以及它们的形成和发展；
广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数 学史、数学美、数学教育、数学发展中的 人文成分、数学与各种文化的关系。
4
数学素养使人终身受益
一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级， 一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但 许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反， 大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数 学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以 为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方 式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实 践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。
14
举例： 1。乒乓球比赛问题 2。头发数目问题 3。Haoli塔问题 4。悖论：山村理发师问题 5。换啤酒问题：小明父亲买回10瓶啤酒，
商店规定3个空瓶可以换回一瓶啤酒。问他 不再化钱，最多可以喝多少瓶啤酒？（类 似有11头羊各分1/2,1/4,1/6.如何分）
15
微软公司招考员工的一道面试题
11
“数学素养”的通俗说法 —把所学的数学知识都排除或忘掉
最新整理“数学文化”课汇报.ppt
（原：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意 识、推理能力。）
核心词增加了四个，其中“创新意识”是近 年来中央强调的，“模型思想”是基本的数 学思想之一，下面特别谈谈“几何直观” “ 空间观念” 、“运算能力”这三个核心词。
几何直观
《课标（实验稿）》回避“几何”一词，通篇不见“几何” ，可能是因为起草人觉得：当年“几何”一词几乎等同于严 格的平面几何推理，而这正是需要改革的部分。 我国大多数数学家对此则有不同的看法。现在的《课标（ 2011年版）》不回避“几何”一词，把原来的四大领域之一 “空间与图形”修改为“图形与几何”，并且在核心词中增 加了“几何直观”。
新“课标”在理念上的变化
理念上的变化 一 数学是研究数量关系和空间形式的科学。
（原：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛 应用的过程。）
理念上的变化 二
人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学 上得到不同的发展。
知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的 课程目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志。
一、新“课标”未变理念和在 理念、内容上的变化
未变的理念
在谈数学新课标在理念上的变化之前，有必要 先看看哪些没有改变。
既然要全面理解、深刻领会、准确把握新课标 ，就不能仅仅关注变化了的东西，也要关注没 有改变的东西，即继续坚持的东西。
未变的理念
从宏观上看，全面育人、素质教育、三维目标的理念没有 改变，提倡学生自主、合作、探究、质疑的学习方式没有 改变，从而新课程改革的大方向没有改变。
几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。 几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了 什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象 到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方 式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来 ，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论 证思路，这实际上也就是一种合情推理，它为严 格证明结论奠定了基础。
核心词增加了四个，其中“创新意识”是近 年来中央强调的，“模型思想”是基本的数 学思想之一，下面特别谈谈“几何直观” “ 空间观念” 、“运算能力”这三个核心词。
几何直观
《课标（实验稿）》回避“几何”一词，通篇不见“几何” ，可能是因为起草人觉得：当年“几何”一词几乎等同于严 格的平面几何推理，而这正是需要改革的部分。 我国大多数数学家对此则有不同的看法。现在的《课标（ 2011年版）》不回避“几何”一词，把原来的四大领域之一 “空间与图形”修改为“图形与几何”，并且在核心词中增 加了“几何直观”。
新“课标”在理念上的变化
理念上的变化 一 数学是研究数量关系和空间形式的科学。
（原：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画 、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛 应用的过程。）
理念上的变化 二
人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学 上得到不同的发展。
知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的 课程目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志。
一、新“课标”未变理念和在 理念、内容上的变化
未变的理念
在谈数学新课标在理念上的变化之前，有必要 先看看哪些没有改变。
既然要全面理解、深刻领会、准确把握新课标 ，就不能仅仅关注变化了的东西，也要关注没 有改变的东西，即继续坚持的东西。
未变的理念
从宏观上看，全面育人、素质教育、三维目标的理念没有 改变，提倡学生自主、合作、探究、质疑的学习方式没有 改变，从而新课程改革的大方向没有改变。
几何直观与“逻辑”、“推理”也是不可分的。 几何直观常常是靠逻辑支撑的。它不仅是看到了 什么？而是通过看到的图形思考到了什么？想象 到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方 式。几何直观会把看到的与以前学到的结合起来 ，通过思考、想象，猜想出一些可能的结论和论 证思路，这实际上也就是一种合情推理，它为严 格证明结论奠定了基础。
数学的文化与文化的数学
数学的文化与文化的数学姓名：袁洋班级：2012214101学号：2012212643作为人类文化组成部分的数学，数学对于人类有其积极的作用。
一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关，由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。
所以说，数学与文化密不可分。
数学文化从狭义上看来，是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。
从广义上看来，除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。
数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等。
给予数学文化特别的重视一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。
数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。
进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。
一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。
走出数学孤立主义的阴影，数学的内涵十分丰富。
但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。
据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。
“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。
正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。
通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。
半个多世纪以前，著名数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。
数学思想和数学文化
数学思想和数学文化
数学思想与文化的教育
• 所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关 系反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果， 是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升 华，是对数学规律的理性认识，它是数学思维的 结晶，并直接支配数学的实践活动，是解决数学 问题的灵魂。所谓数学方法，就是数学思想的表 现形式，是指在数学思想的指导下，为数学活动 提供思路和逻辑手段，以及具体操作原则的方法， 是解决数学问题的根本策略和程序。数学思想和 数学方法既有联系又有区别，数学思想是数学方 法的理论基础和精神实质，数学方法是实施有关 数学思想方法的技术手段。
• 数学思想具有概括性和普遍性，数学方法具有操作性和具 体性。思想比方法在抽象程度上处于更高的层次。对于学 习者来说，思想和方法都是他们思维活动的载体，运用数 学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当 这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学 思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作 用。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概 念——数学思想方法。从而可以进一步概括出数学思想方 法的含义为：
• 3.重视课堂教学实践，在知识的引进、消化 和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思 想方法
• 4.通过范例和解题教学，综合运用数学思想 方法，巩固和深化数学思想方法，提高学 生自觉运用数学思想方法的意识。
2011版数学课标解析
宋塬电力希望小学 吴占军
认识课程标准
课标是教材编写、教学、评价、管理课程的依据
小学数学中常见的数学思想
• 1.集合思想 • 在小学数学中用这种直观方式体现集合思
想只是一种渗透，无需讲明，它利用的是 元素与集合的确定关系——一个元素要么 属于这个集合，要么不属于这个集合。作 为教师应该明确集合思想的教学目标，正 确把握教材，掌握渗透的方法，达到渗透 的目的。
数学思想与文化的教育
• 所谓数学思想是指现实世界的空间形式和数量关 系反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果， 是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升 华，是对数学规律的理性认识，它是数学思维的 结晶，并直接支配数学的实践活动，是解决数学 问题的灵魂。所谓数学方法，就是数学思想的表 现形式，是指在数学思想的指导下，为数学活动 提供思路和逻辑手段，以及具体操作原则的方法， 是解决数学问题的根本策略和程序。数学思想和 数学方法既有联系又有区别，数学思想是数学方 法的理论基础和精神实质，数学方法是实施有关 数学思想方法的技术手段。
• 数学思想具有概括性和普遍性，数学方法具有操作性和具 体性。思想比方法在抽象程度上处于更高的层次。对于学 习者来说，思想和方法都是他们思维活动的载体，运用数 学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当 这种积累达到一定程度时就会产生飞跃，从而上升为数学 思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作 用。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概 念——数学思想方法。从而可以进一步概括出数学思想方 法的含义为：
• 3.重视课堂教学实践，在知识的引进、消化 和应用过程中促使学生领悟和提炼数学思 想方法
• 4.通过范例和解题教学，综合运用数学思想 方法，巩固和深化数学思想方法，提高学 生自觉运用数学思想方法的意识。
2011版数学课标解析
宋塬电力希望小学 吴占军
认识课程标准
课标是教材编写、教学、评价、管理课程的依据
小学数学中常见的数学思想
• 1.集合思想 • 在小学数学中用这种直观方式体现集合思
想只是一种渗透，无需讲明，它利用的是 元素与集合的确定关系——一个元素要么 属于这个集合，要么不属于这个集合。作 为教师应该明确集合思想的教学目标，正 确把握教材，掌握渗透的方法，达到渗透 的目的。
初中数学专题 PPT课件 图文
然后利用“整体代入法”求代数式的值．
[对应训练]
．(·龙岩)若－＝π，则－＋π＝．
π
转化思想
【例 2】 (2015·深圳)解方程：2xx－3＋3x5－2＝4. 解：去分母得：3x2－2x＋10x－15＝4(2x－3)(3x－2)，整理得： 3x2－2x＋10x－15＝24x2－52x＋24，即 7x2－20x＋13＝0，分解因式
解：(1)y＝3[30000x－－32（00xx－＝1100）0x－，2（000]≤x＝x≤－130x，2＋且13x0为x（整1数0＜）x≤30， 且x为整数）
(2)在 0≤x≤10 时，y＝100x，当 x＝10 时，y 有最大值 1000；在 10
＜x≤30 时，y＝－3x2＋130x，当 x＝2123时，y 取得最大值，∵x 为整数， 根据抛物线的对称性得 x＝22 时，y 有最大值 1408.∵1408＞1000，∴顾客
得：(x－1)(7x－13)＝0，解得：x1＝1，x2＝173，经检验 x1＝1 与 x2 ＝173都为分式方程的解
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化 思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要 验根．
[对应训练] ．(·枣庄)图①所示的正方体木块棱长为 ，沿其相邻三个面的对角 线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图② 的几(3 何2＋ 体3表面6)从顶点爬提高解题 能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及 中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问 题的意识．
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中 一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学 思想方法有：整体思想、转化思想、方程与函数思想、数形结合思 想、分类讨论思想等．