安徽省淮北市濉溪中学2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题

安徽省淮北市濉溪中学【最新】高二上学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 经过(2,1),1)A B --两点，则直线l 的倾斜角是( ) A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．抛物线22y x =的准线方程是（ ） A ．410x +=B ．410y +=C ．810x +=D ．810y +=3．某班有60名学生，其中男生有40人，现将男、女学生用分层抽样法抽取12人观看校演讲总决赛，则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．24．给出下列四个说法，其中正确的是（ ）A ．命题“1>，则0x >”的否命题是“1>，则0x ≤”B ．“3m >”是“双曲线22219x y m-=”的充要条件C ．命题“00x ∃>，200310x x ++<”的否定是“00x ∃>，200310x x ++≥”D ．命题“在ABC ∆中，若2A B π+>，则ABC ∆是锐角三角形”的逆否命题是假命题 5．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）A ．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B ．“至多一个红球”与“都是红球”C ．“都是红球”与“都是黄球”D ．“至少一个红球”与“至多一个黄球”6．学校医务室对本校高一1000名新生的实力情况进行跟踪调查，随机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直方图如下，若直方图的后四组的频率成等差数列，则估计高一新生中视力在4.8以下的人数为（ ）A ．600B ．390C ．610D ．5107．已知命题:p 若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，则直线l 与抛物线C 相切，命题:q 若5m >，则方程22131x ym m +=-+表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∧C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝8．已知函数()()cos xf x e a x =-在R 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．(,-∞C ．)+∞D ．(],1-∞-9．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ）A ．2或18B ．2C ．18D ．410．若直线:1(0,0)x yl a b a b+=>>被圆22:(1)(2)4C x y -+-=截得的弦长为4，则2+a b 的最小值为（ ） A ．16B ．10C ．9D ．811．执行如图所示的程序框图，若输出的49S =，则输入的P 的取值范围是( )A ．(]15,16B ．(]16,17C ．(]17,18D ．(]18,1912．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，点A 是椭圆C 的上顶点，直线:2l y x =与椭圆C 交于M ，N 两点.若点A 到直线l 的距离是1，且MF NF +不超过6，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题13．若直线1l :()1230a x y -+-=与直线2l :310x ay -+=互相垂直,则a =______. 14．若()23f '=，则()()222limx f x f x∆→+∆-=∆________.15．若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a ，第二次投掷的点数为b ，则b a >的概率为______.16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围. 18．已知圆C 经过A （5，3），B （4，4）两点，且圆心在x 轴上. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点（5，2），且被圆C 所截得的弦长为6，求直线l 的方程. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点. （1）若直线l 的方程为3yx ，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .20．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x 的值； （2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且经过点()2,1M .（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，求2212y y +的取值范围.22．已知函数()f x mx =+的图象在14x =处的切线方程为14y =-.（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()ln f x a x =在()1,x ∈+∞上有解，求a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角． 【详解】由题意直线的斜率为k ==，∴倾斜角为30． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角． 2．D 【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程. 【详解】 解：22y x =212x y ∴=14p ∴=，则该抛物线22y x =的准线方程是128p y =-=-，即810y +=.故选：D 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题. 3．C 【分析】根据男女生人数关系得男女生人数之比为2:1，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人. 【详解】某班有60名学生，其中男生有40人， 则女生20人，男女生人数之比为2:1， 抽取的12人，女生人数为11243⨯=人. 故选：C【点睛】此题考查抽样方法，根据分层抽样求样本中各类数据. 4．D 【分析】A 选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；B 选项：双曲线22219x y m-=，解得()(),33,m ∈-∞-+∞，所以说法不正确；C 选项：否定应该是：00x ∀>，200310x x ++≥，所以说法不正确；D 选项：“在ABC ∆中，若2A B π+>，则ABC ∆是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确. 【详解】命题“1>，则0x >”的否命题是“1≤，则0x ≤”，所以A 选项不正确；双曲线22219x y m-=，即2992m +>，解得()(),33,m ∈-∞-+∞，则“3m >”是“双曲线22219x y m-=”的充分不必要条件，所以B 选项不正确； 命题“00x ∃>，200310x x ++<”的否定是“00x ∀>，200310x x ++≥”， 所以C 选项不正确；命题“在ABC ∆中，若2A B π+>，则ABC ∆是锐角三角形”， 在ABC ∆中，若2A B π+>，可能2A π>，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确. 故选：D 【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解. 5．B 【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生. 【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6．C【分析】由频数相加为100，后四组成等差数列，计算每个组别的人数，再计算视力在4.8以下的频率为61%，据此得到答案.【详解】由图知：第一组3人，第二组7人，第三组27人，后四组成等差数列，和为90故频数依次为27，24，21，18视力在4.8以下的频率为61%，故高一新生中视力在4.8以下的人数为610人.故答案选C【点睛】本题考查了频率直方图，等差数列，概率的计算，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.7．B【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P为假；当5m >时，130m m +>->，命题Q 为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点， 直线与抛物不相切，可得命题p 是假命题， 当5m >时，130m m +>->，方程22131x y m m +=-+表示椭圆命题q 是真命题， 则()p q ⌝∧是真命题. 故选:B. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题. 8．C 【分析】根据题意，()0f x '≥在R 上恒成立，()()'cos sin 0xf x e a x x =-+≥，分离常数得cos sin a x x ≥-在R 上恒成立，只需max (cos sin )a x x ≥-，利用三角函数值域，即可求解.【详解】 因为()()cos xf x e a x =-在R 上单调递增，所以()()'cos sin 0x fx e a x x =-+≥恒成立，即cos sin a x x ≥-.令()cos sin g x x x =-，又()cos sin g x x x =-4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()g x ⎡∈⎣，所以a ≥故选:C. 【点睛】本题以函数的单调性为背景，考查不等式恒成立求参数的范围，分离常数是解题的关键，转化为求三角函数的最值，属于中档题.9．C 【分析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =，8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题. 10．C 【分析】由直线截圆所得的弦长为圆的直径可得直线过圆心即121(0,0)a b a b+=>>，利用“乘1”法，根据基本不等式即可得结果. 【详解】由题意可知直线l 经过圆C 的圆心()1,2，则()1210,0a b a b+=>>， 故122222(2)5529b a b a b a b a b a b a ⎛⎫+=++=+++=⎪⎝⎭（当且仅当3a b ==时取等号），即2+a b 的最小值为9， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式在求最值中的应用，得到121a b+=是解题的关键，属于中档题. 11．B 【分析】根据程序框图关系得出框图的作用，根据输出的值，求输入值的取值范围. 【详解】由图知()()111233412n S n n =++⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯+1122n =-+，当16n =时，49S =.故(]16,17P ∈.故选：B 【点睛】此题考查程序框图，关键在于根据框图准确辨析其作用. 12．A 【分析】设椭圆C 的右焦点为'F ，连接'MF ，'NF ，根据椭圆的对称性可得'||||NF MF =，结合椭圆的定义'26MF NF MF MF a +=+=≤，从而有3a ≤，点A 到直线l 的距离是1，可求得b =,,a b c 的关系，可得c e a ==3a <≤，即可求出e 的范围. 【详解】设椭圆C 的右焦点为'F ，连接'MF ，'NF . 由椭圆的对称性可知四边形'MFNF 是平行四边形， 则2MF NF a +=，则26a ≤，即3a ≤.因为点A 到直线l 的距离是11=，所以b =C 的离心率c e a ===.因为3a ≤，所以29a ≤，所以254019a <-≤， 即椭圆C 的离心率20,3e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选:A.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及椭圆定义应用，属于中档题. 13．15- 【分析】直接利用直线垂直公式计算得到答案. 【详解】因为12l l ⊥,所以()()1230a a -+⨯-=,所以15a =-. 故答案为：15- 【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力. 14．6. 【分析】根据导数的极限定义即可求解 【详解】()()()()()00222222lim2lim 2262x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故答案为：6 【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题. 15．512【分析】将两次点数表示成有序数对(),a b ，分别求出基本事件总数和b a >包含的基本事件个数即可求解概率. 【详解】将两次点数表示成有序数对(),a b ，根据基本计数原理得： 基本事件总数为6636⨯=，b a >包含的基本事件个数为5432115++++=，所以b a >的概率1553612P ==. 故答案为：512【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数. 16．()2,0- 【分析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=，所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+=化简得： ()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.17．（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞. 【分析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案. （2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >. 记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞.因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．（1）22(1)25-+=x y ；（2）5x =或34230x y +-=.【分析】（1）根据题意可设圆的方程为222()(0)x a y r r -+=>，根据点在圆上可得关于,a r 的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可. 【详解】（1）因为圆心在x 轴上，所以可设圆的方程为222()(0)x a y r r -+=>.因为圆C 经过A （5，3），B （4，4）两点，所以222222(5)3(4)4a r a r ⎧-+=⎨-+=⎩解得1a =，=5r .故圆C 的标准方程是22(1)25-+=x y .（2）因为直线l 被圆C 所截得的弦长为6，所以圆C 的圆心到直线l 的距离4d ==.①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点()5,2，所以直线l 的方程为5x =，所以圆C 的圆心到直线l 的距离514d =-=，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，可设出直线l 的方程为2(5)y k x -=-，即520kx y k --+=， 则圆C 的圆心到直线l 的距离4d ==，解得34k =-，故直线l 的方程为34230x y +-=.综上，直线l 的方程为5x =或34230x y +-=. 【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题．19．（1）18；（2. 【分析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-，且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题. 20．（1）0.02；（2）75；（3）0.4 【分析】（1）由面积和为1，可解得x 的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率． 【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x ）×10=1，解得x =0.02． （2）中位数设为m ，则0.05+0.1+0.2+（m -70）×0.03=0.5，解得m =75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a 1，a 2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b 1，b 2，b 3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A ， 基本事件有（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2）， （a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个，A 包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P （A ）=0.4． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．21．（1）22182x y += （2）70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将点()21M ,代入椭圆方程，结合离心率公式，联立方程组，求解即可得出椭圆的方程；讨论直线l 的斜率为0和不为0两种情况，当直线l 的斜率为0时，120y y ==，得出22120y y +=；当直线l 的斜率不为0时，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得出12y y +，12y y 的值，进而得出()2212222181644y y m m +=-++，换元令214t m =+，得出222129814416y y t ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭=，由二次函数的性质求出2212y y +的取值范围.【详解】解：（1）因为椭圆C 经过点()21M ,，所以22411a b+=，① 因为椭圆Cc a =224a b =.②由①②得28a =，22b =.故椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）①当直线l 的斜率为0时，120y y ==，所以22120y y +=.②当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+.联立221182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224270m y my ++-=则12224m y y m +=-+，12274y y m =-+ ()()()2222121212222222414181624444m y y y y y y m m m m +=+-=+=-++++设214t m =+，则10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，从而22221298118164416y y t t t ⎛⎫+=-=--+ ⎪⎝⎭因为10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以2981740,4162t ⎛⎫⎛⎤--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即221270,2y y ⎛⎤+∈⎥⎝⎦综上2212y y +的取值范围是70,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了利用离心率求椭圆方程以及韦达定理求参数的范围，属于中档题.22．（1）()f x x = （2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】（1）求()'f x ，由条件可得111()0,()444f f '==-，得出关于,m n 的方程组，求解可得,11m n ==-；（2）令()()ln ln F x f x a x x a x =-=，注意(1)0F =，所以()F x 在(1,)+∞具有单调性时，则方程无解，求()F x '，对a 分类讨论，求出()F x 单调区间，结合函数值的变化趋势，即可求得结论. 【详解】 解：（1）11114424f m n ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭， 因为()'fx m ='104f m n ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得1m =，1n =-，所以()f x x =（2）令()()ln F x f x a x =-，则()'1a F x x =--=.令()2g x x =()g x 在()1,+∞上单调递增. 当21a ≤，即12a ≤时，()'0F x >，所以()F x 单调递增，又()10F =，所以()0F x >； 当21a >，即12a >时，则存在()01,x ∈+∞，使得()'00F x =， 所以函数()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()10F =，则()00F x <.当x →+∞时，()F x →+∞，所以()0F x =在()1,+∞上有解. 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义求参数，考查导数的综合应用，涉及到单调区间、函数零点的问题，考查分类讨论思想，属于较难题.。