28(高中竞赛讲座)高斯函数

高中数学竞赛讲座28
28高斯函数
数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.
定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==
由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：
（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[
（2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且.
（3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.
（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.
图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2
（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,.
（6）∑∑==∈≥+≥++≥+n
i i
i n i i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地， ].[][b
a n
b na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i
n i i R x x x 11],[][；特别地，
*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.
（8）]][[][n
x n x
=，其中*∈+∈N n R x ,. 例题讲解
1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.
2．对任意的∑∞
=+*+=∈01].22[,K k k
n S N n 计算和
3．计算和式.]503
305[5020的值∑==
n n S
4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？
5．求方程.051][4042的实数解=+-x x
6．.][3]3[2]2[1][][:,,n
nx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈* 证明
7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：
].[]1[]2[]1[][nx n
n x n x n x x =-+++++++ .
8．求出]3
1010[10020000
+的个位数字
例题答案：
1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为
∑∞
==1].2[
)!(2t t
n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====11
11221111122221]2[]2
[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则 故!.|21n n -
反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是
≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++
由于1
2,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s t s n n n p 则的方次数中含故
则n !.这与已知矛盾，故必要性得证.
2．解：因]212
[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2
[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大
时,.)]2[]2
([,0]2[,1201n n n S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而 3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则
503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503
305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503
)503(305[=-n 故
∑∑===⨯=-+==2511502
1.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S 4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.
设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x
,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数. .
1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k m
k x N m x 5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.
07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.
051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2
229,02294;2
189,01894;2
29,0294:
,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得
经检验知，这四个值都是原方程的解.
6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k k
kx x x A k 令
由于.,1],[1命题成立时则==n x A
.,,,],[]
[][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,
].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA k
kx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k
7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－
2
a )|} ⑴若|－2a |≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|}
而f ⑴＝1＋a ＋b
f(－1)＝1－a ＋b
|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
∴ M≥2＞2
1 ⑵|－2
a |＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－
2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4
a 2
＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4
a 2
＋b|} ≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4
a 2
＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4
a 2
＋b)] ＝)2
a 2(412
+ ≥2
1
综上所述，原命题正确.
8．先找出3
101010020000
+的整数部分与分数部分. 3
101010020000+=31033103)10(100200
100200200100+++- .3
108110310910310310]31010[,13
1093103.
3
10310,
3)10(|310310|3)10(,
)3(])10[(3)10(10050
2000010010020000100200200010020000100100
100200100200
2000022100100200
200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知 其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.。