2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试(附答案)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题(解析版)
故答案为:10. 第1页共21页2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题一、填空题1.已知集合 A 1,0,3 , B {1,2,3},则 Al B ________________ 【答案】{3}【解析】由交集的定义AB ⑶，应填答案⑶.【答案】姮2【解析】由已知得 Z 2 1 i ,将其整理成 i1 Z -2 3. -i 2,即可求出模【详解】解:由题意知，Z 2 i2 i 1 i 1 3i 1 3. 1 i1 i 1 i22i 2所以：Z h 23 2尿V 222故答案为：.2【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模•本题的易错点在于化简时，错把i2计算• 3.某人5次上班途中所用的时间（单位：分钟）分别为 12, 8, 10, 11, 的平均数为 ________【答案】10【解析】代入求解平均数的公式计算即可 【详解】解:平均数-12 8 10 11 9 10.5【点睛】 2 .已知复数Z 满足1 i Z2 i ,则复数Z 的模为当成了 1来9•则这组数• 2,0【解析】根据流程框图进行循环计算，跳出循环时b 的值即为所求 【详解】解:第一次循环:b 2,a 2；第二次循环:b 4,a 3•此时a 3不成立故答案为:4. 【点睛】本题考查了程序框图•对于循环结构是常考的题型，一般做法为根据框图，计算每次循环 的结果，注意,临界即跳出循环时的计算结果 •通常循环框图常和数列求和综合到一块 • 5 •在平面直角坐标系 XOy 中，已知双曲线χ2y 21的右焦点与抛物线2y 2px p 0的焦点重合，则 P 的值为 ______________ .【答案】2 2【解析】求出双曲线的右焦点2,0 ,令P\ 2即可求出P 的值•2【详解】 解双曲线c21 1 2,即右焦点为^2,0 .即抛物线y2 2px P 0的焦点为本题考查了平均数的计算•易错点为计算出错b 的值为所以^2'2 ,解得P 2丿2 .故答案为：2 2. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了抛物线的方程•易错点是误把P 当做了抛物线焦 点的横坐标•6.已知一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色相同的概率为 ________ . 【答案】0.4【解析】从中一次随机摸2只球，写出基本事件总数 n 和这2只球颜色相同包含的基本 事件数m,由古典概型概率公式计算即可. 【详解】一个口袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只红球.从中一次随机摸出2只球，基本事件总数 n= C I = 10, 这2只球颜色相同包含的基本事件个数m= C l C 2 = 4,m 4•••这2只球颜色相同的概率为 P= =0.4.n 10故答案为：0.4. 【点睛】本题考查古典概型概率的求法 ，考查运算求解能力，是基础题. 7 .现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为 1 ,高为4.若将它制作成一个总体积不变 的球，则该球的表面积为 ________ . 【答案】44 3 4【解析】 求出圆锥的体积，则由题意，设球的半径为r ,可得一r 3—,求出球的半径，进33而可求球的表面积. 【详解】4 3 4 2则4 r3 ,解得r「所以表面积为4 r 4故答案为：4 【点睛】本题考查了圆锥的体积，考查了球的体积，考查了球的表面积.结合方程的思想，根据题意 第3解:由题意知，圆锥的体积为-3I 2 4 ..设球的半径为r3页共21页求出球的半径•对于球的问题，一般都要首先明确半径的大小8.已知等比数列a n的前n项的和为S n ,aι 16 9®,则a3的值为__________________ .【答案】43【解析】由S6 9S3可得S3 q 1 9S3,进而可求出公比的值，即可求a s的值•【详解】解：S6 a1a2 a3 a°a§a6 d a? a? ^q3 a2q3a3q3S3 q3 1Q S6 9S3S3q3 1 9S3解得,q = 2 .所以a3 a^24.故答案为:4.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和.等比数列问题，一般可采用基本量法进行求解，但是这种方法计算量比较大.因此,对于等比数列的问题，一般首先考虑利用性质简化计算.UiX r IrIJDr IJrill9.已知e ，∈2是夹角为60°的两个单位向量，a 3e∣2e? ， b 2e∣ ke? k R ，r r r且a (a b) 8则k的值为___________ .【答案】67【解析】由题意知；；b 3e1 2e23∈r1 2ee2 2e r1 ke r28 ,进而可求k的值.【详解】r r r r r r r r r r r r r解：a a b 3e 2e23e12e22e1ke23e12e2e1 2 k e23e⅛2 3k 8 6 & 2 2+k e2 3 3k 8 cos60o 2 2k 7k 11 8.2解得k 6.7故答案为：6.7【点睛】本题考查了平面向量的数量积.对于向量的数量积问题若题目中无向量的坐标，则在求数量积时，一般套用定义求解；若题目中已知了向量的坐标，求数量积时一般代入数量积的坐标公式.10.在平面直角坐标系XOy中，已知圆C : x2y22x 8 0 ,直线6BC 【解析】由tan BADBC tanDACBAC ,可得BC613 15d 6 BC 1 - 13 15,进而l : y k X 1 ,k R 过定点A ,与圆C 交于点B, D ,过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ,则AEC 的周长为 ____________ . 【答案】5【解析】由题意得A(1,0),圆心为C 1,0 ,半径为r 3,由平行可知-EA ED ,化简后CB CD可得EA CE r ,进而可求三角形的周长• 【详解】解:当 X 1 时,y 0 与 k 无关则 A(1,0)∙圆 C :x2y 22x 8 x 1y 29所以，圆的圆心为C 1,0 ,半径为r 3.则由题意知,ED r CE故答案为:5. 【点睛】,考查了圆的标准方程•本题的关键在于，由平行得比例关 系•若联立直线与圆的方程，求解各点的坐标，这种思路也可以求出最后答案 ，但计算量太大•11.如图，已知两座建筑物 AB,CD 的高度分别为15m 和9m,且AB BC CD ,从 建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角为 CAD ,测得tan CAD —,则B,C 间13可求B,C 间的距离.Q EA 与CB 平行EA ED 即EA 』 CB CD r r EA CE r则 AEC 的周长AC AE CEAC r 2 3 5.本题考查了直线过定点的问题 白勺距离 _____ m.【答案】12【详解】BC 解:由题意知tan BAD -AB CDBC~6^tan DAC BACBC 6tan DAC tan BAC 1 tan DAC tan BAC2BC239BC 180 0 ,解得BCBC6 j⅛,整理得1 -13 151512 或BC .Q BC CD 9， BC 122故答案为:12.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用•难点在于已知正切值的使用•有的同学可能由正切值求出正弦和余弦，结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解•由于本题所给的正切值求出的正弦余弦值数比较大，因此这种思路计算量较大，效率不高而且容易做错•m12 •设曲线yx+1m 0在X t,t 1处的切线为I ,则点P 2t, 1 到I的最大距离为【答案】、.2【解析】求出切线方程为mx 2t 1 y 2mt m 0 ,从而则P 2t, 1 到I的距离可用t表示出来，结合基本不等式即可求解【详解】解:y'整理得mxd2 d22mt2mt2mt2则切线方程为0•则P2t,2m2 m2m41的距离2m,当且仅当1 2 即d 2.2m2t 1 2- 2t 1时等号成立【答案】{3,5} 第7页共21页【点睛】本题考查了切线的求解，考查了点到直线的距离，考查了基本不等式•求最值常见的思路 有导数法、函数图像法、函数单调性法、基本不等式法 •本题的难点是对距离进行变形 整理•的取值范围是3【答案】三2【详解】5r ,t的情况•本题的难点是分界点能否取得的判断f k (x) InX 恰有3个不同的零点，贝U k 的取值集合为13.已知函数y c0s(3X) , Xt 5既有最小值也有最大值，则实数t【解析】由诱导公式可知3y cosSin X ,令 mX ,结合函数图像，讨论最大值为1和1两种情况2,进而求出 t的取值范围•解：y 3cos — 2Sin X 令m X •则由X -I t6可得Sin m, m•要使其既有最小值又有最大值若最大值为 13若最大值为 1,则t 2 ,解得t5•综上所述:-2 2故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式 ,考查了三角函数最值问题•本题的易错点是漏解,只考虑了最大值14. 已知函数f 1(x)X 1 , f k 1 (X) f 1(f k (X)) , k 5, k N•若函数【解析】由题意写出fι(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x)的解析式，根据图像的平移变换分别画出它们的图像，判断哪个函数图像与y In X图像有三个交点，即为所求.【详解】解:由题意知f1(x) X 1 , f2(x) IlX 1 I,f3(x) IIX 111,f4(χ) IIIlX 1 1 1 1,f5(χ) IIIlX 1111 1 •则其函数图像为∖r1*. 'I J. * I I i I . I I I I I 鼻⅛ n d I J i 2 ]■⅜ J < β 1 1 ]e4r/fL由图像可知，当k 3或5时,函数y f k(x) InX恰有3个不同的零点•故答案为：{3,5}.【点睛】本题考查了函数的图像变换考查了函数的零点•若函数f(x) g(x) h(x),则函数f(x)的零点个数就等同于函数g(x), h(x)图像的交点个数•本题的难点是画含绝对值的函数图像•对于y f (x),首先画出y f(x)的图像,然后将X轴下方的图像向上翻折即可；对于y f(x)的图像,首先画出y f (x)的图像，然后将y轴右侧向左翻折、解答题15.在平面直角坐标系XOy中，设向量∖ 3sin x,sin X , cosx,sin X , X 0,(1)若a b ,求X的值；(2)求a b的最大值及取得最大值时X的值•5 3【答案】(1)或；(2)最大值一，X .6 6 2 3r r r r 1【解析】⑴求出∣a∣,∣b∣,由IalIbl可得ISi nx∣ ?,结合X [0,]可求出所求•r r 1⑵a b Sin 2x ,结合X [0,]和正弦函数的图像，即可分析出最值及取得6 2最大值时X的值•【详解】解：(1)因为a ( .3 sin x,sin x), b (cosx,sin x)所以∣a∣ 3sin2x sin2x 2∣si nx∣,∣b∣ . CQS X Si nx2 1r r 1因为∣a ∣ ∣b ∣,所以∣ Sinx∣ .因为X [0,],所以SinX 2（2）ab.3sin xcosxSin X Sin2x1 cos2x 1 Sin 2x 12 2 2 6 2因为X [0,],所以2x11, ,于；曰 1 . Sin 2x1 36 6 6 2 6 2 2所以当π π2x ,即X时，a b取最人值 36 2 3 2【点睛】本题考查了向量的模，考查了向量的数量积，考查了三角恒等变换，考查了三角函数的最值•对于y ASin ωxφ型的函数，在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时，一般（2）平面EDB i ⊥平面B I BD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】⑴取B l D的中点F ,连OF l EF通过证明AC//EF从而证明线面平行.⑵通过AC BD ,B i B AC推出EF BB i, EF BD ,从而证明EF 平面B i BD , 进而可证面面垂直 . 【详解】证明：（1）在正方体ABCD A i B i C i D i中,设AC与BD相交于点0 ,则Q为BD的中点1取B i D 的中点F ,连OF, EF 所以QF∕∕BB i,QF -BB v2在正方体ABCD A i B i C i D i中，AA i∕∕BB i, AA i BB i.又点E是A i A的中点所以AE∕∕0F, AE OF .于是四边形AEFO是平行四边形从而AC//EF .又因为AC 平面EDB i ,EF 平面EDB i,所以AC//平面EDB i .A IB lC lD I中，E是棱A l A的中点.求证:都是采取整体的思想进行计算•⑵在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B 平面ABCD ,而AC 平面ABCD ,所以B I B AC.又在正方体ABCD A I B I C I D I中，四边形ABCD为正方形所以AC BD.由⑴知，EF//AC ,于是EF BB-EF BD .又B1B 平面B l BD , BD 平面B1BD, B j B BD B ,所以EF 平面B1BD .又因为EF 平面EDB1 ,所以平面EDB1 平面B1BD .【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了面面垂直的判定•线面平行或者面面平行的判定，一般都归结为证明线线平行；线面垂直或者面面垂直的判定，一般都归结为证明线线垂直•此类问题如果采用逻辑推理的方法无法证明，有时也可以建立空间直角坐标系，运用空间向量证明平行和垂直•2 217 .如图，在平面直角坐标系XOy中，已知代B两点分别为椭圆笃当1,a b 0a b的右顶点和上顶点，且AB , 7 ,右准线I的方程为X 4.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P ,交I于点Q若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ 的方程.2 2 _ _ _ _【答案】⑴仝y1;(2)、.3X y 2 3 0或3x y 2、、3 0.4 3【解析】(1)由右准线I 的方程为X 4以及AB 、、7可列出方程组2—4 Ca 2b 2 C 2解.a 2b 2得即可求出椭圆的方程 ⑵设PQ 的方程为y k(x 2),与椭圆方程联立，求出P 8k 264k 23 12k24k 2 3;联立y k(x 2) UUU 可得Q(4,2k),由OP OQ 可知OP X 4 IujOQ 0 ,从而可求出k,3 ,进而可求直线的方程• 【详解】 解:(1)设椭圆的焦距为 2c(c 0) •由题意得2-4 C2 ,2a b 2 2,解得a 4,b ■, a 2b 2■, 7C 2所以椭圆的标准方程为 (2)由题意得直线 PQ 不垂直于X 轴,设PQ 的方程为y k(x 2) y 联立x 2 4 k(x 2 y 3 2), 2 2 ,消y 得4k 3 X 1, 2 2 16k X 16k 12 0.又直线PQ 过点 A(2,0),则方程必有一根为 2则X P 8k 26 4k 23代入直线y k(x 2),得点 P 8k 26 4k 23 12k 产.联立 y k(xX 42),所以 Q(4,2k).又以PQ 为直径的圆过原点 ,所以OP OQ . IlJU UUir 8k 2 6 则OPOQ 4汁28k 2 24 4k 230 ,解得k 2所以直线PQ 的方程为.3x y 2-、3【点睛】本题考查了椭圆的准线方程，考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆相交问题，考查了向量的数量积•本题第二问的难点在于圆过原点这一条件得运用 •一般若题目中已知圆过某 点,则一般等量关系为：圆心到该点的距离为半径或者圆上两点与已知点的连线垂直 18 •下图是一块平行四边形园地 ABCD ,经测量，EB 2.5m , FC 7.5m 时,EF 最短,其长度为 5. 3 .(3)当0 X 10,由二次函数的性质可求最值 ；当10≤x≤20时,由基本不等式可求最值【详解】1解:⑴当点F 与点C 重合时，由题设知，s BEC - S YABCD .41 1于是一EB h AB h ,其中h 为平行四边形AB 边上的高.2 41得EB -AB ,即点E 是AB 的中点.2⑵因为点E 在线段AB 上,所以0 X 20.当10≤ x≤20时,由(1)知点F 在线段BC 上.因为AB20m, BC 10m, ABC 120 所以 S Y ABCD AB BC SinABC 20 10 —100、3. 2AB 20m,BC 10m, ABC 120o•拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF (点将该园地分为面积之比为 3:1的左,X, EF y (单位：m).(2) 求y 关于X 的函数关系式; (3) 试确定点E,F 的位置，使直路EF 的长度最短.2 X 25x 25【答案】(1) E 是AB 的中点；(2)yχ2 10θ∞ 10010 X10;(3)当201【解析】(I)由S BE C S YABCD 41 1可知-EB h 4AB h,从而证明E 是AB 的中点. ⑵求出平行四边形的面积为 S YABCD100,3,进而可求S EBF 25 3 ,从而用X 可将BF 表示出来，利用余弦定理即可得到y 关于X 的函数关系式.当点F 与点C 重合时，试确定点 E 的位置; (1) F 在四边形ABCD 的边上，不计直路的宽度)，1由S EBF X BF sin1202 25 3得,BF .所以EBF中,由余弦定理得X得 CF 10 X .当 BE CF 时,EF .. 102 (2x 10)22 10 (2x 10) cos120当 BE CF 时,EF X 102(10 2x)22 10 (10 2x) cos60本题考查了函数模型的应用 ，考查了余弦定理，考查了基本不等式•本题的易错点是没有 讨论自变量的取值，从而造成了漏解•求最值时，常用的方法有：导数法、函数图像法、函数 单调性法、基本不等式法• 19.已知函数y f (X)的定义域为D ,若满足 X D,x f(x) f(x),则称函数f(χ)为’L 型函数”.(1)判断函数y e x 和y InX 是否为(L 型函数”，并说明理由；(2)设函数 f(x) (X 1)lnx (X 1)lna,a 0 ,记 g(x)为函数 f (x)的导函数• ①若函数 g(x)的最小值为1,求a 的值；②若函数 f(x)为“L 型函数 ”，求a 的取值范围.【答案】 (1) y e x不是,yIn X 是,理由见解析；(2)①a e ；②02a e . 【解析】(1)分别求出两个函数的定义域 ，判断 X D,xf(x) f (x)即可综上： 当E 距点B2.5m , F 距点C7.5m 时，EF 最短，其长度为5、. 3 .2X当且仅当X 2= 10000即X 10时，取等号 【点睛】y EFx 2100 X100.当0 X 10时,点F 在线段CD 上,由S 四边形EBCF-(X CF) 10 Sin60 2 25 3化简均为y EF 2 ∖ X 2 5x25.综上，y⑶当0 曰、【/是当X2 X 25x 2510χ210000100 X 210 X20X 10 时,y2 X 25x 2525 752 时,y min155、3,此时 CF 10 X当 10≤ x ≤20 时,y χ2 10000100 2,.'X 2X 210000100 10、3 X 22x 100 cos12010000所以由零点存在性定理得X 0 (1,a)使g X 00,又g(x)在(1,)上为增函数1⑵①求出g(x) f (x) InX 1 In a, x (O,),再求g (x),通过导数探究当 XX 取何值时，g(χ)取最小值，令最小值为1,即可求出a 的值•②由题意X (0, ),(X 1)f (X) (X 1)[(x 1)lnx (X 1)ln a] 0恒成立，分别讨论当0 a e 2和a e 2时,通过探究f(x)的单调性判断是否使得不等式恒成立，从而求出a 的取值范围.【详解】解:⑴对于函数y e x,定义域为R ,显然0 ee 0不成立，所以y e x 不是’L 型函数 对于函数y Inx ,定义域为(0,).当 0 X Hdlnx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xlnx In X ; 当 X 1 时，Inx 0,所以(X 1)l nx 0,即 xl nx ln x . 所以 X (0,),都有xl nx Inx .所以函数y Inx 是型函数”.X 11⑵①因为 g(x) f (x) In XInaInX 1 Ina, x (0,)XX1 1 X 1所以g (x)22.当X (0,1)时，g(χ) 0所以g(x)在(0,1)上为减函数X X X当X (1,)时,g (x) 0,所以g(x)在(1,)上为增函数. 所以 g(x)min g(1) 2 In a .所以 2 In a 1,故 a e . ②因为函数f (x) (X 1)l nx (X 1)l na 为(L 型函数所以 X (0,),(x 1)f (x) (X 1)[(x 1)l nx (X 1)l n a] 0().(i)当 2 In a 0 ,即 0 a e 2时，由①得 g(x) 0,即 f (x) 0.所以f (X)在(0,)上为增函数,又 f (1) 0,当X (0,1)时,f (X) 0所以(X 1)f (X) 0；当 X [1,)时,f (x) 0,所以(X 1)f (X) 0.所以X (0,),适合()式.2 1(ii) 当 2 In a 0,即 a e 2时，g(1) 0,g(a) - 10.第15页共21页所以由零点存在性定理得X0 (1,a)使g X0 0,又g(x)在(1,)上为增函数所以当X 1,X o 时，g(x) 0,所以f (X)在1,X o 上为减函数又f(1) 0,所以当X 1,X o 时,f(x) 0,所以(X 1)f(x) 0,不适合()式. 综上得，实数a 的取值范围为0 a e 2∙ 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了函数的最值，考查了不等式恒成立问题.本题的难点在 于最后一问，学生往往想不起来通过函数的单调性等来判断函数在某一区间的正负问题 20 .已知数列 a n 的首项为1,各项均为正数，其前n 项和为S n ,1设数列 b n 满足 b 1 1 , b n 1b n a n ,求证：- 2.、a n 1 i 1 b【解析】⑴令n 1,n2即可求出a 2 ,a 3的值;1当n 1时,-b 11•从而可证.【详解】【答案】(1)a 22,a 3 3;(2)证明见解析;(3)证明见解析.a n 1 a n ⑵由2 Sn —1 n an 1得2Sm a n a na n an —(n 2)两式相减进行整理可得 an 1 a n 1 a n a n a n 1(n ≥ 2),即可证明 a n 为等差数列. ⑶由⑵可知b n 1b n n , b n b n 1 n1(n 2)两式相减整理得 丄 b n 1 b n 1 (n 2),则b n1 丄丄丄b i b 1 b 2 b 3 1 丄 bib nbl b 2 b n b n 1 ,通过放缩即可证明；解:⑴令n 1得,2S∣a ? a 〔 a 2 a 1,又a 11,解得a 2 2；令n 2得,2S 2a 〔a 2,即 2a 1a 3 a 2a 22a 1a 32 ,从而a3 3.2S na n QnOW n N •(1) 求a 2,a 3的值;(2) 求证：数列 a n 为等差数列;(3)1a ∏ 1a ∏⑵因为2S ∏ a ∏ 1 a∏ ①;所以2S ∏ 1 Jn 2)② a∏ 1 a ∏①-②得,2a ∏ a ∏ 1a∏ a ∏ 1 a∏ a ∏a∏ 1 a ∏ a ∏ .因为数列 a ∏的各项均为正数，所以a ∏ 0.a ∏ 1 a ∏从而2 口 ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ 1去分母得,2 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ a ∏ 1 a ∏ a ∏ 1 a ∏ 1 a∏ 1 a n 化简并整理得，a ∏a ∏1 2a ； a ∏a ∏ 0,即 2a ∏ a ∏ 1 a ∏1(∏ 2),所以 a ∏ 1 a ∏ a ∏ a ∏ι( n ≥ 2).所以数列 a n 为等差数列. (3)由(2)知,b ∏ 1b ∏ ∏ ③.当 ∏ 1 时,b 2b 1 1 ,又 b 1,所以 b 2 1.由③知,b ∏b ∏ 1 ∏ 1(∏ 2) ④.③-④得,b ∏1b ∏ b ∏b ∏ 1 1 (∏ 2)即b ∏b ∏ 1 b∏ 1 1(∏2),依题意,b ∏ 0 ,所以占b ∏ 1 b ∏ b ∏ 1(∏2).b 11 b2 b 3b∏1 b ib 3 b 1 b 4 b 2 b 5 b 3b ∏ b ∏ 2 b ∏ 1 b ∏1 b ibi b 2 b ∏ b ∏ 12.b ∏1b ∏12 a ∏ 1 ,当 ∏ 1时，11 ,原不等式也成立.b 1∏ 1综上得，- i 1 b 2云1 【点睛】 本题考查了由递推公式求项 ，考查了等差数列的定义，考查了放缩法，考查了数列求和.本 题难点在于整理出丄 b ∏ 1 b ∏1(∏ b ∏ 2),从而对所证式子进行化简.涉及到S n 和a ∏的递推公式时，一般代入公式a ∏S nT \进行求解. S n 1, n 2 21•已知 a，b R,若 M= ba3所对应的变换 TM 把直线2x-y=3变换成自身，试3求实数a, b.【答案】户■- J -- 【解析】【详解】 JC R = 十 αυ一 τ, = ⅛x + 3V.L*aμT 2x r-y f= l.∖2(-x+α})- (⅛x + 3y) = 3.即-一一 --_.■此直线即为-'-/ ■ .■- ■二—2 -口二 2.2C 7 — 3 二—1.则.-.22 •在极坐标系中，设P 为曲线C : 2上任意一点，求点P 到直线l : Si n-3的最大距离• 【答案】5【解析】将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程， 转化为求圆上的点到直线 I 距 离的最大值，求出圆心到直线 I 距离，即可求出结论. 【详解】 曲线C :2化直角坐标方程为 X 2 y 24表示圆,1 Sin— 3,- Sin 3 OCoS 3 ,322化为直角坐标方程为 ,3x y 6 0,6 圆C 上点P 到直线I 距离的最大值为 .【点睛】想，属于基础题本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值， 考查数形结合思设a b c 6 ,求证：.a bl ',厂2, 3 二.23 .设a, b, C为正实数,【答案】证明见解析2 2 2 2 2 2 2【解析】 根据柯西不等式 Xi% X 2y 2 X 3y 3 % X 2 X 3 y ι y 2 y 3 ,将原式进行配凑并结合已知条件 a b c 6加以计算，即可得证；【详解】证明：因为a, b, C 为正实数，a b c 6，2 2所以,a . b 1 . c 2 .. a 1 ., b 11 . c 2 1a b 1 c 2 1 1 1 27于是λa ..尸 、、厂2, 3.3 ,当且仅当,a 、、L 、、厂2 ,即a 3，b 2，C 1时取等号，所以,a ..尸、、厂2, 3. 3 ,得证； 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题 24 •假定某篮球运动员每次投篮命中率均为 P(O P 1).现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮 ,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰好用完3次投篮机会的概率是 -25(1)求P 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望E(X).3【答案】(1); (2)分布列见解析，期望为5【解析】 分析：(1)设事件A :恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A ：前两次投篮均不应概率即可详解：(1)设事件A ：恰用完3次投篮机会”则其对立事件 A :前两次投篮均不中解得P 3.5(2)依题意，X 的所有可能值为0,1,2,3,213 125所以，PA 1 P A⑵X 的所有可能值为 250,1,2,3,计算其对依题意，PA 1 P A25，25所以m3 C k c ；k C ：k L点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现 关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算 25 •设 S 4k a 1 a 2 La 4k ( k N *),其中 ai 0,1( i 1,2,L ,4k ).当S 4k 除以4的余数是b ( b 0,1,2,3)时，数列a 1,a 2丄,a 4k 的个数记为m b .(1) 当k 2时，求m 1的值；(2) 求m3关于k 的表达式，并化简.2k 1【答案】(1) 64； (2)m 3 4【解析】(1) (1)根据定义，确定条件： 8个数的和除以4的余数是1,因此有1个1或5个1,其余为0,从而m C 8 C 564 ；(2)--:个数的和除以4的余数是3,因此有3个1,或7个1,或11个1,∙∙∙,或4k 1 个1 ,其余为0, m 3 C 43k CJ k Cr k L C4k 1,再根据组合数性质即可化简求值• 【详解】(1)当k 2时，数列a 1,a 2,a 3^L ,%中有1个1或5个1,其余为0, 所以 m C 8 C 8564 .(2)依题意，数列a 1, a 2,L ,a 4k 中有3个1,或7个1,或11个1,…， 或4k 1个1 ,其余为0,4k 1C4k第20页共21页X 的概率分布列为 数学期望E X24 ,125兰2竺3空空125 125 125 125至多”至少”等其他同理，得 m 1 C 41k C 45k C49kL C 44k k 3因为 C 4ik C 44k k ii 3,7,11,L ,4k 1 ，所以 m 1 m 31 3 9 4k 3 4k 1 4k 1m 3 C 4kC 4k C 4k L C 4k C 4k 2点睛】 本题考查组合数的性质，组合数的运算，属中档题所以 m 34k 224k 22k 14。
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三下学期第二次检测数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三（下）第二次检测数学试卷（5月份）一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为．8．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e ＝．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．二、解答题（共6小题）.15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共14小题）.1．（5分）已知集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若N⊆M，则x＝1．【分析】根据条件N⊆M，确定元素关系，进行求解即可，从而得到x的值．解：∵集合M＝{2，0，x}，N＝{0，1}，∴若N⊆M，则集合N中元素均在集合M中，故答案为：1．2．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为＝，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×＝60，故答案为：60．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），则z的模为．【分析】复数方程两边求模推出结果即可．解：复数z满足（3+4i）z＝1（i为虚数单位），可得：|（3+4i）z|＝1，可得5|z|＝8．故答案为：．4．（5分）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：由于：S＝1+2+3+4+5+…+10＝55，故答案为：55；5．（5分）现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为．【分析】利用组合的方法求出甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题的方法，全是甲类试题，有1种方法，利用对立事件的概率公式求出至少有1道试题是乙类试题的概率．解：甲类试题2道，乙类试题3道，从中随机取2道试题，共有＝10种方法，全是甲类试题，有7种方法，故答案为：．6．（5分）在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，，则的值是﹣5．【分析】由已知可得△ABC为直角三角形，以B为坐标原点建系，求出向量的坐标运算．解：由AB＝1，BC＝2，，可知△ABC为直角三角形，如图，∴＝0﹣3﹣1＝﹣5．故答案为：﹣5．7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为1．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，由，解得，故答案为：18．（5分）已知sin（15°﹣α）＝，则cos（30°﹣2α）的值为．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．解：，则cos（30°﹣2α）＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1﹣2×＝．故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62，则a1的值是﹣2．【分析】由题意可知，q≠1，结合等比数列的通项公式及求和公式可得，解方程可求解：∵a2a8＝2a3a6，S5＝﹣62∴q≠1解方程可得，q＝2，a1＝﹣2故答案为：﹣210．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝0平行，则离心率e＝．【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出a，然后求解离心率．解：双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3＝7平行，可得，解得a＝，双曲线的离心率为：＝．故答案为：．11．（5分）一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍．【分析】根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断．解：∵一个圆柱和一个圆锥同底等高∴设底面半径为r，高为h，∴πrl＝2πr2，l＝2r∴圆柱的侧面积＝2πrh＝2πr2，∴圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x）＜（2﹣x）的解集为（1，+∞）．【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解：当x≥0时，f（x）＝e x为增函数，且f（x）≥1，当x＜0时，f（x）＝x+1为增函数，且f（x）＜7，则不等式f（x）＜f（2﹣x）等价为x＜2﹣x，即不等式的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．13．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．【分析】函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3＝a+b，a＞1，b＞0．即（a﹣1）+b＝2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵函数y＝a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3＝a+b，a＞1，b＞4．∴（a﹣1）+b＝2．故答案为：．14．（5分）已知直线x﹣y+3＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）相交于M，N两点，若，则圆的半径r＝．【分析】本题可以利用方程组得到交点间的坐标关系，然后将向量条件坐标化，得到关于半径的方程，求出半径的值．解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线x﹣y+5＝0与圆O：x2+y2＝r2（r＞0）联立，∴x1+x2＝﹣3，x1x5＝（9﹣r6）．∵，∴（9﹣r3）+（9﹣r2）＝3，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设函数x．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x∈（0，4），求y＝f（x）的值域．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x），再根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；（2）利用x的取值范围求出x﹣的取值范围，从而得出sin（x﹣）的取值范围，即是f（x）的值域．解：（1）函数f（x）＝sin（x﹣）﹣cos x＝sin x﹣cos x令﹣+8kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣+8k，+8k]，k∈Z；…6分∴0＜x＜π，∴﹣＜sin（x﹣）≤1；即函数f（x）的值域为：（﹣，]．…14分．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．（1）求证：直线OG∥平面EFCD；（2）求证：直线AC⊥平面ODE．【分析】（1）根据线线平行推出线面平行；（2）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．【解答】证明（1）∵四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，∴点O是BD的中点，∵点G为BC的中点∴OG∥CD，…（3分）（8）∵BF＝CF，点G为BC的中点，∴FG⊥BC，∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO，…（11分）∵AC⊥EO，AC⊥DO，EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE．…（14分）17．（14分）如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），离心率为．过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB．（1）求椭圆C的右准线方程为：x＝4．求椭圆C的方程；（2）设直线BD、AB的斜率分别为k1，k2，求的值．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和准线方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y＝kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到所求值．解：（1）离心率为，即为e＝＝，右准线方程为：x＝4，即为＝4，则椭圆的方程为+＝1；∵k AB＝，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k＝﹣，消去y整理得：（b2+a2k2）x6+2ma2k2x+a7m2﹣a2b2＝0，∴y1+y2＝k（x2+x2）+2m＝，即有的值为．则＝，，即的值．18．（16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC＝2，OA＝3，单位：百米．已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l （宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y＝﹣x2+2（）的图象．若点M到y轴距离记为t．（1）当时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？【分析】（1）求当时，代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x＝t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极值，进而得出地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大值．解：（1）把代入函数y＝﹣x2+2，得M（，），∵y'＝﹣2x，∴直线方程为y＝﹣x+；令y＝0，x＝（t+），令x＝0，y＝t2+6，∴2﹣≤t≤1，令g（t）＝（t3+4t+），当t＝时，g'（t）＝7，当t∈（，1）时，g'（t）＞0，所以所求面积的最大值为6﹣．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．已知函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，化简函数f（x）＝3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）＝3lnx+3＝3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；（2）函数f（x）＝ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）＝3（ax2+lnx+1），再令g（x）＝ax2+lnx+1，再求导g′（x）＝2ax+＝，从而由导数的正负性分类讨论以确定函数是否有极值点及极值点的个数．解：（1）当a＝0时，f（x）＝3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），f′（x）＝3lnx+8＝3（lnx+1），故f（x）在x＝时取得极小值f（）＝﹣7﹣1；f′（x）＝3（ax8+lnx+1），当a＞0时，g′（x）＞0在（8，+∞）恒成立，而f′（）＝3[a（）8+ln+1]＝3a（）2＞0，故f（x）在区间（，e）上单调递增，当a＝0时，由（5）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；故g（x）＝ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令g（）＝0得＝0，不可能；③令g（e）＝6得a＝﹣，所以∈（，e），又g（）＜6，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n都有．（Ⅰ）求证：a n+1+a n＝4n+2；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（I）由，知，由此能够导出．（II）在中，令n＝1，得a1＝2，代入（I）得a2＝4．由a n+1+a n ＝4n+2，知a n+2+a n+1＝4n+6，故a n+2﹣a n＝4，由此能导出数列{a n}的通项公式是a n＝2n．（III）＜等价于，令f（n）＝，则f（n）＞0，由此能够导出存在实数a，符合题意，并能求出其取值范围．解：（I）∵，∴∴，（II）在中，∵a n+1+a n＝4n+4，∴a n+2+a n+1＝4n+6，∴数列{a n}的偶数项a2，a8，a6，…，a26，…依次构成一个等差数列，∴当n为偶数时，＝，a n＝4n+2﹣a n+1＝4n+8﹣2（n+1）＝2n，（III）＜，令f（n）＝，∴＝＝．∴n∈N*时，f（n）的最大值为，若存在实数a，符合题意，即，解得，或，其取值范围为．。
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题江苏省南通市 2020 届高三数学第二次调研测试一试题注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（共14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号等用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔填写在答题卡上。
3．作答试题一定用书写黑色笔迹的0.5 毫米署名笔写在答题卡上的指定地点，在其他位置作答一律无效。
若有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描绘清楚。
参照公式：柱体的体积公式V柱体Sh ，此中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 U1，0 ，1，2，3 ，A1，0 ，2，则 e U A▲ ．2．已知复数 z1a i ，z2z13 4 i ，此中i为虚数单位．若z为纯虚数，则实数a的值为▲ ．23．某班 40 名学生参加普法知识比赛，成绩都在区间40，100 上，其频次散布直方图如下图，则成绩不低于60 分的人数为▲．开始S←1频次i ←1组距i← i1S←S× 5i < 4YN40506070 8090100成绩 /分输出 S（第 3题）结束（第4题）4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲．5．在长为 12 cm 的线段AB上任取一点C，以线段AC， BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为▲ ．6．在△ABC中，已知 AB1，AC 2 ，B45 ，则BC的长为▲ ．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题27． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2y有公共的渐近线，且经过点 x13P 2， 3 ，则双曲线 C 的焦距为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知角 ， 的始边均为 x 轴的非负半轴，终边分别经过点A (1 ，2 ) ，B ( 5 ，1) ，则 tan() 的值为▲ ．9． 设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ．若 S 3 ，S 9 ，S 6 成等差数列， 且 a 8 3 ，则a 5 的值为▲ ．10．已知 a ，b ，c 均为正数，且 abc 4( a b ) ，则 a b c 的最小值为▲ ．x ≤ 3 ，11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x 3y 3≥ 0 ， 表示的平面地区 x3y 3 ≥ 0内，则面积最大的圆C 的标准方程为 ▲ ．12．设函数 f ( x)exx31 ，x 0 ，3 个不一样的零点，则实数2（此中 e 为自然对数的底数）有 3mx 2 ，x ≤ 0m 的取值范围是▲ ．13．在平面四边形 ABCD 中，已知 AB 1，BC4 ，CD 2 ，DA uuur uuur3，则 AC BD 的值为 ▲ ．14．已知 a 为常数，函数x的最小值为2f ( x)23 ，则 a 的全部值为▲ ．x 1 x 2a二、解答题： 本大题共 6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区 内作答． 解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量acos ，sin，， cos， 1 ，3．bsinc2 2 （1）若 a bc ，求 sin () 的值；（2）设5π， 0 π，且 a //b c，求的值．616．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111中，AB，点 ， F 分别在棱 1，1上（均异于ABC ABCACEBBCC端点），且∠ ABE ∠ ACF ， AE ⊥ BB 1， AF ⊥ CC 1． AC求证：（ 1）平面 AEF ⊥平面 BBCC ；BF11E（2）BC //平面AEF．17．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，1， 2 是椭圆x2y21( a b 0 ) 的短轴端点，P是B Bb2a 2椭圆上异于点 B ， B 的一动点．当直线PB 的方程为y x 3时，线段 PB 的长为4 2．1211（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q知足：1122．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．QB PB， QB PByB1QO xPB2（第 17 题）18．（本小题满分16 分）2将一铁块高温消融后制成一张厚度忽视不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成 A， B，C三个矩形（ B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l1为母线，将 A 作为圆柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将 A 作为正四棱柱的侧面睁开图，并从B， C中各裁剪出一个正方形（各边分别与l1或 l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（ 2）设 l1的长为x dm，则当 x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？l1BAl 2C（第 18 题）19．（本小题满分16 分）设等比数列1， 2， 3， 4 的公比为，等差数列b 1，2，3， 4 的公差为，且q 1，d 0．a a a a qb b b d 记c i a i b i（i1，2， 3， 4）．（ 1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；（ 2）设a11，q 2．若数列，，是等比数列，求b2对于 d 的函数关系式及其定义域；c1 c2c3（ 3）数列 c1，c2，c3，c4可否为等比数列？并说明原因．20．（本小题满分16 分）设函数 f ( x )x asin x ( a0 )．（1）若函数y f ( x ) 是R上的单一增函数，务实数a 的取值范围；（2）设a 1 ，g ( x )2f ( x ) b ln x 1 ( b R ，b0 )，g ( x ) 是g( x ) 的导函数．① 若对随意的x0 ，g ( x )0 ，求证：存在x0，使 g( x0)0 ；②若 g ( x1 )g ( x2) ( x1x2)，求证：x1 x24b 2．江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试一试题（附带题）注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共 2 页，均为非选择题（第21~23 题）。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月二模考试数学试卷及解析
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月二模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1.设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 【答案】1 试题分析：由题意1M ∈，所以1x =．2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++. 故答案为60.3.已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 . 【答案】15试题分析：()134513413425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+ 4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.【答案】55【详解】试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 【答案】910试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 考点：古典概型概率 6.在ABC 中，若1AB =，2BC =，CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______.【答案】5-【解析】利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.【详解】在ABC 中，1AB =，2BC =，CA =222AB BC AC +=， AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-.故答案为：5-. 7.若实数,x y 满足约束条件22,{1,1,x y x y x y -≤-≥-+≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ．【答案】1 【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y =+过点(0,1)C 时取最小值1。
江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)
开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题解析
2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期5月第二次检测数学试题一、填空题1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ． 答案：1试题分析：由题意1M ∈，所以1x =． 【考点】集合间的关系．2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 答案：60采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 解：∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.3．已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .答案：15试题分析：()13451341||3425255i i z z z i -+=⇒==⇒==+【考点】复数及模的概念与复数的运算4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为_________.答案：55解：试题分析：由算法伪代码语言所提供的信息可知(110)1001210552S +⨯=+++⋅⋅⋅+==,应填55.【考点】伪代码语言的理解和运用．5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ． 答案：910试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1911010-= 【考点】古典概型概率6．在ABC 中，若1AB =，2BC =，5CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是______. 答案：5-利用勾股定理可得知AB BC ⊥，结合平面向量数量积的运算性质可求得AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值.解：在ABC 中，1AB =，2BC =，5CA =222AB BC AC +=，AB BC ∴⊥，则0AB BC ⋅=，因此，()25AB BC BC CA CA AB CA AB BC CA AC AC ⋅+⋅+⋅=⋅+=⋅=-=-. 故答案为：5-. 点评：本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的运算性质，考查计算能力，属于基础题.7．若实数,x y满足约束条件22,{1,1,x yx yx y-≤-≥-+≥则目标函数2z x y=+的最小值为．答案：1解：试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C直线2z x y=+过点(0,1)C时取最小值1【考点】线性规划求最值8．已知()1sin153α︒-=，则()cos302α︒-的值为______.答案：79由题易得3022(15)αα︒︒-=-，然后结合题中条件由余弦的二倍角公式直接计算即可. 解：()()()227cos302cos21512sin15199ααα︒︒︒⎡⎤-=-=--=-=⎣⎦.故答案为：79.点评：本题考查余弦二倍角公式，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于基础题.9．已知等比数列的前项和为，若，则的值是．答案：-2试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式10．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则离心率e =______.由双曲线方程写出渐近线方程，由平行求得参数a ，然后离心率． 解：由已知双曲线的渐近线方程为0x y =和0x y +=，显然直线0x y =与直线230x y -+=2=，14a =， 即双曲线方程为22114y x -=，实半轴长为1a '=，虚半轴长为12b '=，半焦距为c ==，所以离心率为c e a =='． 点评：本题考查双曲线的离心率，掌握双曲线的渐近线方程与两直线平行的条件是解题关键． 11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.答案：试题分析：因为一个圆柱和一个圆锥同底等高，所以设底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面积是其底面面积的2倍，所以22,2rl r l r ππ==，h =，所以圆柱的侧面积22S rl r π==，其底面积为2r π，所以圆柱的侧面积是底面积的. 【考点】旋转体的侧面积与表面积.【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.12．已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.答案：()2,1-先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果. 解：,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1- 点评：本题考查分段函数单调性、利用函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .答案：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 【考点】指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值14．已知直线30x y -+=与圆222:O x y r +=()0r >相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，圆的半径r =______.答案：6求出圆心到弦的距离32=d ，利用余弦二倍角公式与向量的数量积公式化简222(21)d OM ON r r⋅=⋅-可得解：圆心(0,0) 到直线30x y -+=的距离2200+332===221+1d -. ()22222cos cos 2cos 1(21)d OM ON OM ON MON r r MON r MOE r r⋅=∠=⋅⋅∠=∠-=⋅-2222292293662d r r r r r ∴-=⋅-=-=⇒=⇒=.6 点评：本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理及向量的数量积公式二、解答题15．设函数()sin cos 464f x x x πππ⎛⎫=--⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调增区间；（2）若()0,4x ∈，求()y f x =的值域. 答案：（1）单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）332⎛- ⎝.（1）由两角差正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的单调性得增区间； （2）求出43x ππ-的范围，把它作为一个整体，利用正弦函数性质可得()f x 值域．解：解：（1）()33sin cos sin cos 3sin 46442443f x x x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+，∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈ ∴()f x 的单调增区间为：()2108,833k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）∵()0,4x ∈，∴23433x ππππ-<-<∴3sin 143x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的值域为：3,32⎛⎤- ⎥⎝⎦. 点评：本题考查正弦型三角函数的单调性，值域问题，考查两角和与差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键．16．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点.（1）求证：直线//OG 平面EFCD ； （2）求证：直线AC ⊥平面ODE . 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）证明OGCD ，再利用线面平行判定定理，即可证明；（2）证明AC ⊥平面ODE 内的两条相交直线EO 、DO ； 解：证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC BD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OGCD ，又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线OG ∥平面EFCD . （2）∵BF CF =，点G 为BC 的中点，∴FG BC ⊥. ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥，∴FG ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG AC ，∵OGAB ，12OG AB=，EF AB ∥，12BF AB =， ∴OG EF ∥，OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形， ∴FG EO ∥， ∵FGAC ，FG EO ∥，∴AC EO ⊥，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥，∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EO DO O ⋂=，EO 、DO 在平面ODE 内， ∴AC ⊥平面ODE . 点评：本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意条件书写的完整性.17．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，离心率为12，过原点的直线与椭圆C交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥.（1）若椭圆C 的右准线方程为：4x =，求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值.答案：（1）22143x y +=；（2）1234k k =. （1）根据右准线以及离心率列方程组解得21a c =⎧⎨=⎩，即得23b =，可得椭圆C 的方程； （2）利用点差法得22110AD BD k k a b +⋅=，结合AD AB ⊥转化为1222111()0k a b k +-⋅=再根据离心率可得12k k 的值. 解：（1）2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：21a c =⎧⎨=⎩，∴23b =，∴椭圆方程为：22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，∴,A D 在椭圆上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-= ∴22110AD BD k k a b +⋅=，∵12c e a ==，∴2234b a =，∴134AD k k =-∵AD AB ⊥，∴21AD k k =-，∴1234314AD ADk k k k -==- 点评：本题考查椭圆标准方程、点差法，考查综合分析求解能力，属中档题.18．如图，某小区有一块矩形地块OABC ，其中2OC =，3OA =，单位：百米.已知OEF 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边EF 相切于点M 的直路l （宽度不计），交线段OC 于点D ，交线段OA 于点N .现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，若点M 到y 轴距离记为t .（1）当23t =时，求直路所在的直线方程； （2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？答案：（1）42239y x =-+；（2）6t =866. （1）把23t =代入函数22y x =-+，得M 的坐标，再利用导数求切线的斜率，即可得到答案；（2）先求出面积的表达式为31444OND S t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，再利用导数求函数的最大值，即可得到答案； 解：解：（1）把23t =代入函数22y x =-+，得214,39M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵2y x '=-，∴43k =-， ∴直线方程为42239y x =-+；（2）由（1）知，直线的方程为222y tx t =-++，令0y =，122x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0x =，22y t =+， ∴1222t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，223t +≤. ∴221t ≤≤， ∴()231121424224OND S t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，令()31444g t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()()()2222324t t g t t+-'=当t =()0g t '=，当2t ⎛∈- ⎝⎭时，()0g t '<，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()39g t g ⎛≥= ⎝⎭，所以所求面积的最大值为69-. 点评：本题考查函数模型解决面积问题、导数几何意义的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称x 为函数()y f x =的极值点.已知函数()()3ln 1f x ax x x a R =+-∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.答案：（1）极小值31e --；（2）22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. (1)求出()()3ln 1f x x '=+，令()0f x '=求出方程的解，从而探究()(),f x f x '随x 的变化情况，即可求出极值.(2)求出()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，分0a >，0a =，0a <三种情况进行讨论，结合零点存在定理求出实数a 的取值范围. 解：解：（1）当0a =时，()3ln 1f x x x =-的定义域为()0,∞+，()()3ln 33ln 1f x x x '=+=+，令()0f x '=，解得1x =，则()(),f x f x '随x 的变化如下表，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数；故()f x 在1x e=时取得极小值131f e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）函数()33ln 1f x ax x x =+-的定义域为()0,∞+，()()23ln 1f x ax x '=++，令()2ln 1g x ax x =++，则()21212ax g x ax x x+'=+=，当0a >时，()0g x '>在()0,∞+恒成立，故()f x '在()0,∞+上是增函数，而2211113ln 130f a a e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，故()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a =时，由（1）知，()f x 在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上没有极值点；当0a <时，令2210ax x+=，解得x =或；故()2ln 1g x ax x =++在⎛ ⎝上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上是减函数， ①当()10g e g e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即220a e-<<时， ()g x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭得20a e=，不符合题意；③令()0g e =得22a e =-1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而1ln 0222e e g g ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，又10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()g x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a 的取值范围是22,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查了极值的求解，考查了已知极值点的范围求解参数.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对一切正整数n 都有212n n S n a =+. （1）求证：()*142n n a a n n N ++=+∈；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在实数a，使不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对一切正整数n 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析；（2）()*2n a n n N=∈；（3）存在；a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）由题得()2*12n n S n a n N =+∈①，()()211112n n S n a n N ++=++∈②，②－①即得142n n a a n ++=+； （2）由题得24n n a a +-=.()*n N ∈，再对n 分奇数和偶数两种情况讨论，求出数列{}n a 的通项公式；（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，判断函数的单调性，求出其最大值，解不等式322a a<-即得解. 解：（1）证明：∵()2*12n n S n a n N =+∈①， ∴()()211112n n S n a n N ++=++∈② 由②－①得()()22*11111111212222n n n n n n S S n a n a n a a n N +++⎡⎤⎛⎫-=++-+=++-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，∴()*142n n a a n n N++=+∈.（2）∵()*142n n a a n n N++=+∈③∴()2146n n a a n n N +++=+∈，④ ④－③，得24n na a +-=.()*n N ∈从而数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，且首项为12a =，公差为4； 数列{}n a 的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a ，公差为4. 在①中令1n =得211112S a =+，又∵11S a =，∴1111122a a a =+⇒=. 在③中令1n =得2242a +=+，∴24a =. ∴当()*21n k k N =-∈时，12n k +=，()21141422nk a a a k k n -==+-=-=；∴当2n k =()*k N∈时，2nk =，()224142n k a a a k k n ==+-==； 综上所述，()*2n a n n N=∈.（3）令()1211111...1n f n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()*n N ∈，则()0f n > 且()()1121111n f n n f n a +++⎛⎫=-==< ⎪⎝⎭ ∴()()1f n f n +<， ∴()f n 单调递减， ∴()()max []1f n f ==.∴不等式21211111...1n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对一切正整数n 都成立等价于()32f n a a<-对一切正整数n 都成立， 等价于()max f n a <-⎡⎤⎣⎦32a a <-.0<，即(20a a a->，解之得a >02a -<<. 综上所述，存在实数a 的适合题意，a的取值范围是()3,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.点评：本题主要考查数列通项的求法，考查数列的单调性的判定和最值的求法，考查数列不等式的恒成立问题的求解，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020届南通市海安高级中学高三下学期阶段考试数学试题
15 .Q BC
CD
9，
BC 12
2
故答案为 :12.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换的应用 .难点在于已知正切值的使用 .有的同学可能由正切值求
出正弦和余弦 ,结合正弦定理和余弦定理列出方程进行求解 .由于本题所给的正切值求出
的正弦余弦值数比较大 ,因此这种思路计算量较大 ,效率不高而且容易做错 .
m
2
kl
x1
m
m
t
2
1
则切线方程为
y
t
1
m 2x t
t1
2
整理得 mx t 1 y 2mt m 0 .则 P 2t, 1 到 l 的距离
2
2
2mt t 1 2mt m
d2
2
4
m t1
4
t1
m2
2m t
2
1
m2
4
t1
1
2m
2
t1
m2
2
t1
2
Qt 1
m2
2
t1
2
2m ,当且仅当 t 1
m2 2即t 1
t1
2,0
p
所以
2
2 ,解得 p 2 2 .
故答案为 : 2 2 .
【点睛】 本题考查了双曲线的标准方程 ,考查了抛物线的方程 .易错点是误把 p 当做了抛物线焦 点的横坐标 .
6．已知一个口袋中有形状、大小都相同的
5 只球，其中 3 只白球， 2 只红球．从
中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色相同的概率为 ____ ．
【解析】 (1)求出 | a |,| b | ,由 | a | | b | 可得 | sin x |
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）若二面角 的大小为 ，求线段 的长．
24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为 ”.
（1）当 时，记 ，求 的分布列及数学期望；
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时 的值；
（3）问当θ为何值时， 的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
19．已知函数 .若在定义域内存在 ，使得 成立，则称 为函数 的局部对称点.
（1）若a， 且a≠0，证明：函数 有局部对称点；
（2）若函数 在定义域 内有局部对称点，求实数c的取值范围；
（2）求 的值.
17．设数列 ， 的各项都是正数， 为数列 的前n项和，且对任意 ，都有 ， ， ， （e是自然对数的底数）.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
18．已知矩形纸片 中， ，将矩形纸片的右下角沿线段 折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边 上，记该点为E，且折痕 的两端点M，N分别在边 上.设 ， 的面积为S.
评卷人
得分
一、填空题
1．设集合 ， ，则 ____________.
2．已知 （ 为虚数单位），则复数 ________．
3．命题“ ”的否定是______．
4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
5．“ ”是“ ”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
6．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是．
7．若幂函数 的图象经过点 ，则其单调递减区间为_______．
8．若函数 ( R， )满足 ，且 的最小值等于 ，则ω的值为___________.
9．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
10．设集合 ， （其中e是自然对数的底数），且 ，则满足条件的实数a的个数为______．
11．已知过点 的直线与函数 的图象交于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，点 的横坐标是
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 ，
则该命题的否定是： ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
4．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为 ，则
一次取出2只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共6种，
12．设点P在函数 的图象上，点Q在函数 的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________
13．设 为偶函数，且当 时， ；当 时， ．关于函数 的零点，有下列三个命题：
①当 时，存在实数m，使函数 恰有5个不同的零点；
②若 ，函数 的零点不超过4个，则 ；
③对 ， ，函数 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
（2）当 ， 时，求 且 的概率.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先解不等式 ,再求交集的定义求解即可.
【详解】
由题,因为 ,解得 ,即 ,
则 ,
故答案为:
【点睛】
本题考查集合的交运算,考查解一元二次不等式.
2．
【解析】
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
3． ，
其中，正确命题的序号是_______．
14．已知函数 ，若对于任意正实数 ，均存在以 为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.
评卷人
得分
二、解答题
15．已知集合 ，集合 ， .
（1）求集合B；
（2）记 ，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
16．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
（3）若函数 在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
20．已知函数 ．
（1）求函数 的零点；
（2）设函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，求证： ；
（3）若 ，且不等式 对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．
21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝ ，
6．-2
【解析】
试题分析： ，
考点：等比数列性质及求和公式
7．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出幂函数 的解析式，再求出 的单调递减区间．
【详解】
解：幂函数 的图象经过点 ，
则 ，
解得 ；
所以 ，其中 ；
所以 的单调递减区间为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
22．本小题满分14分）
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 截得的线段的长度
23．如图，在正四棱锥 中， ，点 、 分别在线段 、 上， ．
8．1
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得 ,由题可分析 的最小值等于 表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,进而求解即可.
【详解】
由题, ,
因为 , ,且 的最小值等于 ,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,
其中2只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共5种；
所以所求的概率是 ．
考点：古典概型概率
5．充分不必要
【解析】
【分析】
由余弦的二倍角公式可得 ,即 或 ,即可判断命题的关系.
【详解】
由 ,所以 或 ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
【点睛】
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.