五年级几何体的表面积与体积的计算
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、 全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱② 圆柱 2、锥体①棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、 台体① 棱台：h c c S)(21‘下底上底棱台侧+=②圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、 球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、球体① 球：r V 334π=球② 球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。
三、 拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r h cS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球 球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+ =即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。
易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=， 则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴h S S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：hS S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
体积和表面积的关系与运算
体积和表面积的关系与运算一、体积与表面积的定义1.体积：物体所占空间的大小。
2.表面积：物体表面的总面积。
二、体积与表面积的计算公式1.立方体的体积公式：V = a³（a为立方体的边长）2.立方体的表面积公式：S = 6a²三、体积与表面积的运算关系1.体积与边长的关系：体积随边长的增加而增加。
2.表面积与边长的关系：表面积随边长的增加而增加。
四、体积与表面积的单位1.体积的单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³）等。
2.表面积的单位：平方米（m²）、平方分米（dm²）、平方厘米（cm²）等。
五、体积与表面积的换算1.1立方米（m³）= 1000立方分米（dm³）2.1立方米（m³）= 1000000立方厘米（cm³）3.1平方米（m²）= 100平方分米（dm²）4.1平方米（m²）= 10000平方厘米（cm²）六、常见几何体的体积与表面积公式1.圆柱体的体积公式：V = πr²h（r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高）2.圆柱体的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²3.圆锥体的体积公式：V = (1/3)πr²h（r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高）4.圆锥体的表面积公式：S = πr² + πrl（l为圆锥的母线长）5.球的体积公式：V = (4/3)πr³（r为球的半径）6.球的表面积公式：S = 4πr²七、体积与表面积的实际应用1.计算物体的体积和表面积，以便了解物体的大小和形状。
2.在制作和包装物体时，计算体积和表面积，以节省材料和空间。
3.在建筑设计中，计算建筑物的体积和表面积，以确定建筑材料的需求量和建筑物的外观。
八、体积与表面积的拓展1.立体图形的体积和表面积的计算。
五年级长方体正方体表面积体积培优提高重难点
长方体、正方体【教学目标】1.长方体与正方体的的认识；2.长方体与正方体的棱长、表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用；3.培养学生的空间想象能力.【教学重点】1.长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用;2.培养学生的空间想象能力.【教学难点】1.长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用；2.培养学生的空间想象能力。
【教学内容】本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间,培养学生的空间想象能力，同学生要记住知识是有限的，但想象力是无限的。
①长方体表面积：若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么可得：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac)；如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形）,八个顶点,十二条棱。
在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等。
②正方体的表面积：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得:正方体的表面积：S正方体=6a2；如右图，正方体共有六个面（每个面都是全等的正方形），八个顶点，十二条棱．板块一：长方体与正方体的棱长例1、填空1．0.08立方米=（）升=( ）毫升3。
8升=（）升（)毫升6.47升=( ）毫升=（）立方分米415平方厘米=（）平方米10020立方分米=（）立方米20升=（）立方米9.08立方分米=（）升=( ）毫升0。
08立方米=( ）毫升例2、填空1）长方体有_______个面,都是_______形，也有可能相对的面是_________形，相对的两个面的面积___________。
2）正方体有_____个面，都是_______形,面积都_______，正方体的长、宽、高都______.3）两个面相交的_______叫做棱，长方体有_____条棱,相对的_____条棱______。
正方体有_____条棱,这些棱的长度都_________。
4)如图，长方体的长是___________，宽是_____________，高是______________,12条棱长的和是_________。
几何体的表面积与体积计算教案
几何体的表面积与体积计算教案一、引言几何体的表面积与体积是数学中常见的计算问题，掌握其计算方法对于几何学的学习至关重要。
通过本教案的学习，学生将能够准确计算不同几何体的表面积与体积，并且理解其中的计算原理与方法。
二、教学目标1. 理解几何体表面积与体积的概念；2. 能够运用适当的公式计算不同几何体的表面积与体积；3. 培养学生的观察力、分析能力和解决实际问题的能力；4. 培养学生的团队合作意识和交流能力。
三、教学内容与教学步骤1. 立方体的表面积与体积计算- 引导学生观察立方体的特点，并引导他们思考立方体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生立方体的表面积公式为：表面积 = 6 ×边长的平方，体积公式为：体积 = 边长的立方。
- 给学生提供几个立方体的边长数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
2. 圆柱体的表面积与体积计算- 引导学生观察圆柱体的特点，并引导他们思考圆柱体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生圆柱体的表面积公式为：表面积= 2π × 半径 ×（半径 + 高度），体积公式为：体积= π × 半径的平方 ×高度。
- 给学生提供几个圆柱体的半径和高度数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
3. 锥体的表面积与体积计算- 引导学生观察锥体的特点，并引导他们思考锥体表面积与体积之间的关系。
- 告诉学生锥体的表面积公式为：表面积= π × 半径 ×（半径 + 斜高），体积公式为：体积= 1/3 × π × 半径的平方 ×高度。
- 给学生提供几个锥体的半径、斜高和高度数据，让他们根据公式计算并填写表面积和体积。
4. 教学总结与拓展- 让学生总结本节课所学的不同几何体的表面积与体积公式，并核对计算结果的准确性。
- 给学生拓展更多几何体计算的例子，让他们尝试自主解决问题并运用所学的知识。
四、教学评价与反馈在教学过程中，可以通过以下方式对学生进行评价与反馈：1. 课堂练习：设计一些实用题目让学生运用所学的知识进行计算，并即时给予反馈。
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）①棱柱、②圆柱.2・锥体①棱锥：S^ = ^h [②圆锥:= /3、台体①棱台• S梭台侧=空（6?上底+c下底）方'» S全= s±+s『s下②圆台：S杭台側=*（6底+cQZ -4、球体①球：S球=勿/②球冠：略③球缺：略二、体积1、柱体①棱柱} V,=S h②圆柱S S 2、锥体①棱锥} v.=\sh②圆锥S S3、 台体V 台肓//（S 匕+ JS 上S F + S 下）台=齐方（厂上+Jr 上厂下+厂下） 4、 球体①球：V 球② 球冠：略VyT/③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高力计算；而圆锥、圆台的 侧面积计算时使用母线/计算。
三、拓展提高1、 祖眶原理：（祖璀：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2厂的圆柱形容器内装一个最大 的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的？。
①棱台 ②圆台丿分析：圆柱体积：V H1 = s h =（^r）x2r = 2^/圆柱侧面积：S叭削= c/z = （2岔）X2广=4兀/2 彳4 彳因lit :球体体积：|/厅=—x2/r^ =_龙厂球体表面积：S球=4兀厂通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：几冷〃（S上+、恳瓦+ S』证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。
延长两侧棱相交于一点P 0设台体上底面积为Si，下底面积为S下高为// °易知：\PDCs 型AB，设卩£ =人，则Pf+h由相似三角形的性质得：孚=袋AB PF即：（相似比等于面积比的算术平方根）、用hi整理得：人=尺刃又因为台体的体积二大锥体体积一小锥体体积u台=§s下（九+力r s上人人（S下-S上）+§s下方即：（、瓦+丫瓦）+扣下力=|/z $ + 应7+S卜）4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（兀层），〃越大，每一层越近似于圆柱'"T -HZ）时»每一层都可以看作是一个圆柱。
球的体积与表面积
球的体积与表面积球是一种立体几何体，具有很多特点和属性。
其中，体积和表面积是球的两个重要参数，用于描述球的大小和形态。
本文将详细介绍球的体积和表面积的计算方法，并探讨一些与球相关的实际问题。
一、球的体积球的体积表示了球所占据的空间大小。
对于一个给定的球，其体积可以通过以下公式计算得出：V = (4/3)πr³其中V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的体积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的体积为：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³二、球的表面积球的表面积表示了球的外部覆盖面积。
同样，对于一个给定的球，其表面积可以通过以下公式计算得出：A = 4πr²其中A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的表面积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的表面积为：A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²三、球体积与表面积的关系从球的体积和表面积的计算公式可以看出，球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着球的体积和表面积都与球的半径密切相关。
当球的半径增大时，其体积和表面积也会增大。
例如，当半径由5cm增加到10cm时，根据上述公式计算可以得到新球的体积为：V = (4/3)π(10)³ ≈ 4188.8cm³同时，新球的表面积为：A = 4π(10)² ≈ 1256.64cm²可以看出，新球的体积和表面积较原来的球都有所增大。
这一点在实际应用中十分重要，例如在建筑设计、物体容器容量计算等方面都会涉及到。
四、实际应用举例球的体积和表面积在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子说明其重要性：1. 建筑设计：在建筑设计中，对于球形结构（如球形穹顶、球形体育馆等），需要计算球的体积和表面积，以合理规划结构和空间。
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全全（表）面积（含侧面积）1、柱体①棱柱]----------------A S侧=Ch ■ S全=2S底* S侧②圆柱J _______ ___2、锥体①棱锥：S棱锥侧=^2c底h②圆锥：S圆锥侧=托底l3、台体①棱台:②圆台:S棱台侧S棱台侧_ 1二2（C上底C下底）h_ 1=2 （C上底.C下底）1* S全=S上+ S侧+ S下4、球体①球：S球=4r2②球冠：略③球缺：略S下S下体积1、柱体①棱柱]--------------卜V柱=Sh②圆柱J2、锥体①棱锥r②圆锥」1V柱=3S h3、台体1①棱台］V台=gh （S上NS上S^ +S下）②圆台J V圆台=3兀h （r上+Q r上r下+ r下）4、球体①球：V球=4二r'②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线I计算。
三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是2r的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的-。
3分析：圆柱体积：V圆柱=Sh =（二「2）2r=2^r'圆柱侧面积：S圆柱侧=C h =（2 r） 2r = 4二「因此：球体体积：V球=2 2二J=4二r33 3球体表面积：S球=4 r2即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：V台=1h （S上+ S下）证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 延长两侧棱相交于一点P设台体上底面积为S上,下底面积为S下P 高为h。
易知：PDC s .>PAB ,设PE = h i，则PF =h i h由相似三角形的性质得:CD PEAB PFA整理得：h 1 ： =S上hPS 下-VS上又因为台体的体积=大锥体体积一小锥体体积1 11 1 二V台=3S 下(h 1h K3S 上h^3h 1(S下一S上) 下h代入：h= i S 上芬得: V台=3胪L(S下—S"3S 下hJS下3*SrS31 ___ I ------ ------ 1即: V 台=3 S上h (S下S上)3S下人二 V 台=3h （S 上S 上S 下S下）球体体积公式推导即：ShiS 下-h lh （相似比等于面积比的算术平方根）1 ______________=3h (S上S 上S 下S下)4、分析：将半球平行分成相同高度的若干层（ n 层），n 越大，每一层越近似于圆柱，n “ •「时，每一层都可以看作是个圆柱。
几何体积与表面积的数学知识点全面解读
几何体积与表面积的数学知识点全面解读在我们的数学学习中，几何体积与表面积是非常重要的概念。
无论是在解决实际问题，还是在进行理论推导中，都离不开对它们的理解和运用。
接下来，让我们一起深入探讨这一有趣且实用的数学领域。
首先，我们来聊聊什么是几何体积。
简单来说，体积就是一个几何体所占空间的大小。
比如说，一个长方体盒子，它能装多少东西，这个“多少”就是体积。
对于常见的几何体，如长方体，其体积计算公式为：体积＝长×宽×高。
如果一个长方体的长是 5 厘米，宽是 3 厘米，高是 2 厘米，那么它的体积就是 5×3×2 ＝ 30 立方厘米。
正方体是一种特殊的长方体，所有棱长都相等，所以正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。
圆柱体的体积＝底面积×高。
底面积＝π×半径²，所以圆柱体体积＝π×半径²×高。
圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，即圆锥体体积＝ 1/3×底面积×高。
接下来，我们再看看表面积。
表面积指的是几何体表面的总面积。
长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。
还是拿刚才那个长方体举例，长 5 厘米，宽 3 厘米，高 2 厘米，表面积就是（5×3 ＋5×2 ＋ 3×2）×2 ＝ 62 平方厘米。
正方体的表面积＝棱长×棱长×6。
圆柱体的表面积由侧面积和两个底面积组成。
侧面积＝底面圆的周长×高，底面圆的周长＝2×π×半径，所以圆柱体表面积＝2×π×半径×高＋2×π×半径²。
圆锥体的表面积＝底面积＋侧面积。
侧面积＝π×半径×母线（母线是顶点到底面圆周上一点的距离）。
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空间与图形教师辅导讲义——立体图形的知识与应用
知识要点
长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的表面积及体积
1．表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积。
表面积通常用S表示。
常用面积单位是平方千米、平方米、平方分米、平方厘米。
2．体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。
体积通常用V表示。
常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。
3．容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。
常用容积单位是升、毫升。
4．体积与容积单位之间的换算：1立方分米=l升，1立方厘米=l毫升。
5．体积和容积的异同点
容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从物体的外面量长、宽、高。
计量体积用体积单位，计量容积除了用体积单位外，还可以用容积单位升和毫升。
6. 立体图形的表面积、侧面积和体积计算公式
相同点不同点
面棱顶点面的特点面的大小棱长
长
方体6个12条8个
6个面一般都是
长方形，也可能有
两个相对的面是
正方形
相对的面
的面积相
等
每一组互相
平行的四条
棱的长度相
等
正
方体6个12条8个
6个面都是相等
的正方形
6个面的面
积都相等
12条棱长的
长度都相等
精典题型分析
1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米，表面积是多少平
方厘米。
（单位：厘米）
练习：学校生物小组做了一个昆虫箱（如图）。
昆虫箱的上、下、左、右面是木板，
前、后面装纱网。
①制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的木板？
②制作这样一个昆虫箱，至少需要多少平方厘米的纱网？
2、在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？
练习1：一个长方体的玻璃缸内有一些水，水面距离上沿0.6
分米（如图）。
准备在缸内放入一块体积是60立方分米
的假山石（假山石能全部浸在水中），水会溢出吗？如
果会溢出，溢出多少立方分米？
练习2：一个正方体玻璃容器，从里面量棱长是2dm。
向容器中倒入5.5L水，再把一个苹果放入水中，这时量得容器内的水深是15cm。
这个苹果的体积是多少？
3、有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水
深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖超来，里面的水深应该是多少厘米？
练习：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4
π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分
的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
4、能力拓展题。
下图由19个棱长是2厘米的小正方体重叠而成。
求这个立体图形的表面积。
课后作业：
1、一个棱长4dm的正方体钢坯的体积是（）dm3，如果把它锻造成一个底面积是20dm2的长方体，这个长方体的高是（）dm。
2、一段长方体木材长2米，把它横截成三段后，表面积增加了4平方分米，这段长方体木材原来的体积是
（）立方分米。
3、右图是由棱长1厘米的正方体拼成的图形，它的表面积
是（）㎝²，体积是（）㎝³。
4、下面三个图形中，不是正方体表面展开图的是（）。
A． B． C．
5、一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（）。
A.体积减少，表面积也减少。
B.体积减少，表面积增加。
C.体积减少，表面积不变。
7、右图是由棱长1厘米的小正方体拼成的，从前面看到的图形的
面积是（）平方厘米。
8、从一个正方体木块上截下三个小正方体（如图），
留在原来大正方体上的截面面积是6平方厘米，
截下部分的体积是（）立方厘米。
9、用一根铁丝焊接成一个长10厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体框架，至少需要铁丝（）厘米。
拓展计算：
1、学校要挖一个长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.4米，需要多少立方米的黄沙才能填满？
3、把两个表面积是24平方分米的立方体摆在一起，拼成一个长方体，那么这个长方体的体积和表面积各是多少？。