极限知识点(2020年10月整理).pdf
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
2020年考研高数知识点：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。
第二，极限的性质。
性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这个部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限与连续知识点
极限与连续一 知识点 1 极限1） 定义：lim n n a A →∞=⇔________________________________________________lim ()x f x A →∞=⇔_______________________________________________lim ()x x f x A →=⇔_______________________________________________2）存在性判定：左右极限：0lim ()x x f x A →=⇔____________________________________________夹逼TH ：____________________________________________单调有界TH ：____________________________________________ 3） 极限的性质：唯一性：____________________________________________ 局部有界性：____________________________________________ 局部保号性：____________________________________________ 4）极限的计算方法与技巧四则运算：____________________________________________复合函数的极限：0lim (())(lim ())x x x x f x f x ϕϕ→→=的条件：_______________等价量替换：（记忆常用替换公式）L Hospital 法则：____________________________________________ 利用重要极限（记忆重要极限及变式） 利用夹逼TH积分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一个量、提因式、利用对数恒等式将指数拿下来）5）无穷小量()(1)f x ο=⇔____________________________________________ ()(())f x g x ο=⇔____________________________________________()f x 与()g x 同阶⇔____________________________________________()()f x g x ⇔:____________________________________________无穷小量的性质：___________________________________________ 2 连续 1）定义0()f x x ⇔在处连续_______________________ 2） 连续的判别左、右极限与0()f x 的关系：___________________________ 初等函数的连续性：_____________________________________ 复合函数的连续性判别：_____________________________________ 反函数与原函数连续性的关系：__________________________________ 3）间断点的判别：利用左、右极限与0()f x 的关系 4）连续函数的性质()[,]f x C a b ∈⇒ 最值TH ：_____________________________________ 介值TH ：_____________________________________ 零点存在TH ：___________________________________二 题型 1 算法1）lim(n n →∞+=__________2）222111lim(1)(1)(1)23n n →∞---=L __________3）21212lim()1x x x x x x→---+=++__________4）1x →=__________5）设n 为正整数，(ln )(cos),(1)2nxx x πο=→；41)((ln )),(1)n x x ο=→，则n =_____________6）若：2(2)2(1)(1),(1)xx a x b x x --+-→:，则,a b 为_________7）若：3221lim()01x x x ax b x →∞-+--=-，则,a b 为_________ 若：212lim31x x ax bx →-++=+，则,a b 为_________ 8）2012lim 31xx x x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭ _________；01lim 1sin x x x →⎛+= ⎝⎭________2 判别极限存在性、连续性、间断1）设sin ,0()2,0axx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，0lim ()x f x →存在，则a = _________2）设,0a b >，且1sin ,0()2,0(1),0x axx x f x x bx x ⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在R 上连续，则,a b 为_________3）设,0;,1a b a b >≠，,0()0,0x xa b x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，判断0x =的类型 _________4）找出间断点，并判别类型()lim tx x tx x t e e f x e e -→+∞-=-； ()lim(1)arctan nn f x x x →∞=-3 证明1）设{}n x 满足：102x <<，1n x +=lim n n x →∞存在，并求值2）已知：[2],0()1,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，判别lim ()x f x →∞，0lim ()x f x →的存在性3）设()[0,1],(0)(1)f x C f f ∈=，证明：01[0,]2x ∃∈，使001()()2f x f x =+ 三 练习1 判别下列极限的存在性 1011)lim1x xe→+，2)lim 12x x→∞+2求11sin ,0()011,1ln x x x f x x x x x ⎧<⎪=≤≤-⎪>⎪⎩的间断点，并判别类型3计算：lim n →∞++=L __________ 4 设sin ()tan xf x xex =，则()f x 是____________（A 无界函数，B 单调函数，C 在x →∞下的无穷大量）5设()sin f x x =，2(())1f x x ϕ=-，则()x ϕ=___________，定义域为___________ 6 sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在哪个区间内有界A （-1，0）B （0，1）C （1，2）D （0，2）7设()232xxf x =+-，则当设0x →时，()f x 与x 的关系是___________（同阶，高阶，等价）8 10lim()x xx x e →+=__________； 1lim()xx x →∞+=__________9 limn →∞= __________10 下列各式正确的是A 01lim (1)1xx x+→+=， B 01lim(1)xx e x+→+=， C 1lim(1)xx e x→∞-=-， D 1lim(1)xx e x-→∞+=11设2,1,n n n nx n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则当n →∞时，n x 是A 无穷大量，B 无穷小量，C 有界量，D 无界量12 limn →∞=__________13 曲线2121()arctan (1)(2)x x xf x e x x ++=+-的渐进线条数为__________14 21lim ln(1)x x x x →∞⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦__________15 设0a ≠，2201lim ()ln(1)x a a ax x x →⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦__________16 21lim tann n n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭__________ 17设()(0,1)xf x a a a =>≠，则21lim[(1)(2)()]n f f f n n →∞=L __________ 18 设()()()x f x g x ϕ≤≤，且lim[()()]0x x g x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞A 存在且为0，B 存在但不一定为0，C 不存在，D 不一定存在19 设12a ≠，则21limln (12)nn n na n a →∞⎛⎫-+= ⎪-⎝⎭__________ 20设111()sin (1)f x x x x πππ=+--，判别间断点1x =的类型__________21 []20lim 1ln(1)xx x →++=__________22 若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则,a b =__________23 22201cos lim sin x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________； 22lim sin 1x x x x →∞=+ 24 设()f x 有连续的导数，且(0)f b '=，()sin ,0(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续，则(0)f =__________；A=__________ 25设21()lim1nn xf x x →∞+=+，判断其间断点的类型26 设()[,]f x C a b '∈，且()0,()0f a f b ''><，则下列结论错误的是 A 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f a > B 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f b > C 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x '= D 至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x =四 练习答案1 均不存在；2 0x =第二类，1x =跳跃；3 1；4 A ；5 2arcsin(1)x -，；6 A ；7 同阶；8 2,1e ；9 2；10 A ；11 D ；122；13 B ；14 12 ；15 22a ；16 13e ；17 ln 2a；18D ； 19112a -；20 可去间断点；21 2e ；22 1,4a b ==-；23 4,23；24 0，b+a ；25 1x =跳跃；26 D。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
机械密封常用材料的极限pV值(2020年10月整理).pdf
机械密封常用材料的极限pV值
机械密封常用材料的极限pV值
注：表中元素的百分含量皆指质量分数。
不同材料摩擦副
密封环材料
pv极限值/MPa·m·s－1备注
动环静环
材料硬度
(HS)
材料硬度
碳石墨60～105 镍护层
(131～183）
HBS
3.503
比陶瓷更耐热冲击
陶瓷(Al2O385％) 87HRC 不如镍护层耐热冲击，但耐蚀性好得多
陶瓷
(Al2O399％）
87HRC 耐蚀性优于(Al2O385％) 的陶瓷
碳化钨
(Co6%）
92HRC
17.515
填充青铜的碳石墨极限pv值为14.73
碳化钨
(Ni6%)
可以镀镍改善耐蚀性
碳上渗碳化硅90HR15T 良好的耐磨性。
碳化硅层很薄。
可以相互研磨碳化硅
86～
88HR45N
比碳化钨耐蚀性好，但耐热冲击性差
相同材料摩擦副
密封环材料硬度
碳石墨（60～105）HS 1，751 pv值低，但能很好地防止表面气泡
陶瓷87HRC 0.350 适宜用于密封染料
碳化钨92HRC 4.204 采用更好的胶粘剂pv值可达6.481
碳上渗碳化硅90HR15T
17.515 极好的耐磨粒磨损性能，比碳化硅便宜
碳化硅86～88HR45N 极好的耐磨粒磨损性能，良好的耐蚀性，中等的耐热冲击性
碳化硼 2 800努氏硬度极好的耐蚀性。
价格昂贵
1。
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
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高中数学第十三章-极 限
考试内容：
教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果
①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；
②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立.
那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①a a n n =∞
→lim ②当∞→n 时，a a n →.
⑵几个常用极限：
①C C n =∞
→lim （C 为常数） ②),(01
lim 是常数k N k n k n ∈=∞→
③对于任意实常数，
当1|| a 时，0lim =∞
→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1−=a ，则n n n n a )1(lim lim −=∞
→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞
→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：
如果b b a a b n n n ==∞
→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞
→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim
③)0(lim ≠=∞→b b
a b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么
Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞
→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S −=. （化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0
或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0
x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如⎩
⎨⎧+−−=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则：
如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0
0，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0
②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0
③)0()()(lim 0≠=→b b
a x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么
)(lim ))((lim 0
0x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0
0→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→x
n ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =−∞
→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x
x x
④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→1
0)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：
⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()
()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.
⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：
①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00
x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：
如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00
x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.
⑶夹逼定理：设当δ ||00x x −时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0
A x f x x =→ 注：||0x x −：表示以0x 为的极限，则||0x x −就无限趋近于零.（ξ为最小整数）
6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞
→ ②)0(0!
lim a n a n
n =+∞→ ③k a a n n k n ,1(0lim
=+∞→为常数） ④0ln lim =+∞→n
n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln lim
εε=+∞→为常数）。