高一数学直接证明与间接证明练习题

推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若E F A B ∥，EF到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用 类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF△的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+ Ｂ．120nS mS S m n+=+=答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数 Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ）Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公 式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列则上起第2018行，左起第2018列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯ 答案：Ｄ二、填空题1 2510174 3611189 871213．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论 14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n n f >时，1(2)(2)k kf f +-等于 ．答案：111121222k k k ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若ADBC⊥，则2A B B D B C =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM D E ⊥，所以2AE EM ED =·． 于是22111222ABCBCM BCD S BC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =． EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫⎪⎝⎭·，正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l ，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a cac +，2b c bd +， 所以122a cb d ac bd ++++=≤，这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数． 21．设()2x xa a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··，又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+，于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+． 证明：因为()2x xa a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y ya a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a >，所以26a <． 而a是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++． 则当1n k =+时， 有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++， 所以a 的最大值等于25．推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ）Ａ．“若22mn =··，则m n =”类比得出“若00m n =··，则m n =” Ｂ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“()ab c ac bc =··” Ｃ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“(0)a b a b c ccc+=+≠”Ｄ．“()n n n pq p q =·”类比得出“()n n n p q p q +=+” 答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120 答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ）Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和② 答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）Ａ．1 Ｂ．12+ Ｃ．123++ Ｄ．1234+++ 答案：Ｄ5．5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ）Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法 答案：Ｂ 6a b ，应满足的条件是（）Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b >Ｃ．0ab <且a b < Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b < 答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形 答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为（）Ａ．41412156325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++ Ｄ．412125(35)k k +++ 答案：Ａ10．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ）Ａ．212r Ｂ．212l Ｃ．12rl Ｄ．不可类比答案：Ｃ11．已知已知1m >，a =b =，则以下结论正确的是（ ）Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定 答案：Ｂ12．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（ ）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题 13．已知21111()12f n nn n n =++++++，则()f n 中共有 项．答案 ：21n n -+14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式，<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式．答案：当20m n +=15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ． 答案：265n a n =-16．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V =．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且n a >，则数列)n b n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下： 设等差数列{}n a 的公差为d，则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d 为公差的等差数列．19．已知a b c >>，且0a b c ++=<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <r ，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．20)a b c ++．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），)b c +)c a +，)a b c ++．（省略了大前提，小前提）21．由下列不等式112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式，即一般不等式为： 1111()23212nnn *++++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： （1）当1n =时，112>，猜想成立；（2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k++++>-， 则当1n k =+时，111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立． 22．是否存在常数a b c，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立； （2）假设当n k=时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数 都成立．。