期望 方差公式的证明全集
泊松分布的期望方差
泊松分布的期望方差1.泊松分布的期望和方差公式及详细证明过程如果X~P（a）那么E（x）=D(x)=a；证明过程实在不好写（很多符号）先证明E（x）=a；然后按定义展开E（x^2）=a^2+a;因为D（x）=E（x^2）-[E(x)]^2;得证。
典型的有：2.泊松分布均值和方差怎么求？X～P(λ) 期望E(X)=λ，方差D(X)=λ利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k!P表示概率，x表示某种函数关系，k表示数量，扩展资料应用场景：例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等。
以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
3.设X服从λ=2的泊松分布,则X的数学期望和方差分别是多少？期望为λ，方差也为λ。
4.poisson分布的母函数怕p(s)=exp{λ(s-1)},求数学期望和方差期望为λ，方差也为λ，这可以根据泊松分布的定义求，可以根据矩母函数或者特征函数导函数与矩的关系求。
5.设随机变量x服从参数0.2的泊松分布,则随机变量x的期望和方差分别为你好！泊松分布的的期望与方差都等于参数的值，经济数学团队帮你解答。
6.概率论泊松分布，λ=0.03，怎么求期望和方差Var(X)＝入7.在求无偏估计量的方差下界中I是如何求的，即求其期望的具体过程是什么如果ξ～P（λ），那么E（ξ）= D（ξ）= λ其中P（λ）表示泊松分布无偏估计量的定义是：设（ξ∧）是ξ的一个估计量，若E（ξ∧）=ξ，则称ξ∧是ξ的无偏估计量下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。
因为ξ1、ξ2、ξ3 都是取自参数为λ的泊松总体的样本，所以它们的期望和方差都是λ，则（1）无偏性E（λ1∧）= E（ξ1）= λE（λ2∧）= E[(ξ1+ξ2)/2 = λE（λ3∧）= E[(ξ1+2*ξ2)/3]= (λ+λ+λ)/即最小方差性D（λ1∧）= D（ξ1）= λD（λ2∧）= D[(ξ1+ξ2)/2]= [D(ξ1)+D(ξ2)]/4 = λ/2D（λ3∧）= D[(ξ1+2*ξ2)/3]= [D(ξ1)+4D(ξ2)]/9= (λ+4λ)/。
期望方差公式-V1
期望方差公式-V1期望方差公式是统计学中的一个重要公式，用来计算一个随机变量与其期望之间的偏离程度，也是许多概率论和数理统计中的基本工具。
在此，我们重新整理一下期望方差公式，希望能够更好地理解和应用。
一、期望的定义期望是随机变量的平均值，表示某个随机变量可能取到不同取值时的平均预期结果。
设随机变量为 $X$，$X$ 取 $n$ 个不同的取值$x_1,x_2,\cdots,x_n$，概率分别为$p(x_1),p(x_2),\cdots,p(x_n)$，则 $X$ 的期望为：$$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$$二、方差的定义方差是随机变量与其期望值之间差异程度的度量，是对随机变量分布的离散程度的一个度量。
它的计算公式为：$$Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2$$其中，$E(X^2)$ 表示 $X^2$ 的期望。
三、期望方差公式根据期望和方差的定义，可以得到期望方差公式：$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 p(x_i) -[\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)]^2$$即方差是每个取值平方与概率的乘积之和减去期望的平方。
四、应用举例假设现有一批产品，生产厂家声称其产品的尺寸标准差为 $0.5$，而消费者却认为实际标准差应该在 $0.3$ 左右。
通过对产品进行抽样测量，可得到随机变量 $X$ 的取值，表示产品尺寸与标准尺寸偏差的大小，此时就可以使用期望方差公式来计算产品尺寸的标准差。
假设样本的大小为 $n=100$，那么相应地，$X$ 的期望可以表示为：$$E(X)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i$$同时，$X^2$ 的期望可以表示为：$$E(X^2)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} (x_i)^2$$根据期望方差公式，可以计算出随机变量 $X$ 的标准差为：SD(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}$$对于本例中的产品尺寸样本，应当将 $n$ 设置成实际样本数量，并代入以上公式进行计算，进而得到标准差的值，以判断产品尺寸是否符合承诺。
期望与方差公式汇总
期望与方差公式汇总
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们是用来衡量随机变量分布特征的两个重要指标。
期望是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的期望值，即随机变量取值的期望值。
期望的计算公式为：E(X)=∑xP(X)，其中x表示随机变量的取值，P(X)表示随机变量取值x
的概率。
方差是概率分布的数学期望，它反映了随机变量的变异程度，即随机变量取值的变异程度。
方差的计算公式为：D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)，其中x表示随机变量的取值，E(X)表示随机
变量的期望值，P(X)表示随机变量取值x的概率。
期望与方差是统计学中最基本的概念，它们可以帮助我们了解随机变量的分布特征。
期望与方差的计算公式分别为E(X)=∑xP(X)和D(X)=∑(x-E(X))^2P(X)。
高中数学 二项分布-超几何分布数学期望与方差公式的推导
x ) m 的二项展开式中 xk 的系数相等可证.
一、二项分布
在独立重复实验中, 某结 果发生 的概率 均为 p (不 发生
的概率为 q, 有 p + q = 1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的
次数 的概率分布为:
0
1
2
3
P C0n qn C1npqn - 1 C2np2 qn- 2 Cn3p3 qn- 3
Cin--
2 2
p
i-
2
qn
-
i
+
i= 2
n
np
Cin--
1 12p 2
i= 1
= p 2n ( n - 1) ( p + q ) n- 2 + np ( p + q ) n- 1 - n2p 2
= p 2n ( n - 1) + np - n2p2
= np - p2 n
= np ( 1- p ). 二、超几何分布
二项分布、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布、超 几何 分布数 学期 望与 方差
公式没有给出推 导过 程, 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者
参考.
预备公式 1
iCni
=
n
Cin--
1 1
(n
1), 利用组合数计算公式即可证明.
=
M CNn
l
iCMi --11
CNn
-
i M
-
i= 1
Mn 2 N
=
M CNn
l i= 1
(
i-
1)
C C i- 1 n- i M- 1 N -M
期望方差公式
期望-方差公式期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为ip （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
期望-方差公式-方差和期望公式
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
正态分布的期望和方差公式
正态分布的期望和方差公式
期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
方差公式：s=1/n{（x1-x）+（x2-x）+……+（xn-x）}。
正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力
扩展资料：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数为样本方差；样本方差的算术平方根为样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差为测算离散趋势最重要、最常用的指标，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。
标准差为方差的算术平方根，用S表示。
期望-方差公式
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义 2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
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期望与方差的相关公式的证明-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。
因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。
[]1定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。
但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。
方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即)()(X D X =σ由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。
D ξ表示ξ对E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。
若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。
由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故⎪⎩⎪⎨⎧--=⎰∑∞∞-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。
求证方差的一个简单公式：公式1：22)]([)()(X E X E X D -=证明一：22222)]([)(])]([)(2[]))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-=证明二：21()ni i i D x E p ξξ==-⋅∑2212211122222[2()]2()2()()()ni i ii nn ni i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑22()D E E ξξξ∴=-可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质（1）设C 是常数,则D (C )=0。
（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。
（3）若X 与Y 独立，则公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。
证 由数学期望的性质及求方差的公式得{}{})()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则∑∑===ni i ni i X D X D 11)(][∑∑===ni i i n i i i X D C X C D 121)(][（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。
五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。
（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量 ()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i = 所以 η的分布列为1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++E η=aE b ξ+()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ期望的线性函数（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.证法一： 因为 21()ni i i D x E p ξξ==-⋅∑2212211122222[2()]2()2()()()ni i ii nn ni i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑22()D E E ξξξ∴=-所以有：222211()[()]()nni i ii i i D a b ax b aE b p ax E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑ 证毕证法二：D ξ=222221111()2()()nnnni i i i i i ii i i i x E p x p E x p E pE E ξξξξξ====-⋅=-+=-∑∑∑∑.E(aξ＋b)＝aEξ＋b ， D(aξ+b)=a 2Dξ．222211()[()]()nni i ii i i D a b ax b aE b p ax E p a D ξξξξ==+=+-+⋅=-⋅=∑∑（二）二项分布公式列举及证明1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。
（k ＝0，1，2，…，n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。
2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。
即：（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ； （2）∑=nk 0P (ξ＝k )＝∑=nk 0C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。
3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式： 若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.（3） 公式5：求证：E ξ=np方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：预备公式 11k k n n kc nc --=100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++ 因为()(1),k k n k k k n kn np k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n nn n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=⨯+⨯++⨯++⨯++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c pq ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以 E ξ= np 得证方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
若设⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01 i =1,2，…，n则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0( 所以p p q X E i =*+*=10)(，则=)(X E np X E X E ni i ni i ==∑∑==11)(][可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
公式621212(1)k k k n n n k C nC n n C ----=+-211k k n n k C knC --=1111111212[(1)1](1)(1)k n k k n n k k n n n k C nC n k C nC n n C ----------=-+=+-=+- 21212(1)k k k n n n k C nC n n C ----∴=+-求证：服从二项分布的随机变量ξ的方差公式7：D ξ=npq （q =1－p ）. 方法一：证明： 220ni i n in i E i C p q ξ-==∑111212221110122211212111221122(1)(1)()(1)()(1)nnn i i n ii i n inn n i i nnn i i n in i i n in n n i i n n n n n n C pq nCp qn n C p q npqnp Cp qnpC q n n pCp q npq np p q npq n n p p q npq np npq n n p np n p -------==-----------==------=++-=+-+-=++-+-+=+-+-=+∑∑∑∑222222(1)np np p n p npq n p -=-+=+由公式1知22()D E E ξξξ=-222()npq n p np npq=+-=方法二： 设~(,)B n p ξ, 则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数。