2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(十)试题

100所名校高考模拟金典卷·数学（十）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.1.已知集合{}2|4M x x =…，{2,1,0,1,2}N =--，则（ ） A ．M N ⋂=∅B ．N M ⊆C ．{1,0,1}M N ⋂=-D ．M N ⋃=R2.下列复数中实部比虚部小的是（ ） A ．92i +B ．34i -C ．2(3)i +D ．(45)i i +3.已知向量(2,)a m =r ，(1,3)b =-r ，若()a b b +⊥r r r，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．4D ．4-4.在ABC △中，sin B A =，a =，且4C π=，则c =（ ）AB ．3C ．D ．5.为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值大于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值平均水平大于甲的六维能力指标值平均水平D ．甲的数学运算能力指标值大于甲的直观想象能力指标值6.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V 、2V ，则（ ）A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=7.如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE 和CG ，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（ ）A ．35B ．38C ．310D ．3208.已知的数1()2cos22f x x x =-，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A ．3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈ZB ．2,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C ．35,024k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,04k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 9.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l =，则直线l 与直线1CD 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ △是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．2CD12.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中()g x 为偶函数，当0x …时，()0g x '>恒成立，且()f x 满足：①对x ∀∈R ，都有((f x f x +=-；②当[x ∈时，3()3f x x x =-.若关于x 的不等式()2[()]2g f x g a a -+„对3322x ⎡∀∈---⎢⎣恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．RB ．[0,1]C．112424⎡--+⎢⎣⎦D ．(,0][1,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.若实数,x y 满足约束条件1031010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则32z x y =+的最小值为______.14.若5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为2m-，则12d m x x =⎰______. 15.已知2sin cos 213cos 7ααα⋅=-，且tan()3αβ+=，则tan β=______.16.如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A B C 、、三点，令1||||AF BF λ=，2||||BC BF λ=，则当3πα=时，12λλ+=______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.公差大于32的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，345,,4a a S +成等比数列，等比数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用,A B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市()*n n ∈N 个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为415. （1）求n 的值；（2）若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次随机抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望.19.如图1，在梯形ABCD 中，AB CD P ，过,A B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E F 、 .2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿,AE BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE .（2）若DE CF P ，CD =P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，求直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值.20.已知长度为AB 的两个端点A B 、分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =u u u r u u u r，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)，且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数？若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()ln f x a x =+，且()||f x a x „. （1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证6()7f m <<. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），过原点O ，且倾斜角为α的直线l 交M 于A B 、两点.（1）求l 和M 的极坐标方程； （2）当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求||||OA OB +的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲]已知()|1|||f x x x m =+++，2()32g x x x =++. （1）若0m >，且()f x 的最小值为1，求m 的值；（2）若不等式()3f x „的解集为A ，不等式()0g x „的解集为B ，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.（十）1.答案 B命题意图 本题考查集合的交集.解题分析 由24x ≤，解得22x -剟，即{|22}M x x =-剟，N M ∴⊆. 2.答案 D命题意图 本题考查复数的实部与虚部.解题分析 因为2(3)96186i i i +=+-=+，(45)54i i i +=-+，故四个选项中只有D 项中的复数的实部比虚部小. 3.答案 A命题意图 本题考查向量的坐标运算.解题分析 由题意，得(3,3)a b m +=-r r ，()a b b +⊥r r r Q ，()33(3)0a b b m ∴+⋅=--=r r r，解得4m =.4.答案 A命题意图 本题考查解三角形.解题分析 由正弦定理知b =，因为a =，所以4b =.因为2222cos104c a b ab π=+-=，所以c =5.答案 C命题意图 本题考查网状图与统计的知识.解题分析 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4， 乙的逻辑推理能力指标值为3，所以A 项错误；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5， 所以乙的直观想象能力指标值大于甲的数学建模能力指标值，所以B 项错误； 对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为123(434534)66+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为1(543543)46+++++=，因为2346<，所以选项C 正确； 对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5， 所以甲的数学运算能力指标值小于甲的直观想象能力指标值，故D 项错误.故选C 项. 6.答案 D命题意图 本题考查三视图与几何体的体积.解题分析 由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=.由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=，12416243173V V ∴-=-=.7.答案 C命题意图 本题考查几何概型.解题分析 设CG BF H ⋂=，由BCH FGH △∽△，得122HF a BH a ==，即13FH a =， 则25ABFG BCDE S S a +=正方形正方形，22211832332CEH GFH S S S a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭△△阴影， 由几何概型的概率公式，得22332510a P a ==.8.答案 A命题意图 本题考查三角函数的图象与性质. 命题意图1()2cos22f x x x =-Q ，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，可得2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 36x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，可得2sin 33x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，2()sin 33x g x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令233x k ππ-=，k ∈Z ，得322k x ππ=+，k ∈Z ，函数()g x 的对称中心为3,022k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z . 满分导考 考←→分9.答案 C命题意图 本题考查程序框图与数列求和.解题分析 模拟程序运行，可得程序框图的功能是求11111232S k k ⎛⎫=-+⋯+- ⎪+⎝⎭1111251221242k k ⎛⎫=+--> ⎪++⎝⎭时k 的最小整数值，解得5k >，则输出k 的值是6. 10.答案 C命题意图 本题考查异面直线的夹角.解题分析 如图所示，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面αP 平面1A BD ，平面α⋂平面ABCD l AF ==，11CD BA Q P ，BD AF P ，则直线l 与直线1CD 所成的角即为直线BD 与直线1BA 所成的锐角，因为1A BD △为等边三角形，所以160A BD ∠=︒.11.答案 D命题意图 本题考查双曲线的离心率. 解题分析 如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||PQ =，由双曲线的定义可知212PF PF n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得m =，2)n a =，在12QF F △中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒，即22222242)22)122c a a a a ⎛=+-⨯⨯⨯-= ⎝⎭，所以c e a ===12.答案 D命题意图 本题考查函数的性质与最值.解题分析 Q 函数()g x 满足当0x ≥时，()0g x '>恒成立，∴函数()g x 为R 上的偶函数，且在[0,)+∞上为单调递增函数，且有(||)()g x g x =，()2[()]2g f x g a a ∴-+„，3322x ⎡∈---⎢⎣恒成立2|()|2f x a a ⇔-+„恒成立，只要使得定义域内2max |()|2f x a a -+„，由((f x f x +=-，得(()f x f x +=，即函数()f x 的周期T =Q 当[x ∈时，3()3f x x x =-，求导得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，∴该函数过点(，(0,0)，，如图，且函数()f x 在1x =-处取得极大值(1)2f -=，在1x =处取得极小值(1)2f =-，即函数()f x 在R 上的最大值为2.3322x ⎡∈---⎢⎣Q ，函数()f x 的周期是∴当3322x ⎡∈---⎢⎣时，函数()f x 的最大值为2，由222a a ≤-+，即222a a -+„，则20a a -…，解得1a ≥或0a „.13.答案 2命题意图 本题考查简单的线性规划.解题分析 由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线322zy x =-+经过点(0,1)C 时，直线的纵截距最小，所以32z x y =+的最小值为30212⨯+⨯=.14.答案 24命题意图 本题考查二项式定理与定积分.解题分析 5212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的通项为 55210315511C (1)C 22rr rr r rr r x T x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1031r -=，得3r =，所以x 的系数为23515C 22⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，522m -=-，5m =，则552221112d 2d 5124mx x x x x ===-=⎰⎰.15.答案 113-或7- 命题意图 本题考查三角恒等变换. 解题分析 2222sin cos sin cos tan 213cos sin 2cos tan 27ααααααααα⋅⋅===---Q，1tan 2α∴=-或tan 4α=. 又tan()tan 3tan tan tan()1tan()tan 13tan αβααβαβααβαα+--=+-==+++Q ，代入tan α的值可得1tan 13β=-或tan 7β=-.16.答案 5命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系.解题分析 设()11,A x y ，()22,B x y ，则由过抛物线24y x =的焦点的直线的性质可得122416||2sin 603AB x x =++==︒，12103x x ∴+=，又21214p x x ==Q ，13x ∴=，213x =.分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点,E D ，则1||||3(1)31||||(1)3AF AE BF BD λ--====--，同理可得2||||12||||sin 30BC BC BF BD λ︒====，125λλ∴+=.17.命题意图 本题考查求数列的通项与前n 项和. 解题分析（1）13a =-Q ，345,,4a a S +成等比数列，()24354a a S ∴=+，即2(33)(32)(1110)d d d -+=-+-+，解得2d =或1211d =（舍去），25n a n ∴=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，12b =Q ，()32222224b =---=，212b q b ∴==，2n n b ∴=. （2）|25|2nn c n =-⋅Q ，当1n =时，16T =；当2n =时，210T =；当3n ≥时，250n ->，341101232(27)2(25)2n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，①4512201232(27)2(25)2n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②()41108222(25)2n n n T n +-⇒-=-++++--⋅L ①②，可得134(27)2n n T n +=+-⋅，16,110,234(27)2,3n n n T n n n +=⎧⎪∴==⎨⎪+-⋅⎩….18.命题意图 本题考查排列组合与分布列.解题分析 （1）由题意知共有8n +个集团，取出2个集团的方法总数是28n C +，其中全是小集团的情况有28C ，故全是小集团的概率是2828564(8)(7)15n C C n n +==++，整理得到(7)(8)210n n ++=，即2151540n n +-=，解得7n =.（2）若2个全是大集团，共有2721C =种情况；若2个全是小集团，共有28C 28=种情况，故全为大集团的概率为21321287=+.（3）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，048715C C 1(0)C 39P X ===；138715C C 8(1)C 39P X ===；2287215C C 28(2)C 65P X ===； 3187415C C 56(3)C 195P X ===；4087415C C 2(4)C 39P X ===. 故X 的分布列为：数学期望为()012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.命题意图 本题考查线面垂直的证明与求线面角.解题分析 （1）连接BE .由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在题图2中，AF BE ⊥， 由已知得AF BD ⊥，BE BD B ⋂=，AF ∴⊥平面BDE .DE ⊂Q 平面BDE ，AF DE ∴⊥.AE DE ⊥Q ，AE AF A ⋂=，DE ∴⊥平面ABFE .（2）在题图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E ⋂=，即AE ⊥平面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF P 交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理的逆定理可得DC CF ⊥，则6CDM π∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知,,GE EA EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG u uu r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，22,,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，C ，10,,22D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r 12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，12,,3CP ⎛=-⎝u u u r . 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r得2012022x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,n =-r . 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，|cos ,|CP n 〈〉==u u u r r，则sin θ=.20.命题意图 本题考查轨迹方程与定点、定值问题. 解题分析 （1）设(,)P x y ，()0,0A m ，(0,)B n ，由于2BP PA =u u u r u u u r，所以()()00(,)2,22,2x y n m x y m x y -=--=--， 即0222x m x y n y =-⎧⎨-=-⎩，所以0323m x n y⎧=⎪⎨⎪=⎩.又因为||AB =，所以22018m n +=， 从而2299184x y +=，即曲线C 的方程为22182x y +=. （2）由题意设直线l 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由224182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224880m y my +++=，所以()122122228484643240m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪∆=-+>⎪⎩， 故()121223284x x m y y m +=++=+，()2212121226484164m x x m y y m y y m -=+++=+.假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则()()()()12122222121212884(4)MT NT y y y y k k x t x t x x t x x t t m t ⋅===---++-+-. 当280t -=，且40t -≠时，MI NT k k ⋅为常数，解得t =±.显然当t =t =-所以存在两个定点1T，2(T -，使得直线MT 与NT的斜率之积为常数，当定点为1T2(T -21.命题意图 本题考查函数的恒成立与隐零点问题.解题分析 （1）法1：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22()ath t a t t-'=-=. 当0a „时，()0h t '>，故()h t 在(0,)+∞上单调递增， 由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，所以当20t a <<时，()0h t '>；当2t a >时，()0h t '<，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()22ln 22ln h t h a a a ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.所以要使()0h t „在0t >时恒成立，则只需max ()0h t „， 即22ln22ln 0a a -+-„，令()22ln22ln a a a ϕ=-+-，则22()1a a a aϕ-'=-=， 所以当02a <<时，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又因为(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知2ln ||a x a x +„恒成立等价于2ln 0a at t -+„在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0()(1)a at t h t h -+⇔剟， 所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故(1)0h '=.又因为22()ath t a t t -'=-=，所以2a =， 此时2(1)()t h t t-'=，当01t <<时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，即()h t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故2a =合题意. （2）由（1）知()22ln ()(2)2xf x x x xg x x x a x +==>--，所以22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22()1x s x x x-'=-=，由于2x >，所以()0s x '>， 即()s x 在(2,)+∞上单调递增.又因为(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得()00s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在()02,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.所以()200000min000022ln 2()22x x x x x g x g x x x x +-====--，（因为002ln 4x x =-），即0m x =，所以()000()22ln 2(6,7)f m f x x x ==+=-∈，即6()7f m <<.22.命题意图 本题考查极坐标方程及其应用.解题分析 （1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R . 曲线M 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以M 的极坐标方程为22(cos sin )10ρρθθ-++=. （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且12,ρρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得22(cos sin )10ρααρ-++=. 当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以122(cos sin )ρραα+=+， 根据极坐标的几何意义，||OA 、||OB 分别是点A B 、的极径，从而12||||2(cos sin )4OA OB πρρααα⎛⎫+=+=+=+⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故||||OA OB +的取值范围是. 23.命题意图 本题考查绝对值不等式.解题分析 （1）()|1||||(1)()||1|f x x x m x x m m =++++-+=-…（当1x =-时，等号成立），()f x Q 的最小值为1，|1|1m ∴-=，2m ∴=或0m =. 又0m >Q ，2m ∴=.（2）由()0g x „得，[2,1]B =--，B A ⊆Q ，x B ∴∀∈()3f x „， 即4(1)||3||4442m x x m x m x x x m x x +-+++⇔++⇔--++⇔-剟剟?， 且4422m m +⇔--剟，且404m m ⇔剟?.。