隐函数微分法
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隐函数的微分法
( z x2 F1) F2
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
dx +
(
z
dz
F1 F2 y x
z x
y2 F1 F2 y x
z y
) F1 F2
dy
z z F F F F 1 2 2 2 1 2 y z z y 故 x y x x F1 F2 F1 F2 x y y x y x F1 F2 F1 F2 z ( ) xy( ) y x y x F1 F2 y x
( F , G ) Fu Fv J Gu Gv ( u, v )
称为函数F，G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理8.9 设函数
满足:
的某一邻域内具有连续偏
① 在点
导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
Fx z 注 在公式 中， x Fz
Fx : 将 F ( x , y , z )中的y , z暂视为常数，
对x求偏导数；
Fz : 将 F ( x , y , z )中的x , y暂视为常数，
对z求偏导数；
例2
设z 3 xyz a , 求z x 及z xy .
用此法求导 时，要注意 z是x, y的 函数！
具有连续偏导数的函数
u u( x , y ) , v v( x , y ),
且有
1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv x J ( x, v ) Gu Gv 1 u 1 ( F ,G ) Fu Fv y J ( y, v ) Gu Gv
Fx Fv G x Gv
的某一邻域内可
唯一确定一个函数 z = f (x , y)满足 ,
隐函数的微分法
事实上， 事实上，这个函数就是 y = 1 − x 2 , ( −1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为 ′ Fx dy x dy =− =− , = 0, y dx x = 0 ′ dx Fy
y − x − 2 d y y − xy′ =− =− 2 2 2 y dx y
x y = − 1 , 3
x
，求
Fx = e − y, Fy = cos y − x x Fx dy =− =− e −y cos y − x x = 0, y = 0 dx x = 0 Fy x = 0
y′ = −1
法一： 法一：公式法
d2 y d ex − y x = 0 ( ) y =0 2 x =0=− dx dx cos y − x
F(x, y)= 0, , y 满足什么条件 可确定函数 = f(x)使得 F(x,f(x))≡ 0?
隐函数存在定理 1 设 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的某 一邻域内满足 满足： 一邻域内满足： (1)具有连续的偏导数 具有连续的偏导数， (1)具有连续的偏导数， (2) F ( x 0 , y0 ) = 0 ， ′ (3) F y ( x0 , y0 ) ≠ 0 . 则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内恒能 唯一确定一个具有连续导数的函数 y = f ( x )，它满 足条件 y0 = f ( x0 )，并有
′ Fx ∂z =− Fz′ ∂x
′ Fy ∂z =− Fz′ ∂y
隐函数的求导公式
求导公式推导： 求导公式推导：
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
求导， 两边分别对 x 和 y 求导，得
高等数学之隐函数微分法
解法二: 将 z 视为 x , y 的函数,方程两边分别对 x , y 求偏导 (过程略，同学们试试)
例2.设 y = f ( x, t ),而 t 是由 ϕ ( x, t ) = 0 所确定的函数,
dy 且 ϕ ( x, t ) 可微.求 dx
x y t x
dy ∂f ∂f dt ∴ = + ⋅ dx ∂x ∂t dx
定理2 (二元隐函数存在定理) 设F(x,y,z) 在点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内具有连续偏导数,且
F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, Fz ' ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0, 则方程F(x,y,z)=0在该邻域
内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),满足 z0 = f ( x0 , y0 ), 并有: ∂z = − Fx ' , ∂z = − Fy '
∂2z 求 ∂x 2
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z
∴
Fx ' = 2 x, Fz ' = 2 z − 4
∂z F' x =− x = ∂x Fz ' 2 − z ∂z (2 − z ) + x ∂2z ∂ x ∂x = ( ) = (2 − z ) 2 ∂x 2 ∂x 2 − z
∂x Fz ' ∂y Fz '
证:因为
F [ x, y, f ( x, y )] ≡ 0
两边分别对 x,y 求偏导:
Fy '+ Fz '⋅ ∂z =0 ∂y
Fx '+ Fz '⋅
隐函数的微分法
隐函数的微分法隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它用于求解由一个或多个变量之间的关系所定义的隐函数的导数。
隐函数可以表示为F(某,y)=0的形式，其中某和y是变量，F是一个含义良好的函数。
隐函数的微分法可以用来求解隐函数的导数，进而研究隐函数的性质和求解相关的问题。
在计算隐函数导数时，我们可以利用偏导数的概念。
根据隐函数的定义，我们可以将F(某,y)=0表示为F(某,y(某))=0，即将y表示为某的函数。
然后对等式两边同时对某求偏导数，可以得到：∂F/∂某 + ∂F/∂y 某 dy/d某 = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
在应用求导法则时，我们可以利用链式法则来处理含有隐函数的导数计算问题。
链式法则可以表示为：dF/d某 = (∂F/∂某) + (∂F/∂y) 某 (dy/d某)通过应用链式法则，我们可以把对隐函数的导数转化为对显函数的导数的计算，从而求解出隐函数的导数。
此外，我们还可以利用隐函数的微分形式进行求解。
根据全微分公式，我们可以将隐函数的微分形式表示为：dF = (∂F/∂某) 某 d某 + (∂F/∂y) 某 dy = 0然后解出dy/d某，即可得到隐函数的导数。
隐函数的微分法在求解实际问题中具有广泛的应用。
它可以帮助我们求解曲线的切线及法线，提供关于曲线上点的切线斜率和切线方程的信息；在物理学中，它可以用于求解速度、加速度等问题；在经济学中，它可以用于分析边际效应及最优化问题。
综上所述，隐函数的微分法是微积分中的重要内容，它通过隐函数的定义和求导法则的应用，可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中提供有用的信息。
通过对隐函数的导数的求解，我们可以研究隐函数的性质、求解相关的问题，并应用于具体的实际问题中。
05 第五节 隐函数微分法
05 第五节隐函数微分法隐函数微分法是一种在方程中含有多个变量时，用一个变量的导数表示另一个变量的导数的方法。
它的主要思想是将多元函数的某些变量看作常量（约束条件），然后将剩余的变量用其他变量的导数来表示。
这种方法在自然科学、工程技术以及经济学等领域中得到广泛应用。
一、隐函数微分法的基本思想我们考虑一个二元函数 $z=f(x,y)$，假设在某一点 $(x_0,y_0)$ 处，方程$F(x,y,z)=0$ 成立，这个方程可以看做是 $z$ 对 $x$ 和 $y$ 的隐函数。
我们要求在这个点上，$z$ 对 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的值。
首先，我们可以对方程两边求导，得到：$$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=0$$于是，我们得到了两个方程：下面，我们通过一个例子来说明隐函数微分法的具体步骤。
假设我们要求以下方程的$\frac{dy}{dx}$：$$x^2+y^2=9$$我们可以将它看作是 $y$ 对 $x$ 的隐函数，并将它表示为 $F(x,y)=x^2+y^2-9=0$。
然后，我们对这个方程两边求导：$$\frac{\partial F}{\partial x}=2x$$将这三个式子带入到基本式中：这个结果说明了什么？实际上，这意味着在 $x^2+y^2=9$ 的曲线上，$y$ 和 $x$ 的变化率是无穷大的。
这是因为曲线的斜率在 $x=\pm \sqrt{2}$ 的点处无穷大。
隐函数微分法有广泛的应用，特别是在自然科学、工程技术以及经济学等领域中。
下面，我们举几个例子，展示隐函数微分法的实际应用。
1. 科学研究中的应用隐函数微分法在科学研究中的应用十分广泛。
例如，当我们研究一个物理系统时，通常会涉及到多个变量之间的关系。
隐函数微分法
第五节 隐函数微分法
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
一、由方程F(x,y)=0所确定的
隐函数y=y(x)的求导公式
二、由方程F(x,y,z)=0所确定的 隐函数z=z(x,y)的偏导数公式
一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求
导公式
则方若程函F(x数,yF)=(x0,在y)点在P点0的P0一(x0个,y0邻)处域的内偏，导确数定了Fy一P0 个 0隐， 函数y=y(x)，并假定y(x)可导，F(x,y)可微，那么如何 求 dy 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数
a z b z 1. x y
证 令u=x–az，v=y–bz，得
u 1, u 0, u a,
x y
z
v 0, v 1, v b. x y z
Fx
Fu
u x
Fv
v x
Fu ,
Fy
Fu
u y
Fv
v y
得 Fx 2x, Fy 2ez , Fz 2x 2 yez.
所以
z x
Fx Fz
2
x
2x 2
ye
z
x yez
, x
z y
Fy Fz
2
2e x2
z
ye
z
ez z yez
,
因此
dz
x yez
dx x
z
ez yez
dy.
例6 设F(x–ax,y–bz)=0(a,b为常数)，F(u,v)为可微函 数，Fz 0 ，证明由方程所确定的函数z=z(x,y)满足方程
多元函数微分学6.6隐函数的微分法
Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz
yz , z2 xy
z y
Fy Fz
xz z2 xy.
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于是
2z xy
( z ) y x
y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx
Fy
dy dx
0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．
隐函数微分法
Fu Fv ( F ,G) J |P |P | P 0, (u, v) Gu Gv
F ( x, y,u, v) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G( x, y,u, v) 0
一组连续且具有一阶连续偏导数的函数
u u ( x, y), v v ( x, y), 满足 u u ( x , y ),v v ( x , y ),
定理 4 设 （1） F ( x, y,u, v),G( x, y,u, v) 在点 P( x , y ,u , v ) 的某个邻 域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u , v ) 0, G( x , y ,u , v ) 0, Jacobi 行列式
例5 设u f ( x, y, z ), y g (sin x), z z ( x) 由方程
( x , e , z ) 0 确定, 其中f , 具有一阶连续 du
2 y
偏导数，g可导，且
z
0, 求
dx
.
且
y 1 (F , G ) , x J ( x, z )
z 1 ( F , G ) x J ( y, x )
⑥
x yz 2 dy dz 例3.设 2 1 2 求 , 在（ 1,1, 2）处的值。 2 dx dx x y z 2
F ( x, y,u, v) 0 其他情形：以 为例。 G( x, y,u, v) 0
y f ( x ) ， F ( x, f ( x)) 0, 并有
Fx dy 。 dx Fy
设有F ( x1, x2,
xn , y ) 0,
(1)
若存在y ( x1, x2, 恒等式，即F ( x1, x2,
F ( x, y,u, v) 0 则由方程组 在点 P 的某一邻域内能确定 G( x, y,u, v) 0
一组连续且具有一阶连续偏导数的函数
u u ( x, y), v v ( x, y), 满足 u u ( x , y ),v v ( x , y ),
定理 4 设 （1） F ( x, y,u, v),G( x, y,u, v) 在点 P( x , y ,u , v ) 的某个邻 域内具有对各个变量的连续偏导数； （2） F ( x , y ,u , v ) 0, G( x , y ,u , v ) 0, Jacobi 行列式
例5 设u f ( x, y, z ), y g (sin x), z z ( x) 由方程
( x , e , z ) 0 确定, 其中f , 具有一阶连续 du
2 y
偏导数，g可导，且
z
0, 求
dx
.
且
y 1 (F , G ) , x J ( x, z )
z 1 ( F , G ) x J ( y, x )
⑥
x yz 2 dy dz 例3.设 2 1 2 求 , 在（ 1,1, 2）处的值。 2 dx dx x y z 2
F ( x, y,u, v) 0 其他情形：以 为例。 G( x, y,u, v) 0
y f ( x ) ， F ( x, f ( x)) 0, 并有
Fx dy 。 dx Fy
设有F ( x1, x2,
xn , y ) 0,
(1)
若存在y ( x1, x2, 恒等式，即F ( x1, x2,
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= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯