轴力与轴力图
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工程力学05-杆件的内力图
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
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构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
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5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
材料力学——2拉伸和压缩
对于拉压杆，学习了 • 应力计算 • 力学性能 • 如何设计拉压杆？—— 安全，或 不失效
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
工程力学第八章
l－试验段原长（标距） －试验段原长（标距） ∆l0－试验段残余变形
28
断面收缩率
A A − 1 100 × 00 ψ= A
A －试验段横截面原面积 A1－断口的横截面面积 塑性与脆性材料 塑性材料： δ ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 塑性材料： 脆性材料： δ <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等 脆性材料： 5
第8章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究： ：
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压实例 轴向拉压及其特点 轴向拉压及其特点
2
轴向拉压实例 轴向拉压实例
3
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 ： 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 ：轴向伸长或缩短， 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 : 拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件 :
37
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件， 对于脆性材料构件，当 σmax＝σb 时，构件断裂
对于塑性材料构件， 后再增加载荷， 对于塑性材料构件，当σmax达到σs 后再增加载荷， σ 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 分布趋于均匀化， 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展, 对构件（ 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展 对构件（塑 性与脆性材料） 性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
33
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－
34
应力集中因数
σmax K= σn
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
材料力学——第一章 轴向拉伸和压缩
形象表示轴力随截面的变化情况，发现危险面；
材料力学
例题1-1 已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 出图示杆件的轴力图。 1 B 2 C 3 D A 解：1、计算各段的轴力。
F1 F1 F1
FN kN
1 F2
2
F3 3
F4
AB段 BC段
FN1 FN2
F
F
F
F
d变） 拉伸ε＇<0、 压缩ε’>0 ；
'
d
d
材料力学
2、泊松比 实验证明：
称为泊松比；
注意
（１）由于ε、ε‘总是同时发生，永远反号， 且均由
（２）
s 产生，
故有
＝－
‘
0 FN 1 F1 10kN
x x
F
0 FN 2 F2 F1
FN 2 F1 F2
F2
FN3
10
CD段
F4
25
10 20 10kN Fx 0
FN 3 F4 25kN
2、绘制轴力图。
10
x
材料力学
画轴力图步骤
1、分析外力的个数及其作用点； 2、利用外力的作用点将杆件分段； 3、截面法求任意两个力的作用点之间的轴力； 4、做轴力图； 5、轴力为正的画在水平轴的上方，表示该段杆件发生 拉伸变形
材料力学
例题1-3 起吊钢索如图所示，截面积分别为 A2 4 cm2， A1 3 cm2，
l1 l 2 50 m， P 12 kN， 0.028 N/cm3，
试绘制轴力图，并求
材料力学(拉压、剪切、扭转、弯曲)
拉伸实验
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
天津大学材料力学
平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN
A
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
天津大学材料力学
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素
与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。 在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
2F
F
C B
60 kN
60 kN
天津大学材料力学
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的应力
AD段：
AD
FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
4
4 120 103 π 402 106
95.5M Pa
BC段：
BC
FNBC A2
FNBC
π
d
2 2
4
4 60 103 π 202 106
0 .7 2 m m
LBC
FNBC LBC E A2
4 60 103 2 π 202 106 200 109
1.91m m
3．计算杆的总变形
LAC LAD LDB LBC 1.91 0.48 0.72 0.71m m
实验结果观察：
① 纵向线伸长、横向线缩短； ② 横向线保持直线，仍与纵向线垂直； ③ 每根纵向线的伸长都相等。
天津大学材料力学
平截面假设
轴向拉、压杆件，变形前原为平面的横截面，变形后仍保 持为平面，且仍垂直于轴线。
横截面上应力均匀分布
FN
FN
A
正应力（法向应力）：沿截面法线方向。
天津大学材料力学
天津大学材料力学
§1.4 工程材料的力学性能简介
工程材料的力学性能指标要通过实验测定。 影响工程材料力学性能的因素
与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作 条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。 在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。 构件变形包括——弹性变形、塑性变形 根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
2F
F
A
D
FN图：
120 kN
2F
F
C B
60 kN
60 kN
天津大学材料力学
解： 1．确定杆各段的轴力。
2．计算杆各段的应力
AD段：
AD
FNAD A1
FNAD
π
d
2 1
4
4 120 103 π 402 106
95.5M Pa
BC段：
BC
FNBC A2
FNBC
π
d
2 2
4
4 60 103 π 202 106
0 .7 2 m m
LBC
FNBC LBC E A2
4 60 103 2 π 202 106 200 109
1.91m m
3．计算杆的总变形
LAC LAD LDB LBC 1.91 0.48 0.72 0.71m m
轴力及轴力图练习题
轴力及轴力图练习题
提示
（1）分段计算轴力（可选A或B）
A截面法（切、代、平）
B简捷法（切、代、内力规律得）
（2）分段画轴力图
注意：①“ ”上“ ”下；
②x轴与杆件轴线平行对齐；
③轴力大小分段注明；
④标清图名和单位[N图（kN）]。
示例
练习
①
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
②
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
示例练习1分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图abc10kn20kn10kna10knn111nabn110kn压力ab10kn20kn22n2nbcn2102010kn拉力1分段求解轴力1分段画轴力图1010n图knabc10kn20kn30kn1122abc20kn10kn30kn112240knd331分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图总结
③
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
⑤
（1）分段求轴力（2）分段画轴力图
总结：
提示
（1）分段计算轴力（可选A或B）
A截面法（切、代、平）
B简捷法（切、代、内力规律得）
（2）分段画轴力图
注意：①“ ”上“ ”下；
②x轴与杆件轴线平行对齐；
③轴力大小分段注明；
④标清图名和单位[N图（kN）]。
示例
练习
①
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
②
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
示例练习1分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图abc10kn20kn10kna10knn111nabn110kn压力ab10kn20kn22n2nbcn2102010kn拉力1分段求解轴力1分段画轴力图1010n图knabc10kn20kn30kn1122abc20kn10kn30kn112240knd331分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图1分段求轴力2分段画轴力图总结
③
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）分段求轴力
（2）分段画轴力图
⑤
（1）分段求轴力（2）分段画轴力图
总结：
轻松搞定轴力图
FA14010040(kN)
FA=40kN
(2) 画轴力图，从图中读出各段轴力。 ① AB段 的 轴 力 ：
N 40kN
N1 40 kN
（
N
为
1
拉
力
）
x
② BC段 的 轴 力 ：
N 2 100 kN
（
N
为
2
压
力
）
③ CD段 的 轴力 ：
N 3 100 kN
（
N
为
3
压
力
）
-100kN
1、求支反力； 2、分段——按外力作用位置分段； 3、建立 N — x 直角坐标系； 4、在外力作用处，轴力发生突变， 突变量等于外力值； 5、按左上右下原则画轴力图； 6、标注轴力的大小和正负。
பைடு நூலகம்解：作轴力图如图，读出各轴段轴力：
NAB=40kN NBC= -100kN NCD= -100kN
40kN
求各轴段的应力。
只有AB 轴段受拉：
AB
N AB A1
40 103 1260 106
31.75( M P a )＞ L
BC、 CD轴 段 受 压 ：
BC
N BC A2
100 103 960 106
1、求支反力；
2、分段——按外力作用位置分段；
3、建立 N — x 直角坐标系；
4、在外力作用处，轴力发生突变，
m
突变量等于外力值；
5、按左上右下原则画轴力图；
3P
4P
2P
3P
6、标注轴力的大小和正负。
m
N
请你来试试！
x
【例5】圆截面杆的截面积A 1= 1260 mm2 ，A 2 = 960 mm2 ，A 3 = 710 mm2 ， 所受载荷如图所示。杆由铸铁制成，许用拉应力[σL] = 30MPa，许用压应力 [σY] = 150MPa。试校核此杆的强度。（注：本题为【例2】的延伸）
FA=40kN
(2) 画轴力图，从图中读出各段轴力。 ① AB段 的 轴 力 ：
N 40kN
N1 40 kN
（
N
为
1
拉
力
）
x
② BC段 的 轴 力 ：
N 2 100 kN
（
N
为
2
压
力
）
③ CD段 的 轴力 ：
N 3 100 kN
（
N
为
3
压
力
）
-100kN
1、求支反力； 2、分段——按外力作用位置分段； 3、建立 N — x 直角坐标系； 4、在外力作用处，轴力发生突变， 突变量等于外力值； 5、按左上右下原则画轴力图； 6、标注轴力的大小和正负。
பைடு நூலகம்解：作轴力图如图，读出各轴段轴力：
NAB=40kN NBC= -100kN NCD= -100kN
40kN
求各轴段的应力。
只有AB 轴段受拉：
AB
N AB A1
40 103 1260 106
31.75( M P a )＞ L
BC、 CD轴 段 受 压 ：
BC
N BC A2
100 103 960 106
1、求支反力；
2、分段——按外力作用位置分段；
3、建立 N — x 直角坐标系；
4、在外力作用处，轴力发生突变，
m
突变量等于外力值；
5、按左上右下原则画轴力图；
3P
4P
2P
3P
6、标注轴力的大小和正负。
m
N
请你来试试！
x
【例5】圆截面杆的截面积A 1= 1260 mm2 ，A 2 = 960 mm2 ，A 3 = 710 mm2 ， 所受载荷如图所示。杆由铸铁制成，许用拉应力[σL] = 30MPa，许用压应力 [σY] = 150MPa。试校核此杆的强度。（注：本题为【例2】的延伸）
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P120k0N
P2 10k0N
2m 2m
第二节 轴力与轴力图
一、轴力图：
1、轴力： 1）定义------拉伸或压缩时的内力称为轴力。
2）轴力的符号： 受拉的轴力为正，受压的轴力为负
+
-
2、轴力图(截面法）： 建立一个直角坐标系，横向为轴的位置，纵向表示
轴力的大小，这样的图称为轴力图。
15N
5N
20N
Y
+15N
+5N
X
OБайду номын сангаас
二、例题：
例1：杆件受力如图所示，试画出轴力图
FA
解：FA=6-4+3=5
Y
FB=6
FC=4
FEC=3
+5KN O
+3KN
X
-1KN
三、轴向拉压杆横截面上的应力：
1、轴向拉杆的应力-----
一个杆子在受到轴向力F的作用下，产生轴向内 力，再与横截面之比就是轴向应力
N
A
F
F
N
F
2、例题
如图，横截面边长为200mm的正方形柱，在截面A和B上受到 的载荷P1=200KN,P2=100KN，求截面1-1，2-2上的应力。
P2 10k0N
2m 2m
第二节 轴力与轴力图
一、轴力图：
1、轴力： 1）定义------拉伸或压缩时的内力称为轴力。
2）轴力的符号： 受拉的轴力为正，受压的轴力为负
+
-
2、轴力图(截面法）： 建立一个直角坐标系，横向为轴的位置，纵向表示
轴力的大小，这样的图称为轴力图。
15N
5N
20N
Y
+15N
+5N
X
OБайду номын сангаас
二、例题：
例1：杆件受力如图所示，试画出轴力图
FA
解：FA=6-4+3=5
Y
FB=6
FC=4
FEC=3
+5KN O
+3KN
X
-1KN
三、轴向拉压杆横截面上的应力：
1、轴向拉杆的应力-----
一个杆子在受到轴向力F的作用下，产生轴向内 力，再与横截面之比就是轴向应力
N
A
F
F
N
F
2、例题
如图，横截面边长为200mm的正方形柱，在截面A和B上受到 的载荷P1=200KN,P2=100KN，求截面1-1，2-2上的应力。