(完整版)高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)
高中数学立体几何知识点总结(详细)
高中数学立体几何知识点总结一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形1.3 棱柱的面积和体积公式ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
高中数学—立体几何知识点总结(精华版)
立体几何知识点一.基本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)（规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]）斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
面，那么这两个平面平行。
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。
8.（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
(完整版)高中数学必修2立体几何知识点
高中数学必修 2 知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的构造特色(略)棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球：1.2 空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积4圆台的表面积S 2 rl2r 2 3 圆锥的表面积S rlr 2 S rl r 2Rl R2 5 球的表面积S 4R26扇形的面积公式S扇形n R21lr （此中l表示弧长，r表示半径）3602（二）空间几何体的体积1柱体的体积 V S底h 2 锥体的体积1S底h V33台体的体积V1S上h4 球体的体积V4R3（下下3S上 SS )3第二章直线与平面的地点关系2.1 空间点、直线、平面之间的地点关系1平面含义：平面是无穷延展的 , 无大小，无厚薄。
2平面的画法及表示450，且横边画成邻边的（1）平面的画法：水平搁置的平面往常画成一个平行四边形，锐角画成 2 倍长（2）平面往常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也能够用表示平面的平行四边形的四个极点或许相对的两个极点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。
3三个公义：（1）公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l符号表示为B ll AB公义 1 作用：判断直线能否在平面内（2）公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为： A、B、C 三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、 B∈α、 C∈α。
高中立体几何（全一册）
高中立体几何 (全一册)第一章直线和平面第三单元空间直线和平面一、教法建议【抛砖引玉】本单元主要研究空间直线与平面的位置关系，是立体几何基础中的支柱．通过研究空间直线与平面位置关系的判定和性质，用以解决立体几何中的计算和证明问题．空间直线和平面的位置关系共分为两类：一是直线在平面内，如果一条直线上有不同的两点落在同一个平面内，那么整条直线就落这个平面内．此时直线这个点集是平面点集的真子集；二是直线在平面外，直线在平面外又分为两种情况：直线与平面平行，这里有平行的定义、平行的判定和平行的性质；还有直线与平面相交，当直线与平面有且仅有一个交点时，直线就与平面相交，相交时又有两种不同的位置关系，第一是直线与平面垂直，垂直的定义、垂直的判定和垂直的性质，同时提出了立体几何中最重要的定理──三垂线定理及其逆定理，为后续知识的学习奠定坚实的基础；第二是直线与平面斜交，有直线在平面内的射影和直线与平面所成角的概念．本单元的重点之一是研究直线与平面的平行．平行的定义是直线与平面没有公共点；如何判定直线与平面的平行呢？如果平面外的一条直线和这个平面内的某一条直线平行，那么这条直线就平行于这个平面．这就是判定定理，简称为“线线平行，线面平行”．直线和平面平行以后又有些什么性质呢？当直线a平行于平面α以后是否有平面内任何一条直线都平行于直线a呢?结论是否定的，我们有如下的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面与已知平面相交，那么这条直线就和交线平行．这是直线与平面平行的性质定理，简称为“线面平行，线线平行．”这两种简称都要在理解原定理的意思中说出各个线和面的意义．本单元重点之二是研究直线与平面的垂直．垂直的定义要求很高，一条直线如果垂直于一个平面内的任何一条直线，那么称这条直线垂直于这个平面．有了这个要求很高的定义以后，判定就变行相对宽松一些，如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么称这条直线垂直于已知平面．注意它的证明纯粹应用平面几何中等腰三角形的性质和判定．此外，还有两条平行直线与平面垂直的判定和性质的两个定理．平面的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的锐角，特别地当直线垂直于平面时，直线与平面成直角；当直线平行于平面时，直线与平面成零角．因此，设Q是直线l与平面α所成的角时，角θ的取值范围是θ∈[0，2 ]．本单元的重点之三是三垂线定理及其逆定理，它们都是研究直线与直线关系的．在研究空间图形时，常常利用它们把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，证明问题也的这样，所以三垂线定理及其逆定理是立体几何的重要支柱．这两个定理的证明仅仅用到直线与平面垂直的判定和定义，是不难掌握的，同学们在学习过程中应特别注意的是搞清三垂线定理及其逆定理的区别，应用定理时，说清究竟是用三垂线定理，还是三垂线定理的逆定理．【指点迷津】本单元的知识，既重要，又难学．教师对学生的指导必须在给学生认真讲清概念关键的同时，用模型给学生摆清各种直线和平面的位置关系，解决好使学生建立空间概念的问题．在教学过程中使学生的空间想象能力逐步得到培养；同时还要学会把空间想象出来的线面关系在二维平面上表示出来．在纸面上画出来．也就是要做到：第一，直线与平面的位置要想得出，能理解，会比划；第二是把想象出的位置关系画到平面上．这是有一定难度的．因为平面几何研究的是二维的平面图形的性质，学生从初中升入高一，本来就对想象三维空间的线面关系感到困难，又要把想象出来的三维线面关系重新表示到二维纸面上来，画好图，画得直观、生动，关键是符合科学性，而且看到图又要能想象出位置关系，而这个过程是必须要过的，而且一定要过好，这就叫做空间想象能力的培养．二、学海导航【思维基础】学习本单元的知识，主要抓住空间直线与平面的平行、斜交和垂直三种主要位置关系．每一种位置关系都要搞清一系列问题．例如，怎样定义直线与平面平行？如何判定直线与平面平行，有几种方法？直线与平面平行以后，有些什么性质？又例如，怎样定义直线与平面的垂直？如何判定直线与平面垂直，有几种方法？直线与平面垂直以后，又有些什么性质？都必须通过整理，弄懂弄通，运用自如，才真掌握了这些知识；还比如，平面的斜线中有一个斜线长和射影长的定理，这是必须注意定理的条件、前提，必须是以平面外一点出发的诸多斜线和一条垂线，如果遗忘这个条件，结论虽然是不对的．所以要求同学们认真地阅读理解定理中的原文原句，正确地掌握其内在含意．试完成以下各题：1．直线和平面平行的充要条件是这条直线和平面内的（）（A）一条直线不相交（B）两条直线不相交（C）任意一条直线都不相交（D）无数条直线不相交2．设a、b是两条异面直线，下列命题中，正确的是（）（A）有且仅有一条直线与a、b都垂直（B）有一个平面与a、b都垂直（C）过直线a有且仅有一个平面与b平行（D）过空间任何一点必可作一条直线与a、b都相交3．正方体AB CD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，则EF与对角面AA1C1C 所成的角是（）（A）300 （B）450（C）600（D）15004．设P是△AB C所在平面外一点，则点P在此三角形所在平面内的射影是△AB C的垂心的主要条件是（）（A）P A=P B=PC （B）P A⊥B C且P B⊥A C（C）点P到△AB C三边的距离相等（D）P A、P B、PC与△AB C所在平面所成的角相等5．已知△AB C 在平面α的同侧，顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别是11、7、3，G 是△AB C 的重心，则G 到平面α的距离等于 ．6．已知长方体AB CD —A ′B ′C ′D ′中，AA ′=5，AB =12，那么直线B ′C ′′与平面A ′B CD ′的距离等于 ．7．在长方体AB CD —A 1B 1C 1D 1中，AB =6，A D=8，AA 1=3.6，A E 与低面对角线B 1D 1垂直于点E ．（1）求证 A 1E B 1D 1；（2）求 A E 的长．【学法指要】例1．四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数最多的是 （ ）(A )1个(B )2个 (C)3个 (D)4个 解：如图，当四棱锥P —AB CD 的侧棱P A 垂直于底面AB CD 时，P A ⊥AB ，P A ⊥A D ，△P AB 和△P A D 都是直角三角形；当底面AB CD 是矩形时，∵B C ⊥AB ，由三垂线定理知B C ⊥P B ，∴△P B C 也是直角三角形，同理△PCD 也是直角三角形，因此侧面中直角三角形的个数最多是4个，选（D ）．例如2．等腰直角三角形△AB C 中，AB =A C=1，P A ⊥平面AB C ，且P B =2．求P A 与平面P B C 所成角的正弦值． ( )解：如图，在AB C 中作A C ⊥B C 于D ，则D 是B C 中点，且A D=22，又因为P A =2，PD=412322+=， ∵A D ⊥B C ，由三垂线定理知PD ⊥B C ，∴B C ⊥平面P A D ，平面P A D ⊥平面P B C ， 过A 作A O ⊥PD 于O ，则A O ⊥平面P B C ．∠A PO=θ就是P A 与平面P B C 所成的角，在Rt △P A D 中，A O=PA AD PD ⋅=23， ∴sin θ=AO PA =13．即P A 与平面P B C 所成角的正弦值等于13． 例3．异面直线a 、b 分别与平面α平行，且a 、b 到平面α的距离相等，A 是直线a 上任意一点,B 是直线b 一的任意一点，求证线段AB 被平面α平分．证明：设CD 是异面直线a 、b 的公垂线段，CD 交平面α于点O ，则CO=DO ，如图，过D 作直线a ′∥a ，则相交直线a ′与b 确定的平面与平面α平行．过点A 作A ′A ⊥直线a ′，交直线a ′于点A ′，则AA ′⊥面α，设AA ′交平面α于点M ，则由于异面直线a 、b 到平面α的距离相等,所以A M=M A ′，即M 是AA ′的中点，又设AB 交平面α于点P ，连MP 、A ′B ． 由于相交直线a ′与b 所确定的平面与平面α平行，这两个平行平面被平面AA ′B 所截，截得的交线MP 与A ′B 平行，由M 是AA ′的中点，知PM 是△AA ′B 的中位线，故P 是AB 的中点，即线段AB 被平面α平分．例4．在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后记为G ，那么在四面体S-EFG 中必有 （ ）（A ）SG ⊥△EFG 所在平面（B ）SD ⊥△EFG 所在平面（C ）GF ⊥△SEF 所在平面（D ）GD ⊥△SEF 所在平面解：由于在平面图形SG 1G 2G 3中，SG 1⊥G 1G 2，SG 3⊥G 2G 3，所以折成四面休SGEF 中，∠SGE=∠SGF=Rt ∠，GE 、GF 、相交于点G ，因此SG ⊥△EFG 所在平面．故应选（A ）例5．已知∠BA C 在平面α内，P A 是平面α的斜线，若∠P AB =∠P A C=∠BA C=600，P A =a ．求点P 到坪面α的距离．解：过点P 作PO 平面α，∵∠P A C=∠P AB ，∴A O 平分∠BA C ，在平面α内，作OC ⊥A C于点C ，连PC ，由三垂线定理知PC ⊥A C ．又∵∠P A C=600，P A =a ，∴A C=a 2∴A O=AC a cos30330= 在Rt △P A O 中，PO=PA AO a a a 22221363-=-= 故点P 到平面α的距离为63a ． 例6．如图，AB CD 是边长为2a 的正方形，M 、N 分别是AB 、A D 的中点，PC ⊥平面AB CD ，PC=a ．（1）求证：B D ∥平面PMN ；（2）求点B 到平面PMN 的距离．解：（1）∵M 、N 分别是正方形AB CD 的边AB 、A D 的中点，∴MN ∥B D ，MN ∈平面PMN ，∴B D ∥平面PMN ．（2）∵AB CD 是正方形，∴B D ⊥A C ，MN ∥B D∴MN ⊥A C又∵PC ⊥平面AB CD ，MN ⊂平面AB CD ，∴MN ⊥PC ．又PC ∩A C=点C ．∴MN ⊥平面EPC ．在平面EPC 内，作O H ⊥PE 于点H ，则MN ⊥O H ，∴O H ⊥平面PMN ，由于B D ∥平面PMN ，所以O H 的长就是点B 到平面PMN 的距离．在Rt △PCE 中，PC= a ，EC=（）∴PE=222a ，又EO=22a ∵△E H O ∽△ECP ，∴O H ：PC=EO ：PE ， ∴O H =PC EO PE a ⋅=1111． 故点B 到平面PMN 的距离为1111a ． 例7．如图，A D 是△AB C 中B C 边上的高，在A D 上取一点E ，使A E=12ED ，过E作直线MN 平行于B C ，交AB 于M ，交A C 于N ，现将△A MN 沿MN 折过去，此时点A 到了A ′的位置，如果∠A ′ED=600，求证：E A ′⊥平面A ′B C ．证明：连结A ′B 、A ′C 、A ′D ，∵A E=12ED ，A ′E=A E ， ∴A ′E=12ED ，∠A ′ED=600， 在A ′ED 中，由余弦定理求得A ′D =32ED ． ∴E A ′D=900，即E ′A ⊥A ′D ．又A D ⊥B C ，MN ∥B C ，∴MN ⊥A D ．即MN ⊥A ′E ，MN ⊥ED ．因此MN ⊥平面E A ′D ，即B C ⊥平面E A ′D ．E A ′⊂平面E A ′D∴E A ′⊥B C ，E A ′⊥A ′D ，A ′D ∩B C=点C∴E A ′⊥平面A ′B C评注：通常是知道位置关系，如平行，垂直等来进行计算，这里的关键在于利用A E=12ED 和∠A ED=600这两个数量关系来推断E A ′⊥A ′D ，这个位置关系，同学们应该学会．例8．已知平面α、β相交于直线PQ ，线段O A 、O B 分别垂直于平面α、β，其中A 、B 为垂足．求证：（1）PQ ⊥平面A O B（2）PQ ⊥AB ．证明：（1）∵O A ⊥平面α⇒ O A ⊥PQPQ ⊥平面αO B ⊥平面β ⇒ PQ ⊥平面A O B⇒ O B PQPQ ⊂平面βO A ∩O B =点O（2）∵PQ ⊥平面A O BPQ ⊥ABAB ⊂平面A O B评注：同学们在推理论证的学习达到一定的熟练程度的时候，可以学习运用推出符号“⇒”来进行论证，这样的证明因果关系清晰，简洁明了．但是应注意两点，第一是条件必须具备齐全，然后直接运用定理便可推出；第二是必须按序一步一步地推得，不能把条件全部罗列，一个推出符号“⇒”就得到最后结论，这是不对的，请同学们学习时注意．例9．如图，地平面上有一竖直的旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一条基线AB ，AB =20米，在A 点处测得点P 的仰角为∠O A P=300，在B 点处测得点P 的仰角为∠O B P=450，又测得∠A O B =600．求旗杆的高（结果可以保留根号）．解：设旗杆的高OP =h ，在Rt △P A O 中，∴∠P A O=300，∴A O=3h ，在Rt △P B O 中，∵∠P B O=450，∴B O=h ，在△A O B 中，∠A O B =600，由余弦定理知AB 2=A O 2+B O 2-2A O ·B O cos600,∴400=3h 2+h 2-23·h 212 ∴(4-3)h 2=400.H =2043-(米)．答：旗杆的高度为h =2043-米．例10．在四面体AB CD 中，已知棱AB ⊥CD ，棱A C ⊥B D ．求证棱A D ⊥B C ．证明：设顶点A 在平面B CD 内的射影为O ，即 A O ⊥平面B CD 于点O ，则因为AB ⊥CD ，由三垂线逆定理知B O ⊥CD ，同理CO ⊥B D ． 因此O 时△B CD 的垂心，连DO ，则DO ⊥B C ，由三垂线定理知A D ⊥B C ．评注：应用三垂线定理时，正定理和逆定理不能搞错．已知平面内的直线与斜线在这个平面内的射影垂直，得到平面内的直线与斜线垂直是三垂线定理．反之，已知平面内的直线与平面的斜线垂直，推得这条直线和斜线在已知平面内的射影也垂直，是三垂线定理的逆定理．例11．已知Rt △AB C 的斜边AB 在平面α内，两直角边A C 、B C 与平面α分别成θ1和θ2角，若平面AB C 与平面α成二面角为．求证：sin 2θ1+sin 2θ2=sin 2φ证明：设直角顶点C 在平面α内的射影为O ，连结A O 、B O ，则∠C A O=θ1，∠C B O=θ2．设CO=h ，则sin θ1=h AC, sin θ2=h BC在平面AB C 中，作CD ⊥AB 于D ，连结OD ，由三垂线逆定理知OD ⊥AB 且∠CDO=φ就是平面AB C 与平面α所成二面角的平面角，而且sin φ=h CD∵sin 2θ1+sin 2θ2 =h AC h BC h AC BC AC BC 22222222+=⋅+⋅ =h AB AC BC 2222⋅⋅ 在Rt △AB C 中，∵CD ·AB =A C ·B C ，∴⋅⋅AB AC BC =1CD． ∴sin 2θ1+sin 2θ2=h AB AC BC 2222⋅⋅=h CD22=sin 2φ． 故有结论成立．例12．平面M 的一条斜线与平面M 所成的角为α，该平面内过斜足的一条直线与斜线在平面内的射影所成的角为β，与斜线所成的角为γ．求证：cos γ=cos α·cos β．证明：如图，PO 是平面M 的垂线，P A 是平面M 的斜线，O A 就是斜线P A 在平面M 内的射影，∠P A O=α就是斜线P A 与平面M 所成的角．AB 是平面M 内过斜足A 的直线，它与射影O A 所成的角为，即∠O AB=β，AB 与斜线P A 所成的角为γ，所以∠P AB =γ．在平面M 内，作O B ⊥AB 于点B ．连结P B ，则由三垂线定理知P B ⊥AB ，因此，在Rt△P A O ，Rt △A O B 和Rt △P B O 中，有cos α=OA PA ，cos β=AB OA ，cos γ=AB PA因此有 cos γ=cos α·cos β．例13．已知三棱锥P —AB C 的三条侧棱P A 、P B 、PC 两两互相垂直．(1)求证点P 在平面AB C 内的射影G 是△AB C 的垂心；(2)求证△A P B 、△B PC 、△CP A 的面积平方和等于△AB C 面积的平方；(3)设二面角P —AB —C 、P —B C —A 、P —C A —B分别为α、β、γ，求证cos α·cos β·cos γ≤39 证明：（1）P A ⊥P BP A ⊥PC ⇒P A ⊥平面PB C⇒ P A ⊥B C ⇒A G ⊥B CP B ∩P B =点P PC ⊂平面P B C A G 是P A 的射影同理 B G ⊥A C ，CG ⊥AB 所以G 是△AB C 的垂心．（2）延长A G 交B C 于H ，连结P H ，∵P A ⊥平面P B C ，P H ∈平面P B C ，∴P A ⊥P H 即∠A P H =900．在Rt △P AH 中，P H 2=AH ·G H ．∴（S △B PC ）2=14B C 2·P H 2=14B C 2·AH ·G H =（12B C ·AH ）（12B C ·G H ）=S △AB C ·S △G B C ． 同理（S △A P B ）2=S △AB C ·S △GBC ，（S △CP A ）2=S △AB C ·S △GC A ，将三式相加，便得（S △B PC ）2+（S △CP A ）2+（S △A P B ）2=（S △AB C ）2(3)∵cos=S S GAB PAB ∆∆，cos=S S GBC PBC ∆∆，cos=S S GCA PCA∆∆， ∴cos 2+cos 2+cos 2=1 ∵cos cos cos (cos cos cos )22232221313αβγαβγ⋅⋅≤++= ∴cos cos cos 222127αβγ⋅⋅≤ ∵α、β、γ为锐角．∴cos cos cos αβγ⋅⋅≤39【思维扩散】空间的直线与平面是立体几何第一章的重点．每种位置关系展开都有一系列判定定理和性质定理，学习过程中对定理的条件，定理应用的适用范围必须作周密的考虑和判定，不能一概而论，肓目应用．看下面的两个命题：命题1．已知平面α∩平面β=直线l ，直线b ∥平面α，直线b ∥平面β，则直线∥b ．命题2．已知P A 是平面α的斜线，PO 是平面α的垂线，如果直线l 垂直于斜线P A ，那么直线l 一定垂直于其射影PO ．命题1中的结论显然是正确的，可以这样来证明：过直线b 作平面γ，设γ∩β=直线a ，则因为直线b ∥平面β，所以直线b ∥直线a ，又因为直线b ∥平面α，直线a 在平面α外，所以，直线a ∥平面α，平面β是经过a 且与平面α相交于直线l 的平面，所以直线a ∥直线l ，由三线平行公理知直线b ∥直线l ．命题2中的结论显然是错误的．平面α的垂线，斜线摆好以后，三垂线定理说的是“平面α内”的直线l ，这个条件省略以后，命题就可能是不正确的．因为垂直于斜线P A 的直线许多种不同的位置，只要在垂直于P A 的 平面内的直线都垂直于P A ，但显然不能都与射影O A 垂直．思想问题首先应该严格按照命题的条件，题目的已知，其次是在允许范围内多方位、多角度地思考问题，可以为我们创造性思维的培养奠定坚实的基础．三、智能显示【心中有数】本单元直线与平面的位置关系是立体几何第一章线面关系的重点，主要是空间直线与平面平行、空间直线与平面垂直及空间直线与平面斜交三种位置关系，每种位置关系都有定义、判定、性质等一整套理论，必须熟练地掌握，正确地使用．【动脑动手】解答下列一组题目，以检查学习效果：1．已知直线a 、b 和平面α，以下四个命题中，①a ∥b②a ⊥α ⇒b ⊥α⇒ a ∥b a ⊥αb ⊥α ③a ⊥α④a ∥α ⇒ b ∥α⇒ b ⊥α a ⊥ba ⊥b 其中正确命题是(A ) ①、②（B ）①、②、③ (C) ②、③、④ （D ）①、②、④2．已知直线m 、n 和平面，则α⊥β的一个充分条件是（A ）m ⊥n ，m ∥α，n ∥β（B ）m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α（C ）m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β（Ｄ）m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β3．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面内（A ）不存在与l 平行的直线（B）不存在与l垂直的直线（C）与l垂直的直线只有一条（Ｄ）与l平行的直线无数多条4．在下列命题中，偶命题是（）（A）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（B）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，过a且与b垂直（C）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b所成的角相等（Ｄ）若a、b是异面直线，则一定存在平面α，与a、b的距离相等5．如图，点P是三棱锥S—AB C的面S B C内一点．（1）过P作PQ∥平面AB C；（2）过（1）中得到的PQ作平面α∥平面AB C；（3）在面AB C内求一点R，使PR∥平面S AB，且R到A C和B C的距离相等．6．已知M、N是棱长为a的正方体AB CD—A1B1C1D1中棱A1B1和A1D1的中点．（1）求证B D∥平面A MN；（2）求点B到平面A MN的距离．【创新园地】正四棱柱AB CD—A1B1C1D1中，AB=a，AA1=b (b＞a)，A M⊥A1B，交B1B于点M．（1）求证：B D1⊥平面M A C；（2）求点B到平面M A C的距离．证明：（1）D1A1是平面AA1B1B的垂线，B D1是平面AA1B1B的斜线，A1B是斜线B D1在平面AA1B1B内的射影，A M是平面AA1B1B内的一条直线，因为A M⊥A1B，由三垂线定理知B D1⊥A M；又D1B⊥A C，A C∩A M=点A，所以B D1⊥平面M A C．（2）解法（一），作对角面BB1D1D，交A C于O，连OM，则OM就是对角面BB1D1D 与平面M A C的交线，∵A C⊥平面BB1D1D，∴平面A MC⊥平面BB1D1D，在平BB1D1D内，作BH⊥OM于点H则BH就是点B到平面M A C的距离．∵AB=a，AA1=b，Rt△AB M∽Rt△A1AB，∴BMABABAA=1，∴B M=ab2．又∵B O=22a，∴MO=BM BOaba b2222242+=+．因此BH=BM BOMOa a ba b⋅=++2222222．解法（二）：∵AB=a, AA1=b，同理求得B M=ab2．因为AB C的面积为12a2，所以三棱锥M—AB C的体积是V SH a a b a b==⋅⋅=1313126224． 另一方面，因为B O=a 22a ，MO=2222b a b a +， 所以A MC 的面积为 S A MC=12A C ·MO=22222b a ba +． 设B 到平面A MC 的距离为x ，则三棱锥M —AB C 的体积又可以这样计算：x S V A M C ⋅=∆31 所以 ba b a b a x 622314222=+⋅ 即 x =2222222ba b a a ++ 因此点B 到平面A MC 的距离为2222222b a b a a ++． 评析：求点到平面的距离，方法很多，可能直接作出这个距离来求，一般要用到平面与平面的垂直．因为两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．点到平面的距离就可以求出来了．另一种方法是不作出距离，而是利用体积法换法，直接求出点到平面的距离．（本单元完）【思维基础】答案：1．C ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．7；6．1360； 7．A E=6．【动脑动手】答案：1．A ；2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．略； 6．a 32．四、同 步 题 库A 组（一）选择题1.下面说法中，正确的是（ ）（A ）若一条直线与一个平面不相交，则这条直线和这个面平行；（B ）若一条直线与一个平面内任何一条直线都不相交，则此直线与这个平面平行； （A ） 若直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与平面平行；（B ） 若直线与平面内无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行.2.直线与平面垂直是指（ ）（A ） 直线与平面只有一个公共点；（B ） 直线与平面内的两条直线都垂直；（C ）直线与平面内无数条直线都垂直； （D ）直线与平面成90°角.3.和一个平面成等角的两条直线的位置关系（ ）（A ）平行； （B ）相交； （C ）异面； （D ）以上都可能 4.P 是△ABC 所在平面外一点，若PA=PB=PC ，则P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的（ ）（A ）外心； （B ）内心； （C ）垂心； （D ）重心 5.下列命题中正确的是（ ） （A ）⎩⎨⎧⊥⇒⊥b a a b a α//； （B ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥b a a b a //α（C ）⎩⎨⎧⇒⊥⊥αα//a b a a （D ） ⎩⎨⎧⊥⇒⊥ααb ba a //6.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，PA ⊥D 面ABC ，图中共有直角三角形有（ ）7.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角项点C 在α上的射影为C′，△ABC′是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形；（C ）钝角三角形 （D ）锐角或钝角三角形8.在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，则P 到对角线BD 的距离是（ ）（A ）2921； （B ）513； （C ）517； （D ）119519.长方体的一条对角线与各个面所成的角为α、β、γ，则下列等式正确的是（ ） （A ）sin2α+sin2β+sin2γ=32； (B)cos2α+cos2β+cos2γ=1 (C) sin2α+sin2β+sin2γ=2； (D)cos2α+cos2β+cos2γ=210.对两条异面直线在同一平面内的射影，下列说法中正确的是（ ）（A ）不可能是两点； （B ）不可能是一直线和一点（C ）不可能是两平行线； （D ）不可能是两相交直线 （二）填空题1.a ∥b,b ⊂a,则直线a 、b 的位置关系是 .2.已知点A 和直线l ，A ∉l,则过点A 与直线l 平行的直线有 条；过点A 与直线l 垂直的直线有 条；过点A 作与直线l 平行的平面有 个；过点A 作与直线l 垂直的平面有 个.3.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点A 到C 1D 的距离为 ；点A 到B 1C 的距离为 ；点A 到平面BB 1D 1D 的距离为 ；AA 1到平面BB 1D 1D 的距离是 ，AA 1与BD 1的距离是 .4.若PO ⊥平面AOB ，∠AOB=90°，AB=a ，∠PAO=∠PBO=α，C 是AB 的中点，则PC= .5.l 是平面α内直线，A 是α外一点，设A 到α的距离为d 1,A 到l 的距离为d 2,则d 1 d 2.6.AB ∥平面α,AA′⊥α于A′，BB′是α的斜线，B′是斜足，若AA′=9，BB′=36，则BB′与α所成角为 .7. ∠XOY=60°在平面α内，OA=α是α的斜线，∠AOX=∠AOY=45°，则点A 到α的距离是 .8.如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是 .9.△ABC 的面积为S ，BC α，点A 到面平α的距离等于点A 到BC 的距离的53，则△ABC 在α上的射影的图形面积是 .10.点P 到平面α的垂线段PO=12cm ，斜线段PA 、PB 分别为13cm 和20cm ，则A ，B 两点的最大距离是 .最小距离是 .(三)解答题1.已知P 是□ABCD 所在平面外一点，M 是PD 的中点（如图），求证：PB ∥平面MAC.2.已知直线l ∥平面α，l ∥平面β，且α β=m ，（如图）.求证：l ∥m.3.在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，求证：BD ⊥AC.4. 如图，线段AB=α，在平面α内，CA ⊥α，BD 与α所成角为30°，BD ⊥AB ，C 、D 在α同侧CA=BD=b ，求：（1）CD 的长； （2）直线CD 与α所成角的正切值.5.如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=2，BC=CA=AA 1=1，A 1在底面ABC 上的射影是O 点.（1）O 与B 能否重合？试证明你的结论；（2）若O 在AC 上.求BB 1与侧面AC 1的距离.B 组（一）选择题1.下列四个命题中 （1）若a ∥α，b ∥α, 则a ∥b ；（2）若a ∥b, a ∥α,则b ∥α； （3）若a ∥α,则a 平行于α内的任意直线；（4）若a 平行于α内的无数条直线，则a ∥α.其中正确的命题个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3 2.下列命题中正确的是（ ） （A ）若a ⊥α,b ⊥α,c ⊥α,则直线α平行于过直线b 、c 的平面；（B ） 若a ∥α,b ∥α,且a 、b 到平面α的距离不相等. 则a 、b 是异面直线； （C ） 若a ∥α, b ∥α,且a 、b 到平面α的距离相等，则a 、b 相交或平行；（D ）若a ∥α, b ∥α，且a 、b 到平面α的距离相等，则与a 、b 都相交的直线在平面α外.3.在同一平面α的射影等长的两条线段是（ ） （A ）如果有一公共端点，则它们必等长；（B ） 如果等长，则它们必有公共点；（C ）如果平行，则它们必等长； （D ）如果等长，则它们必平行.4.与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面有（ ）（A ）4个； （B ）5个； （C ）6个； （D ）7个5.AB 是⊙O 的直径，SA 垂直于⊙O 所在的平面M ，平面M 内有一动点P ，使PB ⊥PS ，则P 的位置（ ） （A ）⊙O 外； （B ）⊙O 上； （C ）⊙O 内； （D ）不能确定6.如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 中点. 现沿SE 、SF ，及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合，记作G 则（A ）SG ⊥FEG ； （B ）SD ⊥面EFG ； （C ）GF ⊥面SEF ； （D ）GD ⊥面SEF7.直角△ABC 的两直角边BC=3，AC=4，PC ⊥面ABC ，且PC=59，则P 到斜边AB 的距离是（ ） （A ）3； （B ）4； （C ）15； （D ）428.斜线AB 与平面M 成θ角，BC M ，AA′⊥M ，A′是垂足，若∠ABC=α，∠A ′BC=β，则（ ） （A ）sinα=sinθsinβ; (B) sinβ=sinθsinα(C) cosα=cosθcosβ; (D) cosβ=cosθcosα（二）填空题1.将矩形ABCD沿着平行于BC的线段EF折起，连结AB和CD（如图），则AB与EF 所成角等于，BC与AE所成角等于，点A到BC的距离等于线段的长，若AE=EB=4cm，∠AEB=120°，则AD与BC的距离等于. AD与平面BCFE的距离等于, EF到平面BD的距离等于.2.Rt△ABC，∠C=90°，CA=12，BC=5，BC 平面αA到α的距离是10，则△ABC的垂心、内心到α的距离分别为.3.过平面α外一点引两条斜线，它们与α所成角分别是30°，45°，且它们在α内的射影互相垂直，则这两条线夹角的余弦值为.4.P是等腰梯形ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD，若P在面ABCD的射影P′在梯形ABCD 外，则应满足.5.AC是平面α内的一条射线，P为α外一点，PA=2，P到α的距离为1，设∠PAC=θ，m=tgθ，则m的取值范围是.(三)解答题1.如图，两个全等正方形ABCD和ABEF，所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，求证：MN∥平面BCE.2.已知AB是异面直线a、b公垂线，AB=2cm，a、b所成角为30°，在直线a上取一点P 使PA=4cm，求P到直线b的距离.3.空间四边形ABCD中，△ ABC是正三角形，AD⊥面ABC，H是A在面BCD上的射影. 求证：H不可能是△BCD的垂心.4.如图，已知斜边为AB的Rt△ABC，过点A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，（1）求证：PB⊥平面AEF.(2)若AP=AB=2，试用tgθ(θ是∠BPC)表示△AEF 的面积.当tgθ取何值时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？C 组（一）选择题1.在空间中，给出如下命题 （1）垂直于同一直线的两直线平行；（2） 平行于同一平面的两直线平行；（3）与同一平面成等角的两直线平行； （4） 与同一平面内的射影是两条平行线的两直线平行，其中真命题的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3.2.从平面外一点向平面引垂线和若干斜线，若斜线与平面所成的角相等，则（ ）（A ）斜足一定是正多边形的顶点； （B ）垂足是斜足为顶点的多边形的内心；（C ）垂足是斜足为顶点的多边形的外心； （D ）垂足是斜足为顶点的多边形的垂心.3.如图，PC ⊥面α，垂足为C ，AB α，CB ⊥AB ，垂足为B ，则线段PA 、PB 的大小关系是（ ）（A ）PA<PC<PB; (B) PC>PB>PA;(C) PA<PB<PC; (D) PB>PA>PC.4.若a ∥α，且a 和α的距离为d ，则平面α内（ ）（A ）有且只有一条直线与l 的距离为d ； （B ）所有直线与l 的距离都等于d ；（C ） 有无数条直线与l 的距离都等于d ； （D ）所有直线与l 的距离都不等于d.5.线段AB 两端点到平面α的距离分别是6cm 和10cm ，则它的中点到α的距离是（ ） （A ）6cm; (B)8cm; (C)2cm; (D)8cm 或2cm6.异面直线a 、b 互相垂直，它们与平面β都相交，若α与β所成角为38°，则b 与β所成角大小（）（A）一定是52°；（B）最大是52°；（C）最小是52°；（D）可以是0°90°中的任意角度（二）填空题7.直线与平面所成的角α的取值范围.8.若P是△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则P在△ABC内的射影是△ABC的.9.直线EF平行于平面α内的两直线AB、CD，EF与α的距离为15，与AB的距离是17，又AB与CD间的距离是28，则EF和CD的距离是.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是.(第10题)(三)解答题11.如图，已知AB和CD是异面直线，AB⊥平面α于B，CD⊥平面β于D，且AC是AB 和CD的公垂线，α β=l.求证：AC∥l12.PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD.（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.(第11题) (第13题)13.如图，正方体，ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O、O1分别是ABCD与A1B1C1D1的中心；（1）求证：OD1∥平面A1C1B1.（2）求D1O与平面A1C1B的距离；（3）求BD 与平面A 1C 1B 所成角.答案与提示同步题库A 组（一）选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.D 10.A (二)填空题 1.异面成平行2.1； 无数； 无数；13.a; a; a a a 22;22;22. 4.α2212tg a+; 5．≤； 6．60° 7．a 338. 平行或相交 9．S 5410．21cm; 11cm (三)解答题 1．（略） 2．（略） 3．（略）4．（1）CD=22b a +； （2）2234ba b +5．（1）不垂直，（2）BB 1与侧面AC 1的距离即为BC 长即BC=1.B 组（一）选择题 1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C(二)填空题1. 90°; 90°; AB;43cm; 23cm; 2cm.2.310cm; 35cm 3.42 4.∠ABD>90°(或∠ACD=90°) 5.m≥33。
(完整版)高中数学必修二立体几何知识点梳理
立体几何初步1、柱、锥、台、球的构造特点（ 1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各极点字母，如五棱柱ABCDE A' B' C ' D ' E '或用对角线的端点字母，如五棱柱AD '几何特点：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（ 2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共极点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各极点字母，如五棱锥P A' B' C ' D ' E '几何特点：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于极点到截面距离与高的比的平方。
（ 3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各极点字母，如五棱台P A' B' C ' D ' E '几何特点：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的极点（ 4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特点：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面张开图是一个矩形。
（ 5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特点：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的极点；③侧面张开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特点：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的极点；③侧面张开图是一个弓形。
(完整版)高中数学立体几何重要知识点(经典),推荐文档
S 'S S 'S 圆柱表 圆锥表 立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1） 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2） 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h ' 为斜高，l 为母线）S= ch S = 2r h S = 1 ch ' S =rl 直棱柱侧面积 S= 1 (c + c )h ' 圆柱侧S 正棱锥侧面积 2 = (r + R )l 圆锥侧面积 正棱台侧面积 2 1 2 圆台侧面积 S = 2r (r + l ) S = r (r + l ) S （3） 柱体、锥体、台体的体积公式 = (r 2 + rl + Rl + R 2 )V 柱 = Sh V 圆柱 = Sh =r 2h V = 1 Sh 锥 3V 圆锥 = 1r 2h 3 V = 1 (S ' + + S )h 台 3V 圆台 = 1 (S ' + + S )h = 1(r 2 + rR + R 2 )h 3 3 （4）球体的表面积和体积公式：V = 4R 3 ； S = 4R 2球 3 球面圆台表⎪ ⎭⎭ a ⊂⎬ ⎭ 1、平面及基本性质 公理 1 A ∈ l , B ∈ l , A ∈, B ∈⇒ l ⊂公理 2 若 P ∈, P ∈ ,则⋂ = a 且 P ∈公理 3 不共线三点确定一个平面（推论 1 直线和直线外一点,2 两相交直线,3 两平行直线）2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理 4） 异面直线3、异面直线 （1） 对定义的理解：不存在平面，使得 a ⊂ 且b ⊂（2） 判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理： P 15★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 cos =| cos < a ,b >|= | a ⋅ b | | a || b |（注意异面直线所成角的范围(0,]）2 （4） 证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0（5） 求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.9.2 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a ⊂ , a //, a ⋂= A 2、直线与平面平行的判定 b ⊄ ⎫ （1） 判定定理: b // a ⎬ ⇒ b // (线线平行，则线面平行 P 17)a ⊂ ⎪ // ⎫（2） 面面平行的性质： a ⊂ ⎬⇒ a // (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质a //,a ⊂ ⎫⇒ a //b (线面平行，则线线平行 P ) ⋂= b ⎬ 18★4、直线与平面垂直的判定 （1） 直线与平面垂直的定义的逆用l ⊥ ,⎫ ⇒ l ⊥ a ⎭⎬ 51 ⎭ ⎭ ⎭⎭⎭ l ⊥ m , l ⊥ n ⎫⎪（2） 判定定理： m , n ⊂ m ⋂ n = A a // b ⎫⎬ ⇒ l ⊥ （线线垂直，则线面垂直 P 23 ） ⎪ ⎭（3） b ⊥ ⎭⎬ ⇒ a ⊥ （ P 25 练习 第 6 题）⊥ （4） 面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫ ⎪ ⇒ a ⊥（面面垂直，则线面垂直 P ） a ⊂, a ⊥ l ⎪ // ⎫（5） 面面平行是性质： l ⊥ ⎬ ⇒ l ⊥ 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理 线垂影 ⇔ 线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、空间两个平面的位置关系 相交和平行2、两个平面平行的判定 a //,b // ⎫ （1） 判定定理： a ,b ,a ⋂ b = P ⎬ ⇒// （线线平行，则面面平行 P 19 ） l ⊥ ⎫ （2） l ⊥ ⎬⇒ // 垂直于同一平面的两个平面平行 （3） //,//⇒ // 平行于同一平面的两个平面平行 （ P 21 练习 第 2 题）3、两个平面平行的性质（1）性质 1：// , a ⊂ ⇒ a //// ⎫ （2）面面平行的性质定理：⋂= a ,⋂= b ⎬ ⇒ a // b （面面平行，则线线平行 P 20 ） （3）性质 2：// , l ⊥ ⇒ l ⊥4、两个平面垂直的判定与性质 （1） 判定定理： a ⊥ ,a ⊂⇒⊥（线面垂直，则面面垂直 P 50 ）⎬ 51 ⎭ ⊥ （2） 性质定理：面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫⎪ ⇒ a ⊥ （面面垂直，则线面垂直 P ）a ⊂ , a ⊥ l⎪9.4 空间角1、异面直线所成角（9.1）2、斜线与平面所成的角 (0, 2 )（1） 求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2） 向量法：设平面的法向量为 n ，则直线 AB 与平面所成的角为，则sin =| cos < AB , n >|= （3） 两个重要结论| AB ⋅ n | ∈ (0,) 2最小角定理 P 48 ： cos = cos 1 cos 2 ， P 26 , 例 4 P 28 第 6 题9.5 空间距离1、求距离的一般方法和步骤（1） 找出或作出有关的距离；（2） 证明它符合定义；（3） 在平面图形内计算（通常是解三角形）2、求点到面的距离常用的两种方法（1） 等体积法——构造恰当的三棱锥；（2） 向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： d = | AB ⋅ n | | n |3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解4、异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）② 求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法 2 转化为点面距离| AB ⋅ n |向量法 d = | n | （ A ， B 分别为两异面直线上任意一点， 为垂直于两异面直线的向量）注意理解应用： l 2 = m 2 + n 2 + d 2 ± 2mn c os 重点例题： P 51 和 P 55 例 2“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
高中立体几何基础知识点全集
高中立体几何基础知识点全集立体几何是高中数学中的重要组成部分，对于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力有着至关重要的作用。
下面就为大家详细梳理一下高中立体几何的基础知识点。
一、空间几何体1、棱柱棱柱是由两个平行且全等的多边形底面以及侧面都是平行四边形的多面体组成。
侧棱都平行且相等，侧面与底面垂直的棱柱称为直棱柱。
2、棱锥棱锥是由一个多边形底面和若干个有一个公共顶点的三角形侧面组成。
如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，那么这样的棱锥称为正棱锥。
3、棱台棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分。
4、圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
5、圆锥以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
6、圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
7、球以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
二、空间几何体的表面积和体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。
棱柱的侧面积等于底面周长乘以侧棱长。
正棱锥的侧面积等于底面周长乘以斜高的一半。
正棱台的侧面积等于上下底面周长之和乘以斜高的一半。
2、圆柱、圆锥、圆台的侧面积圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高。
圆锥的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长的一半。
圆台的侧面积等于上下底面圆的周长之和乘以母线长的一半。
3、体积公式棱柱的体积等于底面积乘以高。
棱锥的体积等于三分之一底面积乘以高。
棱台的体积等于三分之一（上底面积＋下底面积＋根号下上底面积乘以下底面积）乘以高。
圆柱的体积等于底面积乘以高。
圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高。
圆台的体积等于三分之一（上底面积＋下底面积＋根号下上底面积乘以下底面积）乘以高。
球的体积等于三分之四π乘以半径的立方。
三、空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
(完整版)立体几何知识点总结完整版
立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。
4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。
5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图•7•空间平行与垂直关系的论证 •8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】<— 翅MJL 何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 —I 吩间儿何体的三视图和吒现图 空何向話的槪念线性运算空间向园数呈积理和坐标运算【重点知识整合】1. 空间几何体的三视图专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系宀VIHI向虽与<体儿何(1) 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2) 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3) 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.2. 斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤(1) 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox, Oy,建立直角坐标系；(2) 画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox', Oy',使/ x Oy = 45。
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立体几何知识点整理
姓名：
一．直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二：用面面平行实现。
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
方法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
方法四：用向量方法：
若向量和向量共线且l、m不重合，则m
l//。
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向
量，⊥且α
⊄
l,则
α
//
l。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
β
α
α
β
//
'
,'
,
'
//
'
//
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
方法二：用线面平行实现。
β
α
β
α
α
//
,
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
α
α
⊥
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
=
⋂
⊥
⊥
l
AB
AC
A
AB
AC
AB
l
AC
l
,
m
l
α
方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
方法三：用向量方法：
若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：
ab
c
b a 2cos 2
22-+=
θ
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。
转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：
=
θcos
(二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围：]90,0[︒︒
当︒=0θ时，α⊂l 或α//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
方法二：向量法(为平面α的一个法向量)。
><=,
cos sin θ
=
θ
c b
a
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算12
1212
cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅u r u u r u r u u r
步骤二：判断θ与12n n <⋅>u r u u
r
的关系，可能相等或
者互补。
四．距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2
：计算线段PO 的长度。
(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
方法二：坐标法。
>⋅<⋅=d cos
=
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
m
如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且
α//m ，
则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α
之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。
如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，
'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：
θcos 2222ab b a c d ±--=
五．空间向量 (一)空间向量基本定理
若向量c b a ,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p ，都存在唯一的有序实数对
z y x 、、，使得c z b y a x p ++=。
(二) 三点共线，四点共面问题 1. A ，B ，C 三点共线⇔
OA xOB yOC =+u u u r u u u r u u u r
，且1x y +=
当2
1
==y x 时，A 是线段BC 的
A ，
B ，
C 三点共线⇔λ= 2. A ，B ，C ，
D 四点共面⇔
OA xOB yOC zOD =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，且1x y z ++=
当1
3
x y z ===时，A 是△ABC 的
A ，
B ，
C ，
D 四点共面⇐AD y AC x AB += (三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A 、B 两点的坐标分别为：
111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 则：
AB =u u u r
;=B A d ,AB =u u u r
2. 若空间中的向量111(,,)a x y z =r
，),,(222z y x =
则a b +=r r a b -=r r
a b ⋅=r r cos a b <⋅>=r r
六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的
角分别为αβγ、、，则222
cos cos cos αβγ=++
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为αβγ、、，则2
2
2
cos cos cos αβγ=++ 3.若长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。
(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影
在底面中心。
(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且
每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，
且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(六) 体积：=棱柱V =棱锥V (七) 球
1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R ，小圆的半径为r ，小圆圆心为O 1，球心O 到小圆的距离为d ，则它们三者之间的数量关系是 。
3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式： 体积公式：。